浙江省杭州地区(含周边)2022-2023学年高一年级上册期中数学试题(学生版+解析)

2022学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学

高一年级数学学科试题

命题：桐庐中学王燕萍、方婷华审校：严州中学刘景红审核：临安中学邵肖华

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名；

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题卷.

选择题部分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合。={123,4,5,6,7},A={2,3,4,5},6={2,3,6,7},则A@3）=（）

A.{L4}B.{1,5}C.{4,5}D.{1,4,5}

2.命题“土:>0,%2＞》3"的否定是（）

A.Vx>0,x2<x3B.Vx<0,

C.土■>0,x2<%3D.玉:W0，%2<%3

3.下列函数与/（%）==X+1是同一个函数的是（）

/、V—1

Ag(x)=B.g(无)="+1

x-11

C.g(x)=(4x)2+1D.且（九）=斤+1

)

4.若a,beR,贝上/+/〈8”是“。/744”的（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”

在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特

征.我们从这个商标人中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）

篇

cD./(%)=—

6.已知函数f(x)=yjax2-2x-5a+8对任意两个不相等的实数七，/e[2,+co)都有不等式

/(^)-/(%.)

2।〉0成立,则实数a的取值范围是()

A.(0,+co)B.(0,-]C.[-,4]D.[-,+«>)

222

7.设函数f(x)="⑶-3法+2,若/⑴=15,则/(_1)的值为()

JT+1

A.-9B.-11C.-13D.-15

8.已知奇函数/(x)在R上单调递增，对2,2],关于x的不等式且”乂£±^±曳〉。在

x

xw[-2,0)1(0,2]上有解，则实数6的取值范围为()

A.6>2或Z?<-1B.〃<-6或/?>3

C.-1<Z?<3D.〃<一2或Z?>3

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.若幕函数的图象过(3,"),下列说法正确的有()

A.切=1且。=一2B./(%)是偶函数

C./5)在定义域上是减函数D.八>)的值域为[0,+8)

10.己知a=(g)5,b=(1)5,c=(；)%，则下列结论正确的是()

,11〃

A.a>cB.a<bC.-<-D.X~b>b

cb

11.设a>0,b>0且2a+b=l,则下列结论正确的是()

A.4。+2b的最小值为2企B.4a2+廿的最大值为1

C.工+』的最小值为3+2后D.工+”笠的最大值为6

abab

12.一般地,若函数〃地的定义域为［a,勿，值域为［如%］，则称勿为域功的“左倍美好区间”.特别地，

若函数的定义域为3,口，值域也为［a,勿，则称［a,可为了⑺的“完美区间”.下列结论正确的是()

A.若［2,勿为/(%)=炉—4%+6的“完美区间”，则5=6

B.函数/(x)=!存在“完美区间”

X

1913

C.二次函数/(x)=—+彳存在“2倍美好区间”

7711XI—1

D.函数/(x)=:存在“完美区间”，则实数机的取值范围为(2,+8)。{0}

|x|

非选择题部分

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.计算：(,)4—(0.125)3+(1—拒)°=.

81

14.秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒.如图所示，

已知药物释放过程中，室内空气中的含药量y(mg/m3)与时间f(h)(0</<万)成正比；药物释放完毕后，

y与/的函数关系式为y=(』)”"(。为常数，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到025

(mg/n?)以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前小时进行消毒工作.

22

15.已知定义在R上的函数f(x)满足/(2+x)—/(2—x)=0,若g(x)=|x3+f|+|(4-x)3+7^~与

x(4—x)

/(龙)的交点为O1，%),(X2,y2)(x5,y5),贝1|%+々++%5=.

16.若不等式(》一6)(奴2+2)<0对任意的》6(0,+00)恒成立，则4a—Z?2的最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知/(x)=ax?+(q一］)》一1.

(1)当a=2时，求不等式/(x)>0解集；

(2)若命题pHxeR,使得f(x)-x220为假命题.求实数a的取值范围.

18.已知全集U为全体实数，集合A={尤||九—a|<2},3={x［2zl<0}.

x-6

⑴在①a=-2,②a=-l,③a=1这三个条件中选择一个合适的条件，使得AcBw0,并求许(Ac3)

和Au3；

(2)若“xeB”是“xeA”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

Y

19.已知定义在R奇函数/(尤)，当x>0时，f(x)=---2x.

⑴求/(T)的值；

⑵求Ax)在R上的解析式；

(3)若方程।/a)-Q|=机？—万加有且只有一个实数根，求实数相的取值范围.

20.截至2022年10月，杭州地铁运营线路共12条.杭州地铁经历了从无到有，从单线到多线，从点到面，

从面到网，形成网格化运营，分担了公交客流，缓解了城市交通压力，激发出城市新活力.已知某条线路通

车后，列车的发车时间间隔/(单位：分钟)满足2</<20,经市场调研测算，列车的载客量与发车时间间

隔”目关，当10W/W20时，列车为满载状态，载客量为600人，当2W/<10时，载客量会减少，减少的

人数与10-。的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为502人，记列车载客量为P。).

⑴求P«)的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时的载客量；

(2)若该线路每分钟净收益为。«)=8P«)-3524—60(单位:元)，则当发车时间间隔为多少时，该线路每

t

分钟的净收益最大，并求出最大值.

‘X4-"r)~x

21.已知函数/(x)=——-——.

k

⑴若/(X)为偶函数，求上的值并证明函数/(%)在［0,+8)上的单调性；

(2)在(1)的条件下，若函数g(x)=4、+=—2/W(x)在区间工+8)上的最小值为—9,求实数m的值；

4

(3)若Ax)为奇函数，不等式/(3x)Z时(2x)在xc［l,2］上有解，求实数机的取值范围.

22.已知f(x)=ax2-2x+3(〃>0).

(1)若〃x)在区间［1,2］上不单调，求实数a的取值范围；

⑵若在区间％/+2KreR)上最大值为最小值为N,且M—N的最小值为1,求实数。的值;

⑶若/(/(%))+/(%)-2x＜。对xe［2,6］恒成立，求实数a的取值范围.

2022学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学

高一年级数学学科试题

命题:桐庐中学王燕萍、方婷华审校:严州中学刘景红审核：临安中学邵

肖华

考生须知：

1.本卷满分150分,考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名；

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题卷.

选择题部分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合。={123,4,5,6,7},A={2,3,4,5},8={2,3,6,7},则A（许8）=（）

A.{1,4}B.{1,5}C.{4,5}D.

{1,4,5}

【答案】C

【解析】

【分析】利用补集和交集的定义可求得集合

【详解】由已知可得e5={1,4,5},因为4?（令3）{4,5}.

故选：C.

2.命题“玉;>0,炉>炉”的否定是（）

A.Vx>0,x2<x3B.Vx<0,x2<%3

C.Bx>0,x2<x3D.Hx<0,x2<x3

【答案】A

【解析】

【分析】

根据含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】因为命题“改>0,炉>工3”是存在量词命题，

所以其否定是全称量词命题，即Vx>0,12</，

故选：A.

3.下列函数与/(%)=x+l是同一个函数的是()

2

Y-11—

A-g(x)=-----B.g(x)=V?+l

x-1

C.g(x)=(Vx)2+1D.g(x)=G'+l

【答案】B

【解析】

【分析】判断函数的定义域、对应关系是否完全相同即可得答案

【详解】对于A,函数人尤)的定义域为R,函数g(x)的定义域为{x|xwl},定义域不同,

不是同一函数；

对于B,g(x)=U+l=x+l，两个函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；

对于C,函数g(x)的定义域为{#20},定义域不同，与〃幻不是同一函数；

对于D,g(x)=V?+l=|x|+1，对应关系不相同，不是同一函数.

故选：B

4.若a,Z?eR,贝『'储+/?2<8''是""44''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】对于充分性，利用基本不等式，可得证；对于必要性，可举反例，可得答案.

【详解】因为"+匕222出?，当且仅当时等号成立，所以2而W4,即而W2；

当。=3,b=—时，ab=l<2,但/+/二乡+―>4,

39

故"a2+b2<8”是“ab<4”的充分不必要条件.

故选：A.

5.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔

裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数

的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标八人中抽象出一个图象如图，其对应

的函数可能是()

【答案】B

【解析】

【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D,再根据/（O）=-1不成立排除选项C,

即可得正确选项.

【详解】由图知/（%）的定义域为{x|xW±l},排除选项A、D,

又因为当x=0时，/（0）=-1,不符合图象/（0）=1,所以排除选项C,

故选：B.

6.6知函数/（幻=JG;?—2x—5a+8对任意两个不相等的实数看,々e[2,+oo）,者B有不

等式且二~成立，则实数。的取值范围是（）

x2一石

A.（0,+co）B.（0,；]C.[1,4]D.

1、

[-,+℃）

【答案】C

【解析】

【分析】由题意知/（x）在[2,+co）上是增函数，令。=狈2_2%_5「+8,则函数r为二次函

数，且在尤e[2,+8）时为增函数，且在尤e[2,y）时，20恒成立，据此列出不等式组即可

求解.

【详解】由题意可知/a）在[2,+8）上为单调增函数，

令t=a^一2%一5。+8，

则函数/为二次函数，且在%£[2,+8）时为增函数，且在[2,+8）时1N0恒成立，

a>0

.，・<—V2,解得“e—,4

a|_2

4x2?-2x2-5〃+820

故选：C.

7.设函数/(%)=3法+2,若/⑴=15,则/(,i)的值为()

x+1

A.-9B.-11C.-13D.-15

【答案】B

【解析】

【分析】由/(I)得出的关系式，计算/(-1)后代入上面得出的关系式即可.

【详解】由题意‘八、§"+2—3'+2,贝u3b=26,所以

/(I)=------------------=153

Q

—Q+2+3Z?+2”/

/(-1)=^-----------------=Z26+4=11

22

故选：B.

8.已知奇函数/(尤)在R上单调递增，对2,2],关于x的不等式

+M+">0在xw[—2,0)1、(0,2]上有解,则实数〃的取值范围为()

x

A.Z?>2或/?<一1B.Z?<-6或/?>3

C.-1<Z?<3D.〃<一2或/?>3

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数/(x)的单调和奇偶性，将不等式转化为当xe(0,2]时，b>-(x+l)a-x2

在\/。6[-2,2]成立，xe(0,2]上有解，结合主元变更求实数6的取值范围，同样当

xe[—2,0)时，3<—/—公—。在^。©[—2,2]成立，xe[—2,0)上有解，结合主元变更求

实数〃的取值范围即可.

【详解】解：①当xe(0,2]时，/S)+/(-+-+」〉o可以转换为

X

于(a)+f(x~+ax+b)>0,

因为奇函数/(x)在R上单调递增，

.­./(x2+ajc+b)>/(-a),贝I/+依+匕>一々，

b>—(x+l)tz—x2在DaG[—2,2]成立，则b>(x+l)tz—x2,

由于一(％+1)<。，:.—(冗+1)〃—％2在。£[—2,2]递减，则b>—%2+2X+2,

又在九£(0,2]上有解，则Z;>(——+2%+2).,：.b>2；

2

②当xe[—2,0)时，由单调性和奇偶性可转换为：a<-x-ax-b，

-,-b<-x2-ax-a.在\/a6|-2,2]成立，则匕<「一(％+1)。一无2],

L」min

当无£[—2,—1]时，在VQ£[—2,2],-(％+1)〃一％2递增，则b〈2x+2—r，

又在工£[—2,-1]有解，则b<(2%+2—%2),

当xe(—1,0)时,在Vae[-2⑵,一(％+1)。一好递减，则匕<—2x-2—炉,

又在龙«—1,0)有解，则b<(2x+2-x2)e，."<2,综合得b<—1.

综上，b〉2或/?<一1.

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.

9.若募函数/(%)=m・丁的图象过(3,§,下列说法正确的有()

A.m=1且a=-2B./(x)是偶函数

C.Ax)在定义域上是减函数D.f⑺的值域为[0,+8)

【答案】AB

【解析】

【分析】根据幕函数的定义可得加=1,由经过(3,占可得&=-2,进而得/(x)=4,结

9x

合选项即可根据幕函数的性质逐一求解.

【详解】对于A;由累函数定义知加=1,将(3,：)代入解析式得e=-2,A项正确；

对于B;函数/(%)的定义域为(-8,0),(0,+8),且对定义域内的任意x满足

/(x)=x-2=/(_x),故/(x)是偶函数，B项正确；

对于C"。)在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，C错误；

对于D;/(x)=J的值域不可能取到0,D项错误.

故选：AB

iIi1

10.已知a,人=（?3,C=（j）6,则下列结论正确的是（）

11

A.a>cB.a<bC.-<-D.

cb

2a-b>b

【答案】ACD

【解析】

1

【分析】将c3的单调性,分别与6比较大小.

1I是减函数,

【详解】因为屋尸

所以,丁〉］£|3,即a>c,故A正确;

£1_i_

因为又;<g，y=j是增函数，所以［；）<］!：，即5<c<a，故B不正

确；

由于c>Z?>0,所以!<:,故C正确；

cb

由前面的分析知a—"0,所以2。功>2°=1，而6=<］；［=］,所以丁4〉/,,

故D正确.

故选：ACD.

11.设a>0,b>OS.2a+b=l,则下列结论正确的是（）

A.4“+2"的最小值为2&B.4a2+尸的最大值为1

C.-+-最小值为3+20D.+"：21的最大值为6

abab

【答案】AC

【解析】

【分析】根据a>0,6>0且2a+A=l,结合基本不等式逐项求解最值即可判断正误.

【详解】解：对于A选项：4“+2。.2.2b=24*a+b=20，当'成立,

故A正确;

对于B选项：4a2+b2=(2^+Z?)2-4ab=l-4ab,由于2〉+b22d2ab，所以abW',

8

1111

当且仅当a=—力=—成立，故469+尸921—4x—=—无最大值，故B错误；

4282

对于C选项，—H—=|—F—|(2t?+Z?)=3Hb—>3+2^,当沙=也。时，又

abyabjab

2a+/?=l能取等号，故C正确；

-3H1a+2b2a+ba+2b.ba/、,，.24、

对于D选项，—I---------=---------1---------=4H----1—..6,当a=b=一成立,故取小值

ababab3

为6,故D错误.

故选：AC.

12.一般地，若函数f(x)的定义域为出,加，值域为［3,的］,则称［a,勿为了(X)的“(倍美

好区间”.特别地，若函数的定义域为万值域也为［a,勿，则称3,勿为人盼的“完美区

间”.下列结论正确的是()

A.若⑵加为/(%)=/—以+6的“完美区间”，则5=6

B.函数7■(x)=L存在“完美区间”

X

113

c.二次函数〃x)=—5必9+；_存在“2倍美好区间”

加IXI—1

D.函数/(x)=・•:-存在“完美区间”,则实数机的取值范围为(2,+8)。{0}

\x\

【答案】BCD

【解析】

【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“左倍美好区间”，“完美区

间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误.

【详解】对于A,因为函数/(盼=必-4x+6的对称轴为尤=2,故函数/⑺在［2,切上单

增，

所以其值域为［2,/—4b+6］,又因为［2,切为/(%)=/_4%+6的完美区间，

所以〃―4匕+6=人，解得6=2或6=3,因为6>2,所以>=3,A错误；

对于B,函数/(x)=L在(-8,0)和(0,+“)都单调递减，假设函数/(x)=!存在完美区

1

Cl——

h1

间［。,口，则，，即a,b互倒数且a＜b,故函数/（x）=—存在完美区间，B正确;

「x

、a

i13

对于C,若〃x）=-5炉+万存在“2倍美好区间”，则设定义域为可，值域为［2a,2处

117

当0＜。＜）时，易得/（%）=--%2+5在区间上单调递减,

12,13

——aH---=2b

22

两式相减，得。+人=4,代入方程组解得a=lb=3,C正确.

1,2^130

——bH---=2a

I22

m+—,x<0

对于D,F（x）的定义域为{x|x#O},假设函数/（x）:存在“完美

m——,x>0

x

区间”［a,。］,

m+--b

若Z?＜0,由函数/*）在（—8,0）内单调递减，则＜；解得m=0；

m+—=a

、b

,1

m---二a

若a＞0,由函数Ax）在（0,+oo）内单调递增，则＜:即%=加一,在（0,+8）有两

x

m——二b

b

解〃，b,得加＞2,故实数机的取值范围为（2,+a））u{0},D正确.

故选：BCD.

【点睛】抓住“2倍美好区间”，“完美区间”的定义，在已知单调性的前提下，即可通过

分析函数在区间端点处〃，人的取值，列出方程组.

非选择题部分

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.计算：（'户—（0.125尸+（1—应）°=.

19

【答案】—^―

【解析】

【分析】根据指数运算法则，直接求解即可.

(详解】(—)4-(0.125尸+(1-V2)0=(-)、-

813

19

故答案为：----•

27

14.秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消

毒.如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量》(mg/n?)与时间，

(h)(o</<L)成正比；药物释放完毕后，y与/的函数关系式为(。为常数，

216

1々

?>-),据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25(mg/n?)以下时，学生方可进教

室，则学校应安排工作人员至少提前小时进行消毒工作.

【答案】1

【解析】

【分析】根据题意求出参数。，当时，令为。25,解不等式即可.

2

【详解】由图中一次函数图象可得，图象中线段所在直线的方程为y=2«0g巾

111j__

又点已,1)在曲线y=(7)〜上，所以1=(上户，

21616

解得a=—，

2

2t,0<t<-

因此含药量Nmg/n?)与时间f(h)之间的函数关系式为y=,2,

1t一I

(―)\t>-

I162

111f_l111

当/〉二时，令为0.25=：,即(一)2即/解得力.1.

24'16422

故答案：1.

15.已知定义在R上的函数/3满足/(2+x)—/(2—x)=0,若

22

^(x)=|X3+—I+I(4-X)3+----瓦|与/(%)的交点为(再,%),(九2,%)(%5，y5)，则

X'(4-X)

玉+々+--*~^5=.

【答案】10

【解析】

【分析】根据对称性可得〃力图象的对称轴为直线X=2,同样可得g(4-x)=g(x),则函

数g(x)的图象也关于直线x=2对称，故g(x)与〃x)的交点也满足对称性，即可得

苞+%2++%的值.

【详解】解：由/(2+x)=/(2—%),得图象的对称轴为直线彳=2,

23?

又g(4-x)=八__+(4—x)+-----仄=8⑴，即g(2+x)=g(2—x),

x(4-x)

所以函数g(x)的图象也关于直线x=2对称，

如图函数〃尤)和函数g(x)的图象的5个交点的横坐标关于直线x=2对称，

根据对称性可得为+々++匕=10.

故答案为：10

16.若不等式(x-6)(以2+2)<0对任意的xe(0,+oo)恒成立，则4a-〃的最大值为

【答案】—4后

【解析】

【分析】根据不等式对儿0和6>0分类讨论，分别满足不等式对任意的xe(0,+oo)恒成立,

列式求解即可.

【详解】解：①当解0时,由(工一力(以2+2),,0得到。必+2“o在xe(0,+oo)上恒成立,

显然。不存在；

②当〃>0时，由(九一/?)(以2+2),,0,可设/(x)=奴2+2,g(x)=x-6,

由g(x)的大致图象，可得了。)的大致图象，如图所示，

a<0__________

22,2

由题意可知｛I―2贝!!尸=—,所以4〃一/?2=4〃+—<-2](—4〃)----二—40,

J—=baciv-a

7a

当且仅当—4a=2，即q=—变时，取等号，所以4a—〃的最大值为—4Ji

—CL2

综上，4a—〃的最大值为—4夜.

故答案为：—45

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.已知/(x)=奴？+(a-1)》一1.

⑴当a=2时，求不等式/(x)>0的解集；

(2)若命题P：3xeR,使得/(x)-x220为假命题.求实数a的取值范围.

【答案】(1)｛尤1无<—1或X〉；｝

(2)-3<a<l

【解析】

【分析】(1)按不含参的一元二次不等式求解；

(2)转化为(a-l)x2+(a-l)x-1<0对VxeR恒成立问题求解，要注意讨论二次项系数是

否为0.

【小问1详解】

当a=2时，原不等式为2/+x—1>。，

令2x2+%一1=。得西=-1,x2=,又因为/(x)=2代+》_1开口向上，

所以不等式解集为或x〉g｝

【小问2详解】

命题P：HXER,使得了(%)-％22。为假命题，

/.VxeR,/(%)一元?<0恒成立为真命题

即：(a-1)%之+(^-1)%-1<0X^VXGR恒成立

①当口一1=0即。=1时，-LvO恒成立，7.a=1符合题意；

ftz-l<0

②当。一1w0即awl时，应满足〈人八»:.-3<a<l,

A<0

综上所述：-3<«<1.

18.己知全集U为全体实数，集合A={九||九一。|<2},B=[x\^-<0].

x-6

(1)在①。=-2,②a=-1,③a=1这三个条件中选择一个合适的条件，使得AcBN0,

并求g(Ac3)和ADB；

⑵若“xe6”是“xeA”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】⑴选条件③，eScBQPIxWl或x»3},AB={x|-l<x<6}

(2)3<a<4

【解析】

【分析】(1)求出集合A3,再得出三个条件下集合A,由确定选条件③,

然后由集合的运算法则计算；

(2)根据必要不充分条件的定义求解.

【小问1详解】

由题知：集合A={x|a-2<x<a+2},B={x\\<x<6],

a=-2时,A={x|—4<x<0},a=—1时，A—{x\—3<<7<1},a=l时，

A={x|-1<x<3},

QAc_Bw0,需选条件③a=l,

此时AcB={x|l<九<3},许(AcB)={x|x<l或x?3},

AB—{x\-\<x<6},

【小问2详解】

V-xeB”是“xeA”的必要不充分条件A是B的真子集，

[«-2>1

0,且等号不同时取得，解得3WaW4.

a+2<6

x

19.已知定义在R的奇函数/(x),当尤>0时，f(x)=---2x.

⑴求/(T)的值；

⑵求Ax)在R上的解析式；

191

⑶若方程I/(X)-Q|=机2一万"2有且只有一个实数根，求实数m的取值范围.

7

【答案】(1)§

x

---2x,x>0,

3

⑵/(x)=<0,x=0,

Y

——+2-x,x<0.

[3

,1

(3)-1,--

【解析】

【分析】(1)根据奇函数的性质即可代入求解，

⑵根据奇函数的性质即可求解x<0的解析式，进而可求R上的解析式,

(3)根据函数图象即可得交点个数，进而列不等式求解即可.

【小问1详解】

7

由于〃力是奇函数，所以/(一1)=一/⑴=§.

小问2详解】

一XX

当x<0则-X>0,y(-x)=-y-2-A=

由于/(x)是奇函数，所以/(%)=—/(―%)=1=_■!■+2一”，

故当无<0时，f{x}=--+Tx,

---2x,x>0,

3

因此/(x)=<0,x=0,

--+2-x,x<0.

[3

【小问3详解】

画出y=/(x)的图象如图1，进而可得y=l/(x)—g|的图象如图2,

由图知：一强加~—m—,解得—1张M—或掇如—,

22222

13

即实数根的取值范围是-L-5u1,-

20.截至2022年10月，杭州地铁运营线路共12条.杭州地铁经历了从无到有，从单线到多

线，从点到面，从面到网，形成网格化运营，分担了公交客流，缓解了城市交通压力，激发

出城市新活力.已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔/(单位：分钟)满足2</<20,

经市场调研测算,列车的载客量与发车时间间隔r相关，当10W/W20时，列车为满载状态，

载客量为600人，当2W/<10时，载客量会减少，减少的人数与10-。的平方成正比，且

发车时间间隔为3分钟时的载客量为502人，记列车载客量为p(t).

⑴求P«)的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时的载客量;

(2)若该线路每分钟净收益为Q«)=8P")-3524—60(单位:元)，则当发车时间间隔为多

少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.

600,10<t<2,

【答案】(l)p«)=<发车时间间隔为5分钟时的载客量为550

600-2(1-02,2<?<10,

人

Q

(2)当发车时间间隔为万分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为116元

【解析】

【分析】(1)由已知函数模型求出解析式，然后计算1=5时的发车量；

(2)由(1)的函数式求出该线路每分钟净收益Q⑺，然后分段求最大值，一段利用基本不等

式，一段利用函数的单调性求解后比较可得.

【小问1详解】

当1怎才20时，0«)=600

当2„r<10时，设p«)=600—-10—/)2而p(3)=502,.・"=2,

600,10W20,

；・〃(%)=</、2，

600-2(l-/)\2<r<10

p(5)=550,即发车时间间隔为5分钟时的载客量为550人.

【小问2详解】

当2,f<10时QQ)=8网0-2(10—)」-3524_60=_4(4z+肛)+260„116

tt

819

当且仅当4f=—,即f=—时等号成立.

t2

当1殴方20时，Q(/)=空—60单调递减，.•.当，=10时，Q⑺取到最大为67.6

t

67.6<116

9

・•・当发车时间间隔为己分钟时，该线路每分钟净收益最大，最大值为116元.

2

>-Lk9-X

21.已知函数/(x)=.

k

⑴若了(尤)为偶函数，求人的值并证明函数"X)在［0,+8)上的单调性；

⑵在⑴的条件下，若函数8。：)=4'+二-2〃矿。)在区间口,+8)上的最小值为—9,求实

4X

数m的值；

⑶若了⑺为奇函数，不等式/(3%)2时(2%)在xe［l,2］上有解，求实数机的取值范围.

【答案】(1)%=1,证明见解析

(2)m=不

21

(3)m>—

10

【解析】

【分析】(1)根据偶函数可得左=1,由单调性的定义即可证明单调性，

(2)换元得二次函数，分类讨论即可求解最值，

(3)换元，结合函数的单调性求最值即可求解.

【小问1详解】

由于/⑴为偶函数，，/(一%)=/(%)代入得：

————=————n2工+左•2T=+42n(4—1)•(2,—2丁')=0：

故左=1:./。）=2*+2-1

X,xX2X2

对x2e[0,+co),当王<%2时，/(Xj)-f(x2)=2+2~'-2-2~

251、(2国一2爸)(2国+吨一1)

=(2为-2项)(1-------)=------------------,

\\2七2巧2*i+巧

XlXX|+Ai

o„\<x2,2-2-<0，2-l>0.-./(%1)-/(%2)<0.-./(%1)</(x2),

函数/(x)在[0,+CO)上单调递增；

【小问2详解】

令/=2,+2~xxe[1,+oo)te[g,+o