2024年南通市高考《数学》第四次模拟试卷（含答案）

第第页高三练习卷（南通四模）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．福佑崇文阁专供1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．某志愿者小组有5人，从中选3人到A、B两个社区开展活动，其中1人到社区，则不同的选法有（）A．12种 B．24种 C．30种 D．60种3．已知两个非零向量满足，则在上的投影向量为（）A． B． C． D．4．已知球的半径为1，其内接圆锥的高为，则该圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．5．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．下列函数中，以为周期，且其图象关于点对称的是（）A． B． C． D．7．已知椭圆的左、右焦点分别为为过点的弦，为的中点，，则的离心率为（）A． B． C． D．8．一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，，事件“”，事件“”，事件“”，则（）A． B． C．，互斥 D．，相互独立二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，是两条直线，是两个平面，下列结论不正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10．设抛物线的焦点为，是上的一个动点，则下列结论正确的是（）A．点到的距离比到轴的距离大2B．点到直线的最小距离为C．以为直径的圆与轴相切D．记点在的准线上的射影为，则不可能是正三角形11．设是直线与曲线的两个交点的横坐标，则（）A． B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．复数与分别表示向量与，记表示向量的复数为，则______．13．某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率约为，且每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起的十年内每年年初的计划存栏数依次为，，，，则______，数列的通项公式______．14．在梯形中，，，则该梯形周长的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）设，函数．（1）当时，求过点且与曲线相切的直线方程：（2）是函数的两个极值点，证明：为定值．16．（15分）如图，在四棱台中，平面，，，，，．（1）记平面与平面的交线为，证明：；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．17．（15分）某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下：样本号12345第天12345参观人数2.42.74.16.47.9并计算得，．（1）求关于的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数；（2）已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为．假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率．附：回归直线方程，其中．18．（17分）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为4，上一点满足，且的面积为．（1）求的方程；（2）过的渐近线上一点作直线与相交于点，，求的最小值．19．（17分）设有穷数列的项数为，若正整数满足：，则称为数列的“min点”（1）若，求数列的“min点”；（2）已知有穷等比数列的公比为2，前项和为．若数列存在“min点”，求正数的取值范围；（3）若，数列的“min点”的个数为，证明：．

高三练习卷（南通四模）数学参考答案及评分建议一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．福佑崇文阁专供1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】C5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】ACD 10．【答案】BC 11．【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】25 13．【答案】1242， 14．【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）当时，，则导数．设切点为，则，所以切线方程为．又切线过点，则，整理得，，解得．所以过点且与曲线相切的直线方程为．（2）证明：依题意，，令，得．00极大值极小值不妨设，则．，所以为定值．16．证明：（1）因为，平面，平面，所以平面．又平面，平面平面，所以．解：（2）在中，，，．由余弦定理得，，则，得．又，则．因为平面，所以．又，所以平面．以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则．设平面的法向量为，则令，得，所以．又是平面的一个法向量．记平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为．17．解：（1）依题意，，，所以．当时，，答：第10天入校参观的人数约为14.99千人．（2）记“两名参观者从不同门进校”为事件，“两名参观者都从1号门离校”为事件，即求．则，，所以．答：他们从不同门进校的概率为．18．解：（1）在中，因为，所以．所以的面积，解得．在中，由余弦定理，得，所以．因为在双曲线上，所以，得．所以的方程为．（2）法1：设，则，当直线轴时，设直线与交于点，所以，即所以．当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，利用对称性不妨设在直线上．联立得．联立并消去，得，所以．则，同理，得．所以（当且仅当时，取等号，满足），综上，的最小值为1．（3）法2：设，则，当垂直轴时，设的方程为：，则．因为两式相减，得，所以．当的斜率存在时，设的方程为：，由消去并化简，得．所以则，同理．所以．综上所述，当轴时，的最小值为1．19．解：（1）因为，所以数列的“min点”为3，5．（2）依题意，，因为数列存在“min点”，所以存在，使得，所以，即．因为，所以，所以．又当时，取最大值，所以，又，所以．当时，有，所以数列存在“min点”，所以的取值范围为．（3）①若，则数列不存在“min点”，即．由得，，所以．②若存在，使得．下证数列有“min点”．