湖北省武汉市江岸区2023-2024高三年级上册元月调研考试数学试题及答案

2023〜2024学年度高三元月调考

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合A={—2,—1,1,2},B=则A3=()

A.{1,2}B.{-2,-l}C.{-1,1,2}D.{-2,-l,l)

2.已知i是关于x的方程2%之+p%+q=0(p,ggR)的一个根，则"+9=()

A.OB.-2C.2D.1

3.已知向量a=(3,1),b=(3,2),c=(1,4),则COS(Q/-C)=()

A.立B.在C.在一旦

5310一行

4.函数/(x)=log2(-尤2+分)在区间(0,1)上递增，则a的取值范围是(

A.[2,+oo)B.(2,+oo)C.(0,2)D.(0,2]

5.设数列{叫的前〃项和为九则”是“{叫为等差数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.成语“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，意思是在小小的军帐之内作出正确的部署，决定了千里之外战场上

的胜利，说的是运筹的重要性.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”，如图是一种幄帐示意图，帐

顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值

均为工，底面矩形的长与宽之比为2：1,则正脊与斜脊长度的比值为()

2

245

A.-B.-D.-

3344

2

7.已知A,8为双曲线九一y2=1上不同两点，下列点中可为线段A3的中点的是()

A.(1,1)B.(2,3)PM

irn_4

8.已知在ZXABC中，a—2b,sinB,贝!Jsin-sin------=()

322

A巫Vw

n正

D.---------------D.---------

333

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图，正方体ABCD—A与G2的棱长为1，则()

A.正方体A3CD—4与£。的内切球的半径为日

B.两条异面直线2c和BC1所成的角为JT；

C.直线BC与平面ABQD,所成的角等于彳7F

D.点D到面ACD,的距离为—

10.已知圆O:f+y2=i和圆c：(x—3)2+(y—4)2=/(/〉0),则()

A,两圆可能无公共点

B.若两圆相切，则r=4

C.直线％=-1可能为两圆的公切线

37

D.当〃=4时，若丁=履+加为两圆的公切线，则左=——或一

424

11__7

11.设A,3是一次随机试验中的两个事件，且尸(A)=],P(B)=-,P(AB+AB)=-f则()

A.A,2相互独立B.P(A+B)=|C.P(B|A)=|D,P(A|B)P(B|A)

12.已知函数/(x)=e*-6，g(x)-k\nx-x,k>Q,则()

A.当%>e时，函数/(x)有两个零点

B.存在某个ke(0,+s),使得函数/(x)与g(x)零点个数不相同

C.存在左＞e,使得/（x）与g（x）有相同的零点

D.若函数/（X）有两个零点七，*2（/＜X2），g（X）有两个零点七,毛（毛＜X4），一定有七%=々％

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知如下的两组数据：

第一组：10、11、12、15、14、13

第二组：12,14、13、15、。、16

若两组数据的方差相等，则实数。的值为.

14.若函数y（x）=sin＜»x+sinlox+g卜＜»〉0）在［0,万］上恰有两个极大值点和四个零点，则实数。的取值

范围是.

15.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱

分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱.两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交

于一点（该点为所在棱的中点）.若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2,高为3近的正四棱柱构成，如图

所示，则该“十字贯穿体”的体积为.

2222

16.如图，椭圆G：=+看=1（勾＞4＞0）和。2：二+・=1有相同的焦点耳，尸2,离心率分别为6,

e,,8为椭圆G的上顶点，居尸，片尸，K，B,尸三点共线且垂足P在椭圆。2上，则且的最大值是

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

,八、一人.4▽j"、,八r,，口x.2cos（B+C）cos3cosC

17.（10分）在ZkABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知----------=-----+-----.

beabac

（1）求A；

（2）。为边上一点，DALBA,且6£）=3。。，求cosC.

18.(12分)如图，已知四边形ABC。为平行四边形，E为CD的中点，AB=4,AD=AE=2>

△AOE沿AE折起，使点。到达点P的位置，使平面APE,平面A5CE.

(1)求证：APLBE-,

(2)求平面PAC与平面PBE夹角的余弦值.

19.(12分)已知函数/(x)=(e-a)e*+x(aeR).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若存在实数。，使得关于x的不等式/(x)<4a恒成立，求实数2的取值范围.

20.(12分)若数列｛七｝满足：存在等比数列｛c“｝,使得集合｛当+。"|"｛4｝元素个数不大于左

(丘N*),则称数列代｝具有P(Q性质.如数列为,=1,存在等比数列g=(-1)",使得集合

｛%,+cn\neN*｝=｛0,2｝,则数列｛%„｝具有P(2)性质.若数列｛4｝满足q=0,

%=吟+g(—l)09eN*),记数歹U｛4｝的前几项和为Sn.

证明：(1)数列｛%+(-!)"｝为等比数列；

(2)数列｛SJ具有P(2)性质.

21.(12分)已知一个盒子中装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外全部相同.每次从盒子中随机取出1

个球，并换入1个黑球，记以上取球换球活动为1次操作.设几次操作后盒子中所剩黑球的个数为“

(1)当〃=3时，求J的分布列；

(2)当〃=左伏之3)时，求J的分布列和数学期望月C).

22.(12分)己知抛物线。1：炉=4y的焦点为尸，M为抛物线C2：炉=4(y+l)上一点，且在第一象限内.过

M作抛物线G的两条切线MA，MB,A,B是切点；射线"尸交抛物线。2于。.

(1)求直线A3的方程(用M点横坐标/表示);

(2)求四边形M4D5面积的最小值.

2023-2024学年度高三元月调考

数学试卷参考答案

一、选择题

l.B2.C3.A4.A5.C6.B7.B8.A

二、选择题

9.BC10.ACDll.ABD12.ACD

三、填空题

,“「2313)56行V2+1

13.11或1714.—,—15.-------16.--------

L63)32

四、解答题：

,、八2cos(B+C)cosBCOSC,八「人‘…

17.(1)已知-----------=-------1--------，由5+C=»-A,Wcos(B+C)=-cosA,

beabac

-2cosAcos3cosC7/口c八7一

所以--------=------+-----，两边同乘以次?c得：-2d；cosAx=ccosB+bcosC.

beabac

由正弦定理得：-2sinAcosA=sinCcosB+cosCsinB=sin(B+C)=sinA.

127r

由AG(0,^)，sinAwO,所以cosA=——，A=——

23

(2)因为。在5c边上，且8D=3DC,

3313

因为ZM,区4,所以AD-4B=0,则［；AB+；AC}AB=O,

-2--

即AB+3ACAB=0,得|31AC|・|-cosA,

3

所以。2=三次，2c=3从不妨设Z?=2,c=3.

2

在△ABC中，由余弦定理：片=b2+c2_2bccosA=4+9+6=19,所以。=炳.

c^+b2-c219+4-9_7A/19

由余弦定理:cosC=

2ab2XMX2-38

18.(1)因为四边形ABCD为平行四边形，且AWE为等边三角形，所以NBCE=120°.

又因为£为CO的中点，则《石=七。=公4=。，所以△BCE为等腰三角形，

可得NCEB=30°,ZAEB=180°—ZAED—ZBCE=90。,即成，AE,

因为平面APE,平面ABCE,平面APE、平面ABCE=AE,3Eu平面ABCE,

则班_1_平面"石，且APu平面"E,所以AP_L5E.

(2)作过。作°y〃EB,

由面APE上面ABCE得PO，面ABCE

则QA,0y,O尸两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系.

尸(0,0,我,A(l,0,0),£(-1,0,0),8(-1,2A0),C(-2,AO)

设平面PAC的一个法向量为nz=(%，M，zJ

m-PA=0fx=A/SZ,R

由知「i可取根=(e,3,i),

m-AC=0[%=A/3玉

同理得平面PBE的一个法向量n=(-A0,l).

设平面PAC与平面PBE的夹角为。.

m-n—3+1_V13

则cos0=

\m\\n\713x2—13'

面PAC与面？的夹角的余弦值为巫

13

19.(1)函数［(冗)=(«-〃把“+1(〃£区),XGR,则/'(x)=(e-Q)e*+1,

当e—即〃<e时，/'(x)>0恒成立，即/(x)在R上单调递增;

当e—〃<0,即〃>e时，令/，(%)=0,解得x=-ln(a-e),

(Yo,-ln(a-e))-ln(6z-e)(-ln(tz-e),+oo)

r(x)+0—

小)极大值

综上所述，当〃<e是，/(%)在R上单调递增；

当。〉e时，/(%)在(Yo,-ln(〃-e))上单调递增，在(-ln(〃-e),+8)上单调递减.

(2)/(%)<Aa(e-a)ex+x-<0,令/z(x)=(e-a)e'+x-，

当〃<e时，/z(l+2^)=(e-6z)e1+^+l>0,所以例»KO不恒成立，不合题意.

当a〉e时，/(%)<Aa等价于Xa>/(a)max

由⑴可知/(x)1mx=/(—ln(a—e))=—1—ln(a—e)，

所以4aN-l-ln(a-e),对a〉e有解，所以22」一―2对a〉e有解,

a

因此原命题转化为存在a〉e,使得％2土地二里.

a

令比(Q)=皿""1，Cl>6，贝U几2K(〃)min'

a

e

-----ln(a-e)1ln(a-e)-----—

u\a)=—"e------+'二--------/士,

aaa

P1(>

令(p(d)-ln(Q-e)--------,则(p>{a)=--------b--------鼻>0,

Q—ea-e(a—e)

所以(p(d)在(e,+oo)上单调递增，又0(2e)=----------bln(2e-e)=0,

2e-e

所以当eva<2e时，(p(a)<0,u\d)<0,故"(a)在(e,2e)上单调递减,

当a>2e时，(p｛d｝>0,u\a)>0,故“(a)在(2e,+o。)上单调递增,

所以沅(a)min=〃(2e)=—'，所以42-,，

ee

即实数4的取值范围是—

20.(1)设〃=4+(—1)",则仿=一1,

2+1=a向+(T)用=一++J(T)〃一(T)"=一+一：(T)“=一；2・

乙乙乙乙乙

因此数列｛a+(—1)"｝是首项为—1,公比为-；的等比数列,

n且a”+(-1)"

(2)由(1),，所以S〃=

取数列5=_工［_工］,贝!］｛5｝是等比数列，并且S,+q=—；—；(—1)'.

312J62

因此集合｛s〃+rn\neN*｝=j-|,|l.所以数列｛S.｝具有P(2)性质.

21.解：（1）72=3,即3次摸换球后J的可能取值为1,2,3.

当。=1,即3次摸球都摸到黑球,

P(^=l)=lx-x-=—

33327

当J=2,即3次摸球中有且仅有2次摸到黑球，1次白球,

P((f=2)=[黑黑白)T+P（黑白黑）+P（白黑黑）

112122222

=—X—X——I-—X—X——I——X—X—

333333333

14

27

当。=3,即3次摸球中有且仅有1次摸到黑球，2次白球,

P(4=3)=《黑白白)+彳白黑白)+彳白白黑)

12122121

=—X—X—-1——X—X--1——X—X1

33333333

12

"27,

二分布列为

4122

11412

P

272727

（2）〃=左（左23）时，即左次摸球换球后，黑球个数4可能取值为1,2,3

同（1）当自=1,即上次摸球都摸到黑球PC=l）=（g]

当&=2,即人次摸球有且仅有“左-1”次摸到黑球，1次摸到白球,

PC=2）=%黑黑）+4黑白黑黑）+•♦+々黑黑黑白）

¥1-2

c2"-1

=2,—.

3k

当J=3,尸《=3)=1_尸4=1)_尸《=2)

=3-2(i)

22.(1)M