2024年高考数学复习：截面、交线问题练习（3大考点+强化训练）

2024年高考数学复习专题练习★★

截面、交线问题（3大考点+强化训练）

“截面、交线”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给

静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结

合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.

知识导图

❶考点一：截面问题

★截面、交线问题

❷考点二交线问题

ill考点分类讲解

考点一：截面问题

规律方法作几何体截面的方法

（1）利用平行直线找截面.

（2）利用相交直线找截面.

考向1多面体中的截面问题

[例1]（2024・四川•模拟预测）设正方体ABCD-44GA的棱长为1，与直线垂直的平面夕截该正方

体所得的截面多边形为〃，则M的面积的最大值为（）

A.-A/3B.-A/3C.—D.6

842

【变式1】（2024高三•全国•专题练习）如图所示，在棱长为2的正方体A8CD-AqGR中，点N分别

为棱4。，。上的动点（包含端点），当M,N分别为棱4G，。的中点时，则过4，M,N三点作正

方体的截面，所得截面为边形.

【变式2】（23-24高三下•河南郑州•阶段练习）如图，已知四棱锥尸-ABCD的底面为矩形，M为PC的中

点，平面截得四棱锥上、下两部分的体积比为.

【变式3］（多选）（2023,河北承德•模拟预测）如图，正六棱柱A3CDE尸-4耳GREE的各棱长均为1,下

列选项正确的有（）

A.过A,G，£三点的平面a截该六棱柱的截面面积为生反

12

B.过A,G，用三点的平面。将该六棱柱分割成体积相等的两部分

C.以A为球心，1为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为g兀

D.以A为球心，2为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为）+亭卜

考向2球的截面问题

【例2】（2024高三•全国•专题练习）已知正方形ABCD的边长为4,若将△ABD沿8。翻折到A3。的位

置，使得二面角A-BD-C为60。，N为AO的四等分点（靠近。点），已知点A,B,C,。都在球。的

表面上，过N作球。的截面a,则a截球所得截面面积的最小值为（）

A.把兀B.兀C.扃D.3K

4

【变式1】（2024•河南新乡♦二模）己知一平面截球。所得截面圆的半径为2,且球心。到截面圆所在平面的

距离为L则该球的体积为.

【变式2】（2024高三・全国•专题练习）已知球。的直径SC=4,A、8是该球面上的两点，且AB=2,

ZASC=30°,/BSC=45。，则三棱锥S-ABC的体积为（）

八近R2V2_4^/2n5V2

3333

考点二交线问题

规律方法找交线的方法

（1）线面交点法：各棱线与截平面的交点.

（2）面面交点法：各棱面与截平面的交线.

考向1多面体中的交线问题

【例3】（23-24高三上•辽宁•阶段练习）已知在正方体A3CO-ABCQ中，AB=4,点〃Q,T分别在

棱3月，CG和A3上，且男尸=3，GQ=1，BT=3,记平面PQT与侧面，底面ABCD的交线分别

为加，”，则（）

A.机的长度为述B.m的长度为生叵

33

C.〃的长度为撞D."的长度为巫

33

【变式1］（2023•云南昆明•模拟预测）已知正方体ABC。-平面C满足AC//a,2G//a,若直

线AC到平面1的距离与到平面a的距离相等，平面a与此正方体的面相交，则交线围成的图形为

（）

A.三角形B,四边形C,五边形D.六边形

【变式2】（23-24高三下•北京海淀•阶段练习）"十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱"垂直贯穿"构成

的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条

相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某"十字贯穿体"由两个底

面边长为2,高为3行的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（）

M

A.一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直

B.该"十字贯穿体"的表面积是320

C.该"十字贯穿体"的体积是密旦

3

D.一只蚂蚁从该"十字贯穿体"的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为4夜

【变式3］（多选）（23-24高三上•湖北,期中）如图，正方体A8CD-4耳£，的棱长为4,点E、F、G分

别在棱RG、A4上，满足=g=:，黑="%>°），记平面跖G与平面ABC。的交线

/1.JLX.T-A

A.存在丸£（0,1）使得平面EFG截正方体所得截面图形为四边形

33

B.当2=—时，三棱锥3-£FG体积为一

42

3

C.当4时，三棱锥4-EFG的外接球表面积为34%

4

D.当2=1时，直线/与平面A3CD所成的角的正弦值为2叵

233

考向2与球有关的交线问题

【例4】（2024•陕西商洛•模拟预测）某圆柱的轴截面是面积为12的正方形ABC。尸为圆柱底面圆弧CD的

中点，在圆柱内放置一个球。，则当球。的体积最大时，平面与球。的交线长为（）

VL5TI2«^兀4石兀4A^5TI

A•----D.-----------。.----L）.-----

12555

【变式1］（2023•河南•模拟预测）如图，在三棱锥A-BCD中，A5,AC,AZ）两两垂直，且

AB=AC=AD=3,以A为球心，指为半径作球，则球面与底面3c。的交线长度的和为（）

D

5/371

~2~。・李

【变式2］（22-23高三上•河北保定•期末）己知三棱锥D-ABC的所有棱长均为2,以为直径的球面与

A5C的交线为L则交线乙的长度为（)

A2石兀473712指兀4痴兀

9999

【变式3］（多选）（23-24高三上•辽宁•开学考试）若平面与一个球只有一个交点，则称该平面为球的切平

面.过球面上一点恒能作出唯一的切平面，且该点处的半径与切平面垂直.已知在空间直角坐标系。-孙z

中，球。的半径为L记平面xOy,平面zOx,平面yOz分别为过球面上一点作

切平面阳），且兀。与。的交线为4,下列说法正确的是（）.

A.的一个方向向量为（0,-1,0）.

B.的方程为x+0y+n=0.

C.过Z正半轴上一点N（0,0,〃）作与原点距离为1的直线厂，设=={加|河=/'八0},若rc/°=0,则

〃的取值范围为（0,+8）.

D.过球面上任意一点P（x,y,z）作切平面兀，记P=兀。＞。，m=xc（3,n=TiC\y,dp,dm,dn分另”为

p,根〃到原点的距离，则dp，dm，dnN-^~

8

口强化训练

一、单选题

1.（22-23高三上•四川成都•阶段练习）已知正四面体A3CD的棱长为。，E为CD上一点,且

CE:ED=2:1,则截面的面积是（）

.412R夜2r2口M2

A.aD.—aC.------aD.------a

421212

2.（23-24高三下•江西•开学考试）已知一正方体木块ABC。-44G〃的棱长为4,点E在校人片上，且

AE=3.现过RE,4三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（）

5^/17C.2726D.晅

2

3.（23-24高三上•陕西西安•阶段练习）若平面a截球。所得截面圆的面积为12兀，且球心。到平面a的距

离为也,则球。的表面积为（）

A.48兀B.50兀C.56兀D.64兀

4.（2024•全国•模拟预测）在正方体A5CD-4与CQ1中，E,尸分别为棱4月，。，的中点，过直线反的

平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为「最大值为S,则.=（）

s

AV6R3A/309

2255

5.（2024・陕西榆林,一模）已知//是球。的直径AB上一点，AH:HB=1:2,AB人平面a,H为垂足，«

截球。所得截面的面积为兀，M为。上的一点，且〃”=变，过点M作球。的截面，则所得的截面面积

4

最小的圆的半径为（）

&V14a而r^4n而

A•---------D.C.---------U.

2442

6.（2024・四川成都・二模）在正方体ABCD-AAGA中，P、。分别是棱AA、CQ靠近下底面的三等分

点，平面口尸。1平面ABCZ）=/,则下列结论正确的是（）

A./过点5

B.1//AC

C.过点",P,Q的截面是三角形

D.过点S，P,Q的截面是四边形

7.（22-23高三上•广东广州•阶段练习）已知三棱锥尸-ABC的棱A3,AC,AP两两互相垂直，

AB=AC=AP=6,以顶点A为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长

为（）

.2En石兀r2&兀n26Tl

2333

jr

8.（2024•广西•模拟预测）在三棱锥V—ABC中，平面01C,VA=1,AB=AC=E，ZVAC=-,点

产为棱AV上一点，过点尸作三棱锥卜-ABC的截面，使截面平行于直线和AC,当该截面面积取得最大

值时，CF=()

A•----------D.c.6

342

二、多选题

1.（23-24高三上•广东湛江•阶段练习）如图，有一个正四面体形状的木块，其棱长为现准备将该木块锯

开，则下列关于截面的说法中正确的是（）

A.过棱AC的截面中，截面面积的最小值为叵

4

B.若过棱AC的截面与棱3。（不含端点）交于点尸，贝igvcos/APCwg

2

C.若该木块的截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为幺

4

D.与该木块各个顶点的距离都相等的截面有7个

2.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）如图，已知正三棱台ABC-A与G是由一个平面截棱长为6的正四面体所得,

其中的=2,以点A为球心，2a为半径的球面与侧面BCC内的交线为曲线为「上一点，则下列结论

中正确的是（）

A•点4到平面BCC{B{的距离为2瓜B.曲线「的长度为4兀

D.所有线段AP所形成的曲面的面积为生也

C.CP的最小值为2括-2

3

3.（2024高三・全国•专题练习）已知正方形ABCD的边长为2,E为A8的中点，将△AED沿QE折起，连

接AB,AC,得到四棱锥则（）

A.存在使4?，短＞的四棱锥

B.四棱锥体积的最大值是半

C.平面ABE与平面ACD的交线平行于底面

D.在平面ABC与平面ADE的交线上存在点尸，使得斯="

2

三、填空题

1.（23-24高三下•江西,开学考试）在正四面体P-ABC中，/为出边的中点，过点M作该正四面体外接

球的截面，记最大的截面半径为R,最小的截面半径为r,则£=；若记该正四面体和其外接球的

体积分别为匕和匕，则9=.

2.（23-24高三下•江苏•开学考试）在正三棱锥A—中，底面△BC。的边长为4,E为AD的中点，AB回CE,

则以AD为直径的球截该棱锥各面所得交线长为.

3.（2024•河南•模拟预测）在三棱柱ABC-A4G中，四面体AABC是棱长为2的正四面体，。为棱CG的

中点，平面夕过点。且与42垂直，则a与三棱柱ABC-A4G表面的