2023-2024学年岳阳市高一数学（下）期中考试卷附答案解析

2023-2024学年岳阳市高一数学（下）期中考试卷（考试时间120分钟，试卷满分150分）2024.5注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册，必修第二册第六章至第八章8.4.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设集合，则（

）A． B． C． D．3．已知向量不共线，向量，则（

）A． B． C． D．124．如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则中边上的高为（

）A．2 B．4 C． D．5．已知函数的最小正周期为，则图象的一个对称中心的坐标为（

）A．B．C． D．6．若，则（

）A． B． C． D．7．永丰文塔位于湖南省双峰县城永丰镇，修建于清朝同治年间，巍巍七层文塔，塔形呈六角形，塔底用高达五尺八寸的青条石奠基，永丰文塔与双峰书院遥相呼应，象征双峰文运昌隆．如图，某测绘小组为了测量永丰文塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，现测得，在点测得塔顶A的仰角为，则塔高（

）（取，）A． B． C． D．8．已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在高为3的正三棱台中，，且上底面的面积为，则（

）A．直线与异面B．直线与异面C．正三棱台的体积为D．正三棱台的体积为10．已知复数则（

）A．的虚部为 B．C．为实数 D．为纯虚数11．如图，在梯形中，分别在线段上，且线段与线段的长度相等，则（

）A．的最小值为 B．的最大值为18C．的最大值为 D．的面积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．在复数范围内，方程的解集为．13．已知向量，若，则；若，则．14．若函数恰有4个零点，则的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知的内角的对边分别为，且．(1)证明：为钝角三角形．(2)若的面积为，求．16．已知函数．(1)证明：的定义域与值域相同．(2)若，，，求m的取值范围．17．如图，在高为2的正三棱柱中，是棱的中点．(1)求该正三棱柱的体积；(2)求三棱锥的体积；(3)设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值．18．如图，在梯形中，，，，，在线段上．

(1)若，用向量，表示，；(2)若AE与BD交于点F，，，，求的值．19．在中，．(1)证明：为的重心．(2)若，求的最大值，并求此时的长．1．A【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】在复平面内，复数=∴复数所对应的点（1，1）位于第一象限．故选：A．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．D【分析】先化简集合A，再根据集合的并集运算求解.【详解】由，解得，，又，所以．故选：D.3．B【分析】由向量共线定理知，，再根据平面向量基本定理，对应系数相等即可求得.【详解】因为不共线，，所以，即，即，解得.故选：B.4．B【分析】还原的原图，中边上的高为，即可得出答案.【详解】还原的原图，如图所示，直观图中的点分别对应原图中的点，直观图中的轴、轴分别对应原图中的轴、轴．因为，所以，则，即中边上的高为4．故选：B.5．D【分析】由最小正周期可求，可得，利用，可求对称中心的坐标.【详解】由，得，所以．令，则，当时，，所以图象的一个对称中心的坐标为．故选：D.6．A【分析】由指数函数和对数函数的单调性即可得出答案.【详解】因为，所以，所以，又因为，所以，又，所以．故选：A.7．D【分析】根据题意在中利用正弦定理可得，进而结合直角三角形分析求解.【详解】在中，由正弦定理得，则，因为在点测得塔顶A的仰角为，所以．故选：D.8．A【分析】根据题意，利用内切圆的性质，求得圆锥的底面半径和高，结合体积公式，即可求解.【详解】如图所示，设内切球与PA相切于点，因为，所以，由内切球的表面积为，可得球的半径，则圆锥的高为，圆锥的底面半径为，所以该圆锥的体积.故选：A.9．BC【分析】由异面直线的定义可判断A，B；求出正三棱台的体积可判断C，D.【详解】对于A，直线与相交，A错误；对于B，因为平面，平面，平面，所以平面直线与异面，B正确；对于C、D，因为正三棱台下底面的面积为，所以正三棱台的体积，C正确，D错误．故选：BC.10．ABD【分析】借助复数四则运算计算出复数后，结合共轭复数定义、复数概念与模长公式计算即可得.【详解】对A：，，则的虚部为，故A正确；对B：，故B正确；对C：，不是实数，故C错误；对D：，是纯虚数，故D正确．故选：ABD.11．BCD【分析】利用坐标法，以A为原点建立坐标系，写出相关点坐标，得到相关向量的坐标，利用向量的坐标运算，再求解二次函数最值即可判断各个选项.【详解】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，设，则，对于A,B，，故A错误，B正确；对于C，，当时，取得最大值，且最大值为，故C正确；对于D，的面积，当时，取得最大值，且最大值为，故D正确．故选：BCD.12．【分析】在复数范围内解方程即可得出答案.【详解】由，得或，即或．故答案为：.13．##【分析】由垂直向量的坐标表示可求出的值；再由向量的夹角公式可得，解方程可得出答案.【详解】若，则，所以．若，则，得，所以（舍去）或，故．故答案为：；.14．【分析】由二倍角的正弦和余弦公式化简，令，得，根据的范围求出的范围，由三角函数的性质可得，解不等式即可得出答案.【详解】，令，得．若，则，依题意可得，解得．故答案为：.15．(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）由正弦定理可得，再由余弦定理即可证明；（2）由三角形的面积公式可得，再由余弦定理可得，解方程即可求出.【详解】（1）证明：因为，所以，所以，所以为钝角，故为钝角三角形．（2）解：因为的面积，所以．由（1）知，所以，由余弦定理，得，结合，解得．16．(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）由具体函数的定义域可得，解不等式即可求出的定义域，再结合对数函数的单调性即可求出的值域.（2）设，则，分别求出，即可得出答案.【详解】（1）证明：由，得，所以的定义域为．，因为在上单调递增．所以，所以的值域为，所以的定义域与值域相同．（2）解：由（1）知在上单调递增，所以当时，．设，当，即时，取得最小值，且最小值为．因为，，，所以，即m的取值范围为．17．(1)；(2)；(3)．【分析】（1）由正三棱柱的体积公式求解即可；（2）由的体积等于，分别求出的体积代入即可得出答案.（3）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示,当三点共线时，取得最小值，求解即可.【详解】（1）因为，所以．（2）因为，，所以（3）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示．当三点共线时，取得最小值，且最小值为．18．(1)，；(2)．【分析】（1）根据图形关系及平面向量线性运算法则计算可得；（2）依题意可得，根据数量积的运算律及定义得到方程，求出，再判断即可.【详解】（1）依题意，．（2）因为，所以，所以．因为，所以，所以，即，解得或．连接交于，因为，所以，所以，则．因为在线段上，所以，故．

19．(1)证明见解析；(2)最大值为，【分析】（1）设，分别为，，的中点，利用向量的加法与三角形中线的性质，证出，，由共线定理可得为三条中线的交点，即可证明；（2）分别在三角形中进行余弦定理，证出，从而设，由两角和的