中考数学 锐角三角函数综合练习题附答案

备战中考数学锐角三角函数综合练习题附答案

一、锐角三角函数

1.如图，某无人机于空中A处探测到目标B、D的俯角分别是30。、60。,此时无人机的飞

行高度AC为60m,随后无人机从A处继续水平飞行307Tm到达A'处.

（1）求A、B之间的距离

（2）求从无人机4上看目标D的俯角的正切值.

,2小

【答案】⑴120米;(2)

5

【解析】

【分析】

（1）解直角三角形即可得到结论；

（2）过4作A'ELBC交BC的延长线于E,连接4D,于是得到A'E=AC=60,

CE=AA'=30。，在RtAABC中，求得DC=¥AC=20。，然后根据三角函数的定义

即可得到结论.

【详解】

解：（1）由题意得：ZABD=30",ZADC=60°,

在RtAABC中，AC=60m,

60

AC

AB=----------=1=120(m)

sin30°

2

(2)过A'作©E，6c交BC的延长线于E,连接A'。，

则A'E=AC=60,CE=AA'=305/3,

在RtAABC中,AC=60m,ZADC=60",

DC=—AC=20x/3

3

DE=50V3

,A'E602

•e­tanZAA*D=tanZA*DC=-------=~~=—

DE50V35

答：从无人机4上看目标D的俯角的正切值是|A.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.

2.如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45。，向前

走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60。和30°.

（1）求NBPQ的度数；

（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）.备用数据：JI=1.4

【答案】Cl）ZBPQ=30°；

（2）该电线杆PQ的高度约为9m.

【解析】

试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可；

（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用X表示出AE和BE,根

据AB=AE-BE即可列出方程求得X的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则

PQ的长度即可求解.

试题解析：延长PQ交直线AB于点E,

(1)ZBPQ=90°-60°=30°；

(2)设PE=x米.

在直角△APE中，ZA=45°,

则AE=PE=x米；

•••ZPBE=60°

ZBPE=30°

在直角ABPE中，BE=JPE=>—X米，

33

AB=AE-BE=6米,

n,5/3

则x-x=6,

3

解得：x=9+35/3.

则BE=(3。+3)米.

在直角ABEQ中，QE=[BE=[(3JJ+3)=(3+W)米.

PQ=PE-QE=9+3"-(3+JJ)=6+273=9(米).

答：电线杆PQ的高度约9米.

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

3.如图，平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45。，底部点C的俯

角为30。，求楼房CD的高度(J?=L7).

D

【答案】32.4米.

【解析】

试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形，应利用

其公共边构造关系式求解.

试题解析：如图，过点B作BELCD于点E,

根据题意，ZDBE=45°,ZCBE=30°.

AB±AC,CD±AC,

四边形ABEC为矩形，

CE=AB=12m,

..BE

在RtACBE中，cotZCBE=----,

CE

：.BE=CE・cot30°=12x/=i2",

在RtABDE中，由NDBE=45°,

得DE=BE=12褥.

CD=CE+DE=12（照+1）=32.4.

答：楼房CD的图度约为32.4m.

AC

考点：解直角三角形的应用一一仰角俯角问题.

4.问题背景：

如图(a)，点A、B在直线I的同侧，要在直线I上找一点C,使AC与BC的距离之和最

小，我们可以作出点B关于I的对称点B，,连接AB，与直线I交于点C,则点C即为所求.

B

(1)实践运用：

如图(b),已知，O0的直径CD为4,点A在。。上，NACD=30。，B为弧AD的中点，P为

直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为一.

(2)知识拓展：

如图(c),在RtAABC中，AB=10,NBAC=45。，NBAC的平分线交BC于点D,E、F分别是

线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.

【答案】解：(1)2诲.

(2)如图，在斜边AC上截取AB，=AB,连接BB，.

•••AD平分NBAC,•,.点B与点B，关于直线AD对称.

过点B作&UAB,垂足为F,交AD于E,连接BE.

则线段B午的长即为所求（点到直线的距离最短）.

在RtAAFB/中，---ZBAC=45o,AB/="AB="10,

Ji-

BT=.AB'sin45c=.AB-sin+5°=10x—=5J2.

2

BE+EF的最小值为5正

【解析】

试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和

MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出NCAE,再根据勾股定理求出AE,即可

得出PA+PB的最小值：

如图作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点P,此时PA+PB最小，且等于A.作直

径AC,连接CE,

根据垂径定理得弧BD=<DE.

•，-ZACD=30°,ZAOD=60°,ZDOE=30°./.ZAOE=90°.

ZC'AE=45°.

又AC为圆的直径，NAEC'=90。.

ZC'=NC'AE=45°.CZE=AE=^2AC=?也.

AP+BP的最小值是2jl.

（2）首先在斜边AC上截取AB，=AB,连接BB一再过点B作B，FJ_AB,垂足为F,交AD于

E,连接BE,则线段B午的长即为所求.

5.（2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，

J2

ABIICD,点B（10,0）,C（7,4）.直线I经过A,D两点，且sinNDAB=J.动点P

2

在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每

秒5个单位的速度沿B玲C-D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于X轴，与折线

A-D玲C相交于点M,当P,Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设点

P,Q运动的时间为t秒（t>0）,AMPQ的面积为S.

并写出相应的t的取值范围；

试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；

(4)随着P,Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线I相交

于点N,试探究：当t为何值时，ACIMN为等腰三角形？请直接写出t的值.

【答案】解：⑴（-4,0）；y=x+4.

（2）在点P、Q运动的过程中：

由勾股定理得BC=5.

3

过点Q作QE_Lx轴于点E,则BE=BQ»cosZCBF=5t»-=3t.

PE=PB-BE=(14-2t)-3t=14-5t,

11

S=-PM»PE=—x2tx(14-5t)=-5t2+14t.

22

E,则CQ=5t-5,PE=AF-AP-EF=11-2t-

(5t-5)=16-7t.

11

S=-PM»PE=-x2tx(16-7t)=-7t2+16t.

22

③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7,

即(2t-4)+(5t-5)=7,解得t=亍.

16

当2cte7•时，如图3,

MQ=CD-DM-CQ=7-(2t-4)-(5t-5)=16-7t,

11

S=-PM«MQ=-X4X(16-7t)=-14t+32.

-5t2+14t(0<t<1)

S={-7t2+16t(l<t<2)

综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为

—14t+322<t<；

（7V49

（3）①当0ctwi时，S=-5t2+14t=-5lt--I+—,

•.a=-5<0,抛物线开口向下，对称轴为直线t=2,

5

.,.当0<仁1时，S随t的增大而增大.

当t=l时，S有最大值，最大值为9.

（8、264

②）当l<t<2时，S=—7t2+16t=-71t——I+—,

o

•.a=-7<0,抛物线开口向下，对称轴为直线t=2,

7

、“864

,,当1=7时，S有最大值，最大值为了.

16

③当2<t<y时，S=-14t+32

Vk=-14<0,二S随t的增大而减小.

16

又•.•当t=2时，5=4；当t=5-时，S=0,0<S<4.

864

综上所述，当t=］时，S有最大值，最大值为号.

2012

（4）1=§或1=3时，ZXQMN为等腰三角形.

【解析】

/2

（1）利用梯形性质确定点D的坐标，由sinNDAB=）,利用特殊三角函数值，得至U

2

△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法

求出直线I的解析式：

,/C（7,4）,ABHCD,/.D（0,4）.

,/sinZDAB=,/.zDAB=45°./.OA=OD=4./.A（-4,0）.

2

—4k+b=0k=l

设直线I的解析式为：y=kx+b,则有｛卜.,解得：｛卜...•.y=x+4.

b=4b=4

二点A坐标为（-4,0）,直线I的解析式为：y=x+4.

（2）弄清动点的运动过程分别求解：①当0<t41时，如图1；②当时，如图2；

16

③当2cte万时，如图3.

（3）根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值.

（4）ACIMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论：

①如图4,点M在线段CD上，

MQ=CD-DM-CQ=7-(2t-4)-(5t-5)=16-7t,MN=DM=2t-4,

20

由MN=MQ,得16-7t=2t-4,解得t=q.

②如图5,当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D,

图5

12

此时AQMN为等腰三角形，t=y.

..2012

••当t=g或t=5时，AQMN为等腰三角形.

考点：一次函数综合题，双动点问题，梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函

数值，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，等腰三角形的性质，分类

思想的应用.

6.如图，已知点”从(1，°)出发，以1个单位长度/秒的速度沿X轴向正方向运动，以/

为顶点作菱形°.，使点纥,在第一象限内，且“℃=60。；以P(0,3)为圆心，PC为

半径作圆.设点4运动了‘秒，求：

(1)点,的坐标(用含t的代数式表示)；

(2)当点“在运动过程中，所有使°。与菱形°4BC的边所在直线相切的t的

【答案】解：(1)过,作CC'x轴于巴

OA=1+t，OC=1+t，

l+t臼1+t)

•••OD=OCcos60°=——DC=CCsin60°=-------------

2，2，

1+tgl+t)

二点。的坐标为‘方一’一工一\

(2)①当。0与比相切时(如图1),切点为4此时PC

A1+t=3—

OC=OPcos3002

②当°P与。P,即与X轴相切时(如图2),则切点为0,PC=OP

1

““OE=-OC

过工作PC=OP于三则2,

1+t3J3

•••-------=OPcos30°=-------.「。4

22.'.t=3yfS-1

③当°P与OP所在直线相切时(如图3),设切点为P,°「交℃于「,

图3

臼1+t)

则PhOC「G=C'=-2-

«3(1+t)

・♦・PC=PF=OPsin300+-------------

过C作C"ly轴于P,则PM+C，2=PC2,

2

1+1追(1+0239(1+t)

-3)=勺+^^)

22

化简，得心+1)2-18臼£+1)+27=0,

解得t+1=9媳±6匹

•.•t=9、3-60-l<O

PH2+CH2=PC2

3、但

',所求'的值是〒：3、8-1和9々+65-1.

【解析】

(1)过,作CC,X轴于D,利用三角函数求得OD、DC的长，从而求得点C的坐标

OP与菱形OABC的边所在直线相切，则可与OC相切；或与OA相切；或与AB相切，应

分三种情况探讨：①当圆P与OC相切时，如图1所示，由切线的性质得到PC垂直于

OC,再由OA=+t,根据菱形的边长相等得到OC=l+t,由NAOC的度数求出NPOC为30。，

在直角三角形POC中，利用锐角三角函数定义表示出cos3(r=oc/op,表示出OC,

等于1+t列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；②当圆P与0A,即与x轴相

切时，过P作PE垂直于0C,又PC=PO,利用三线合一得到E为0C的中点，0E为0C的

一半，而OE=OPcos30。，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；③当圆P与

AB所在的直线相切时，设切点为F,PF与0C交于点G,由切线的性质得到PF垂直于

AB,则PF垂直于0C,由CD=FG,在直角三角形OCD中，利用锐角三角函数定义由0C表

示出CD,即为FG,在直角三角形OPG中，利用0P表示出PG,用PG+GF表示出PF,根

据PF=PC,表示出PC,过C作CH垂直于y轴，在直角三角形PHC中，利用勾股定理列出

关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，综上，得到所有满足题意的t的值.

7.如图，已知正方形。4BC在直角坐标系xOy中，点2c分别在X轴、丁轴的正半轴上，点

。在坐标原点.等腰直角三角板°PF的直角顶点。在原点，E、/分别在℃上，且

。4=4,%=2将三角板绕。点逆时针旋转至的位置，连结S,g.

⑴求证：AOAEI三AOCF]

（2）若三角板°EF绕°点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得•若存在，请

求出此时E点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析（2）存在,E9,4）或助3

【解析】

（1）证明：•.・四边形为正方形，...℃=04

•••三角板OEF是等腰直角三角形，二°助=°%

又三角板°EF绕°点逆时针旋转至叫F1的位置时，〃呜="叫

•△0J4£,I=△OCF\...................................3分

（2）存在.4分

OE1OF.

，过点F与OE平行的直线有且只有一条，并与垂直，

又当三角板绕。前逆时针旋转一周时，则点尸在以。为圆心，以°?为半径的圆上，

........................5分

・•・过点F与°F垂直的直线必是圆°的切线，又点C是圆°外一点，过点C与圆°相切的直线有

且只有2条，不妨设为和即2,

此时，七点分别在玩点和心点，满足

CFlIIOEi,CF2||0E21..............................7分

当切点力在第二象限时，点Ei在第一象限，

在直角三角形"1°中，℃=4,呜=2,

0F11

cos"O%=正=才

.zCOFj=60。，,LAOEX=60°

二点Ei的横坐标为：XE1=2COS60°=1,

点加的纵坐标为：坊=2sin60°=甲，

二点Ei的坐标为（1,甲）.............................9分

当切点乙在第一象限时，点均在第四象限，

同理可求：点々的坐标为0，

综上所述，三角板绕°点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得°9"（下，此时点石的

坐标为“I。，0）或功（1,.................................I］分

（1）根据旋转的性质找到相等的线段，根据SAS定理证明；

（2）由于△OEF是等腰RtA,若OEIICF,那么CF必与OF垂直；在旋转过程中，E、F的

轨迹是以。为圆心，0E（或OF）长为半径的圆，若CF_LOF,那么CF必为。。的切线，且

切点为F；可过C作。。的切线，那么这两个切点都符合F点的要求，因此对应的E点也

有两个；在RtAOFC中,0F=2,OC=OA=4,可证得NFCO=30。，即NEOC=30。，已知了OE

的长，通过解直角三角形，不难得到E点的坐标，由此得解.

11

8.如图，直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点8,抛物线y=-2x2+bx+c经过

A、B两点，与x轴的另一个交点为C.

(1)求抛物线的解析式；

11

(2)根据图象，直接写出满足］x+22-,X2+bx+c的x的取值范围；

(3)设点。为该抛物线上的一点、连结AD,若NDAC=NCB。,求点。的坐标.

【答案】(1)y=~-X2--X+2.(2)当X20或蟀-4；(3)。点坐标为(0,2)或

(2,-3).

【解析】

【分析】

(1)由直线y=1X+2求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析

式；

(2)观察图象，找出直线在抛物线上方的x的取值范围；

(3)如图，过。点作X轴的垂线，交X轴于点E,先求出CO=1,AO=4,再由NDAC=

NCB。，得出tanZD4C=tanNCBO,从而有，——■=最后分类讨论确定点D的坐标.

AEBO

【详解】

1

解：(1)由y=1X+2可得：

当x=0时，y=2；当y=0时，x=-4,

(-4,0),B(0,2),

把A、8的坐标代入y=-/X2+bx+C得:

c=2

13

••・抛物线的解析式为：y=--X2-£2

22X+

(3)如图，过。点作x轴的垂线，交x轴于点E,

13。

由y=-1X+2令y=0,

解得：xx=l,X2=-4,

「.8=1,A0=4,

、一13c

设点。的坐标为（m,n-,

,/ZDAC=NCBO,

/.tanZDAC=tanNCBO,

在RtAADE和RtABOC中有V—=---,

AEBO

13c

当。在X轴上万时，22_1

m+42

解得：mx=0,m2=-4（不合题意，舍去），

二点。的坐标为（0,2）.

z13

当。在X轴下万时，,22_1

m+42

解得：m1=2,m2=-4（不合题意，舍去），

点D的坐标为（2,-3）,

故满足条件的。点坐标为（0,2）或（2,-3）.

【点睛】

本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次

函数解析式.解题的关键是能够熟练掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题，分类

讨论是第（3）题的难点.

9.如图，在。。的内接三角形ABC中，NACB=90。，AC=2BC,过C作AB的垂线/交。。

于另一点。，垂足为E.设P是ac上异于4c的一个动点，射线AP交/于点F,连接

PC与PD,PD交AB于点G.

（1）求证：△PA5△PDF；

（2）若AB=5,^p=^p,求PD的长.

A

【答案】⑴证明见解析；（2）3<1°.

2

【解析】

【分析】

（1）根据AB_LCD,AB是。。的直径，得到XD=XC，NACD=NB,由NFPC=NB,得

到NACD=NFPC,可得结论；

（2）连接OP,由Xp=Bp,得至l]OP_LAB,ZOPG=ZPDC,根据AB是。。的直径，得

BC

到NACB=90。，由于AC=2BC,于是得到tanNCAB=tanNDCB=丁育，得至!J

AC

CEBE1OGOP

求得AE=4BE,通过△OPG”△EDG,得到中=中，然后根据勾股定

AECE2GEED

理即可得到结果.

【详解】

（1）证明：连接AD,

AB±CD,AB是。。的直径，

/.ZACD=NB=NADC,

,/ZFPC=NB,

/.ZACD=NFPC,

ZAPC=NACF,

,/ZFAC=NCAF,

△PAO△CAF；

14n5

(2)连接OP,则OA=OB=OP=]AB=2,

VXP=4P,

OP±AB,ZOPG=NPDC,

AB是。0的直径，

/.ZACB=90°,

,/AC=2BC,

BC

/.tanZCAB=tanNDCB=------,

AC

.CEBE_1

一~AE~~CE~2f

/.AE=4BE,

,/AE+BE=AB=5,

AE=4,BE=1,CE=2,

/.OE=OB-BE=2.5-1=1.5,

「NOPG=NPDC,ZOGP=ZDGE,

OGOP

/.△OPG~△EDG,/.---二——，

GEED

.OE-GEOP2.5

GE'CE~~"

PG=JOP2+OG2=—,

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得

△OPG-△EDG是解题的关键.

10.阅读下面材料：

观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题.在锐角△ZBC中，N4NB、NC的对

ADAD

边分别是。、b、c,过八作4D_LBC于。（如图），则sinB=---,sinC=——,即4。=

cb

becci

csinB,AD=bsmC,于是csinB=bsinC,BP-~~—=———.同理有：—~~—=—~7,

sinBsinCsinCsinA

a_bbc

7:zr，所以—;a7-—;——~~~~,•

smAsmBsinAsmBsinC

即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.在锐角三角形中，若已知三个元

素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述

材料，完成下列各题.

（1）如图，AABC^P，Z8=75°,ZC=45°,BC=60,则AB=；

（2）如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30。的方向上，随后货轮以60海里/

时的速度按北偏东30。的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏

西75。的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A的距离AB.

（3）在（2）的条件下，试求75。的正弦值.（结果保留根号）

【答案】（1）20#；（2）15“海里；（3）%母

【解析】

【分析】

（1）根据材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，写出比例关系，代入

数值即可求得AB的值.

（2）此题可先由速度和时间求出BC的距离，再由各方向角得出NA的角度，过B作

BM_LAC于M,求出NMBC=30。，求出MC,由勾股定理求出BM,求出AM、BM的长，由

勾股定理求出AB即可；

（3）在三角形ABC中，NA=45,NABC=75,NACB=60,过点C作AC的垂线BD,构造直

角三角形ABD,BCD,在直角三角形ABD中可求出AD的长，进而可求出sin75。的值.

【详解】

解：（1）在△ABC中，NB=75°,NC=45°,BC=60,则NA=60°,

..ABBC

sinCsinA'

.AB60

sin45osin60。’

AB60

即亚飞,

22

解得：AB=20V6.

（2）如图，

A

依题意：BC=60x0.5=30（海里）

,/CDIIBE,

/.ZDCB+ZCBE=180°

ZDCB=30°,

ZCBE=150°

ZABE=75°.

/.ZABC=75°,

/.ZA=45°,

ABBCAB30

在AABC中,------即_________

sinAACBsinZAs%60?sin451

解之得：AB=15>/6.

答：货轮距灯塔的距离AB=15的海里.

(3)过点B作AC的垂线BM,垂足为M.

在直角三角形ABM中，NA=45。，AB=15",

所以AM=15jT,在直角三角形BDC中，ZBCM=60°,BC=30°,可求得CM=15,

所以AC=ls73+15,

上叩515x/3151576V6+V2

由题意得，、=7,sin75。，、匚.

sin15osin6Qo4

【点睛】

本题考查方向角的含义，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性

质和判定等知识点，解题关键是熟练掌握解直角三角形方法.

11.如图(1),已知正方形ABC。在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点,

以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG.

(1)连接G。，求证：△ADG2AABE；

连接FC,观察并直接写出NFCN的度数(不要写出解答过程)

(3)如图(2),将图中正方形A8C。改为矩形A8C。，＞48=6,BC=8,E是线段BC上一

动点(不含端点B、C),以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射

线CD上.判断当点E由B向C运动时，ZFCN的大小是否总保持不变，若NFCN的大小不

请举例说明.

(3)当点E由B向C运动时,

4

ZFCN的大小总保持不变，tanNFCN=_理由见解析.

3,

【解析】

【分析】

(1)根据三角形判定方法进行证明即可.

(2)作FHLMN于H.先证AABE^AEHF,得到对应边相等，从而推出△CHF是等腰直角

三角形，NFCH的度数就可以求得了.

(3)解法同(2),结合(1)(2)得：△EF隹△GAD,AEFH-△ABE,得出

EH=AD=BC=8,由三角函数定义即可得出结论.

【详解】

(1)证明：,四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，

AB=AD,AE=AG=EF,ZBAD=NEAG=ZADC=90°,

ZBAE+Z.EAD=NDAG+NEAD,ZAOG=90°=NABE,

ZBAE=NDAG,

在小ADG和^ABE中,

ZADG=ZABE

<ZDAG=ZBAE,

AD=AB

「.AADG^△ABE(A4S).

(2)解：NFCN=45。，理由如下:

作FHLMN于H,如图1所示：

则NEHF=90°=ZABE,

•，-ZAEF=NABE=90°,

ZBAE+NAEB=90°,ZFEH+NAEB=90°,

ZFEH=NBAE,在AEFH和〃ABE中，

ZEHF=ZABE

<ZFEH=ZBAE,

EF=AE

△EFH缄△ABE(AAS),

FH=BE,EH=AB=BC,

：.CH=BE=FH,

ZFHC=90°,

ZFCN=45°.

(3)当点E由B向C运动时，NFCN的大小总保持不变，理由如下:

由已知可得NEAG=NBAD=^AEF=90°,

结合(1)(2)得：△EFHM△GAD,AEFH-△ABE,

：.EH=AD=BC=8,

：.CH=BE,

,EHFHFH

"AB-BE-CH；

FHEH_4

在Rt^FE”中，tanZFCN

CH--6-3

4

当点E由B向C运动时，ZFCN的大小总保持不变，tanNFCN=一

3

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的

综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例.

12.如图，A3为e。的直径，C、。为e。上异于A、8的两点，连接C。，过点C

作CE_LOB,交的延长线于点E,垂足为点E,直径A3与CE的延长线相交于点歹.

（1）连接AC、AD,求证：ZDAC+ZACF=180°.

（2）若/ABD=2/BDC.

①求证：C尸是e。的切线.

3

②当6。=6,tan/=a时，求的长.

20

【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②。歹=3.

【解析】

【分析】

（1）根据圆周角定理证得NADB=90。，即AD_LBD,由CE_LDB证得ADIICF,根据平行线

的性质即可证得结论；

（2）①连接OC.先根据等边对等角及三角形外角的性质得出N3=2N1,由已知

Z4=2Z1,得到N4=N3,则0cliDB,再由CE_LDB,得到OC_LCF,根据切线的判定即可

证明CF为。。的切线；

BD34

②由CFIIAD,证出NBAD=NF,得出tanNBAD=tanNF=——=-,求出AD=^BD=8,禾I]

AD43

OC3

用勾股定理求得AB=10,得出OB=OC=,5,再由tanF=k=下，即可求出CF.

CF4

【详解】

解：（1）是e。的直径，且。为e。上一点，

:.ZADB=90°,

QCE1DB,

:./DEC=90。,

:.CF//AD,

:.ZDAC+ZACF=18Q°.

(2)①如图，连接。C.

QOA=OC,:.Z1=Z2.

QZ3=Z1+Z2,

.-.Z3=2Z1.

QN4=2NBDC,ZBDC=Z1,

.-.Z4=2Z1,

,-.Z4=Z3,

OC//DB.

QCELDB,

OC±CF.

又QOC为e。的半径，

为e。的切线.

②由(1)知CF/1AD,

:.ZBAD=ZF,

3

tanZBAD=tanF=—,

4

BD_3

AD4,

QBD=6

4

AD=-BD=S,

3

.•.46=J62+82=10,OB=OC=5.

QOC1CF,

.-.ZOCF=90°,

「3

tanr=----=—,

CF4

CL20

解得b=可.

【点睛】

本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难

度，特别是(2)中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果.

13.如图，在RQABC中，ZC=90°,NA=30。，AB=4,动点P从点A出发，沿AB以每

秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PDLAC于点。(点P不与点A,B重合)，

作NDPQ=60。，边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒.

(1)用含t的代数式表示线段DC的长：；

(2)当1=时，点Q与点C重合时；

(3)当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，求出t的值.

135

【答案】⑴2口-、曲；(2)1；(3)t的值为)或彳或不

【解析】

【分析】

(1)先求出AC,用三角函数求出AD,即可得出结论；

(2)利用AQ=AC,即可得出结论；

(3)分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论.

【详解】

(1)；AP=2t,AB=4,NA=30°

.AC=2、同，ADjBt

CD=2、3_\/3t；

(2)AQ=2AD=2、产t

当AQ=AC时，Q与C重合

即2、1&=2、/3

t=l；

(3)①如图，当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，

111

ZPGF=90°,PG=-PQ=-AP=t,AF=_AB=2.

222

•••ZA=ZAQP=30°,ZFPG=60°,二NPFG=30°,PF=2PG=2t,

AP+PF=2t+2t=2,t=

②如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点N时,

Q

AN=1AC=S，QM11

/.ZQMN=90°,=_PQ=_AP=t.

22

MQ2^3

在RtANMQ中,NQ=^?=-'

,/AN+NQ=AQ,=・"=；

③如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点F时,

11

BF=_BC=1,PE=_PQ=t,ZH=30°.

22

,/ZABC=60°,NBFH=30°=NH,BH=BF=1