螺旋线与平面的交点

螺旋线与平面的交点东南大学朱道元问题（1994年美国数模竞赛题）帮助一家生物技术公司就位于空间中一般位置的一条螺旋线和一个平面交点的“实时”定位设计、证明、编程、并测试检验一个数学方法。螺旋线和平面交点示意图螺旋线的一段可以表示，例如一段螺旋状的弹簧或化学仪器或医疗仪器中的一段管状物，如图。其他实际用途类似的计算机辅助几何设计（CAGD）程序可以让这种平截面迅速扫过整个物体来得到物体的三维成像。为取得这样的效果，计算机程序必须能以足够的速度和精度来定位所设计物体的每一部分和所观察平面的全部交点。理论与实际问题之间的差别该问题本质上是解方程组。一般通过方程求解器（equationsolvers），就能计算出交点。但是实际问题，要求计算速度快，可以用于实时控制；而且螺旋线和平面可处于任意位置，并求出螺旋线和平面的全部交点；还要和生产装置相协调，算法要比较简单。对此，必须具体问题具体分析，这是数学建模的灵魂。本题的难点(书本上回避的）

难点之一要求出全部交点，这实际上隐含了的算出交点的准确个数，否则无法说明求出了全部的交点；也隐含要知道交点的性质，如是否存在重根等。而关于方程组的解的个数,是数学上没有解决的理论问题。难点之二由于要用于实时控制，因此要求计算交点的算法非常快，特别在交点很多，甚至有成万上亿个交点的情况下，怎么能够在几秒钟之内把全部交点计算出来。难点之三由于题目中平面和螺旋线所处的相对位置是任意的，因此这不是在解一个特定的方程组,实际上是求解一大类的无穷多个方程组，希望找到通用的简便方法。首先选择坐标系显然选择螺旋线的轴作为Z轴则螺旋的参数方程最简单，至于平面处于任意位置表达都不困难。其中r,2πh为螺旋线的半径和螺距，θ为参数。选择突破口对四个非线性方程的方程组即使不是去求解，而仅仅回答解的个数也是极其困难的。但这又是实际问题中无法回避的，是首先必须被解决的问题。我们应该清醒认识到数学理论和实际问题之间的差别，数学上非线性方程组的解的个数问题没有解决，并不表示某些实际问题所对应的一小类特殊的非线性方程组的解的个数问题也无法解决，由于范围小，共性多，是可能获得理想的结果的。突破口在“等价简化问题”简化才能暴露问题的本质，简单情况下才容易发现事物的规律，因此简化是解决复杂问题的正确方向。但必须注意简化前后问题之间的等价性，否则简化就失去了意义。“等价简化”是数学建模“艺术”的精髓，是重要的研究能力，是数学建模追求的目标。创造性发源于猜测怎么突破？首先是猜测，而且要大胆地去猜测。没有“异想天开”，就不会有“绝处逢生”。螺旋线和平面的交点问题能否等价简化为求平面上两条线的交点的问题，能否从四个非线性方程的方程组求解等价简化为一个未知数一个方程的求解问题？投影可以降维，对本问题有没有帮助？恰当选择投影面去做投影取平行于螺旋线的轴，且垂直于指定平面的平面为投影面作投影，则指定平面被投影为一条直线，螺旋线被投影为平面内一条曲线。由于z轴平行于投影面，所以空间各点投影之后的z坐标均保持不变，而螺旋线上各点由于在“螺旋式上升”，z坐标均不相同。因此不同的交点，z坐标均不相同，投影之后仍然互不相同，空间中的交点和平面上的交点之间一一对应。

投影就是等价简化由于空间中的交点和平面上的交点之间是一一对应的，既没有重迭，也不会分叉。故知道平面内的交点总数，就知道空间中的交点总数，而且,几乎不要再做什么工作，就完全确定了空间全部交点的坐标。因此对这个问题投影就是等价简化。

代入可以代替投影

再简化令

则

令

则简化为

最终的简化结果由于

是偶函数，为后面讨论方便，在中不妨设。到此为止，我们看到解决这个问题的曙光。交点个数重根的重数及重根的位置由高等数学可知，三重根及更高重数的重根的必要条件是即一般无解，一般为二重根，从重根的几何意义可知，重根是交点，而且在该点两条曲线有公切线，现在其中一条是直线，即直线是余弦线的切线。从几何可知，重根一定是最大或是最小的交点。如图，切点是最大的交点。因为余弦线在第四、一象限是凹函数，位于切线的下方，而直线单调上升越过这个区域后始终大于1，与余弦线再无交点，因此该切点是最大的交点。切点是最小的交点类似可证。

a是决定交点个数的主要矛盾。初步分析，绝大多数情况下，曲线与直线的交点个数并不多，类似于高等数学习题，可以容易得到解决。当时是周期函数，解的问题，高中三角课程中早已解决。困难在于交点个数急骤增加，如果有成万上亿个，要决定交点的个数似乎非常困难。但由此我们也发现是决定交点个数的主要矛盾。准周期函数是解决问题的关键当时，是准周期函数（与周期函数相差非常少，或周期几乎就是常数2π）。在这种情况下，我们应该怀疑什么环节上出了问题？为什么比较大或者为0，求交点个数都没有问题。当时就有困难了，经仔细分析有无穷多个交点,问题容易解决是由于这时是周期函数，周期2π。借用周期函数决定交点个数直观看

极小时与

图形几乎重叠，因此是准周期函数，两类交点几乎区分不开来，当然交点个数在一定范围内肯定是相同的。既然如此，我们是否可以借周期函数来讨论

的交点个数问题？Sinφ=-a就是周期函数

即是周期函数，

的根与的根在一定范围内是相间的。由此便可决定

的交点个数，因为正弦函数周期为2π，

2π之间有2个根，只要知道范围长度就有根的个数。而由就可以决定

这个范围的长度是两个函数的根是相间的证明：两个不同的根中一定有

的根。设是

两个不同的根，则

由微分中值定理，有其中，。因为，

故一定有。两函数在一定范围内根是相间的在一定范围内两个根内一定有的根。设，即在相邻与之间劣(优)弧上是同为正(负)的，故在与之间的劣（优）弧上是单调上升（下降）的，且连续。

因此，当异号时，其中一定有一点，使交点个数大致可确定了

的根的个数是

五个连续自然数中的一个。因为在[-1,1]中，在其中的范围为，因为2π之内2个根，周期函数根的个数为，其中取整数，是因为个数一定是整数，且由于根不是均匀分布，可能四舍五入产生误差。由于的根相间，还有可能产生一个误差，所以可以得出结论：根是附近五个连续自然数中的一个。交点的个数一定是奇数上述结果还不太精确。实际上，重根按重数计，则交点的个数一定是奇数。证：因为周期函数无穷多个交点问题已解决。余弦线分平面为上下两部分，所以当

时，，即直线一定位于余弦线的下方，而当

时，，即直线此时一定在余弦线上方，因此直线一定从下方到上方至少穿过余弦线一次。因此一定产生一个交点，个数是奇数，若又回到余弦线的下方，则仍应回到上方，穿过余弦线两次，产生两个交点，交点个数仍是奇数，类推一定是奇数。若相切，则从上方还到上方，切点算两个交点，因此交点数一定是奇数。交点个数不应该有三种可能若为奇数，则交点数为3种可能，这与实际不符，可以再去掉一个。考虑交点个数随下降而变动的情况，即旋转直线，不难发现交点数跳跃发生在直线与余弦线有两个切点的情况，这时或增加4个，至少增加2个交点（一个切点算2个交点）。跳跃点的推导两个切点根据重根公式，应满足

，由韦达定理，两切点连线中点坐标为，

即，对应点为，在坐标轴上，是坐标轴与直线的交点。

由两个全等的直角三角形可知，两切点的纵坐标相差一个符号。(切点也在余弦线上)再由单位圆可知，切点连线中点横坐标一定，故，交点相差

肯定无法同时相切，因分别在极大、极小值点的同一边，因此余弦线及其轴和直线三线共点求的跳跃点可分两种情况：1，在中点处下降，平移竖轴至，则直线变为，余弦线变为，则在切点有2，在中点处上升，类似有由可求

即，,最大的，后

，一个交点；，一个

或三个交点；，三个或五个交点；

，五个或七个交点。最后再由确定交点个数是两个数中的哪一个。因为平移会使交点个数增加或减少2个。关于的求解首先应该充分利用已经得到的结论，提高效率：1，交点的范围2，把上述范围又分成若干个区间。在每个区间内有一个且只有一个交点，可以防止遗漏交点和无效劳动。3，每个子区间内是连续单调的，有利于求解。二分法求交点由于在每个子区间是连续，严格单调的，求交点的方法很多。最简单的方法是二分法。每次将区间一分为二，求出中点的函数值，保留两端函数值异号的子区间，继续均分，直至区间长度小于精度要求，停止。牛顿迭代法比较通用的另一种方法是牛顿迭代法，公式为，思想是以直代曲，用切线来代替割线。已经证明牛顿迭代法具有二阶收敛速度，效率很高，牛顿法的缺点是当初始解离真实解较远时会偏离方向，可用混合法，先用二分法保证逼近真实交点，后用牛顿法加快收敛速度，做到取长补短。仅适合本问题的好的初始解还有一个好算法。现在已有极大，极小值点，二点连线与水平轴的交点就是非常好的近似。求交点的工作量和所求交点个数成正比？将无法用于实时控制？求交点的工作量和所求交点个数成正比，如果有成万上亿个交点，时间太长，怎么用于实时控制？即使用最先进的计算机也无法跟上交点个数的上升，似乎这是无法克服的困难。但仔细分析，比较大，交点个数少，当然求解容易。但无穷解，求解也不困难，为什么，交点个数非常多，问题就解决不了呢？解决问题还是靠创造性当时，无穷多解能够求解的创造性在于只选了两个代表，后用他们可以代表无穷多