2021年湖南省长沙市中考数学模拟考试试题分类-反比例函数

2020和2021年湖南省长沙市中考数学模拟考试试题分类一一专

题6反比例函数

选择题（共8小题）

1.（2021•开福区校级一模）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y=[上，

AB〃x轴，过点4作4。_1无轴于。.连接08,与相交于点C,若2AC=3CD则上

的值为（）

0Dx

一515

A.5B.6C.-D.—

22

2.（2021•开福区校级二模）点A在函数y=:(x>0)的图象上，且0A=4,过点A作A8

轴于点B,则△AB。的周长为（）

A.2V3B.2V3+4C.2V6D.2V6+4

3.（2021•开福区模拟）与点（2,-3）在同一反比例函数图象上的点是（）

A.（-1.5,4）B.（-1,-6）C.（6,1）D.（-2,-3）

4.（2021•长沙模拟）双曲线y=学与y在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y

轴的直线分别交双曲线于A、8两点，连接。4、OB,则△AOB的面积为（）

A.1B.2C.3D.4

5.（2020•开福区校级三模）下列函数，当尤＞0时，y随x的增大而增大的是（）

22

A.y=-2xB-yvC.y=2(x+1)D.y=-W+l

6.（2。2。•岳麓区校级二模）如图，若抛物线y=-J?+3与*轴围成封闭区域（边界除外）

则反比例函数（尤＞）的图象是

内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k,y=30

7.（2020•岳麓区校级模拟）如图，点A（ml）,B（b,3）都在双曲线y=-:上，点P,

。分别是x轴，y轴上的动点，则四边形A8P。周长的最小值为（）

C.2V10+2V2D.8V2

8.（2020•开福区模拟）如图，点A、2为直线y=尤上的两点，过A、2两点分别作y轴的

平行线交双曲线y=/尤＞0）于点C、。两点.若瓦）=2AC,则4OC2-。。2的值为（）

C.7D.8

填空题（共15小题）

9.（2021•天心区模拟）学校生物兴趣小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿

地，为了安全，他们沿着前进路线铺了若干木板，构筑成一条临时近道，木板对地面的

压强尸（尸。）是木板面积的反比例函数，其图象如图所示，则当木板面积为05层

10.（2021•长沙模拟）如图，A为反比例函数>=［（其中x>0）图象上的一点，在x轴正

半轴上有一点8,08=4.连接04,AB,MOA=AB=2V10,过点8作8CJ_08,交反

比例函数y=与（其中x>0）的图象于点C,连接0c交AB于点D,则k=；

AD

DB~----

11.（2021•雨花区一模）如图，直线y=斜—5与x轴交于点3,与双曲线y=§（尤>0）交

于点A,过点8作x轴的垂线，与双曲线丫=拌％>0）交于点C,5.AB^AC,则上的

12.（2021•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1,3）,B（2,1）,当双曲线

y=5经过点A时,上的值为一；当双曲线y=5与线段有公共点,则上的取值范围

W0）与OB、AB相交于点C、D,当△8OC为直角三角形时，则k的值

是.

171

14.（2021•望城区模拟）如图，反比例函数y=-三的图象与直线y=尹+6（6>0）交于A，

8两点（点A在点2右侧），过点A作x轴的垂线，垂足为点C,连接A。，BO,图中阴

影部分的面积为12,则b的值为.

15.（2021•天心区二模）如图，一次函数尸近x+b的图象与反比例函数尸字的图象相交于

A（2,3）,B（6,1）两点，当％尤+6V与时，x的取值范围为.

16.（2021•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知直线丫=履*>0）分别交反比例

函数y=*和y=（在第一象限的图象于点A,2,过点B作8。_1_彳轴于点。，交y=］的图

象于点C,连接AC.若△ABC是等腰三角形，则上的值是.

一

17.（2020•开福区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=微k（％>0）的图象

与边长是3的正方形OA8C的两边A3、8c分别相交于M、N两点，且/MON=30°.若

动点尸让0A边上，PM+PN的最小值为

1

18.（2020•宁乡市一模）如图，点M为双曲线上一点，过点M作x轴、y轴的垂线，

分别交直线y=-x+2机于。、C两点，若直线y=-x+2〃z交y轴于A,交无轴于则

AD'BC的值为.

19.（2020•岳麓区校级二模）如图，直线y=乙与双曲线y=（交于A、B两点,轴于

点C,则△ABC的面积为.

20.（2020•望城区模拟）在滑草过程中，小明发现滑道两边形如两条双曲线，如图，点4,

1”

A2,A?…在反比例函数y=.（x>0）的图象上，点Bi,B2,83…反比例函数y=亍（笈>1,

x>0）的图象上，AI3I〃A2B2…〃y轴，已知点Al,人2…的横坐标分别为1,2,1••,令

四边形A1B1B2A2、A28283A3、…的面积分别为Si、S2、….

（1）用含左的代数式表示51=.

（2）若519=39,则k=

21.（2020•雨花区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点尸是反比例函

数y=[1#0）图象上的一点，过点P作以，x轴于点A,点8为AO的中点若△出8

的面积为3,则上的值为.

22.（2020•长沙模拟）如图，点A,8分别在反比例函数k[（x＜0）与尸子（尤＞0）的

图象上，且△042是等边三角形，则点A的坐标为.

23.（2020•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，

0C是△048的中线，点8,C在反比例函数y=|（尤＞0）的图象上，则△048的面积

等于.

三.解答题（共5小题）

24.（2021•开福区校级二模）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线称为这两个点的

“幸福直线”.

（1）若点A（0,2）,幸福直线：>=无，求点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标，

并求出直线A8的解析式；

（2）若点C（1,加）在反比例函数y=]（x>0）图象上，若点C关于过原点的幸福直

线/的对称点D也在此反比例函数图象上，请求出此时△C。。的面积；

（3）平面直角坐标系中，点E的坐标是（0,2）,在x轴上任取一点尸，过点尸作x轴

的垂线/1,点E和点尸的幸福直线为12,直线h,12的交点为P,当下点在x轴上运动时，

此时点尸在一函数图象上运动；

①求点尸所在函数图象的解析式；

②若直线EP交点尸所在的函数图象于点°,求证：ZPOE=ZQOE.

25.（2021•岳麓区校级二模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段

的乘积等于这个点到这边所对顶点连线段的平方，则称这个点为这个三角形该边的“好

点”，如图1,在△ABC中，点。是BC边上的一点，连接A。，若贝ij称

点D是AABC中边BC的“好点

（1）如图1,在△ABC中，BC=4,若点。是边8C的“好点”，且8。=1,则线段

的长是;

（2）若一次函数y=x+6与反比例函数y=又交于A,3两点，与y轴交于点C,若点C

是△AB。中边A8的“好点”，求b的值；

（3）如图2,△ABC的外接圆是圆。点H在边上，连接CH并延长，交。。于点

CH

D,若点H是△8。中边的“好点”，OH//BD,QO的半径为r,且r=3OH,求1的

值.

图1图2

26.(2021•长沙模拟)对于平面直角坐标系上的点S与图形。，给出如下定义：若图形Q

上有一点T,使得ST=4,且以T为旋转中心，把点S顺时针旋转90°后的对应点S也

在图形Q上，则称点S为图形Q的“初心点”；

例如：如图1,给出点S(l,-4)与x轴，过点S作STLx轴于点T,则可得点T的坐

标为(1,0),此时ST=4,且使点S绕点T顺时针旋转90°后得到的对应点S(-3,0)

也在x轴上，因此点S为x轴的“初心点”.

(1)如图2,已知点A(4,0),B(-5,0),C(-1,-4),D(0,4),E(5,-4),

F(4,-4),G(1,4),H(-5,4).

①点C,D,E,F,G,"中，为线段A8的“初心点”的是；

②已知反比例函数y=*若该反比例函数图象上只有1个点为线段AB的“初心点”，求

a的取值范围；

(2)如图3,已知点N(m0)为x轴上的一个动点，以N为圆心的ON半径长为2vL

以尸(3,0),Q(0,4)为端点的线段PQ上同时存在2个点为ON的“初心点”，求”

的取值范

围

备用图

27.(2021•岳麓区校级模拟)如图，一次函数yi=Hx+6与反比例函数y2=£交于点A(3,

1)、B(-1,n),yi交y轴于点C,交x轴于点D

(1)求反比例函数及一次函数的解析式；

(2)求△03。的面积.

28.(2021•雨花区模拟)如图，一次函数、=履+b(W0)的图象与反比例函数＞=亍(mW

0,尤＞0)的图象在第一象限交于点A(n,2),与无轴交于点C(l,0),与y轴交于点

D,过点A作AB，尤轴于点8,△ABC的面积是3,连接8D

(1)求一次函数和反比例函数的函数表达式；

(2)求△BCD的面积.

2020和2021年湖南省长沙市中考数学模拟考试试题分类一一专

题6反比例函数

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

1•【解答】解：设点A的坐标为（〃，-）,则点5的坐标为您,-）,

a2a

・.・A5〃x轴，

・・・NBAC=/ODC,ZACB=ADCO,

.ABAC

••=，

ODDC

V2AC=3CD.

.AB3

••—―,

DO2

OD=a,

•\AB=1.5a,

・••点B的横坐标是2.5a,

2.5«=华,

解得，k=5,

故选：A.

2.【解答】解：•.•点A在函数y=g（x>0）的图象上，

一4

工设点A的坐标为（小-）（n>0）.

n

在RtZXABO中，ZABO=90°,04=4,

：.OA1=AB1+OB2,

4

又,.・A5・05=3〃=4,

n

/.（.AB+OB）2=AB2+OB2+2AB•OB=42+2X4=24,

：.AB+OB^?.y/6,或42+02=-2痣（舍去）.

.♦.△ABO的周长=A8+OB+OA=2&+4.

故选：D.

3•【解答】解：设反比例数为y=/

•.•反比例数为尸5的图象过点(2,-3),

:.k=xy=2X(-3)=-6,

四个答案中只有A的横纵坐标的积等于-6,

故选：A.

4•【解答】解：设直线与x轴交于点C.

轴，

；.AC_L无轴，BC_Lr轴.

•点A在双曲线>=学的图象上，

AAOC的面积=1xlO=5.

•.•点B在双曲线y=(的图象上，

1

.'.△COB的面积=2X6=3.

AAOB的面积=/\4。。的面积-△COB的面积=5-3=2.

故选：B.

5•【解答】解：A、y=-2x,y随x增大而减小，不符合题意；

B、y=l，当x>0时，y随尤增大而减小，不符合题意；

C、y=2(x+1)2,当x>-1时，y随x增大而增大，所以当x>0时，y随x增大而增大,

符合题意；

D、y=-，+l,当x>0时，y随x增大而减小，不符合题意.

故选：C.

6.【解答】解：抛物线y=-#+3,当y=0时，尤=±遍；

当尤=0时，y=3,

则抛物线>=-&2+3与无轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整

数)为(-1,1),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)和(-1,2)；共有6个，

反比例函数的解析式为：尸今

J6

故A选项符合题意；

故选：A.

7.【解答】解：•・,点A(ml),B(A3)都在双曲线>=一，上，

.\aX1=3/?=-3,

.•・〃=-3,b--1,

.\A(-3,1),B(-1,3),

作A点关于x轴的对称点。(-3,-1),2点关于y轴的对称点C(1,3),连接CD

分别交x轴、y轴于尸点、。点，此时四边形A2P。的周长最小，

'•QB=QC,PA^PD,

：.四边形ABPQ^^t=AB+BQ+PQ+PA=AB+CD,

：.AB=V(-3+l)2+(l-3)2=2V2,CD=7(1+3)2+(3+I)2=4传

四边形ABPQ周长最小值为2夜+4V2=6A/2,

8.【解答］解：延长AC交x轴于E,延长8。交x轴于F.

设A、8的横坐标分别是a,b,

:点A、8为直线y=x上的两点，

的坐标是(a,a),B的坐标是(b,b).则AE=QE=a,BF—OF—b.

111

VC>。两点在交双曲线y=A(x>0)上，贝!JCE=£,DF=p

1i

：.BD=BF-DF=b-^AC=a--.

ba

又・・・BO=2AC

b-T

b-2(ci---a-),

两边平方得：tP'+―2—2—4--2—2),即信+3=4(G2+—2)-6.

baba

在直角△OCE中，0c2=OE2+c£2=a2+与同理。)二户+斗，

azb

；.4"2-0£>2=4(/+--(廿+j)=6.

故选：B.

二.填空题（共15小题）

9.【解答】解：设尸=（，根据题已知可得图象经过（2,400）,

贝IJ左=P・S=2X400=800,

故片嘤

当S=05层时，木板对地面的压强为：尸=黑=1600（Pa）.

故答案为：1600.

10.【解答】解：过点A作AHLx轴，垂足为点反，A8交。C于点M,如图所示.

"：OA=AB,AHLOB,

1

：.OH=BH=^OB=2,

：.AH=VOX2-OH2=6,

...点A的坐标为（2,6）.

•・・A为反比例函数>=三（其中x>0）图象上的一点,

・•・左=2X6=12.

VBCXxtt，。8=4,点C在反比例函数尸三上,

k

・・・5C=赤=3.

・：AH//BC,OH=BH,

13

：.MH=^BC=当

9

：.AM=AH-MH=宗

U：AM//BC,

丛ADMs丛BDC,

ADAM3

DB~BC~2

11•【解答】解：由于A5=AC,BC垂直于x轴，则点A在5C的垂直平分线上,

由直线y=G%—5,可得B(6,0),

A、C均在双曲线)/=芯(x>0)上，

kk

则C(6,—),A(12,—),

612

将A点代入直线y=，久-5得:k=60,

故答案为60.

故答案为：60.

12.【解答】解：YA(1,3),B(2,1),

直线48为>=-2x+5,

令-2x+5=p整理得2x2-5尤+左=0,

当双曲线与线段A8相切时，△=25-8左=0,

：.k=^~,

当双曲线y=1经过点A(1,3)时，Z=1X3=3,

当双曲线尸海过点5(2,1)时，k=2Xl=2.

若双曲线y=(与线段AB有公共点，则k的取值范围是2WAS等.

故答案为3,2W后等.

13•【解答】解：过点A作AM，交02于点M,如图,

•••△042是边长为3的等边三角形,

一33A/333遮

.'.A,B,Af点坐标分别t为（3,0）,（一，---）,一）,

2244

当4BDC为直角三角形时,

：.ZDCB^90°,

:/BC£）=NB%1=90°,/B=/B,

:ABCDs工BMA,

BCBD

BM~BA

、「BCBD、

设---=---=n（OV〃V1）,

BMBA

—…333V33V3-…，333A/3

二•C点坐标为（一一一71,-------H）,。点坐标为（一+-71,--------n）,

24242222

:点C、。在反比例函数y=5L-（左W0）,

4

n-

得

解5

f

cWV3

81i-

故答案为：——V3.

100

14.【解答】解：过5作5DL0E于O,过A作轴于H,设AC交08于G,如图:

设M为A8的中点，A(xi,yi),B(X2,y2),

(IJ7----1-2-

由《i%得/+26尤+24=0,

\v=-^x+b

.'.XI+A?=-2b,

111

yi+y2=(-xi+/?)+(~X2+Z?)=2(xi+x2)+2b=b,

b

.9•M(-/?,—

2

而直线产分+b(Z?>0)交于坐标轴于E、F,

：.E(-2b,0),F(0,b),

b

・・・Eb的中点为Q-b,-),即的中点也为M,

2

：・EM=FM,BM^AM,

：.EB=FA,

又NFAH=NBED,NAHF=NEDB,

：.AEDB^AAHF(AAS),

：.AH=ED=OC,

11

*.*(SAAGO+SAGCO)+(SZ\GCO+S四边形GCO5)=^\k\+^\k\=12,

且图中阴影部分的面积为12,

SABDE=2SAGCO

11

：・一ED・BD=2义30c・GC,

22

：・BD=2GC,

OD=2OC,即X2=2XI

设工1=机，贝U%2=2M,

.'.A(m.T),B(2m,Y)

将A(m,——),B(2m,——)代入y=%:+Z?得：

mm72

(121,

------=7TTTl+b7

<7’,解得机=2g(舍去)或机=-2百,

-----=m+b

Im

.,_12

•g—谆一x(-2V3)=3V3.

故答案为：3b.

15.【解答］解：由图象可知，当红时，x的取值范围为0<x<2或x>6.

故答案为0〈尤<2或x>6.

16.【解答】解：联立y=fcr、y=（并解得：点A（萩，2y/k）,同理点8（正，3Vfc）,

点C（奈!Vfc），：.AB^AC,

①当AB=BC时，（烹-赢）2+（3Vfc—2Vfc）2=（3Vfc--^）2,解得：k=+1（舍

去负值）；

（3倔一竽）2,解得:

②当AC=BC时，同理可得：（2+(3Vfc—2Vfc)2=

k=土号（舍去负值）；

故答案为：;或返工

47

17.【解答】解：,・,正方形O4BC的边长是3,

・••点M的横坐标和点N的纵坐标为3,

kk

•'•M（3,,N（一,3）,

33

由正方形和反比例函数的对称性可知，ZAOM=ZCON,

♦：/MON=30°,

AZAOM=ZCON=30°,

..3X3-g,

:.k=3®

：.M(3,V3),N(V3,3),

：.AM^CN=V3,

作M关于x轴的对称点,连接M0'交x轴于P,则M0'的长=PM+PN的最小值,

"：AM=AM'=V3,,

：.BM'=3+V3,BN=3

：.NM'=y/BM'2+BN2=J(3+A/3)2+(3-A/3)2=2A/6,

故答案为2V6.

18.【解答】解：如图，过点M作无轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H,作。轴于E,

当y=0时，-x+2m=0,解得％=加，贝!]3(2加，0),

*：OA=OB,

为等腰直角三角形，

易得△AED和丛BCF都为等腰直角三角形，

：.AD=V2DE,BC=V2CF,

：.AD^BC=2DE*CF,

设M(x,y),

：.DE=MH=x,CF=MG=y,

：.AD*BC=2xy=2Xl=2.

故答案为2.

19.【解答】解：,・,直线y=丘与双曲线交于A,5两点，

・••点A与点8关于原点对称，

••S/^BOC=S/\AOCf

1

而S^BOC=2x3=1.5,

S^ABC—2s△BOC=3.

故答案为：3.

20.【解答】解：(1)・・・ALBI〃A252…〃y轴,

・・・4和Bi的横坐标相等，A2和比的横坐标相等，…，4和丛的横坐标相等，

二,点4,A2…的横坐标分别为1,2,•••,

・••点31,历…的横坐标分别为1,2,,,,,

1一

•.,点4,A2,A3…在反比例函数(x>0)的图象上，点Bi,Bi,83…反比例函数

y=^(k>l,x>0)的图象上，

Zz1

*.A\B\—k-1,AIB2=2~29

1111s111

S2=1X1Xg-1)+—(A：-1)]=2Xi(女-1),S3=2X1X[1(k—1)+—(/c—1)]=

17

2x通(kTA”，

n+九+1

Sn=xn(n+l)x(k—1),

V519=39,

119+20

...一xX(k-1)=39,

219X20

解得：％=761,

故答案为：761.

21•【解答】解：连接OP.

・・•点5为AO的中点，ZkRlB的面积为3s△OAP=2S△幺B=2X3=6,

1

又•:S〉OAP=)|忆|,

1

•*--lfel=6，

・・・因=12,

'：k<0,

：.k=-12,

故答案为-12.

22.【解答］解：延长A3到C,使得8C=A3,连接OC,作轴于M,CALLx轴于M设

2

・•・OB=BA=BC,

：.ZAOC=90°,

VZOAC=60°,

AZACO=30°,

・•・OC=V3OA,

VZAMO=ZAOC=ZCNO=90°,

ZAOM+ZMAO=90°,ZAOM+ZCON=90°,

：.ZOAM=ZCONf

：.△AMOS^ONC,

#AM_OMOA1

••ON-CN-OC-G

2

9：0M=-m,AM=

m

：.ON=--,CN=—Wm,

m

C(一冬2V3m),

m

7n-—+73m

・・・5(———,--------),

22

・・,点8在丁=一1上，

—+V3m

———x--------=-4,

22

整理得：m4+4V3m2-4—0,

解得m=1-V5(不合题意的根已经舍弃)，

A(1—V3»—V3—1).

故答案为(1-V3,-V3-1).

23.【解答］解：如图，过点3、点。作x轴的垂线，垂足为DE,则&)〃CE,

.CEAEAC

••BD~AD~AB"

・.,OC是△。45的中线，

.CEAEAC1

••BD~AD~AB~2

设CE=x,则80=2%,

21

C的横坐标为一，B的横坐标为一，

xx

12

AOD=~,0E=-

xx9

1

：.DE=0E-0D=-,

x

1

：.AE=DE=

x

3

：.OA=OE+AE=~,

x

113

••S/^OAB=^OA,9BD=x—x2x—3.

故答案为3.

y

3

D

三.解答题（共5小题）

・・3=1是一三象限的夹角平分线,

AZAOC=45°,

9：ZBOC=ZAOC=45°,

・・・3点落在％轴上，

08=04=2,

：.B(2,0),

设AB的解析式是y=kx+b,

.(b=2

F/c+b=0?

.(b=2

F=-19

.•・y=-x+2；

(2)如图2,

作CELy轴于E,作DFLx轴于F,作CGLOF于G,

4

Vm=j=4,

：.C(1,4),

4

,•>=亍对称是y=%,

：.ZCOM=ZDOM,

VZEOM=ZFOM=45°,

：.ZCOE=ZDOF9

又OC=OC,

ZCEO=ZDFO=90°,

：.ACOE^/\DOF(A4S),

AOF=OE=4,DF=CE=l,

：.D(4,1),

S^COD=S^COG+S梯形CGFT)-S^DOF

=s梯形CGFD

I

=1(DF+CG)•GF

1

=1x(1+4)x3

15

=T;

(3)①由题意得，

/2是EF的垂直平分线，

：.PE=PF,

设P(x,y),

.\y2=x1+(y-2)2,

.-.y=p+l;

作B4_Lx轴于A,作轴于5,作。轴于D,

1

设尸(x,-x27+1),

4

22

•・・尸石2=7+(ix-1)

4

=(-%2+1)2,

4

*=(-%2+1)2,

4

：.PE=PA,

同理：QE=QB,

.PCPCPC

，90C~PA~PE'

_DQ_DQ

OD~QB~0E’

■:PC//DQ,

:•丛PECS^QED,

.PCDQ

••=J

PEQE

.PCDQ

••—,

CODO

tanNPOE=tanZQOE,

：.ZPOE=ZQOE.

25.【解答】解：(1)VBC=4,BD=1,

:.CD=BC-BD=3,

由题可知：AD2=BD-CD=3,

：.AD=V3,

故答案为旧.

y=x+b

(2)联立1,

Vy=x-

设A(xi,xi+。)，B(%2,x2+b),

令1=0,贝Uy=x+Z7=8,

：.C(0,b),

•'•AC=+%]2=y/2\xi\,

22

BC=y]x2+x2=V2|x2b

••・AC・5C=2|XI・%2|=2,

由题可知：OC2=AC・BC=2,

OOO,

・•・OC=V2,

:.b=iV2,

(3)连接AD,

■:/CAH=NHDB,NAHC=/BHD,

：.XACHsXDBH,

.AHCH

••—,

DHBH

;点H是△BCD中CD边上的“好点”,

：.BH2=CH'DH,

：.AH'BH=BH2,

：.AH=BH,

：.OH±AB,

又YOHMBD,

C.ABLBD,

是（DO的直径，

•."=30”,

设OH=m,

则0A^3m,BD=2m,

在RtzXAOH中，

AH=VOX2+OH2=2y/2m,

：.BH=2y[2m,

在RtABHD中,

HD=s/BH2+BD2=2何?,

,/点H是ABCD中CD边上的“好点”,

.3BH2473

"H=不广飞f，

4V3

.CH-m2

"DH—2V3m—3'

26•【解答】解：(1)①C,D,F,H,

故答案为：C,D,F,H；

②由①可知，的所有“初心点”都在线段QH和线段CF上，

该反比例函数y=E图象上只有1个点为线段AB的“初心点”，

...该反比例函数图象"与线段。"和线段3只有一个公共点，

分两种情况：

(I)当。>0时，如图1所示，

由①可知在第一象限内，反比例函数y=(的图象上不存在线段的“初心点”，

在第三象限内，当反比例函数y=?的图象过点C(-1，-4),

此时的a是使得反比例函数图象上存在线段A3的“初心点”的最大值，

把点C(-1,-4)代入y=葭得a=4,

:该反比例函数y=W图象上只有1个点为线段的“初心点”，

：.a的取值范围是0<aW4；

(II)当a<0时，如图2所示，

在第二象限内，当反比例函数y=?图象过点H(-5,4),

此时a=-20,且此时的a是使得反比例函数图象上存在线段AB的“初心点”的最小值;

在第四象限内，当反比例函数y=?图象过点反(4,-4),

此时。=-16,且此时的。是使得反比例函数图象上存在线段A8的“初心点”的最大值,

•反比例函数y=E图象上只有一个点为线段A8的”初心点”，

：.a的取值范围是：-20Wa<-16；

综上，a的取值范围是0<aW4或-20<a<-16；

s

图5

I1

（2）对ON的所有”初心点”的可能位置进行考虑：

①ON内不存在ON的”初心点“；

②对于ON上任意一点S,如图3,由ON半径为2/可知，

以弦ST=4为直角边，

直径SW为斜边的△STS'一定是等腰直角三角形，

因此ON上任意一点都可以是ON的”初心点“；

③对于ON外一点S,若它是ON的”初心点“，

则在ON上存在点T与点S',使得ST=S'T=4,且/STS'=90°,如图4,

过点N作M0LST的延长线于点M,

则MN=MT=芋NT=2,

22

：.SN=y/MN+MS=J22+（2+4尸=2^10,

即点S在以点N为圆心，2VIU为半径的圆上，

综上，ON的所有“初心点”，在以点N为圆心，分别以2a和2，而为半径的两个同心

圆上，

因此，线段尸。上同时存在2个点为ON的”初心点“，就是线段尸。与两个同心圆有两

个公共点，

从几个临界位置讨论,

图7

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图8

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