2023-2024学年高考数学立体几何初步专项练习题（含答案）

2023-2024学年高考数学立体几何初步小专题

一、单选题

1.正四面体/BCD的棱长为1,E,尸分别为8C,4。的中点，则族的长为（）

V2

A.2B.2C.^2D.2亚

2.已知平面直线/ua,直线加不在平面a上，下列说法正确的是（）

A.若a/111B,则/〃加B.若。〃尸，加，尸，贝|/_1加

C若///机，a//£,则加//尸口若1110,则

3.设圆锥的底面半径为G,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积为

（）

A.12兀B.4兀C.16兀D.3兀

4.设△为两个平面，则&〃〃的充要条件是（）

A.夕内有无数条直线与夕平行B.c内有两条相交直线与「平行

C.a,/平行于同一条直线D.以上答案都不对

5.如图，在长方体/8CO-43cA中，AB=BC=6M=l,异面直线48与co所成

6.某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），将该平面图形绕其直角

ZABC=45°,AD=AB=-BC=l

腰边旋转一周得到一个圆台，已知2,则该圆台的表面积

A.57T+6V27TB.5TT+6V57r

C.571+30九D5九+3E九

7.如图所示的点，线，面的位置关系,用符号语言表示正确的是（）

Aac0=m,nua,mcn=A

Bac0=jn,nea,mcn=A

Qac0=m,nua,Aum,Aun

Dary=m,nea,Aem,Aen

8.如图，在正方体48a）一"4GA中,4c与8。的位置关系为（）

A.平行B.相交

C.异面但不垂直D.异面且垂直

二、多选题

9.如图，在正方体48a）一"4GA中,E、尸、G、H、M、N分别是棱BC、

4片、BB\CQjCG的中点，则下列结论错误的是（）

A.直线和跖V平行，G”和E尸相交

B.直线G4和MN平行，儿W和E户相交

C.直线G"和MN相交，加乂和E尸异面

D.直线G4和E尸异面，MN和E尸异面

10.已知45C三点均在球。的表面上，4B=BC=CA=2,且球心°到平面NBC的距离等

于球半径的弓，则下列结论正确的是（）

A.球。的内接正方体的棱长为1

B.球0的表面积为6兀

4

C.球。的外切正方体的棱长为§

D.球°的内接正四面体表面积为4g

11.如图，为水平放置的的直观图，其中=2,/C'=8'。'=石，则在原平

面图形/BC中有（）

A.AC<BCB.AB=1CAC=I4SD.”ABC=4A/2

12.如图，四棱锥/BCD的底面为正方形，SO,底面4BCD,则下列结论中正确的是（

s

A.AC工SB

B.ADISC

C.平面"C，平面SB。

D.BDLSA

三、填空题

9兀

13.已知一个正方体的外接球的体积为2,则正方体的体积为.

14.数学中有很多公式都是数学家欧拉(LeonhardEuler)发现的，它们都叫欧拉公式，分散

在各个数学分支之中，任意一个凸多面体的顶点数匕棱数£面数尸之间，都满足关系式

V-E+F=2,这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”.若一个凸二十面体的每个面均为三角形,

则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为

C=-

15.如图，在直角“8C中，2,BC=20,AB=40,现将其放置在平面的上面，其中

71

点/、8在平面的同一侧，点Ce平面，2C与平面所成的角为片,则点/到平面的最大距离

是.

16.在已知长方体"CD-45cA中阳1=怛牛1"期=色点E为棱DG上一点且

忸G0,点尸为线段片。上的动点，则附的最小值为.

答案:

1.A

【分析】根据等腰三角形性质，结合勾股定理进行求解即可..

【详解】连接8RC尸,

在正四面体力BCD中，因为尸为/。的中点,

所以AFJ_NO,CF_L/。

BF=CF=

因此,而£为8c中点,

所以EF1BC,

故选:A

2.B

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答

案.

【详解】对于A,若&//£，机〃£,贝”〃加或/与加异面，故A错误；

对于B,若&//£,机'夕，则m'a,又lua,贝加，故B正确;

对于C,若//"〃，"//£,则加〃尸或机u£,故c错误；

对于D,若〜,则"/4或口与尸相交，故D错误.

故选：B.

3.B

【分析】根据已知先求母线长，再结合轴截面可得半径，然后可得.

-AB^PATt=-7tPA2/r

【详解】如图，由题意可知22,所以4=2。3,

所以圆锥的轴截面是边长为的正三角形，

圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，

所以外接球半径R=OD=ADtunXOAD=V3tan300=1,

所以该圆锥的内切球的表面积为4兀F=4兀.

故选：B.

4.B

【分析】AC可举出反例；B选项，根据线面平行的判定定理得到B正确.

【详解】A选项，若这些无数条直线均平行，此时无法推出"〃月，A错误;

B选项，由面面平行的判定定理得到B正确，故D错误.

C选项，如图，a,夕平行于同一条直线加，但1,夕不平行，C错误；

故选：B

5.A

【分析】首先根据“8〃°得到乙484为异面直线&B与。所成的角，再求大小即可.

【详解】因为窗〃CD,所以N4B4为异面直线48与co所成的角,

AA_1_V3

tanAABA=X

X刘=耳二?

于是又异面直线的夹角为0°＜夕＜90°,

所以N/84=30。，即异面直线48与co所成的角为30。.

故选：A.

6.D

【分析】先还原出平面图形，得圆台的上下底面半径与母线长，结合圆台的表面积公式即可

求解.

AD=\,AB=1,BC=2,£ABC=-,CD=4^

作出其平面图形，则在平面图形中2

则圆台的上底面半径下底面半径&=2,母线/=石，

则由圆台的表面积公式得：

S=兀（/+尺2+〃+；?/）=兀12+2?+后+2囱）=571+37571

故选：D

7.A

【分析】利用符号语言表示点线面的位置关系即可得解.

【详解】对于A,由图知。与‘交于"，"在。内，加与〃交于点A,

所以ac£=%〃ua/c〃=4,故A正确；

对于BD,〃©a这一表示方法错误，故BD错误；

对于C,/匚机,/<=〃这一表示方法错误，故c错误.

故选：A.

8.D

【分析】通过证明BD1平面AAC来证得4c与BD异面且垂直.

【详解】连接"C,根据正方体的性质可知平面48CD,

由于BOu平面/5CD,所以

由于四边形N8CD是正方形，所以4CqBD,

由于44rlZC=/,44,4Cu平面所以平面幺4。

由于4Cu面/4c,所以BDrc,m,4c没有公共点,

所以与4c异面且垂直.

故选：D

【分析】利用平行线的传递性可判断出直线G”和平行，利用三角形全等可证得G”和

即相交，由异面直线的定义可判断出和E尸异面，即可得出合适的选项.

【详解】如下图所示：

因为G、a分别为,内、8月的中点，则G//〃48,同理可证MN〃cn,

在正方体"BCD-48cB中，42//8C且42=80,

所以，四边形48cA为平行四边形，则43〃C2,所以，GH//MN,

延长AW交直线DC于点尸，

因为MG//PC,则心N=/PCN,

又因为GN=CNZMNG=ZPNC所以△解©NPCN所以PC=C、M

延长E尸交℃的延长线于点°,同理可证。C=8E,

CM=—CD=-AB=BE”

因为X2xx2,所以，PCr=QC,即点尸、°重合，

所以，MN、£尸相交，

由异面直线的定义结合图形可知，GH、E尸异面，故B对，ACD均错.

故选：ACD.

10.BD

【分析】先求得球。的半径，然后根据球和几何体的位置关系对选项进行分析，从而确定正

确答案.

【详解】设球。的半径为％”8C的外接圆圆心为O,半径为R,

因为球心。到平面的距离等于球0半径的3,

r2--r2=-

所以93,

S=4Tlz2=4兀x—=6兀

所以球。的表面积2,选项B正确;

球。的内接正方体的棱长X满足瓜=27.（正方体的体对角线长等于外接球的直径）,

6=2厂=2x=\[6

球。的外切正方体的棱长6满足J2,所以选项c不正确;

先求解正四面体的棱长和其外接球半径间的关系：

设正四面体少一的边长为a,将其补形成正方体殁"-小乂乂4如下图所示,

V2

---a

则正方体的边长为2----,

正方体的体对角线长为八11,

展V6

—a—a

所以正四面体少-正巴的外接球的直径为2,半径为4

—C="丁=2

所以球。的内接正四面体的棱长C满足4

4xI—x2x2xsin—j=4G

所以正四面体的表面积为123J,选项D正确.

故选：BD

求解几何体与球的内接、外切问题，主要是求解球的半径.如果几何体是正方体、长方体，则

外接球的直径是几何体的体对角线.求解正四面体的外接球问题，可以补形成正方体来进行求

11.AD

【分析】根据斜二测画法规则确定点H，8'，C'的位置，再作出逐项计算判断即可.

【详解】在直观图中，A'B，=2,A'C'=B'C'=也,取中点加，连接

则C'DUH",而N3'O'C'=45。，于是。力'=CD=瓜豆1=2,。4=1。。=2也，

由斜二测画法规则作出“BC，如图，

则0C=O'C'=26,0A=2O'A'=2,OB=2OB=6,AB=4,

NC=衣+（2亚）2=25BC=舟+（2扬2=27nS^BC^-OC-AB=4s/2

显然NC<5C,AD正确，BC错误.

故选：AD

12.ABC

【分析】利用线面垂直和面面垂直的性质和判定方法逐项判断即可.

【详解】对于选项A,C,

因为底面NBC。，/Cu平面48C。,则/C工SO,

因为4C_LBD,SDc8。=Z>,且S£)u平面SBDBDu平面SBD,

所以"CL平面S3。，

因为S8u平面SB。，所以/CLSB,

且"Cu平面"C,所以平面&4cl平面SBD,故A,C正确；

对于B,由选项A知，

ADrSD,又AD1DC,SDcDC=D,且SDu平面SDC,OCu平面SDC

所以ND,平面S£)C,

且SCu平面SOC,所以/O'SC,故B正确；

对于D,若

则8。垂直于“在平面/BCD内的射影ZX4,显然不成立，故D错误.

故选：ABC.

13.3g

R=-

【分析】设正方体的棱长为。，其外接球的半径为A,根据题意，求得2,得到

也a=2R,结合正方体的体积公式，即可求解.

【详解】设正方体的棱长为。，其外接球的半径为尺，

9兀43_9兀n_3

——TLR=­R——

因为正方体的外接球的体积为2,可得32,解得2,

则y/ia-2R=3,所以。=,

所以正方体的体积为％=/=36

故答案为.36

14.12

【分析】根据几何体的结构特征结合“欧拉公式”运算求解.

【详解】因为二十面体的每个面均为三角形，每条棱都是两个面共用，

£=20x3x1=30

所以棱数2,面数尸=20,顶点数展ET+2=12.

故12.

15.30

【分析】作出辅助线，判断出当4瓦4,°四点共面时，点/到夕的距离最大，进而算出

AC,最后得到答案.

【详解】如图，过B作交a于用，过/作/41夕，交。于4,

一