4.2 提取公因式法（分层练习）（解析版）

第4章因式分解4.2提取公因式法精选练习基础篇基础篇1．（2023春·浙江·七年级专题练习）把多项式分解因式，应提取的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得提取即可得到答案．【详解】解：，故选C．【点睛】本题考查了提公因式分解因式，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．2．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，，则(

)．A．5 B． C．1 D．6【答案】B【分析】将因式分解得到，然后整体代入即可求解．【详解】解：∵，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是解题的关键．3．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列各组中，没有公因式的一组是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】B【分析】将每一组因式分解，找公因式即可【详解】A.，，有公因式，故不符合题意；B.，，没有公因式，符合题意；C.，，有公因式，故不符合题意；D.与有公因式，故不符合题意；故选：B【点睛】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键4．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为15，则的值为（）A．100 B．120 C．48 D．140【答案】B【分析】根据长方形的周长及面积可得，，再将变形为，即可求解．【详解】解：由题意知，，，则，因此，故选B．【点睛】本题主要考查提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．5．（2023秋·广东广州·八年级校考期末）分解因式正确的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先将式子变形，再提取公因式分解即可．【详解】解：．故选：D【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式．6．（2023春·浙江·七年级专题练习）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．【详解】解：；多项式的公因式为故选B【点睛】本题主要考查公因式的确定，解决本题的关键是掌握找公因式的要点：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．7．（2022春·陕西西安·八年级校考期中）把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（

）A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5【答案】A【分析】适当变形后提公因式，可得答案．【详解】解：原式，另一个因式是，故选：A．【点睛】本题考查了因式分解，利用提公因式是解题关键．8．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）已知a-b=2，a=3，则等于（

）A．1 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】将原式因式分解可得：，再整体代入计算即可．【详解】解：∵，a-b=2，a=3，∴原式，故选：D．【点睛】本题考查因式分解以及代数式求值，掌握提公因式法因式分解和整体代入思想的应用是解题的关键．9．（2023秋·上海宝山·七年级校考期末）分解因式：______．【答案】【分析】直接提取公因式进行分解因式即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．10．（2023春·浙江·七年级专题练习）因式分解：_________.【答案】【分析】根据提公因式因式分解即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．11．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知：，，则的结果是______．【答案】【分析】先将原式用直接提取公因式法分解因式，再将，代入，即可求出结果．【详解】解：，将，代入，原式，故答案为：．【点睛】本题主要考查了直接提取公因式法分解因式以及代数式求值，熟练掌握直接提取公因式法分解因式是解题关键．12．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：______．【答案】2023【分析】运用提公因式法进行简便运算．【详解】解：故答案为：2023【点睛】本题主要考查提公因式法简便运算，熟练掌握运用提公因式法进行因式分解是解决本题的关键．13．（2023春·浙江·七年级专题练习）多项式的公因式是________．【答案】【分析】多项式找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．【详解】解：多项式中，各项系数的最大公约数是6，各项都含有的相同字母是a、b，字母a的指数最低是1，字母b的指数最低是1，所以它的公因式是.故答案为：．【点睛】本题考查了公因式的确定，熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键．14．（2023春·浙江·七年级专题练习）一个二次二项式分解后其中的一个因式为，请写出一个满足条件的二次二项式______．【答案】（答案不唯一）【分析】根据因式分解的结果，乘以一个单项式即可求解．【详解】解：∵，∴出一个满足条件的二次二项式可以是：（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）.【点睛】本题考查了因式分解与整式乘法的联系，掌握因式分解是解题的关键．15．（2023春·七年级课时练习）如果，求代数式的值．【答案】【分析】由已知可得，然后对所求式子变形，再整体代入求解即可．【详解】解：∵，∴，∴．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，把多项式整理成已知条件的形式是解题的关键，也考查了整体思想的应用．16．（2023春·浙江·七年级专题练习）因式分解：(1)；(2)；【答案】(1)(2)【分析】（1）用提公因式法解答；（2）用提公因式法解答．【详解】（1）解：原式（2）解：原式【点睛】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．17．（2023春·浙江·七年级专题练习）把下列多项式因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接提取公因式x，进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式，进而分解因式得出答案；（3）直接提取公因式，进而分解因式得出答案；（4）直接提取公因式，进而分解因式得出答案．【详解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．18．（2021春·宁夏银川·八年级校考期中）先因式分解，再求值；已知，，求的值．【答案】10【分析】先将代数式用提公因式法因式分解，然后代入已知条件即可求值．【详解】解：，将，代入，原式．【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．19．（2022春·河北唐山·七年级统考期末）阅读理解，并解答下面的问题：拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．例：分解因式：＋4x＋3解：原式＝＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，＝（＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式请类比上面的示例，分解因式：＋5x＋6【答案】（x＋2）（x＋3）【分析】根据题意中的分解因式的方法求解即可．【详解】解：原式=＋2x＋3x＋6．【点睛】题目主要考查多项式乘法及因式分解，理解题中分解因式的方法是解题关键．20．（2021秋·黑龙江绥化·八年级校考期末）观察下列因式分解的过程：①②③……根据上述因式分解的方法，尝试将下列各式进行因式分解：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据题中的方法，适当加减适合的数，再提取公因式，将各式分解即可；（2）根据题中的方法分解因式即可．【详解】解：（1）；（2）．【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式进行因式分解．提升篇提升篇1．（2023春·浙江·七年级专题练习）把分解因式，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】将变形为，再提公因式即可．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法方法和步骤是解题关键，注意提取符号时，各项符号得变化．2．（2023春·七年级课时练习）已知，那么代数式的值是（

）A．2000 B．－2000 C．2001 D．－2001【答案】B【分析】先将化为，再将转化为，再将代入求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查代数式求值、提公因式法分解因式，利用整体代入求解是解答的关键．3．（2023春·浙江·七年级专题练习）对于任意的有理数,我们规定

,如

．求的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据新规定得出再根据提公因式法分解因式即可得出答案．【详解】解：

故选A【点睛】本题考查了新定义运算，涉及到提公因式法分解因式，灵活运用因式分解的方法是解题的关键．4．（2023春·七年级课时练习）将下列多项式分解因式，得到的结果不含因式x-1的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平方差公式、完全平方公式、提公因式法，进行因式分解，据此即可一一判定．【详解】解：A.，故该选项不符合题意；B.，故该选项不符合题意；C.，故该选项不符合题意；D.，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了利用平方差公式、完全平方公式、提公因式法分解因式，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键．5（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先表示出底面积和侧面积，然后求它们的差，再提取公因式分解因式即可．【详解】解：底面积为（b﹣2a）2，侧面积为a•（b﹣2a）•4＝4a•（b﹣2a），∴M＝（b﹣2a）2﹣4a•（b﹣2a），提取公式（b﹣2a），M＝（b﹣2a）•（b﹣2a﹣4a），＝（b﹣6a）（b﹣2a）故选：A．【点睛】本题考查了因式分解，灵活提取公因式是本题关键．6．（2023春·七年级课时练习）中，为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据除数=被除数÷商，将两个多项式化简，约分，可求出单项式M．【详解】故选：C．【点睛】本题考查了被除数、除数、商，三者之间的关系以及多项式除以单项式，涉及因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键．7．（2023秋·山东东营·八年级校考期末）若实数、满足，，则的值是（

）A．-2 B．2 C．-50 D．50【答案】A【分析】利用提取公因式法对已知等式进行化简，然后代入求值即可得．【详解】，，，，解得，故选：A．【点睛】本题考查了因式分解的应用，对已知等式正确进行因式分解是解题关键．8．（2021春·全国·七年级专题练习）计算(-2)1999+(-2)2000等于(

)A．-23999 B．-2 C．-21999 D．21999【答案】D【详解】【分析】把(-2)2000分解成(-2)1999×(-2)1，然后再提取公因式(-2)1999，然后得出答案.【详解】(-2)1999+(-2)2000=(-2)1999+(-2)1999×(-2)1=(-2)1999×(1-2)=(-2)1999×(-1)=21999故选：D．【点睛】此题考核知识点：同底数幂乘法公式am∙an=am+n的运用.解题的关键：借助公式，灵活将式子变形，运用提公因式，便可以得出结果．9．（2023春·七年级课时练习）因式分解：___________．【答案】【分析】提公因式x即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了提取公因式法因式分解，解题关键是求出多项式里各项的公因式，提公因式．10．（2022春·四川成都·八年级校考阶段练习）已知，，则的值是______．【答案】【分析】利用直接提取公因式进行分解因式，然后将已知代入即可得出答案．【详解】解：∵，．∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了直接提取公因式法分解因式以及代数式求值，熟练掌握直接提取公因式法分解因式是解题关键．11．（2023春·八年级课时练习）如果，那么的值是______．【答案】【分析】首先需要先将变形为，经过提公因式得到，将整体代入即可．【详解】解：将代入，得到．故答案为：．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，寻找公因式是解题的关键．12．（2022春·广东茂名·八年级校考期中）已知：a2+a﹣1＝0，则a4+2a3+a2+2000的值是___．【答案】2001【分析】由已知条件可得a2=−a+1，再把原式变形并用所得式子代入即可求得结果的值．【详解】∵a2+a﹣1=0，∴a2=−a+1，∴=2001．故答案为：2001．【点睛】本题考查了求代数式的值，提公因式法的应用，运用了整体代入思想，通过多次代入实现降次，变形较灵活．13．（2022春·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期中）若，，则=___________．【答案】【分析】首先进行因式分解，再把已知式子的值代入计算，即可求得其结果．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解及代数式求值问题，利用因式分解法求代数式的值是解决本题的关键．14．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读材料：若为常数有一个因式为，则如何因式分解？解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解若为常数有一个因式为，则因式分解______．【答案】【分析】根据题意，因为有一个因式为，仿照例题通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式．【详解】解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解因式分解，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，掌握列竖式做多项式除法是解题的关键．15．（2023春·七年级课时练习）把下列各式分解因式：（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）（2）﹣8a2b＋12ab2﹣4a3b3【答案】（1）2m（m﹣n）（5m﹣n）；（2）﹣4ab（2a﹣3b＋a2b2）【分析】（1）直接提取公因式2m（m﹣n），进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式﹣4ab，进而分解因式得出答案．【详解】解：（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）＝2m（m﹣n）[（m﹣n）＋4m]＝2m（m﹣n）（5m﹣n）；（2）﹣8a2b＋12ab2﹣4a3b3＝﹣4ab（2a﹣3b＋a2b2）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．16．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：．【答案】【分析】先提取公因式，然后化简即可．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提公因式法是解决因式分解的关键．17．（2020秋·宁夏吴忠·八年级统考期末）已知，求的值．【答案】【分析】直接将原式变形进而把已知代入求出答案．【详解】解：∵6x−3y−1＝0，xy＝2，∴2x−y＝，∴当2x−y＝，xy＝2时，原式＝（xy）3•（2x−y）＝23×＝．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键．18．（2021秋·江西抚州·八年级南城县第二中学校考阶段练习）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）结果是．【答案】（1）提公因式法；

2；（2）2021；（x+1）2022；（3）（1+x）n+1．【分析】（1）直接利用已知解题方法分析得出答案；（2）结合（1）中解题方法得出答案；（3）结合（1）中解题方法得出答案．【详解】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次；故答案为：提公因式法；2；（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则需应用上述方法2021次，结果是（x+1）2022；故答案为：2021；（x+1）2022；（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n=（1+x）n+1．故答案为：（1+x）n+1．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及数字变换规律，正确得出次数变化规律是解题关键．19．（2023春·浙江·七年级专题练习）阅读下列材料．形如型的二次三项式，有以下特点：①二项式的系数是1；②常数项是两个数之积：③一次项系数是常数项的两个因数的和，把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解：请利用上述方法将下列多项式因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照材料进行因式分解即可；（2）令仿照材料进行因式分解得，再将代回可得，同理对进行因式分解即可．【详解】（1）解：（2）令，则可得，再将代回，得：同理：，即：【点睛】此题考查了因式分解，弄清阅读材料中的规律是解本题的关键．20．（2023春·浙江·七年级专题练习）问题提出：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6问题探究：为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＋a（1＋a）5＋a（1＋a）6然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：(1)仿照②，写出将1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3进行因式分解的过程；(2)填空：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＝；发现规律：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋…＋a（1＋a）n＝；问题解决：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6＝（结果用乘方表示）．【答案】(1)（1+a）4(2)（