重庆市南开中学2023-2024学年高一上学期10月阶段测试数学试题

重庆南开中学高2026级高一上数学测试10.29本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则的值是（）A.2 B.1 C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】根据集合N和并集，分别讨论a的值，再验证即可.【详解】因为，若，经验证不满足题意；若，经验证满足题意.所以.故选：B.2.下列四个图象中，可以作为函数图象的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义可得答案.【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个自变量的值，都有唯一的函数值与其对应，故函数的图象与直线至多有一个交点，只有图A中图象符合.故选：A．3.设命题，则命题的否定为（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题解答即得.【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p的否定为．故选：D．4.函数的值域为（）A. B. C. D.R【答案】C【解析】【分析】利用函数定义域即可求得函数的值域.【详解】函数的定义域为，则，则，则，则函数的值域为.故选：C5.设，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分，必要条件的定义判定即可.【详解】因为，即充分性成立，当，可知，此时不成立，即必要性不成立，故“”是“”的是充分不必要条件.故选：B6.已知集合，则集合A的真子集个数为（）A.32 B.16 C.15 D.31【答案】D【解析】【分析】根据以及求出的值，可得集合中元素个数，再利用公式计算可得答案.【详解】因为，所以，即，又，所以或或或或或，当时，，符合题意；当时，，不符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意；所以集合，其真子集的个数为个.故选：D7.设，，，则下列说法错误的是（）A.ab的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为9 D.的最小值为【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式证明选项AC正确，D错误；利用不等式证明选项B正确.【详解】因为，，，则，当且仅当时取等号，所以选项A正确；因为，故，当且仅当时取等号,即最小值，所以选项B正确；，当且仅当且即，时取等号，所以选项C正确；，故，当且仅当时取等号，即最大值，所以选项D错误．故选：D．8..则当变化时，的最小值为（）A.2020 B.2019 C.2018 D.2017【答案】D【解析】【分析】根据对称轴和区间的位置关系对的值进行讨论，从而求出，继而求出其最小值即可.【详解】函数的对称轴为，当，在上单调递增，所以；当，即时，在上单调递减，；当，即时，此时，无最小值；当，即时，，综上知，的最小值为，故选：二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列命题中为真命题的有（）A.所有的素数都是奇数.B.的个位数字不等于2.C.两个三角形相似的一个充要条件为三边成比例.D.存在一个无理数，它的立方是有理数.【答案】BCD【解析】【分析】逐个判断命题即可.【详解】对于A：2也是素数，但2不是奇数，所以A错误；对于B：，则的末位数只能是0，1，4，5，6，9，所以B正确；对于C：“两个三角形相似”，则三边成比例，“若三角形的三边成比例”，则这两个三角形是相似三角形，所以C正确；对于D：当时，为无理数，则为有理数，所以存在一个无理数，他的立方是有理数，所以D正确，故选：BCD10.已知函数是上的减函数，则实数的取值可以是（）A.2 B.1 C.2 D.3【答案】CD【解析】【分析】由求出的范围即可得解.【详解】因为函数是上的减函数，所以，解得，故选：CD11.有以下判断，其中是正确判断的有（）A.与表示同一函数B.函数的图象与直线的交点最多有1个C.函数的最小值为2D.若，则【答案】BD【解析】【分析】A选项，两函数定义域不同，不是同一函数；B选项，根据函数定义进行判断；C选项，利用基本不等式进行求解；D选项，先计算出，从而得到.【详解】A选项，的定义域为，而定义域为R，故两者不是同一函数，A错误；B选项，根据函数定义，可知的图象与直线可以无交点，也可以有1个交点，故函数的图象与直线的交点最多有1个，B正确；C选项，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，但无解，故等号取不到，的最小值不为2，C错误；D选项，，则，故，D正确.故选：BD12.已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数可能的值为（）A. B.0 C. D.1【答案】ABD【解析】【分析】由奇偶性联立方程得出，进而由得出，构造函数，讨论的值，由二次函数的性质确定实数的取值范围.【详解】由题得：是奇函数，所以；是偶函数，所以，将代入得：，联立，解得：，，等价于，即，令，则在上单调递增，①当时，函数的对称轴为，所以在上单调递增，②当时，函数的对称轴为，若在上单调递增，则，得：③当时，单调递增，满足题意.综上可得：故选：ABD第II卷（非选择题共90分）三､填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.13.若函数，则__________.【答案】【解析】【分析】根据分段函数解析式求解即可.【详解】由，.故答案为：14.函数的单调递减区间为__________.【答案】【解析】【分析】先求出定义域，再根据复合函数单调性求出答案.【详解】令，解得，故函数定义域为，其中，故在上单调递增，在上单调递减，其中在上单调递增，由复合函数单调性可知，的单调递减区间为.故答案为：15.若函数，则关于的不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】首先由函数的解析式和性质，得到函数的性质，再结合函数的对称性和单调性，即可求解不等式.【详解】，，即偶函数，设，函数为偶函数，并且在单调递增，不等式，即，则，所以，两边平方后得，解得：，所以不等式的解集为.故答案为：16.已知函数当时，的最小值等于____；若对于定义域内的任意，恒成立，则实数的取值范围是____．【答案】①.②.【解析】【分析】利用分段函数各区间上函数的性质，结合一元二次函数的性质，求的最小值即可；利用函数不等式在分段函数定义域上恒成立，应用参变分离法将不等式转化为或即可求的范围【详解】(1)当时，时，,得：当时，有最小值为－2，时，，得：当时，有最小值为－3，∴当时，的最小值等于－3(2)定义域内的任意,恒成立①时，有，即：恒成立令＝在时，有最小值：∴②时，有，即：恒成立，令在时，有最大值：∴实数的取值范围是故答案为：；【点睛】本题考查了求分段函数的最值问题，及根据函数不等式恒成立求参数范围；利用分段函数的分段区间，讨论各区间上最小值，然后比较它们的大小确定整个定义域上的最小值；参变分离法将函数不等式转化为或求参数范围四､解答题：本大题6个小题，共70分.17.解不等式：（1）.（2）【答案】17.；18或.【解析】【分析】（1）由题可得，然后根据一元二次不等式的解法即得；（2）根据绝对值不等式的解法可得或，然后利用分式不等式的解法即得.【小问1详解】由，可得，即，解得，所以不等式的解集为；【小问2详解】由，可得，或，所以，或，解得，或，所以不等式的解集为或.18.若集合，（Ⅰ）当时，求；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）或【解析】【分析】（Ⅰ）先由题解出当时的集合，再求；（Ⅱ）若，则或,即或或或，分情况讨论即可得到答案．【详解】（Ⅰ）由题解得或，即；当时，为解得或，即，所以（Ⅱ）若，则或，由（Ⅰ）可知所以或或或当时，，即，此方程无解；当时，，即，解得或；当时，不符合题意，当时，，解得或当时，由韦达定理可得，无解综上或【点睛】本题考查集合的基本运算，解题的关键是分别求出集合，且若，则，属于一般题．19.已知二次函数，且满足①不等式的解集为：②函数的图象过点.（1）求函数的解折式：（2）设，求函数在上的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）是方程的两个根，由韦达定理求出，结合图象过点，得到，从而求出，，得到解析式；（2），求出对称轴，分，与三种情况，结合单调性求出最小值，得到答案.小问1详解】由题意得是方程的两个根，所以，故，又的图象过点，故，所以，解得，所以，所以；【小问2详解】，对称轴为，当，即时，在上单调递增，故在取得最小值，最小值为，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故在取得最小值，最小值为，当，即时，在上单调递减，故在取得最小值，最小值为，故.20.某企业准备投产一款产品，在前期的市场调研中发现：①需花费180万元用于引进一条生产流水线；②每台生产成本Q（x）（万元）和产量x（台）之间近似满足Q（x）＝5，x∈N*；（注每台生产成本Q（x）不包括引进生产流水线的费用）③每台产品市场售价为10万元；④每年产量最高可达到100台；（1）若要保证投产这款产品后，一年内实现盈利，求至少需要生产多少台（而且可全部售出）这款产品；（2）进一步的调查后发现，由于疫情，这款产品第一年只能销售出60台，而生产出来的产品如果没有在当年销售出去，造成积压，则积压的产品每台将亏损1万元，试判断该企业能否在投产第一年实现盈利．如果可以实现盈利，则求出当利润最大时的产量；若不能实现盈利，则说明理由．【答案】（1）至少生产并销售63台这款产品，才能实现盈利；（2）可以实现盈利，利润最大时，产量为89台．【解析】【分析】（1）由题意可得利润函数为f（x）＝[10﹣Q（x）]x﹣180，0＜x≤100，x∈N*，由f（x）＞0求解不等式得答案；（2）把利润函数f（x）变形，再由基本不等式求最值．【详解】（1）由题意可知该商品的利润函数为：f（x）＝[10﹣Q（x）]x﹣180，0＜x≤100，x∈N*，则由，解得x≥63．∴至少生产并销售63台这款产品，才能实现盈利；（2）由（1）可知，当产量0＜x≤60，x∈N*时，无法实现盈利；当产量60＜x≤100，x∈N*时，由题意可知利润函数为f（x）＝[10﹣Q（x）]60﹣（x﹣60）﹣180．化简得f（x）＝181﹣[]．当且仅当x＝89时等号成立．∴可以实现盈利，利润最大时，产量为89台．【点睛】本题考查分式函数模型的实际应用，涉及利用基本不等式求最值，属综合基础题.21.已知函数，且满足.（1）判断在上的单调性，并用定义证明：（2）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增，证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）先求得的值，再利用函数单调性定义即可求得在上的单调性；（2）先求得在上的值域和在上的值域，再利用题给条件列出关于实数的不等式，解之即可求得的取值范围.【小问1详解】由函数满足，可得，解之得，则，在上单调递增，证明如下：设任意，且，则，由，可得，又，，则，则，则在上单调递增.【小问2详解】对任意的，由在上单调递增，可得，即，则在上的值域为对称轴，当时，在上为增函数，值域为，由题意可得，则，解之得；当时，在上为减函数，值域为，由题意可得，则，解之得，综上，实数的取值范围为.22.已知函数，其中常数．（1）若函数分别在区间，上单调，试求的取值范围；（2）当时，方程有四个不相等的实数根，，，．①证明：；②是否存在实数，，使得函数在区间单调，且的取值范围为．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；证明见解析，(2)【解析】【分析】（1）原函数即，可设，运用双勾函数分析；（2）当时，方程即为或，由韦达定理可证明．结合函数图像及其单调性，分类讨论分别在四个单调区间内去求解，最后求并集即可．【详解】（1）原函数即设∵∴函数分别在区间上单调且要使函数分别在区间上单调则只需所以的取值范围为（2）①当时，或即或∵为方程的四个不相等的实根∴由根与系数的关系得②如图，可知，在、、、均为单调函数（Ⅰ）当时，在上单调递减则两式相除整理得∵∴上式不成立即无解，无取值.（Ⅱ）当时，在上单调递增则即在有两个