期末真题必刷压轴60题（22个考点专练）（解析版）

期末真题必刷压轴60题（22个考点专练）一．正数和负数（共1小题）1．（2022秋•绥棱县校级期末）某班抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：+8，﹣3，+12，﹣7，﹣10，﹣4，﹣8，+1，0，+10；（1）这10名同学中的最高分是多少？最低分是多少？（2）10名同学中，低于80分的占的百分比是多少？（3）10名同学的平均成绩是多少？【分析】（1）根据标准成绩加最大数，可得最高分，标准成绩加最小数，可得最低分；（2）根据负数是低于80分，可得低于80分的人数，根据低于80分的人数除以总人数，可得百分比；（3）根据有理数的加法，可得总得分，根据总得分除以人数，可得平均成绩．【解答】解：（1）最高分为80+12＝92（分），最低分为80﹣10＝70（分）．答：这10名同学中最高分是92分，最低分是70分；（2）低于80分的人数是5，低于80分所占的百分比是5÷10＝50%．答：10名同学中，低于80分的占的百分比是50%；（3）∵（+8）+（﹣3）+（+12）+（﹣7）+（﹣10）+（﹣4）+（﹣8）+（+1）+0+（﹣10）＝﹣1，总得分为80×10﹣1＝799（分），平均成绩为799÷10＝79.9（分）．答：10名同学的平均成绩是79.9分．【点评】本题考查了正数和负数，利用有理数的加法是解题关键．二．数轴（共5小题）2．（2022秋•鼓楼区期末）数轴上某一个点表示的数为a，比a小2的数用b表示，那么|a|+|b|的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】理解绝对值的定义，如|a﹣2|表示数轴上点a到2的距离；|a|＝|a﹣0|表示a到原点的距离；【解答】解：∵比a小2的数用b表示，∴b＝a﹣2，∴|a|+|b|＝|a﹣0|+|a﹣2|，那么|a|+|b|的最小值就是在数轴上找一点a到原点和到2的距离最小，显然这个点就是在0与2之间，当a在区间0与2之间时，|a﹣0|+|a﹣2|＝|2﹣0|＝2为最小值，∴|a|+|b|的最小值为2，故选：C．【点评】本题考查绝对值的定义，难点在于|a﹣0|+|a﹣2|对这个式子的理解并用绝对值意义来解答．3．（2023春•闵行区期末）电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于﹣，处，AP＝2PB，则P站台用类似电影的方法可称为“1或6站台”．【分析】先根据两点间的距离公式得到AB的长度，再根据AP＝2PB求得AP的长度，再用﹣加上该长度即为所求．【解答】解：AB＝﹣（﹣）＝，AP＝×＝，P：﹣+＝＝1；或AP＝×2＝，P：﹣+＝6．故P站台用类似电影的方法可称为“1或6站台”．故答案为：1或6．【点评】此题考查了数轴，关键是用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．4．（2022秋•颍州区期末）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为﹣3，B表示的数为2．给出如下定义：若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝m，则称点C叫做点A，B的“m和距离点”．如图，若点C表示的数为0，有AC+BC＝5，则称点C为点A，B的“5和距离点”．（1）如果点N为点A，B的“m和距离点”，且点N在数轴上表示的数为﹣4，那么m的值是7；（2）如果点D是数轴上点A，B的“6和距离点”，那么点D表示的数为2.5或﹣3.5；（3）如果点E在数轴上（不与A，B重合），满足BE＝AE，且此时点E为点A，B的“m和距离点”，求m的值．【分析】（1）读懂题意，利用“m和距离点”计算；（2）先判断D点的可能位置，再分情况计算；（3）根据题意可判断E点的位置有可能在线段AB上，也可能在点A左边，再分情况计算m的值．【解答】解：（1）∵点N为点A，B的“m和距离点”，且点N在数轴上表示的数为﹣4，∴AN＝1，BN＝6，∴m＝AN+BN＝1+6＝7；故答案为：7；（2）设D点表示的数为x，∵AD＝|x﹣（﹣3）|，BD＝|x﹣2|，∴|x+3|+|x﹣2|＝6，D点不会在线段AB上（AB＝5），∴当D点在A点左边时，﹣x﹣3+（﹣x+2）＝6，x＝﹣3.5，当D点在B点右边时，x+3+x﹣2＝6，x＝2.5，∴点D表示的数为：2.5或﹣3.5；故答案为：2.5或﹣3.5；（3）设E点表示的数为x，∵BE＝AE，∴E的位置有两种可能，当E点在线段AB上时（不与A，B重合），AE＝x﹣（﹣3）＝x+3，BE＝2﹣x，∴2﹣x＝（x+3），解得：x＝，此时m＝AE+BE＝+3+2﹣＝5，当E点在线段AB延长线上时（不与B重合），AE＝x﹣（﹣3）＝x+3，BE＝x﹣2，x﹣2＝（x+3），解得：x＝7，此时m＝AE+BE＝7﹣2+7+3＝15，综上所述，m的值为5或15．【点评】本题考查数轴知识的新定义，解题的关键是读懂题意，掌握新定义，利用新定义解决问题．5．（2021秋•埇桥区期末）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为8cm；（2）图中点A所表示的数是14，点B所表示的数是22；（3）由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？【分析】（1）根据图象可知3倍的AB长为30﹣6＝24（cm），这样AB长就可以求出来了．（2）A点在6的右侧8单位长度，可以求出A点的数值为14，B点在A点右侧8个单位长度，也可以求出B点的数值．（3）运用上边的模型把奶奶与妙妙的年龄差理解为一个线段，119﹣（﹣37）就是两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差．进而可以分别算出各自的年龄．【解答】解：（1）观察数轴可知三根木棒长为30﹣6＝24（cm），则这根木棒的长为24÷3＝8（cm）；故答案为8．（2）6+8＝14，14+8＝22．所以图中A点所表示的数为14，B点所表示的数为22．故答案为：14，22．（3）当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为（﹣37）岁，所以奶奶与妙妙的年龄差为：[119﹣（﹣37）]÷3＝52（岁），所以奶奶现在的年龄为119﹣52＝67（岁）．【点评】本题属于数学阅读题，主要考查了一个线段模型的运用．解题的关键在于运用前两问给定的解题模型去求解奶奶与妙妙的年龄差，进而求出奶奶的年龄．6．（2023春•新干县期末）数轴上点A、B、C的位置如图所示，A、B对应的数分别为﹣5和1，已知线段AB的中点D与线段BC的中点E之间的距离为5．（1）求点D对应的数；（2）求点C对应的数．【分析】（1）先求出AB的长，再根据中点的性质可得；（2）根据两点间的距离公式可得．【解答】解：（1）1﹣（﹣5）＝6，6÷2﹣1＝3﹣1＝2，因D点在0点的左侧所以用负数表示，是﹣2．答：D点对应的数是﹣2．（2）5﹣2＝3因C点在0点的右侧，所以用正数表示是+5．答：C点对应的数是+5．【点评】本题主要考查数轴，解题的关键是熟练掌握两点间的距离公式．三．绝对值（共1小题）7．（2022秋•包河区期末）若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a对一切数x都成立，则a的取值范围是a≤7．【分析】数形结合．绝对值的几何意义：|x﹣y|表示数轴上两点x，y之间的距离．【解答】解：数形结合．绝对值的几何意义：|x﹣y|表示数轴上两点x，y之间的距离．画数轴易知，|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|表示x到﹣3，﹣1，1，2这四个点的距离之和．令y＝|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|，x＝﹣3时，y＝11，x＝﹣1时，y＝7，x＝1时，y＝7，x＝2时，y＝9，可以观察知：当﹣1≤x≤1时，由于四点分列在x两边，恒有y＝7，当﹣3≤x＜﹣1时，7＜y≤11，当x＜﹣3时，y＞11，当1≤x＜2时，7≤y＜9，当x≥2时，y≥9，综合以上：y≥7所以：a≤7即|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥7对一切实数x恒成立．从而a的取值范围为a≤7．【点评】本题考查绝对值，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．四．有理数大小比较（共1小题）8．（2022秋•渠县校级期末）a、b、c三个数在数轴上位置如图所示，且|a|＝|b|（1）求出a、b、c各数的绝对值；（2）比较a，﹣a、﹣c的大小；（3）化简|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|．【分析】（1）利用绝对值的解答即可；（2）根据数轴上点的位置判断即可；（3）根据数轴上点的位置判断绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）∵从数轴可知：c＜b＜0＜a，∴|a|＝a，|b|＝﹣b，|c|＝﹣c；（2）∵从数轴可知：c＜b＜0＜a，|c|＞|a|，∴﹣a＜a＜﹣c；（3）根据题意得：a+b＝0，a﹣b＞0，a+c＜0，b﹣c＞0，则|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|＝0+a﹣b﹣a﹣c+b﹣c＝﹣2c．【点评】此题考查了整式的加减，数轴，以及有理数比较大小，熟练绝对值的代数意义是解本题的关键．五．有理数的加法（共1小题）9．（2022秋•罗山县期末）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作+1，向下一楼记作﹣1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：+6，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣7，﹣10．（1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼．（2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？【分析】（1）把上下楼层的记录相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果等于0则能回到1楼，否则不能；（2）求出上下楼层所走过的总路程，然后乘以0.2即可得解．【解答】解：（1）（+6）+（﹣3）+（+10）+（﹣8）+（+12）+（﹣7）+（﹣10）＝6﹣3+10﹣8+12﹣7﹣10＝28﹣28＝0，∴王先生最后能回到出发点1楼；（2）王先生走过的路程是3×（|+6|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|+12|+|﹣7|+|﹣10|）＝3×（6+3+10+8+12+7+10）＝3×56＝168（m），∴他办事时电梯需要耗电168×0.2＝33.6（度）．【点评】本题主要考查了有理数的加法运算，（2）中注意要求出上下楼层的绝对值，而不是利用（1）中的结论求解，这是本题容易出错的地方．六．有理数的乘法（共1小题）10．（2022秋•山西期末）一辆货车从超市出发，向东走3千米到达小李家，继续向东走1.5千米到达小张家，然后又回头向西走9.5千米到达小陈家，最后回到超市．（1）以超市为原点，向东为正，以1个单位长表示1千米，在数轴上表示出上述位置．（2）小陈家距小李家多远？（3）若货车每千米耗油0.5升，这趟路货车共耗油多少升？【分析】（1）根据数轴与点的对应关系，可知超市在原点，小李家所在的位置表示的数是+3，小张家所在的位置表示的数是+4.5，小陈家所在的位置表示的数是﹣5；（2）3﹣（﹣5）＝8；（3）先算这趟路一共有多少千米，再乘以货车每千米耗油的升数．【解答】解：（1）如图：点O表示超市，点A表示小李家，点B表示小张家，点C表示小陈家．（2）从图中可看出小陈家距小李家8千米．故小陈家距小李家8千米．（3）0.5×（|+3|+|+1.5|+|﹣9.5|+|﹣5|）＝0.5×19＝9.5（升）．故这趟路货车共耗油9.5升．【点评】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．七．有理数的混合运算（共4小题）11．（2022秋•安岳县期末）定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把（a≠0）记作：aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a．通过以上信息，请计算：2022②×（﹣）④+（﹣1）⑰＝3．【分析】认真读懂题意，利用新定义计算即可．【解答】解：2022②×（﹣）④+（﹣1）⑰＝2022÷2022×（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）+＝1×4+（﹣1）＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了有理数运算的新定义，解题的关键是读懂题意，掌握新定义的计算法则，利用新定义计算．12．（2021秋•弋江区期末）计算：﹣（3﹣5）+32×（1﹣3）．【分析】根据有理数的乘法、乘方和有理数的加法可以解答本题．【解答】解：﹣（3﹣5）+32×（1﹣3）＝﹣（﹣2）+9×（﹣2）＝2+（﹣18）＝﹣16．【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．13．（2022秋•奎屯市校级期末）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数（m﹣n≠0），x绝对值为2，求的值．【分析】根据相反数的性质、互为倒数的性质、绝对值的性质可知a+b＝0，mn＝1，x＝±2，分两种情形代入计算即可．【解答】解：根据题意知a+b＝0、mn＝1，x＝2或x＝﹣2，当x＝2时，原式＝﹣2+0﹣2＝﹣4；当x＝﹣2时，原式＝﹣2+0+2＝0．【点评】本题考查有理数的混合运算、相反数的性质、绝对值的性质、互为倒数的性质等知识，属于基础题．14．（2022秋•萨尔图区校级期末）某商场对顾客购物实行优惠，规定：（1）如一次购物不超过200元的，则不予折扣；（2）如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；（3）如一次购物超过500元，其中500元按第（2）条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款多少元？【分析】由于此人的总消费超过了500元，那么，其中500元按九折优惠，（168+423÷90%﹣500）部分八折优惠，全部加起来就是所付的款项．其中付款423元要求出标价．【解答】解：500×90%+[168+423÷90%﹣500]×80%＝560.4（元）．答：应付款560.4元．【点评】注意要从低到高享受优惠，优惠后的部分应该去掉．八．列代数式（共3小题）15．（2022秋•北京期末）新年联欢，某公司为员工准备了A、B两种礼物，A礼物单价a元，重m千克，B礼物单价（a+20）元，重（m+2）千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重2千克，则两个盲盒的总价钱相差20元，通过称重其他盲盒，大家发现：称重情况重量大于小林的盲盒的与小林的盲盒一样重重量介于小林和小李之间的与小李的盲盒一样重重量小于小李的盲盒的盲盒个数05094若这些礼物共花费3040元，则a＝65元．【分析】根据小林的盲盒比小李的盲盒重2千克可判断两个盲盒的总价钱相差1元，再根据重量小于小李的盲盒的为4盒可以得出结论：小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件A礼物，然后再根据表格中的数据列一元一次方程求解即可．【解答】解：∵A礼物重m千克，B礼物重（m+2）千克，∴B礼物比A礼物重2千克，∵每个盲盒里均放两样，小林的盲盒比小李的盲盒重2千克，∴小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件A礼物或小李的盲盒中为2件B礼物，小林的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，∴不管以上哪种情况，两个盲盒的礼物总价格都相差a+20﹣a＝20（元）；由表格中数据可知，重量小于小李的盲盒的有4盒，所以小李的盲盒中有1件A礼物和1件B礼物，不可能为2件B礼物，∴小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件A礼物，∴重量小于小李的盲盒为2件B礼物，∵与小林的盲盒一样重盲盒有5盒，与小李的盲盒一样重的盲盒有9盒，重量小于小李的盲盒有4盒，∴2件A礼物的有4盒，1件A礼物和1件B礼物各有10盒，2件B礼物有6盒，∴2×6（a+20）+10×a+10（a+20）+2×4a＝3040，解得a＝65，故答案为：20，65．【点评】本题主要考查数据的收集与整理，能根据数据准确判断小李与小林的盲盒中的礼物是解答此题的关键．16．（2022秋•兴化市校级期末）将9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，如图：将满足条件的另外9个数中的三个数填入了图二，则这9个数的和为9a+27（用含a的整式表示）．【分析】根据同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等作出图形，根据题意列出关于a与x的方程，可得x＝a+2，进一步求出这9个数的和即可．【解答】解：如图所示：a+2a+5﹣x+3a+10﹣2x＝a+a+7+x，解得x＝a+2，a+a+7+x＝2a+7+a+2＝3a+9，3（3a+9）＝9a+27．故答案为：9a+27．【点评】此题考查了列代数式，整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．（2022秋•南陵县期末）A、B两仓库分别有水泥20吨和30吨，C、D两工地分别需要水泥15吨和35吨．已知从A、B仓库到C、D工地的运价如下表：到C工地到D工地A仓库每吨15元每吨12元B仓库每吨10元每吨9元（1）若从A仓库运到C工地的水泥为x吨，则用含x的代数式表示从A仓库运到D工地的水泥为（20﹣x）吨，从B仓库将水泥运到D工地的运输费用为（9x+135）元；（2）求把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运输费（用含x的代数式表示并化简）；（3）如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨时，那么总运输费为多少元？【分析】（1）A仓库原有的20吨去掉运到C工地的水泥，就是运到D工地的水泥；首先求出B仓库运到D仓库的吨数，也就是D工地需要的水泥减去从A仓库运到D工地的水泥，再乘每吨的运费即可；（2）用x表示出A、B两个仓库分别向C、D运送的吨数，再乘每吨的运费，然后合并起来即可；（3）把x＝10代入（2）中的代数式，求得问题的解．【解答】解：（1）从A仓库运到D工地的水泥为：（20﹣x）吨，从B仓库将水泥运到D工地的运输费用为：[35﹣（20﹣x）]×9＝（9x+135）元；（2）15x+12×（20﹣x）+10×（15﹣x）+[35﹣（20﹣x）]×9＝（2x+525）元；（3）当x＝10时，2x+525＝545元；答：总运费为545元．【点评】此题关系比较复杂，最后运用列表的方法，分类理解，达到解决问题的目的．九．代数式求值（共2小题）18．（2022秋•罗湖区校级期末）若a＜b＜c，x＜y＜z，则下面四个代数式的值最大的是（）A．ax+by+cz B．ax+cy+bz C．bx+ay+cz D．bx+cy+az【分析】要比较两个多项式的大小，只需采用作差法，将它们的差因式分解就可解决问题．【解答】解：∵b＜c，y＜z，∴b﹣c＜0，y﹣z＜0，∴（ax+by+cz）﹣（ax+bz+cy）＝by+cz﹣bz﹣cy＝b（y﹣z）﹣c（y﹣z）＝（y﹣z）（b﹣c）＞0，∴ax+by+cz＞ax+bz+cy，即A＞B．同理：A＞C，B＞D，∴A式最大．故选：A．【点评】本题主要考查了整式的加减、因式分解、不等式的性质、不等式的传递性等知识，比较大小常用作差法或作商法，应熟练掌握．19．（2022秋•凤台县期末）某中学七年级一班有44人，某次活动中分为四个组，第一组有a人，第二组比第一组的一半多5人，第三组人数等于前两组人数的和．（1）求第四组的人数（用含a的代数式表示）．（2）试判断a＝12时，是否满足题意．【分析】（1）用含a的代数式表示出第二、三组的人数，由第四组人数＝班级总人数﹣第一组人数﹣第二组人数﹣第三组人数可得结论．（2）把12代入计算第四组人数，可判断是否满足题意．【解答】解：（1）由题意：第二组的人数为a+5，第三组的人数为a++5＝+5，所以第四组的人数为：44﹣a﹣（+5）﹣（a+5）＝44﹣a﹣﹣5﹣a﹣5＝34﹣3a所以第四组的人数为（34﹣3a）人．（2）当a＝12时，第四组的人数为：34﹣3×12＝﹣2，不符合题意，所以当a＝12时不满足题意．【点评】本题考查了列代数式及代数式的化简求值，解决本题的关键是根据题意用含a的代数式表示出各组人数．一十．规律型：数字的变化类（共1小题）20．（2020秋•怀宁县期末）下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（）A．135 B．170 C．209 D．252【分析】根据表格找出方格中每个对应数字的表示规律然后求解．【解答】解：根据表格可得规律：第n个表格中，左上数字为n，左下数字为n+1，右上数字为2（n+1），右下数字为2（n+1）（n+1）+n，∴20＝2（n+1），解得n＝9，∴a＝9，b＝10，x＝10×20+9＝209．故选：C．【点评】本题考查数字的变化规律，解题关键是通过表格找出每个位置的数字表示方法．一十一．规律型：图形的变化类（共1小题）21．（2022秋•隆回县期末）古希腊毕达格拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数（三边形数）；类似的，称图2中的1，4，9，16，这样的数为正方形数（四边形数）．（1）请你写出既是三角形数又是正方形数，且大于1的最小正整数为36；（2）记第n个k边形数为N（n，k）．例如N（1，3）＝1，N（2，3）＝3，N（2，4）＝4．①N（3，3）＝6，N（n，3）＝n（n+1），N（n，4）＝n2．②通过进一步研究发现N（n，5）＝n2﹣n，N（n，6）＝2n2﹣n，请你推测N（n，k）（k≥3）的表达式，并由此计算N（10，24）的值．【分析】（1）由题意正方形数是n2，探究出三角形数是平方数是最小的值即可解决问题．（2）①探究规律，利用规律解决问题即可．②提供公式变形，探究规律解决问题即可．【解答】解：（1）由题意第8个图的三角形数为×8（8+1）＝36，∴既是三角形数又是正方形数，且大于1的最小正整数为36，故答案为36．（2）①N（3，3）＝6，N（n，3）＝n（n+1），N（n，4）＝n2，故答案为6，n（n+1），n2．②∵N（n，3）＝＝＝，N（n，4）＝n2＝＝，N（n，5）＝＝，N（n，6）＝2n2﹣n＝＝，由此推断出N（n，k）＝（k≥3），∴N（10，24）＝＝1000．【点评】本题考查三角形数、正方形数的规律、完全平方数与归纳推理等知识，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键．一十二．整式的加减—化简求值（共5小题）22．（2021秋•霍邱县期末）先化简，再求值：，其中．【分析】先将原式去括号、合并同类项，再把x＝﹣2，y＝代入化简后的式子，计算即可．【解答】解：＝5x2﹣（2xy﹣xy﹣6+4x2）＝5x2﹣2xy+xy+6﹣4x2＝（5x2﹣4x2）+（﹣2xy+xy）+6＝x2﹣xy+6，，＝4+1+6＝11．【点评】本题考查了整式的化简求值．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．23．（2021秋•义安区期末）已知（x+1）2+|y﹣|＝0，求2（xy2+x2y）﹣[2xy2﹣3（1﹣x2y）]﹣2的值．【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝2xy2+2x2y﹣2xy2+3﹣3x2y﹣2＝﹣x2y+1，∵（x+1）2+|y﹣|＝0，∴x＝﹣1，y＝，则原式＝﹣（﹣1）2×+1＝﹣+1＝．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．（2022秋•阿瓦提县期末）先化简再求值：2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y，其中x＝1，y＝﹣1．【分析】先去括号，然后合并同类项得到原式＝﹣5x2y+5xy，然后把x、y的值代入计算即可．【解答】解：原式＝2x2y+2xy﹣3x2y+3xy﹣4x2y＝﹣5x2y+5xy，当x＝1，y＝﹣1时，原式＝﹣5×1×（﹣1）+5×1×（﹣1）＝0．【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值：给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．25．（2022秋•沈丘县期末）若单项式3x2y5与﹣2x1﹣ay3b﹣1是同类项，求下面代数式的值：5ab2﹣[6a2b﹣3（ab2+2a2b）]．【分析】根据同类项的定义得出a、b的值，再去括号、合并同类项化简原式，继而将a、b的值代入计算可得．【解答】解：∵3x2y5与﹣2x1﹣ay3b﹣1是同类项，∴1﹣a＝2且3b﹣1＝5，解得：a＝﹣1、b＝2，原式＝5ab2﹣（6a2b﹣3ab2﹣6a2b）＝5ab2﹣6a2b+3ab2+6a2b＝8ab2．当a＝﹣1、b＝2时，原式＝8×（﹣1）×22＝﹣8×4＝﹣32．【点评】本题主要考查整式的加减﹣化简求值，解题的关键是掌握去括号和合并同类项法则及同类项的定义．26．（2022秋•秦淮区期末）先化简，再求值：7a2b+（﹣4a2b+5ab2）﹣（2a2b﹣3ab2），其中a＝﹣1，b＝2．【分析】先进行整式的化简，再代入求值即可．【解答】解：7a2b+（﹣4a2b+5ab2）﹣（2a2b﹣3ab2），＝7a2b﹣4a2b+5ab2﹣2a2b+3ab2＝a2b+8ab2当a＝﹣1，b＝2时，原式＝（﹣1）2×2+8×（﹣1）×22＝2﹣32＝﹣30．【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是先化简．一十三．解一元一次方程（共2小题）27．（2021秋•铜官区期末）解方程：．【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：去分母得，2（x﹣7）﹣3（1+x）＝6，去括号得，2x﹣14﹣3﹣3x＝6，移项得，2x﹣3x＝6+14+3，合并同类项得，﹣x＝23，系数化为1得，x＝﹣23．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28．（2021秋•烈山区期末）解方程﹣＝1．【分析】根据一元一次方程分解法容易得出答案．【解答】解：去分母得：3x﹣9﹣2x﹣1＝6，移项得：3x﹣2x＝6+9+1，合并同类项得：x＝16．【点评】本题主要考查一元一次方程的解法；熟练掌握一元一次方程的解法是关键．一十四．一元一次方程的应用（共9小题）29．（2022秋•广阳区校级期末）为响应习总书记“绿水青山，就是金山银山”的号召，某校今年3月争取到一批植树任务，领到一批树苗，按下列方法依次由各班领取：第一班领取全部的，第二班领取100棵和余下的，第三班领取200棵和余下的，第四班领取300棵和余下的…，最后树苗全部被领完，且各班领取的树苗相等，则树苗总棵数为（）A．6400 B．8100 C．9000 D．4900【分析】设树苗总数为x棵，根据各班的树苗数都相等，可得出第一班和第二班领取的树苗数相等，由此可得出方程．【解答】解：设树苗总数x棵，根据题意得：x＝100+（x﹣x﹣100），解得：x＝9000，答：树苗总数是9000棵．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是得出各班的树苗数都相等，这个等量关系，因为第一班，第二班领取数量好表示，所以我们就选取这两班建立等量关系．30．（2021秋•颍东区期末）下表所示是2019年元月的月历表．下列结论：①每一竖列上相邻的两个数，下面的数比上面的数大7；②可以框出一竖列上相邻的三个数（如图所示），这三个数的和是24；③不可以框出一个2×2的矩形块的四个数（如图所示），这四个数的和是82；④任意框出一个3×3的矩形块的九个数（如图所示），这九个数的和是中间数的9倍，其中正确的是①②③④（把所有正确的序号都填上）．【分析】①观察图表，每一竖列上相邻的两个数，下面的数比上面的数大7；②可以通过①中的规律设出一竖列上相邻的三个数分别为a﹣7，a，a+7，相使其加等于24．若a的值为正整数，则本题正确，否则错误；③仿照②题，设一个2×2的矩形块的四个数分别是b，b+1，b+7，b+8，相使其加等于82．若b的值为正整数，则本题正确，否则错误；④设一个3×3的矩形块的9个数的中间数字是c，则另外八个数字分别是c﹣8，c﹣7，c﹣6，c﹣1，c+1，c+6，c+7，c+8，使其相加等于9c，求解即可．【解答】解：①每一数列上相邻的两个数，下面的数比上面的数大7；①正确②设这一数列上相邻的三个数分别是a﹣7，a，a+7a﹣7+a+a+7＝24解得a＝8∴a﹣7＝1，a+7＝15∴可以框出一数列相邻的三个数，分别是1，8，15，这三个数的和是24；②正确③设一个2×2的矩形块的四个数分别是b，b+1，b+7，b+8b+b+1+b+7+b+8＝82解得b＝16.5∵b不是整数∴不可以框出一个2×2的矩形块的四个数，这四个数的和是82；③正确④设一个3×3的矩形块的9个数的中间数字是c，则另外八个数字分别是c﹣8，c﹣7，c﹣6，c﹣1，c+1，c+6，c+7，c+8∴c﹣8+c﹣7+c﹣6+c﹣1+c+c+1+c+6+c+7+c+8＝9c得9c＝9c∴任意框出一个3×3的矩形块的九个数（如图所示），这九个数的和是中间数的9倍；④正确∴其中正确的是①②③④故填：①②③④【点评】本题考查一次方程的应用，重点是通过观察规律设出恰当的未知数（比如a），并用这个未知数（比如a）的式子来表示其他的未知数（比如a+7），从而能够建立一元一次方程．31．（2022秋•沙坪坝区校级期末）某水果基地为提高效益，对甲、乙、丙三种水果品种进行种植对比研究．去年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为5：3：2，甲、乙、丙三种水果的平均亩产量之比为6：3：5．今年重新规划三种水果的种植面积，三种水果的平均亩产量和总产量都有所变化．甲品种水果的平均亩产量在去年的基础上提高了50%，乙品种水果的平均亩产量在去年的基础上提高了20%，丙品种的平均亩产量不变．其中甲、乙两种品种水果的产量之比为3：1，乙、丙两种品种水果的产量之比为6：5，丙品种水果增加的产量占今年水果总产量的，则三种水果去年的种植总面积与今年的种植总面积之比为5：7．【分析】根据可得去年的甲的种植面积为5a，则乙的种植面积为3a，丙的种植面积为2a．去年甲种水果的平均亩产量为6b，则乙种水果的平均亩产量为3b，丙种水果的平均亩产量为5b，再根据今年水果总产量的关系可得今年种植面积的比为6：5：3，最后根据丙种水果的总产量与今年水果总产量的关系可得答案．【解答】解：∵去年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为5：3：2，甲、乙、丙三种水果的平均亩产量之比为6：3：5．∴设去年的甲的种植面积为5a，则乙的种植面积为3a，丙的种植面积为2a．设去年甲种水果的平均亩产量为6b，则乙种水果的平均亩产量为3b，丙种水果的平均亩产量为5b．∴今年甲种水果的平均亩产量为6b（1+50%）＝9b，则乙种水果的平均亩产量为3b（1+20%）＝3.6b，丙种水果的平均亩产量为5b．设今年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为x：y：z，∴今年甲种水果的总产量为9bx，乙种水果的总产量为3.6by，丙种水果的总产量为5bz，依题意得，9bx＝3×3.6by①，5×3.6by＝6×5bz②，分别整理①、②得，x＝1.2y，z＝0.6y，∴x：y：z＝6：5：3，∴可设今年甲的种植面积为6c，乙的种植面积为5c，丙的种植面积为3c，今年水果总产量为54bc+18bbc+15bc，丙水果增加的总产量为（54bc+18bbc+15bc）×＝5bc，依题意得，5b•2a+5bc＝5b•3c，整理得，a＝c，∴三种水果去年的种植总面积5a+3a+2a＝10a，今年的种植总面积为6c+5c+3c＝14c＝14a，10a：14a＝5：7．故答案为：5：7．【点评】本题考查一元一次方程的应用，根据等量关系整理出去年三种水果的总面积和今年三种水果的总面积是解题关键．32．（2022秋•黔江区期末）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为或30秒时，P、Q两点到点B的距离相等．【分析】根据（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，可得B表示的数是9，C表示的数是15，由已知分四种情况讨论：①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30．【解答】解：∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，∴b＝9，c＝15，∴B表示的数是9，C表示的数是15，①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6），∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9），∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒，故答案为：或30．【点评】本题考查一元一次方程的应用，涉及数轴上的动点表示的数，两点间的距离等知识，解题的关键是分类讨论．33．（2022秋•沙坪坝区校级期末）南山植物园坐落在省级南山风景名胜区群山之中，与重庆主城区夹长江面峙，是一个以森林为基础，花卉为特色的综合性公园．备受重庆人民的喜爱；每到春季，上山赏花的人络绎不绝；一植物园附近的市民嗅到了商机，开办了植物花卉门市；将A、B、C三种花卉包装成“如沐春风”、“懵懂少女”、“粉色回忆”三种不同的礼盒进行销售；用A花卉2支、B花卉4支、C花卉10支包装成“如沐春风”礼盒；用A花卉2支、B花卉2支、C种花卉4支包装成“惜懂少女”礼盒；用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包装成“粉色回忆”礼盒；包装费忽略不计，且每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍；该商家将三种礼盒均以利润率50%进行定价销售；某周末，该门市为了加大销量，将“如沐春风”、“懵懂少女”两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，“粉色回忆”礼盒打九折销售；销售完毕后统计发现，三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍，则该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为．【分析】设C花卉一支x元，A花卉一支y元，则B花卉一支4x元，根据每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍，可得2y+4×4x+10x＝2（2y+2×4x+4x），即y＝x，从而A花卉一支x元，C花卉一支x元，B花卉一支4x元，设这两种礼盒都销售了a盒，粉色回忆”礼盒销售了b盒，根据三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍可得28x•a+14x•a+20x•b＝4[（33.6x﹣28x）•a+（16.8x﹣14x）•a+（27x﹣20x）•b]，即b＝a，即可得该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为．【解答】解：设C花卉一支x元，A花卉一支y元，则B花卉一支4x元，∵每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍，∴2y+4×4x+10x＝2（2y+2×4x+4x），化简整理得y＝x，∴A花卉一支x元，C花卉一支x元，B花卉一支4x元，∴“如沐春风”礼盒每盒成本为2x+4×4x+10x＝28x（元），以利润率50%定价为28x×（1+50%）＝42x（元），打八折销售售价是42x×0.8＝33.6x（元），“懵懂少女”礼盒每盒成本为2x+2×4x+4x＝14x（元），以利润率50%定价为14x×（1+50%）＝21x（元），打八折销售售价是21x×0.8＝16.8x（元），“粉色回忆”礼盒每盒成本为2x+3×4x+6x＝20x（元），以利润率50%定价为20x×（1+50%）＝30x（元），打九折销售售价是30x×0.9＝27x（元），由某周末，该门市为了加大销量，将“如沐春风”、“懵懂少女”两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，设这两种礼盒都销售了a盒，粉色回忆”礼盒销售了b盒，根据三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍可得：28x•a+14x•a+20x•b＝4[（33.6x﹣28x）•a+（16.8x﹣14x）•a+（27x﹣20x）•b]，化简整理得：b＝a，∴该周末“粉色回忆”礼盒的总利润为（27x﹣20x）•b＝7x•a＝7.35xa，该周末三种礼盒的总利润为（33.6x﹣28x）•a+（16.8x﹣14x）•a+（27x﹣20x）•b＝5.6xa+2.8xa+7.35xa＝15.75xa，∴该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为＝，故答案为：．【点评】本题考查一次方程（组）的应用，解题的关键是读清题意，用含未知数的式子表示题中的量，再根据已知列方程解决问题．34．（2022秋•九龙坡区校级期末）腊味食品是川渝人民的最爱，去年12月份，某销售商出售腊肠、腊舌、腊肉的数量之比为3：5：3，腊肠、腊舌、腊肉的单价之比为3：3：2．今年1月份，该销售商将腊肠单价上调20%，腊舌、腊肉的单价不变，并加大了宣传力度，预计今年1月份的营业额将会增加，其中腊肉增加的营业额占总增加营业额的，今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的．若腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为1：5，则今年1月份出售腊肠与腊肉的数量之比是20：21．【分析】设去年12月份腊肠、腊舌、腊肉销售的数量为3a、5a、3a，单价为3b、3b、2b；今年1月份腊肉的销售量为x，可得今年1月份腊肉的营业额为2bx，今年1月份总营业额为bx，根据腊肉增加的营业额占总增加营业额的，即得2bx﹣6ab＝（bx﹣30ab），解得x＝a，故今年1月份总营业额90ab，腊肉的营业额为21ab，又腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为1：5，可得腊舌今年1月份的营业额是33ab，腊舌今年1月份的销售的数量为11a，而腊肠今年1月份的营业额是90ab﹣33ab﹣21ab＝36ab，故腊肠今年1月份的销售的数量为＝10a，即得今年1月份出售腊肠与腊肉的数量之比是（10a）：（a）＝20：21．【解答】解：由题意可设去年12月份腊肠、腊舌、腊肉销售的数量为3a、5a、3a，单价为3b、3b、2b；∴去年12月份腊肠、腊舌、腊肉营业额分别是9ab、15ab、6ab，总营业额是30ab，设今年1月份腊肉的销售量为x，因腊肉的单价不变，∴今年1月份腊肉的营业额为2bx，而今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的，∴今年1月份总营业额为2bx÷＝bx，∵腊肉增加的营业额占总增加营业额的，∴2bx﹣6ab＝（bx﹣30ab），解得x＝a，∴今年1月份总营业额为bx＝b•a＝90ab，腊肉的营业额为2bx＝2b•a＝21ab，∵腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为1：5，∴腊舌今年1月份的营业额是15ab+90ab×＝33ab，∴腊舌今年1月份的销售的数量为＝11a，∴腊肠今年1月份的营业额是90ab﹣33ab﹣21ab＝36ab，而今年1月份，该销售商将腊肠单价上调20%，∴腊肠今年1月份的销售的数量为＝10a，∴今年1月份出售腊肠与腊肉的数量之比是（10a）：（a）＝20：21．故答案为：20：21．【点评】此题考查的是二元一次方程的应用，掌握用代数式表示题中的量，并根据已知找等量列方程是解题的关键．35．（2022秋•亳州期末）为举办校园文化艺术节，甲、乙两班准备给合唱同学购买演出服装（一人一套），两班共92人（其中甲班比乙班人多，且甲班不到90人），下面是供货商给出的演出服装的价格表：购买服装的套数1套至45套46套至90套91套以上每套服装的价格60元50元40元如果两班单独给每位同学购买一套服装，那么一共应付5020元．（1）甲、乙两班联合起来给每位同学购买一套服装，比单独购买可以节省多少钱？（2）甲、乙两班各有多少名同学？【分析】（1）若甲、乙两班联合起来购买服装，则每套是40元，计算出总价，即可求得比各自购买服装共可以节省多少钱；（2）设甲班有x名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲班每套服装是50元，乙班每套服装是60元．根据等量关系：①共92人；②两校分别单独购买服装，一共应付5020元，列方程即可求解．【解答】解：（1）由题意，得：5020﹣92×40＝1340（元）．即两班联合起来购买服装比各自购买服装共可以节省1340元．（2）设甲班有x名学生准备参加演出（依题意46＜x＜90），则乙班有学生（92﹣x）人．依题意得：50x+60（92﹣x）＝5020，解得：x＝50．于是：92﹣x＝42（人）．答：甲班有50人，乙班有42人．【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．36．（2021秋•庐江县期末）盛盛同学到某高校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）：院系篮球赛成绩公告比赛场次胜场负场积分2212103422148362202222盛盛同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题：（1）从表中可以看出，负一场积1分，胜一场积2分（2）某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由．【分析】（1）仔细观察表格中的数据发现规律并计算即可；（2）仔细观察表格中的数据发现规律并设出未知数列出一元一次方程求解即可．【解答】解（1）由题意可得，负一场积分为：22÷22＝1（分），胜一场的积分为：（34﹣10×1）÷12＝2（分），故答案为：1，2；（2）设胜x场，负22﹣x场，由题知2x＝2（22﹣x），解得x＝11．答：胜场数为11场时，胜场的积分等于负场的2倍．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的重点语句找到等量关系并列出方程求解．37．（2022秋•安庆期末）某校体育组长王老师，到家乐福超市为学校购买乒乓球拍、羽毛球拍共三次，有一次购买时，乒乓球拍、羽毛球拍同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买乒乓球拍、羽毛球拍数量及费用如表：乒乓球拍的数量（副）羽毛球拍的数量（副）总费用（元）第一次购买651140第二次购买371110第三次购买981062（1）按打折价购买乒乓球拍、羽毛球拍是第几次购买？（2）求乒乓球拍、羽毛球拍的标价；（3）若乒乓球拍、羽毛球拍的折扣相同，问家乐福超市是打几折出售的？【分析】（1）根据图表可得按打折价购买乒乓球拍、羽毛球拍是第三次购买；（2）设乒乓球拍、羽毛球拍的标价分别为x元、y元，根据图表列出方程组求出x和y的值；（3）设家乐福超市是打a折出售这两种商品，根据打折之后购买9副乒乓球拍和8副羽毛球拍共花费1062元，列出方程求解即可．【解答】解：（1）按打折价购买乒乓球拍、羽毛球拍是第三次购买；理由：∵王老师到家乐福超市为学校购买乒乓球拍、羽毛球拍共三次，只有一次购买时，乒乓球拍、羽毛球拍同时打折，其余两次均按标价购买，且只有第三次购买数量明显增多，但是总的费用不高，∴按打折价购买乒乓球拍、羽毛球拍是第三次购买；（2）设乒乓球拍、羽毛球拍的标价分别为x元、y元，根据题意，得，解方程组，得．所以，乒乓球拍、羽毛球拍的标价分别为90元，120元；（3）设家乐福超市是打a折出售的．根据题意，得（90×9+120×8）＝1062，解得a＝6．所以家乐福超市是打六折出售的．【点评】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．一十五．二元一次方程组的应用（共2小题）38．（2021秋•宣州区校级期末）在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数S（次/分）与这个人年龄n（岁）满足关系式：S＝an+b，其中a、b均为常数．（1）根据图中提供的信息，求a、b的值；（2）若一位63岁的人在跑步，医生在途中给他测得10秒心跳为26次，问：他是否有危险？为什么？【分析】（1）根据年龄15岁最高心跳为164次，年龄45岁最高心跳为144次列出a和b的二元一次方程组，解方程求出a和b的值即可；（2）首先求出年龄为63岁时最高心跳，然后求出该人实际心跳，再作出对比即可．【解答】解：（1）根据题意，得解这个方程组，得所以，a＝﹣，b＝174．（2）当n＝63时，S＝﹣×63+174＝132（次/分）．即63岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数为132次/分．而26×＝156（次/分）＞132（次/分）．所以，他有危险．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．39．（2022秋•包河区期末）我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：cm）（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值；（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．①两种裁法共产生A型板材64张，B型板材38张；②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值．【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解；（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，答：图甲中a与b的值分别为：60、40；（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×30＝60，裁法二产生A型板材为：1×4＝4，所以两种裁法共产生A型板材为60+4＝64（张），由图示裁法一产生B型板材为：1×30＝30，裁法二产生B型板材为：2×4＝8，所以两种裁法共产生B型板材为30+8＝38（张），故答案为：64，38；②根据题意竖式有盖礼品盒的x个，横式无盖礼品盒的y个，则A型板材需要（4x+3y）个，B型板材需要（2x+2y）个，所以，解得．【点评】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，根据图示列出算式以及关于x、y的二元一次方程组．一十六．三元一次方程组的应用（共1小题）40．（2022秋•江北区校级期末）量子中学国精部社会实践活动策划了咖啡售卖活动，现推出A、B、C三种新饮品试销．9月份A、B、C三种饮品的销量之比为4：3：1．为了回馈同学们对A饮品的喜爱，10月份负责运营的同学对三种饮品的售价做了调整，将A饮品的价格打8折销售，B的价格不变，并停止销售C饮品．结果原来C销量的转移购买了A，其余转移购买了B．10月的总销量在9月的基础上增加了50%，其中B饮品的销量除去从C转移过的部分还增长了，10月A的销售额占10月总销售额的，10月的销售总额是9月销售总额的倍，则9月C的销售额与9、10两月的销售总额的比为2：35．【分析】先设出A、B、C三种新饮品的销售单价分别为a、b、c元，9月份A、B、C三种饮品的销量分别为4x、3x、x瓶，则9月份的总销量为8x瓶，根据10月的总销量在9月的基础上增加了50%得出10月份的总销量为12x瓶，根据题中条件可求出10月份B饮品的销量为4x瓶，即可推出10月份A饮品的销量为8x瓶，根据10月A的销售额占10月总销售额的列出：0.8a•8x＝（0.8a•8x+4bx），求出a＝b，然后根据10月的销售总额是9月销售总额的倍列出：20bx＝（4ax+3bx+cx），推出c＝2b，然后求出10月份的销售总额为20bx元，9月销售总额为15bx元，9月C的销售额为2bx元，即可求出答案．【解答】解：根据题意可设出A、B、C三种新饮品的销售单价分别为a、b、c元，∵9月份A、B、C三种饮品的销量之比为4：3：1，∴可设9月份A、B、C三种饮品的销量分别为4x、3x、x瓶，则9月份的总销量为8x瓶，∵10月的总销量在9月的基础上增加了50%，∴10月份的总销量＝（1+50%）•8x＝12x（瓶），∵A饮品的价格打8折销售，∴调整后A饮品的价格为0.8a元，∵原来C销量的转移购买了A，其余转移购买了B，其中B饮品的销量除去从C转移过的部分还增长了，∴10月份B饮品的销量＝x+（1+）•3x＝4x（瓶），∴10月份A饮品的销量＝12x﹣4x＝8x（瓶），∵10月A的销售额占10月总销售额的，∴可列方程得：0.8a•8x＝（0.8a•8x+4bx），整理可得：a＝b，∴10月份的销售总额＝0.8a•8x+4bx＝20bx（元），∵10月的销售总额是9月销售总额的倍，∴可列方程得：20bx＝（4ax+3bx+cx），整理可得：c＝2b，∴9月销售总额＝4ax+3bx+cx＝15bx（元），9月C的销售额＝cx＝2bx（元），∴9月C的销售额与9、10两月的销售总额的比＝2bx：35bx＝2：35，故答案为：2：35．【点评】本题考查的三元一次方程的应用，解题关键是根据等量关系列出方程．一十七．专题：正方体相对两个面上的文字（共1小题）41．（2022秋•西安期末）如图，正方体的六个面上标着六个连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这6个数的和为81．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题，根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数，故六个整数可能为11，12，13，14，15，16或10，11，12，13，14，15，然后分析符合题意的一组数即可．【解答】解：根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数，故六个整数可能为11，12，13，14，15，16或10，11，12，13，14，15；且每个相对面上的两个数之和相等，11+16＝27，10+15＝25，故可能为11，12，13，14，15，16或10，11，12，13，14，15，其和为81和75（11和14必须为对面，在本体图片中，11和14为邻面，故不合题意，应舍去）故答案为：81．【点评】本题主要考查整数问题的综合运用和几何体的展开图的知识点，解答本题的关键是对几何图形的观察能力和空间想象能力．一十八．两点间的距离（共2小题）42．（2020秋•马鞍山期末）有两根木条，一根长60厘米，一根长100厘米．如果将它们放在同一条直线上，并且使一个端点重合，这两根木条的中点间的距离是20cm或80cm．【分析】分两种情况：两条线段的另一个端点在重合端点的同旁或异侧．【解答】解：若两条线段的另一个端点在重合端点的同旁，则中点间的距离为50﹣30＝20cm；若两条线段的另一个端点在重合端点的异侧，则中点间的距离为50+30＝80cm．故答案为20cm或80cm．【点评】此题考查两点间的距离，注意分类讨论．43．（2022秋•海珠区校级期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB＝12厘米，点C在线段AB上，且AC＝8厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发，在直线上运动，则经过2、10、或秒时线段PQ的长为6厘米．【分析】首先根据AB＝12厘米，AC＝8厘米，求出CB的长度是多少；然后分四种情况：（1）点P、Q都向右运动；（2）点P、Q都向左运动；（3）点P向左运动，点Q向右运动；（4）点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段PQ的长为6厘米即可．【解答】解：∵AB＝12厘米，AC＝8厘米，∴CB＝12﹣8＝4（厘米）；（1）点P、Q都向右运动时，（6﹣4）÷（2﹣1）＝2÷1＝2（秒）（2）点P、Q都向左运动时，（6+4）÷（2﹣1）＝10÷1＝10（秒）（3）点P向左运动，点Q向右运动时，（6﹣4）÷（2+1）＝2÷3＝（秒）（4）点P向右运动，点Q向左运动时，（6+4）÷（2+1）＝10÷3＝（秒）∴经过2、10、或秒时线段PQ的长为6厘米．故答案为：2、10、或．【点评】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握．一十九．角平分线的定义（共1小题）44．（2021秋•颍东区期末）已知：∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时求∠MON的大小；（3）在（2）的条件下，若以∠AOB＝10°为起始位置，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON＝2：3，求t的值．【分析】（1）因为∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，则∠MOB＝∠AOB，∠BON＝∠BOD．然后根据关系转化求出角的度数；（2）利用各角的关系求解：∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC＝∠AOC+∠BOD﹣∠BOC＝（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC；（3）由题意得，，由此列出方程求解即可．【解答】解：（1）因为∠AOD＝160°OM平分∠AOB，ON平分∠BOD所以∠MOB＝∠AOB，∠BON＝∠BOD即∠MON＝∠MOB+∠BON＝∠AOB+∠BOD＝（∠AOB+∠BOD）＝∠AOD＝80°；（2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD所以∠MOC＝∠AOC，∠BON＝∠BOD即∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC＝∠AOC+∠BOD﹣∠BOC＝（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC＝（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC＝×180°﹣20°＝70°；（3）∵射线OB从OA逆时针以2°每秒的旋转t秒，∠COB＝20°，∴∠AOC＝∠AOB+∠COB＝2t°+10°+20°＝2t°+30°．∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM＝∠AOC＝t°+15°．∵∠BOD＝∠AOD﹣∠BOA，∠AOD＝160°，∴∠BOD＝150°﹣2t．∵射线ON平分∠BOD，∴∠DON＝∠BOD＝75°﹣t°．又∵∠AOM：∠DON＝2：3，∴（t+15）：（75﹣t）＝2：3，解得t＝21．答：t为21秒．【点评】此题主要考查角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化，然后根据已知条件求解．二十．角的计算（共9小题）45．（2021秋•合肥期末）如图，已知∠AOB＝150°，∠COD＝40°，∠COD在∠AOB的内部绕点O任意旋转，若OE平分∠AOC，则2∠BOE﹣∠BOD的值为110°．【分析】根据角平分线的意义，设∠DOE＝x，根据∠AOB＝150°，∠COD＝40°，分别表示出图中的各个角，然后再计算2∠BOE﹣∠BOD的值即可．【解答】解：如图：∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE，设∠DOE＝x，∵∠COD＝40°，∴∠AOE＝∠COE＝x+40°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝150°﹣2（x+40°）＝70°﹣2x，∴2∠BOE﹣∠BOD＝2（70°﹣2x+40°+x）﹣（70°﹣2x+40°）＝140°﹣4x+80°+2x﹣70°+2x﹣40°＝110°，当角AOC小于80度时，OD在OE左侧，同法可得，2∠BOE﹣∠BOD＝110°当OD和OE重合时，同法可得，2∠BOE﹣∠BOD＝110°故答案为：110．【点评】考查角平分线的意义，利用代数的方法解决几何的问题也是常用的方法，有时则会更简捷．46．（2022秋•泉州期末）如图，长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．∠FEG＝20°，则∠MEN＝100°或80°．【分析】分两种情形：当点G在点F的右侧；当点G在点F的左侧，根据∠MEN＝∠NEF+∠MEG+∠FEG或∠MEN＝∠NEF+∠MEG﹣∠FEG，求出∠NEF+∠MEG即可解决问题．【解答】解：当点G在点F的右侧，∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG，∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB﹣∠FEG），∵∠AEB＝180°，∠FEG＝20°，∴∠NEF+∠MEG＝（180°﹣20°）＝80°，∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝80°+20°＝100°；当点G在点F的左侧，∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG，∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB+∠FEG），∵∠AEB＝180°，∠FEG＝20°，∴∠NEF+∠MEG＝（180°+20°）＝100°，∴∠MEN＝∠NEF+∠MEG﹣∠FEG＝100°﹣20°＝80°，综上，∠MEN的度数为100°或80°，故答案为：100°或80°．【点评】本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．47．（2021秋•义安区期末）已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF＝34°，则∠BOE＝68°；若∠COF＝m°，则∠BOE＝2m°；∠BOE与∠COF的数量关系为∠BOE＝2∠COF．（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．【分析】（1）由∠COF＝34°，∠COE是直角，易求∠EOF，而OF平分∠AOE，可求∠AOE，进而可求∠BOE，若∠COF＝m°，则∠BOE＝2m°；进而可知∠BOE＝2∠COF；（2）由于∠COE是直角，于是∠EOF＝90°﹣∠COF，而OF平分∠AOE，则有∠AOE＝2∠EOF，从而可得∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2（90°﹣∠COF）＝2∠COF．【解答】解：（1）∵∠COF＝34°，∠COE是直角，∴∠EOF＝90°﹣34°＝56°，又∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝112°，∴∠BOE＝180°﹣112°＝68°，若∠COF＝m°，则∠BOE＝2m°；故∠BOE＝2∠COF；故答案是68°；2m°；∠BOE＝2∠COF；（2）∠BOE和∠COF的关系依然成立．∵∠COE是直角，∴∠EOF＝90°﹣∠COF，又∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2（90°﹣∠COF）＝2∠COF．【点评】本题考查了角的计算．解题的关键是注意找出所求角与已知角之间的关系，例如：互余、互补关系．48．（2020秋•庐江县期末）已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．【分析】（1）根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可．（2）根据∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG，求出∠NEF+∠MEG即可解决问题．（3）分两种情形分别求解即可．【解答】解：（1）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF∴∠NEF＝∠AEF，∠MEF＝∠BEF∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝∠AEF+∠BEF＝（∠AEF+∠BEF）＝∠AEB∵∠AEB＝180°∴∠MEN＝×180°＝90°（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB﹣∠FEG）∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°∴∠NEF+∠MEG＝（180°﹣30°）＝75°∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°（3）若点G在点F的右侧，∠FEG＝2α﹣180°，若点G在点F的左侧，∠FEG＝180°﹣2α．【点评】本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．49．（2020秋•庐阳区校级期末）如图所示，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线．求：（1）∠COD的度数；（2）求∠MON的度数．【分析】（1）根据∠COD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠BOD，代入即可求解；（2）先根据角平分线的意义求出∠COM和∠DON，再根据∠MON＝∠COM+∠DON+∠COD，即可求解．【解答】解：（1）因为∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，所以∠COD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠BOD＝180°﹣30°﹣60°＝90°（3）因所OM，ON分别平分∠AOC，∠BOD所以∠COM＝15°，∠DON＝30°，所以∠NOM＝∠COM+∠DON+∠COD＝15°+30°+90°＝135°．【点评】此题主要考查角的运算，根据图形理清各个角之间的关系是解题的关键．50．（2020秋•金寨县期末）已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．（1）当点C、E、F在直线AB的同侧时（如图1所示）①若∠COF＝28°，则∠BOE＝56°°②若∠COF＝α°，则∠BOE＝2α°．（2）当点C与点E、F在直线AB的两旁（如图2所示）时，（1）中②是否仍然成立？请给出你的结论并说明理由．【分析】（1）①由余角的定义先求得∠FOE＝62°，由角平分线的定义可求得∠AOE＝124°，最后根据补角的定义可求得∠BOE的度数；②由余角的定义先求得∠FOE＝（90﹣α）°，由角平分线的定义可求得∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2α，最后根据补角的定义可求得∠BOE＝2α；（2）由余角的定义先求得∠FOE＝（90﹣α）°，由角平分线的定义可求得∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2α，最后根据补角的定义可求得∠BOE＝2α．【解答】解：（1）①∵∠COE＝90°，∠COF＝28°，∴∠EOF＝90°﹣28°＝62°．∵OF是∠AOE的平分线，∴∠AOE＝2∠EOF＝124°．∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣124°＝56°．②∵∠COE＝90°，∠COF＝α°，∴∠EOF＝90°﹣α°＝（90﹣α）°．∵OF是∠AOE的平分线，∴∠AOE＝2∠EOF＝2×（90﹣α）＝180°﹣2α．∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α．故答案为：①56°；②2α．（2）成立．理由：∵∠COE＝90°，∠COF＝α°，∴∠EOF＝90°﹣α°＝（90﹣α）°．∵OF是∠AOE的平分线，∴∠AOE＝2∠EOF＝2×（90﹣α）＝180°﹣2α．∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α．【点评】本题主要考查的是角的计算、补角和余角的定义，依据余角和邻补角的定义求得∠EOF和∠BOE的度数是解题的关键．5