山东省莱芜莱城区五校联考2024届中考数学押题试卷含解析

山东省莱芜莱城区五校联考2024届中考数学押题试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知关于x的二次函数y=x2-2x-2,当aWx%+2时，函数有最大值1,则a的值为（）

A.-1或1B.1或-3C.-1或3D.3或-3

2.如图，一次函数yi=x与二次函数y2=ax?+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax?+（b—1）x+c的图象

可能是（）

3.点A（—2,5）关于原点对称的点的坐标是（）

A.（2,5）B.（2,-5）C.（-2,-5）D.（-5,-2）

4.等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（）

A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数

k

5.已知常数kVO,b>0,则函数y=kx+b,y=—的图象大致是下图中的（）

6.如图，有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE,再将AA£E）以

DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F,则ACEF的面积为（）

A.4B.6C.8D.10

7.下列运算正确的是()

A.a2+a3=a5B.(a3)2-ra6=lC.a2*a3=a6D.(-+-)2=5

8.目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004雨，将0.00000004用科学记数法表示为（）

A.0.4xl08B.4x108c.4x108D.-4x108

9.下列四个命题，正确的有（）个.

①有理数与无理数之和是有理数

②有理数与无理数之和是无理数

③无理数与无理数之和是无理数

④无理数与无理数之积是无理数.

A.1B.2C.3D.4

10.如图所示，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,将AABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E

处，点B落在点D处，则BD两点间的距离为（）

A.2B,2&C.回D.245

11.如图，在矩形纸片45。中，已知43=若，BC=1,点E在边CZ＞上移动，连接AE,将多边形A3CE沿直线

AE折叠，得到多边形A/GE,点5、C的对应点分别为点尸、G.在点E从点C移动到点。的过程中，则点尸运动的

路径长为（）

A.7TB.JjltC.—7tD.

33

12.如果a—人=2,那么匕土一”2的值为（）

aa

A.1B.2C.-1D.-2

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，在。中，AB为直径，点C在_0上，/ACB的平分线交。于D,则ZABD=

14.数据：2,5,4,2,2的中位数是,众数是,方差是.

15.被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作.《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕,

集称之衡，雀俱重，燕俱轻•一雀一燕交而处，衡适平•并燕、雀重一斤•问燕、雀一枚各重几何？”

译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻•将一只雀、一只燕交换位置而放，

重量相等.5只雀、6只燕重量为1斤•问雀、燕每只各重多少斤？”设每只雀重x斤，每只燕重y斤,可列方程组为.

16.若y=Jx-3+,3-x+4>贝！1x+y=.

17.如图，四边形A8CD内接于。O,A5是。。的直径，过点C作。。的切线交A5的延长线于点尸，若NP=40。，

则NAZ>C=°.

18.若一个正n边形的每个内角为144。,则这个正n边形的所有对角线的条数是.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）阅读下列材料，解答下列问题：

材料1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式.如果把整式的乘法看成一

个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程.

公式法(平方差公式、完全平方公式)是因式分解的一种基本方法.如对于二次三项式层+2必+庐，可以逆用乘法公式

将它分解成(。+方)2的形式，我们称层+2成+"为完全平方式.但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平

方了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：

x2+2ax-3a2

=x1+2ax+a2-a2-3a2

=(x+a)2-(2a)2

=(x+3a)(x-a)

材料2.因式分解：(x+y)2+2(x+j)+1

解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A,则

原式=42+24+1=(A+1)2

再将还原，得：原式=(x+j+1)2.

上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：

(1)根据材料1,把，2-6c+8分解因式；

(2)结合材料1和材料2完成下面小题：

①分解因式：(a-b)2+2(a-b)+1；

②分解因式：(瓶+%)Qm+n-4)+3.

20.(6分)定义：对于给定的二次函数y=a(x-h)2+k(ar0),其伴生一次函数为y=a(x-h)+k,例如：二次函

数y=2(x+1)2-3的伴生一次函数为y=2(x+1)-3,即y=2x-1.

(1)已知二次函数y=(x-1)2-4,则其伴生一次函数的表达式为；

(2)试说明二次函数丫=(x-1)2-4的顶点在其伴生一次函数的图象上；

(3)如图，二次函数y=m(x-1)2-4m(mr0)的伴生一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B、A,且两函数图

象的交点的横坐标分别为1和2,在NAOB内部的二次函数y=m(x-1)?一4m的图象上有一动点P,过点P作x轴

3

的平行线与其伴生一次函数的图象交于点Q,设点P的横坐标为n,直接写出线段PQ的长为万时n的值.

21.（6分）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17

吨.请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车

共计10辆，全部货物一次运完，其中每辆大货车一次运费花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公

司应如何安排车辆最节省费用？

22.（8分）如图，在RtAABC中，ZABC=90°,AB^CB,以A8为直径的。。交AC于点O,点E是AB边上一点（点

E不与点4、5重合），OE的延长线交。。于点G,DFLDG,且交3c于点F.

（2）连接G5,EF,求证：GB/ZEFi

（3）若AE=1,EB=2,求OG的长.

23.（8分）如图，以△ABC的一边AB为直径作。O,。。与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作。。的

切线交AC边于点E.

（1）求证：DE±AC；

3OF

⑵连结OC交DE于点F,若sinNABC=：,求二;的值.

4FC

3

24.（10分）某纺织厂生产的产品，原来每件出厂价为80元,成本为60元.由于在生产过程中平均每生产一件产品有0.5m

的污水排出，现在为了保护环境，需对污水净化处理后再排出.已知每处理In?污水的费用为2元，且每月排污设备损耗为

8000元.设现在该厂每月生产产品x件，每月纯利润y元：

（1）求出y与x的函数关系式.（纯利润=总收入-总支出）

（2）当y=106000时，求该厂在这个月中生产产品的件数.

25.（10分）作图题：在/A3C内找一点P,使它到NA5C的两边的距离相等，并且到点A、C的距离也相等.（写出

作法，保留作图痕迹）

RA

26.（12分）如图，一次函数y=-x+4的图象与反比例函数y=K（k为常数，且厚0）的图象交于A（1,a）,B（3,

x

b）两点.求反比例函数的表达式在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标求^PAB的面积.

27.（12分）某楼盘2018年2月份准备以每平方米7500元的均价对外销售，由于国家有关房地产的新政策出台后，

购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格连续两个月进行下调，4月份下调到每平方米6075元的均

价开盘销售.

（1）求3、4两月平均每月下调的百分率；

（2）小颖家现在准备以每平方米6075元的开盘均价，购买一套100平方米的房子，因为她家一次性付清购房款，开

发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每

月1.5元，小颖家选择哪种方案更优惠？

（3）如果房价继续回落，按此平均下调的百分率，请你预测到6月份该楼盘商品房成交均价是否会跌破4800元/平方

米，请说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、A

【解析】

分析：

详解：•.•当aWxWa+2时，函数有最大值1,，l=x?-2x-2,解得：%=3,々=一1,

BP-1<X<3,.*.a=-l或a+2=-l,.*.a=-l或1,故选A.

点睛：本题考查了求二次函数的最大(小)值的方法，注意：只有当自变量x在整个取值范围内，函数值y才在顶点处

取最值，而当自变量取值范围只有一部分时，必须结合二次函数的增减性及对称轴判断何处取最大值，何处取最小值.

2、A

【解析】

由一次函数yi=x与二次函数y2=ax?+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax?+(b-1)x+c=O有两个不相等的根，进

22

而得出函数y=ax+(b-l)x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax+(b-l)x+c的对称轴x=-*

>0,即可进行判断.

【详解】

点P在抛物线上，设点P(x,ax2+bx+c),又因点P在直线y=x上，

x=ax2+bx+c,

ax2+(b-1)x+c=0；

由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，

；・方程ax?+(b-1)x+c=0有两个正实数根.

；・函数y=ax?+(b-1)x+c与x轴有两个交点，

又>0

2aa

b-1b1

••-----=-------1----->0

la2a2a

b-1

二函数y=ax?+(b-1)x+c的对称轴x=------->0,

,2a

••.A符合条件，

故选A.

3、B

【解析】

根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-x,-y).

【详解】

根据中心对称的性质，得点2(-2,5)关于原点对称点的点的坐标是。,-5).

故选:B.

【点睛】

考查关于原点对称的点的坐标特征，平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-X,-y).

4、B

【解析】

根据一次函数的定义，可得答案.

【详解】

设等腰三角形的底角为y,顶角为x,由题意，得

x+2y=180,

所以，y=-Jx+90。，即等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是一次函数关系，

故选B.

【点睛】

本题考查了实际问题与一次函数，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键.

5、D

【解析】

当kVO,b>0时，直线经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限，由此确定正确的选项.

【详解】

解：•.,当kVO,b>0时，直线与y轴交于正半轴，且y随X的增大而减小，

二直线经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限.

故选D.

【点睛】

本题考查了一次函数、反比例函数的图象与性质.关键是明确系数与图象的位置的联系.

6、C

【解析】

根据折叠易得BD,AB长，利用相似可得BF长，也就求得了CF的长度，△CEF的面积CF・CE.

【详解】

解：由折叠的性质知，第二个图中BD=AB-AD=4,第三个图中AB=AD-BD=2,

因为BC〃DE,

所以BF：DE=AB：AD,

所以BF=2,CF=BCBF=4,

所以ACEF的面积=^CF・CE=8；

2

故选：C.

点睛：

本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小

不变，位置变化，对应边和对应角相等；②矩形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式等知识点.

7,B

【解析】

利用合并同类项对A进行判断；根据塞的乘方和同底数塞的除法对B进行判断；根据同底数塞的乘法法则对C进行

判断；利用完全平方公式对D进行判断.

【详解】

解：A、a?与a3不能合并，所以A选项错误；

B、原式=a=a6=l,所以A选项正确；

C、原式=a5,所以C选项错误；

D、原式=2+2=+3=5+2T,所以D选项错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查同底数塞的乘除、二次根式的混合运算,:二次根式的混合运算先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二

次根式的乘除运算，再合并即可.解题关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性

质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

8、C

【解析】

科学记数法的表示形式为axlO«的形式，其中IWa卜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少

位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时,n是正数;当原数的绝对值＜1时,n是负数.

【详解】

0.00000004=4x108,

故选C

【点睛】

此题考查科学记数法，难度不大

9、A

【解析】

解：①有理数与无理数的和一定是有理数，故本小题错误；

②有理数与无理数的和一定是无理数，故本小题正确；

③例如-应+后=0,0是有理数，故本小题错误；

④例如（-0）x0=-2,-2是有理数，故本小题错误.

故选A.

点睛：本题考查的是实数的运算及无理数、有理数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键.

10、C

【解析】

解：连接50.在AA5C中，；NC=90。，AC=4,3c=3,.•.43=2.1•将AA3C绕点A逆时针旋转，使点C落在线段

AB上的点E处，点8落在点D：.AE=4,DE=3,：.BE=2.在RtABED中，1BE。+DE。=712+32=丽.故

选C.

点睛:本题考查了勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系.题

目整体较为简单，适合随堂训练.

11、D

【解析】

点尸的运动路径的长为弧F尸的长，求出圆心角、半径即可解决问题.

【详解】

如图，点F的运动路径的长为弧FF的长，

Be1

在RtAABC中，；tanNBAC=——=—=—

ABJ33

.\ZBAC=30°,

VZCAF=ZBAC=30°,

/.ZBAF=60°,

・•・ZFAFr=120°,

/.弧FF的长=12。万x\=273万.

1803

故选D.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、特殊角的三角函数值、含30。角的直角三角形的性质、弧长公式等知识，解题的关键是判断

出点尸运动的路径.

12、D

【解析】

先对原分式进行化简，再寻找化简结果与已知之间的关系即可得出答案.

【详解】

b1-a2a+b(b+a)(b-a)a,

----------+=x--------=b-a

aa--------aa+b

■：a—b—2

b—a=—(a—b)=—2

故选：D.

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、1

【解析】

由AB为直径，得到NACB=90，由因为CD平分/ACB,所以NACD=45，这样就可求出/ABD.

【详解】

解：AB为直径，

.•./ACB=90，

又CD平分/ACB,

.../ACD=45，

../ABD=/ACD=45.

故答案为1.

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的

一半•同时考查了直径所对的圆周角为90度.

14、221.1.

【解析】

先将这组数据从小到大排列，再找出最中间的数，即可得出中位数；找出这组数据中最多的数则是众数；先求出这组

数据的平均数，再根据方差公式S2=L[(XI-元)2+(X2-元)2+…+(xn-%)4进行计算即可.

n

【详解】

解：把这组数据从小到大排列为：2,2,2,4,5,最中间的数是2,

则中位数是2；

众数为2；

••,这组数据的平均数是(2+2+2+4+5)+5=3,

二方差是：|[(2-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=1.1.

故答案为2,2,1.1.

【点睛】

本题考查了中位数、众数与方差的定义，解题的关键是熟练的掌握中位数、众数与方差的定义.

15、｛整图

【解析】

设雀、燕每1只各重x斤、y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重,

燕轻.将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可.

【详解】

设雀、燕每1只各重x斤、y斤，根据题意，得

^x+y=5y+x

<

5%+6y=1

3x-4y=0

整理，得

5%+6y=1

3x-4y=0

故答案为

5x+6y=l

【点睛】

考查二元一次方程组得应用，解题的关键是分析题意，找出题中的等量关系.

16、1.

【解析】

试题解析：•••原二次根式有意义，

.\x-3>0,3-x>0,

/.x=3,y=4,

:.x+y=l.

考点：二次根式有意义的条件.

17、115°

【解析】

根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，ZP=40°,可以求得NOCP和NOBC的度数，又根据圆内接四边形对角

互补，可以求得/D的度数，本题得以解决.

【详解】

p解：连接OC,如右图所示,

由题意可得，ZOCP=90°,ZP=40°,

.,.ZCOB=50°,

.\ZOCB=ZOBC=65O,

•/四边形ABCD是圆内接四边形，

.,.ZD+ZABC=180°,

.,.ZD=115°,

故答案为：115。.

【点睛】

本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

18、2

【解析】

由正n边形的每个内角为144。结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将

其代入巫0中即可得出结论.

2

【详解】

•.•一个正n边形的每个内角为144°,

144n=180x(n-2),解得：n=l.

17(n—3)[0x7

这个正n边形的所有对角线的条数是：-A-_L——=2.

22

故答案为2.

【点睛】

本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数.本题属于基础题，难度不大，解

决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)(c-4)(c-2)；(2)①(a-b+1)2；②(m+n-1)(m+n-3).

【解析】

(1)根据材料1,可以对cZ6c+8分解因式；

(2)①根据材料2的整体思想可以对(a-b)2+2(a-b)+1分解因式；

②根据材料1和材料2可以对(m+n)(m+n-4)+3分解因式.

【详解】

(1)c2-6c+8

=c2-6c+32-32+8

=(c-3)2-1

=(c-3+1)(c-3+1)

=(c-4)(c-2)；

(2)①(a-b)2+2(a-b)+1

设a-b=t,

则原式=t?+2t+l=(t+1)2,

则(a-b)2+2(a-b)+1=(a-b+1)2；

②(m+n)(m+n-4)+3

设m+n=t,

则t(t-4)+3

=t2-4t+3

=t2-4t+22-22+3

=(t-2)2-l

=(t-2+1)(t-2-1)

=(t-1)(t-3),

贝!](m+n)(m+n-4)+3=(m+n-1)(m+n-3).

【点睛】

本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解.

20、y=x-5

【解析】

分析：(1)根据定义，直接变形得到伴生一次函数的解析式；

(2)求出顶点，代入伴生函数解析式即可求解；

(3)根据题意得到伴生函数解析式，根据P点的坐标，坐标表示出纵坐标，然后通过PQ与x轴的平行关系，求得Q

点的坐标，由PQ的长列方程求解即可.

详解：(1)•.•二次函数y=(x-1)2-4,

,其伴生一次函数的表达式为y=(x-1)-4=x-5,

故答案为y=x-5；

(2)•.•二次函数y=(x-1)2-4,

二顶点坐标为(1,-4),

,二次函数y=(x-1)2-4,

,其伴生一次函数的表达式为y=x-5,

当x=l时，y=l-5=-4,

(1,-4)在直线y=x-5上，

即：二次函数丫=(X-1)2-4的顶点在其伴生一次函数的图象上；

(3),二次函数y=m(x-1)2-4m,

,其伴生一次函数为y=m(x-1)-4m=mx-5m,

点的横坐标为n,(n>2),

.*.P的纵坐标为m(n-1)2-4m,

即：P(n,m(n-1)2-4m),

：PQ〃x轴，

；.Q((n-1)2+l,m(n-1)2-4m),

PQ=(n-1)2+l-n,

3

・・•线段PQ的长为5,

3

(n-1)2+1-n=—,

2

.3±V7

..n=---------.

2

点睛：此题主要考查了新定义下的函数关系式，关键是理解新定义的特点构造伴生函数解析式.

3

21、(1)1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运货一吨；(2)货运公司应安排大货车8辆时，小货车2

2

辆时最节省费用.

【解析】

(1)设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货X吨和y吨，根据“3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨、

2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨”列方程组求解可得；

(2)因运输33吨且用10辆车一次运完，故10辆车所运货不低于10吨，所以列不等式，大货车运费高于小货车，故

用大货车少费用就小进行安排即可.

【详解】

(1)解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，依题可得：

3x+4y=18

2x+6y=17'

x=4

解得：13.

y=—

U2

3

答：1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运货一吨.

2

(2)解：设大货车有m辆，则小货车10-m辆，依题可得：

3

4m+—(10-m)>33

2一

m>0

10-m>0

36

解得：—<m<10,

m=8,9,10；

...当大货车8辆时，则小货车2辆；

当大货车9辆时，则小货车1辆；

当大货车10辆时，则小货车0辆；

设运费为W=130m+100(10-m)=30m+1000,

Vk=30)0,

，W随x的增大而增大，

.,.当m=8时，运费最少，

/.W=130x8+100x2=1240(元)，

答：货运公司应安排大货车8辆时，小货车2辆时最节省费用.

【点睛】

考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，体现了数学建模思想，考查了学生用方程解实际问题的能力，解题

的关键是根据题意建立方程组，并利用不等式求解大货车的数量，解题时注意题意中一次运完的含义，此类试题常用

的方法为建立方程，利用不等式或者一次函数性质确定方案.

22、(1)详见解析；(2)详见解析；(3)：

【解析】

(1)连接BD,由三角形ABC为等腰直角三角形，求出NA与NC的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得

到NADB为直角，即BD垂直于AC,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BDWAC,进而

确定出NA=NFBD,再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用

全等三角形对应边相等即可得证；

(2)连接EF,BG,由三角形AED与三角形BFD全等，得至(JED=FD,进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利

用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；

(3)由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1,在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形

函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出

GE的长，由GE+ED求出GD的长即可.

(1)证明：连接BD,

在RtAABC中，ZABC=90°,AB=BC,

.\ZA=ZC=45°,

；AB为圆O的直径，

.\ZADB=90°,即BD_LAC,

.*.AD=DC=BD=TAC,ZCBD=ZC=45°,

:.ZA=ZFBD,

VDF±DG,

/.ZFDG=90°,

...NFDB+NBDG=90。，

VZEDA+ZBDG=90°,

/.ZEDA=ZFDB,

在小AED和4BFD中，

ZA=ZFBD,AD=BD,ZEDA=ZFDB,

/.△AED^ABFD(ASA),

；.AE=BF；

(2)证明：连接EF,BG,

BFC

,/△AED^ABFD,

.\DE=DF,

VZEDF=90°,

--.△EDF是等腰直角三角形，

/.ZDEF=45°,

,.,ZG=ZA=45°,

.\ZG=ZDEF,

；.GB〃EF；

(3)VAE=BF,AE=1,

；.BF=1,

在RtAEBF中,ZEBF=90°,

，根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2,

;EB=2,BF=1,

;△DEF为等腰直角三角形，NEDF=90。,

，cosNDEF丹，

；EF=\3,

/.DE=,x；

)J

VZG=ZA,NGEB=NAED,

.♦.△GEBs-ED,

.•.一=一，即GE・ED=AE・EB,

，m・GE=2,即GE=Y，

贝!IGD=GE+ED=.

Q

23、(1)证明见解析(2)-

7

【解析】

(1)连接OD,根据三角形的中位线定理可求出OD〃AC,根据切线的性质可证明DELOD,进而得证.

(2)连接AD,根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解.

【详解】

解：(1)连接OD.；DE是。O的切线，

/.DE±OD,即NODE=90°.

「AB是。O的直径，

是AB的中点.

又是BC的中点，.

AODZ/AC.

:.ZDEC=ZODE=90°.

,\DE±AC.

(2)连接AD.VOD//AC,

.OFOP

"'~FC^~EC'

VAB为。O的直径，；.ZADB=ZADC=90°.

又；D为BC的中点，

/.AB=AC.

AD3

sinZABC=-----=—,

AB4

设AD=3x,贝！JAB=AC=4x,OD=2x.

VDE±AC,:.ZADC=ZAED=90°.

ZDAC=ZEAD,AADC^AAED.

.AD_AC

"AE~AD'

・•・AD2=AE-AC.

97

：.AE=-x.：.EC=-x.

44

.OF_OP

,*FC-EC-I'

--------Kc

24、(1)y=19x-l(x>0且x是整数)(2)6000件

【解析】

(1)本题的等量关系是：纯利润=产品的出厂单价x产品的数量-产品的成本价x产品的数量-生产过程中的污水处理费-

排污设备的损耗，可根据此等量关系来列出总利润与产品数量之间的函数关系式；

(2)根据(1)中得出的式子，将y的值代入其中，求出x即可.

【详解】

(1)依题意得：y=80x-60x-0.5x»2-l,

化简得：y=19x-l,

二所求的函数关系式为y=19x-L(x>0且x是整数)

(2)当y=106000时，代入得:106000=19x-l,

解得x=6000,

这个月该厂生产产品6000件.

【点睛】

本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题，可根据题意找出等量关系，列出函数式进行求解.

25、见解析

【解析】

先作出NA8C的角平分线，再连接AC,作出AC的垂直平分线，两条平分线的交点即为所求点.

【详解】

①以3为圆心，以任意长为半径画弧，分别交5C、A8于。、E两点；

②分别以。、E为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于F点；

2

③连接A尸，则直线AF即为NA5C的角平分线；

⑤连接AC,分别以A、C为圆心，以大于LAC为