专题01 实数（讲义）（解析版）

专题01实数核心知识点精讲了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；3.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；4.了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系；5.了解整数指数幂的意义和基本性质；6.掌握实数的运算法则，并能灵活运用.考点1：实数的分类1.按定义分类：2.按性质符号分类：考点2：实数的相关概念1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．3.倒数（1)实数的倒数是；0没有倒数；（2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数.4.平方根（1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作．（2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．考点3：实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．考点4：实数的大小比较（1）对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.（2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.（3）对于实数a、b，若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.（4）对于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c.（5）无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0，a2>b2a>b；或利用倒数转化：如比较与.考点5：实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)．2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac．4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方（1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，a所表示的意义是n个a相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．（2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．（3)零指数与负指数要点诠释：加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．考点6：有效数字与科学计数法：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用±a×10（其中1≤＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．【题型1：实数的有概念】【典例1】（1）a的相反数是，则a的倒数是_______．（2）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示:则化简=______．【答案】（1）5；（2）-a-b；【解析】（1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.（2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号.由图知：1．5﹣的小数部分是_______．【答案】2﹣；【解析】由1＜＜2，得﹣2＜﹣＜﹣1．不等式的两边都加5，得5﹣2＜5﹣＜5﹣1，即3＜5﹣＜4，5﹣的小数部分是（5﹣）﹣3=2﹣，故答案为：2﹣．2．若互为相反数，则a+b的值为________．【答案】0；【解析】由绝对值非负特性，可知，又由题意可知：所以只能是：a–2=0，b+2=0，即a=2，b=–2，所以a+b=0.3．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值是1，则的值为________．【答案】0；【解析】原式=.【题型2：实数的分类】【典例2】下列实数、sin60°、、、3.14159、-、、中无理数有（）个A．1B．2C．3D．4【答案】C.【解析】无理数有sin60°、、.【点睛】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．1．实数，，，中，负整数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据负整数是在自然数前加上负号进行判断．【详解】A.-3是负整数，正确；B.不是整数，错误；C.不是整数，错误；D.2是正整数，错误；故选：A．【点睛】本题考查了实数，应熟练掌握有理数、无理数、正整数、负整数等基本概念．2．实数的绝对值是（

）A． B． C．6 D．【答案】A【分析】根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可求解．【详解】故选：A．【点睛】本题主要考查了实数的绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．3．下列四个数：中，属于无理数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．【详解】解：所给4个数中，是无理数，，，是有理数，故选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意，故选：D【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．4．公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指（

）A．有理数 B．无理数 C．质数 D．实数【答案】B【分析】根据无理数的概念即可解答．【详解】解：整数属于有理数，整数的比是分数，属于有理数，故“不能用整数或整数的比表示的数”指的是无理数．故选：B．【点睛】此题考查了实数的分类和性质，解题的关键是熟知以下概念：实数包括有理数和无理数，分数和整数属于有理数．【题型3：实数与数轴】【典例3】实数、、、伍数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据绝对值的意义即可判断出绝对值最小的数.【详解】解：由图可知，，，，，比较四个数的绝对值排除和，根据绝对值的意义观察图形可知，离原点的距离大于离原点的距离，，这四个数中绝对值最小的是.故选：B.【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义，绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，离原点越近说明绝对值越小.1.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（

）．

A． B． C． D．【答案】D【详解】A、，错误；B、，错误；C、，错误；D、，正确；故选D．【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小关系．正确的识图，掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键．2．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数轴可得，，再根据逐项判定即可．【详解】由数轴可知，∴，故A选项错误；∴，故B选项错误；∴，故C选项正确；∴，故D选项错误；故选：C．【点睛】本题考查实数与数轴，根据进行判断是解题关键．【题型4：科学记数法】【典例4】去年上海市林业用地面积约为50200000亩，用科学记数法表示为约____________．【答案】1.02×107亩.1．我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665575306人．将665575306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（）A．66.6×107 B．6.66×108 C．0.666×108 D．6.66×107【答案】B；【解析】科学记数法的表示形式为×10n的形式，其中1≤||＜10，n为整数．确定n的值是关键点，由于665575306有9位，所以可以确定n=9﹣1=8.有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字，故选B．2．据市旅游局统计，今年“五·一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到8.55亿元，用科学记数法可以表示为（）A．8.55×106

B．8.55×107

C．8.55×108

D．8.55×109【答案】C.考查科学记数法的概念.【题型5：实数的大小比较】【典例5】比较下列每组数的大小：（1）与（2）a与（a≠0）（【答案与祥解】（1），，而与可以很容易进行比较得到：，所以；（2）当a<-1或O<a<1时，a<；当-1<a<0或a>1时，a>；当a=时，a=.【点评】（1）有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较；（2）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较.1．比较下列每组数的大小：（1）和（2）和【详解】（1）将其通分，转化成同分母分数比较大小，，，，所以.（2）因为，所以.2.若，比较a、b、c的大小。【答案与解析】＜-1；＞-1且＜0；c＞0；所以容易得出：a＜b＜c.【题型6：平方根的应用】【典例6】则=______.【答案】－1；【解析】根据非负数的性质，要使，必须，即.因此.已知，求的值.【答案与详解】∵≥0，≥0，≥0，.∴解得则.【点睛】利用≥0，≥0，≥0（为自然数）等常见的三种非负数及其性质，分别令它们为零，得一个三元一次方程组，解得、、的值，代入后本题得以解决。已知：x，y是实数，，若axy-3x=y，则实数a的值是_______.【答案】A.【详解】∵+（y－3）2=0，∴3x+4=0，y－3=0，∴x=－，y=3．∵axy－3x=y，∴－×3a－3×（－）=3，∴a=∴答案选A.【题型7：实数的运算】【典例7】计算：+|2﹣3|﹣（）﹣1﹣（2015+）0．【答案与详解】解：原式=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．【点睛】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂等．只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算．1．计算：|﹣1|+20120﹣（﹣）﹣1﹣3tan30°．【详解】解：原式=﹣1+1﹣（﹣3）﹣3×=+3﹣=3．2.计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．【答案】5．【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算．【详解】解：原式＝4×+3+2﹣2＝2+3+2﹣2＝5．3．计算：【详解】设n=2001，则原式=（把n2+3n看作一个整体）==n2+3n+1=n(n+3)+1=2001×2004+1=4010005.1．在中，负有理数共有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】先去括号、计算有理数的乘方、化简绝对值，再根据负有理数的定义即可得．【详解】解：，，，，，是负无理数，则负有理数是，共有4个，故选：B．【点睛】本题考查了有理数的乘方、绝对值、实数的分类，熟练掌握各运算法则和定义是解题关键．2．3184900精确到十万位的近似值为（）A．3.18×106 B．3.19×106 C．3.1×106 D．3.2×106【答案】D【详解】先利用科学记数法将3184900表示为,然后根据近似数的精确度求解,因为精确到十万位,所以近似值是3.2×106,故选D.3．的绝对值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据绝对值的意义求解即可．【详解】解：∵>1，∴｜｜＝，故选：B．【点睛】本题考查绝对值，估算无理数，熟练掌握一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反相数，0的绝对值中0是解题的关键．4．下列等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值即可求解．【详解】A.，故错误；

B.，故错误；C.，正确；

D.∵，∴无意义；故选C．【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值．5．若与|b+1|互为相反数,则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由非负数的性质可知a=-，b=-1，然后求得的值即可．【详解】解：∵与|b+1|互为相反数∴，∵∴∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查的是非负数的性质以及分母有理化，掌握非负数的性质是解题的关键．A． B． C． D．1.在实数－，0，，－3.1415，，，－0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），sin30°这8个实数中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C；【解析】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．首先明确无理数的概念，即“无限不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如是有理数，关键在于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数．同样，用三角符号表示的数也不一定就是无理数，如sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…尽管有规律，但它是无限不循环小数，是无理数．是无理数，而不是分数．在上面所给的实数中，只有，，－0.1010010001…这三个数是无理数，其他五个数都是有理数，故选C.2．若k＜＜k+1（k是整数），则k=（）.【答案】D.【解析】∵k＜＜k+1（k是整数），9＜＜10，∴k=9．故选：D．A．6 B．7 C．8 D．93．用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位）C．0.050（精确到0.001）D．0.05（精确到千分位）【解析】根据近似数与有效数字的概念对四个选项进行逐一分析即可：A、0.05049精确到0.1应保留一个有效数字，是0.1，故本选项正确；B、0.05049精确到百分位应保留一个有效数字，是0.05，故本选项正确；C、0.05049精确到0.001应是0、050，故本选项正确；D、0.05049精确到千分位应是0.050，故本选项错误.故选D.4．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图中给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是()

【答案】C；【解析】设左下角小方格内的点数为x（如图），则依题意得2+5+x=x+1+p,解得p=6.二、填空题5．已知：若符合前面式子的规律，则a+b=________．【答案】109；【解析】规律，所以a=99，b=10，a+b=109.6．将正偶数按下表排列：第1列第2列第3列第4列第1行2第2行46第3行81012第4行14161820……根据上面的规律，则2006所在行、列分别是________．【答案】第45行第13列【解析】观察数列2，4，6，8，10，...每个比前一个增大2，2006是这列数字第1003个.每行数字的个数按照1，2，3，4，5，...，n递增，根据等差数列求和公式，第n行（包括n行）以前的所有数字的个数.如果2006在第n行，那么设,解得n约为44.5，n取整数，因此n=45。到第44行（含44行）共有数