浙教版初三数学知识点

第一章反比例函数

知识点：L定义：形如y=&（k为常数，kWO〕的函数称为反比例函数。其中x

是自变量，y是函数，自变量x的取值是不等于0的一切实数。

说明：1）y的取值范围是一切非零的实数。

2）反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为。的常数，因此其解析式也可

以写成xy=k；y=kx1；y=k—（k为常数，kWO）

3）反比例函数y=&（k为常数，kWO）的左边是函数，右边是分母为自变量x的分式，

X

也就是说，分母不能是多项式，只能是X的一次单项式，如丫=,，等都是反比例

X1

-X

2

函数，

但y=’就不是关于x的反比例函数。

x+2

2.用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数y=8只有一个待定系数，因此只需要知道一组对应值，就可以求出k

X

的值，从而确定其解析式。

3.反比例函数的画法：

1）列表；2）描点；3）连线

注：（1）列表取值时，xWO,因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”

为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便

于求y值

12〕由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连

线，使画出的图象更精确

（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线

（4）由于xWO,kWO,所以yWO,函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无

限靠近两坐标轴

4.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对

称图形。有两条对称轴：直线y=x和y=-x；对称中心是：原点

5.性质:

说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”

这一条件。

2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x轴、y轴，但与x轴、y轴没有交

点。

3）M越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直.阳越小，图象的弯曲度越大.

4〕对称性：图象关于原点对称，即假设（a,b）在双曲线的一支上，那么~b］

在双曲线的另一支上.

图象关于直线尸=士工对称，即假设（a,b〕在双曲线的一支上，那么［b,a］和［-6,

-a）

在双曲线的另一支上.

6.反比例函数y=A（kWO〕中的比例系数k的几何意义表示反比例函数图像上的点向

X

两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。如图，过双曲线y=-（kWO〕上

X

的任意一点P（X,y）做X轴、y轴的垂雪PA、PB,所得矩形OBPA的面积S=PA•PB=|xy

I=Ik|o

推出：过双曲线上的任意一点做坐标轴的垂线，连接原点，所得三角形的面积为

7.经典例题考察：

1)反比例关系与反比例函数的区别和联系：如果xy=k(kWO),那么x与y这两个量成反

比例的关系，这里的x、y可以表示单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式。例如y

—1与x+1成反比例，那么y-1=上；假设y与X?成反比例，那么y=2成反比例关系，

x+1X

X和y不一定是反比例函数；但反比例函数y=&(kWO〕必成反比例关系。

2)坐标系中的求不规那么图形的面积

3〕反比例函数与一次函数、正比例函数的综合题

8反比例函数与一次函数的联系.

(1)双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论,

不能一概而论.

(2)直线＞=上"与双曲线

1的关系:

两图象没有交点；当1?时，两图象必有两个交点，且这两个交点

关于原点成中心对称.

8.实际问题与反比例函数的应用

1)步骤：分析问题，列解析式建立反比例函数模型一利用反比例函数解决相关问题，建

立反比例函数模型是解决问题的关键。

思路：题目中已明确两变量的函数关系，常利用待定系数法求出函数解析式。

题目中不能确定变量间的函数关系，找出等量关系，将变量联系起来就能得到

函数关系式，并解决问题。

2）反比例函数的应用

（1）反比例函数在几何问题中的应用。求实际问题中的面积

（2）反比例函数在其他学科中的应用，

a）物理学中，电压一定时，电阻R与电流强度I成反比例函数，//

b）当在一个可以改变体积的容器中装入一定质量的气体时，当改变容器的体积时，气体的密

度也会随之改变，密度夕〔单位：kg/m3）是体积v的反比例函数，解析式可以表达为夕=（

k

C）收音机刻度盘的波长/与频率/关系式：/=:

d）压力F一定时，压强P与受力面积S成反比例关系，即「=二

S

P

e）当汽车输出功率P一定时，汽车行驶速度v与汽车所受的负载即阻力F成反比例关系，v=O

F

（3）反比例函数在日常生活中的应用：路程问题、工程问题等。

注：实际问题中一定要注意自变量x的取值范围。

重点:

反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用.

难点：

（1）反比例函数及其图象的性质的理解和掌握.反比例函数的图像是双曲线，在利用它的

增、减性解题时，必须注意“在每一象限内”的条件。

（2）反比例函数的应用：从实际问题中抽象出反比例函数的模型。用待定系数法求出反比

例函数的解析式，再用反比例函数的规律解决实际问题。

考点：

与反比例函数有关的问题，几乎在历届中考中都可以找到。其主要命题点为：（1）反比例

函数的定义；（2〕反比例函数的图像及性质；（3〕求反比例函数的解析式；（4）反比例函

数与实际问题的应用；（5）反比例函数与一次函数的综合。题型主要有选择题、填空题、

还有解答题。

二次函数

知识点：

1.定义：一般地，如果y=ax?+bx+c(a,"c是常数，a，0),那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数〉=。/的性质

(1)抛物线y=ax2(aw0)的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

⑵函数y=ax2的图像与a的符号关系.

①。>。时O抛物线开口向上O顶点为其最低点；

②当。<0时O抛物线开口向下。顶点为其最高点

3.二次函数y=ax2+bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.

4.二次函数>=。/+以+。用配方法可化成：y=a(x-/z)2+人的形式，其中

b74。。一周

P7l:=----9K,--------,

2a4a

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

(T)y=ax2；@y-ax1+k；©y=a(x-h)2；®y=a(x-h)2+k；@_y=ax1+bx+c.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a决定抛物线的开口方向：

当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；同相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线％=0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数。相同，那么抛物线的开

口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

4acb

⑴公式法：y=ax+bx+c=c[x+-^\+~,1.顶点是,

la)4a2a4a

对称轴是直线x=-2.

2a

⑵配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y=4"步+%的形式，

得到顶点为(力，k),对称轴是x=h.

⑶运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的

垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★

9.抛物线y=af+/?x+c中，a,4c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小，这与y=a/中的。完全一样.

⑵。和。共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y="2+fcc+c的对称轴是直线尤=_2,故:

2a

①6=0时，对称轴为y轴；②2>0(即。、〃同号)时，对称轴在y轴左侧；

a

③2<0(即。、〃异号)时，对称轴在y轴右侧.

a

⑶c的大小决定抛物线y=ax?+bx+c与y轴交点的位置.

当x=0时，y=c,.,.抛物线丁=。必+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,c)：

①c=0,抛物线经过原点；②c>0,与y轴交于正半轴；③c<0,与y轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，那么2<o.

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标

y=ax2x=0(y轴)(0,0)

2

y=ax+k当a>0时x=0(y轴)(0,k)

y=a(x-hf开口向上x=h(肌0)

y=a(x-h)2+k当a<0时x=h(h,k)

开口向下

b(b4ac-b2)

y=ax2+bx+cx=---

2a2a4a

11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式：y=+/?x+c.图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

⑵顶点式：y=a(x-/zy+左.图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

⑶交点式：图像与x轴的交点坐标玉、x2,通常选用交点式：y=a(x-x}\x-x2).

12.直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线y=ax?+8x+c得交点为(O,c)

⑵与y轴平行的直线x=〃与抛物线y=tu，+少x+c有且只有一个交点(〃，ah2+bh+c).

⑶抛物线与x轴的交点

二次函数y+以+。的图像与％轴的两个交点的横坐标修、%2,是对应一元二次方

程

ax2+bx+c^O的两个实数根.抛物线与％轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的

判别式判定：

①有两个交点o△〉0o抛物线与x轴相交；

②有一个交点(顶点在x轴上)o△=0o抛物线与x轴相切；

③没有交点<=>A<0o抛物线与x轴相离.

(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同⑶一样可能有。个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相

等，设纵坐标为M那么横坐标是62+笈+。=左的两个实数根.

⑸一次函数y=履+”(左H0)的图像/与二次函数y=a*2+6x+c(aw0)的图像G的交点，由

方程组

=的解的数目来确定：

y=ax2+bx+c

①方程组有两组不同的解时o/与G有两个交点；

②方程组只有一组解时。/与G只有一个交点；③方程组无解时o/与G没有交点.

(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：假设抛物线丁="犬+法+。与x轴两交点为

A(x1,0),B(X2,0),由于玉、9是方程++bx+c=0的两个根，故

bc

无]+=--，%]・无2二一

一aa

13.二次函数与一元二次方程的关系：

(1)一元二次方程y=ax1+bx+c就是二次函数y=ax~+bx+c当函数y的值为0时的情况.

(2)二次函数y=ax2+6x+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、

没有交点；当二次函数y=欠2+法+。的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当

丁=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c^O的根.

⑶当二次函数丁=依2+法+。的图象与X轴有两个交点时，那么一元二次方程

y=+6x+c有两个不相等的实数根；当二次函数y=。必+bx+c的图象与x轴有一

个交点时，那么一元二次方程内2+公+C=0有两个相等的实数根；当二次函数

y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点时，那么一元二次方程ax?+Z?x+c=。没有实数根

14、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1.关于x轴对称

y=ax2+云+°关于苫轴对称后，得到的解析式是y=-冰2；

y=a（x-hf+k关于x轴对称后,得到的解析式是y=-a{x-hf-k;

2.关于y轴对称

y=ax2+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=。尤?-6x+c；

y=a（x-/7）2+左关于y轴对称后,得到的解析式是y=a（x++%;

3.关于原点对称

y=ax2+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是丫=-渥+bx-c；

y=a（x-/z）2+上关于原点对称后，得至U的解析式是y=-a（x+/z）2-人;

4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180。〕

y=ax2+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-加-灰+°-2;

2a

y=［（%一力）2+左关于顶点对称后，得至［J的解析式是丁=—"（%一力J+k.

5.关于点（m,〃）对称

y=a（x-〃）2+上关于点（口，对称后，得到的解析式是y=-a（x+〃-2〃z『+2〃-%

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此同

永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择

适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再

确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.

15.二次函数的应用：

⑴二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；

⑵二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数

关系；

运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值.

15.解决实际问题时的根本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数

表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的

合理性，对问题加以拓展等.

重难点：

二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，用二次函数解决实际问题。

考点：

二次函数在中考中占有很重要的地位，是中考中的必考内容。中考的主要命题点为：（1〕

求二次函数的关系式（2）抛物线的顶点、开口方向和对称轴（3）二次函数的最大（小）

值（4）抛物线>="2+法+0（aWO）与a,b,c的符号（5〕二次函数与一元二次方程（6）

二次函数的简单实际问题等。题型主要有选择题、填空题、解答题，还有探究题和开放题。

有关二次函数的热点问题仍然是函数型应用题与方程、几何知识、三角函数等知识综合在

一起的综合题、探究题和开放题。

圆的根本性质

知识点：

1.圆的有关概念

m圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。

（2）直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一局部。

2.圆周角与圆心角

门）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

（2〕圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；

90。圆周角所对的弦是圆的直径。

（3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；

在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

3.圆的对称性

m圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

（2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相

等，那么它们所对应的其他各组量分别相等。

（3〕圆的轴对称性：经过圆心都的任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是研究有关圆

的知识的根底。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。还可以概

括为：如果有一条直线，1.垂直于弦；2.经过圆心；3.平分弦（非直径）；4.平分弦所对的

优弧；

5.平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其他三个结论。

4.弧长及扇形的面积

弧长公式：

圆弧是圆的一局部，假设将圆周分为360份，1°的圆心角所对的弧是圆周长的熹，因

为半径为r的圆周长是2»r,所以n°的圆心角所对的弧长/的计算公式为

n-n7ir

----•271r=---（-其-中,/为弧长，n为弧所对的圆心角度数，r为弧所在圆的半径〕

360180

扇形的面积公式:

1•扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形,如图，AB

和半径OA、0B所组成的图形是一个扇形，读作扇形OAB

2,扇形的周长

扇形的周长等于弧长与两半径的长之和，即/扇花=/+2R

廨形AB

3•扇形是圆面的一局部，假设将半径为r的圆分为360份，圆心角1°的扇形面积是圆面

积的击，因为半径为r的圆的面积是万产，所以半径为〜圆心角为n。的扇形面积为

YiTir1

~36Q

4•弧长为/,半径为r的扇形面积为S="二=」.也

36021802

5•扇形面积的应用（求圆的一局部的面积）：

5.圆锥的侧面积和全面积

圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为1,底面圆的半径为r,那么这个

圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长1,扇形的弧长即为底面圆的周长2nr,根据扇形

面积公式可知S=L・2nr•1=nrl.因此圆锥的侧面积为S州=nrl.圆锥的侧面积与底面积

2

之和称为圆锥的全面积，全面积为S^nd+nrl.

重点：

1.弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系。

2.用尺规作图法对不在同一直线上的三个点作圆。

3.垂径定理。（重中之重：“垂直于弦的直径平分弦和弧”经常考）

4.扇形弧长和面积、圆锥侧面积和体积的计算。

难点：

1..对“不在同一直线上的三个点确定一个圆”中的存在性和唯一性

的理解

2.圆锥侧面积计算公式的推导过程需要较强的空间想像能力

3.类似蚂蚁爬圆锥的计算问题。

4.有关圆的无图多解问题。

考八占八•.

1垂直于弦的直径

2圆周角定理及其推论

3圆内接四边形

4圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

5圆的性质综合题

相似三角形

知识点：

1相似图形

形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

2比例线段的相关概念

如果选用同一单位量得两条线段a)的长度分别为利九，

那么就说这两条线段的比是4=%,或写成=m:〃.

bn

注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位.

在四条线段a,dc,d中，如果a和。的比等于c和d的比，

那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.

注意：

(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式.

⑵比例线段是有顺序的，如果说。是"c,d的第四比例项，那么应得比例式为：2=4.

ca

3比例的性质

根本性质：

(1)a:b=c:d<^>ad=bc；(2)a:c-c:b^>c2-a-b.

注意：

由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如=

除

了可化为a:Z?=c:d,还可化为a:c=人：d,c:d=a:b,b:d=a:c,b:a=d:c,

c:a=d:b,d:c=b:a,d:b=c:a.

更比性质(交换比例的内项或外项)：

反比性质(把比的前项、后项交换)：-=4^-=--

bdac

合比性质：厘=4.

bdbd

注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之

间

b-a_d-c

发生同样和差变化比例仍成立.如：@=aC等等.

bda-b_c-d

+bc+d

等比性质：

心厂中〃cem7「八、a+c+e-\—+ma

如果一=—=—=-=—Sz7+d+/+•••+〃wO),那么--------------=一.

bdfnb+d+f-\--1-nb

注意：

(1)此性质的证明运用了“设左法”,这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方

法.

(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零.

(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性

fl2c+3g

质也成立.如：-=-=-^-=—=—^~=£,其中b—2d+3//0.

bdfb-Id3/b-2d+3fb

4比例线段的有关定理

平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

推论：

（1）平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.

（2）平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形

三边对应成比例.

定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，

那么这条直线平行于三角形第三边.

5黄金分割

把线段分成两条线段AC,5aAe>30,且使AC是A环口8C的比例中项，叫做把

线段黄金分割，点。叫做线段A8的黄金分割点，其中AC=避匚回心0.618AB.

2

6相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.

相似用符号“S”表示，读作“相似于”.

相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）.

相似三角形对应角相等，对应边成比例.

注意：

①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样

写比拟容易找到相似三角形的对应角和对应边.

②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的.

③两个三角形形状一样，但大小不一定一样.

④全等三角形是相似比为1的相似三角形.二者的区别在于全等要求对应边相等，而

相似要求对应边成比例.

7相似三角形的根本定理

定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与

原

三角形相似.

定理的根本图形：

用数学语言表述是：.DE//BC,:.^ADE^AABC.

8相似三角形的等价关系

⑴反身性：对于任一MBC有AABCsAABC.

⑵对称性：假设AABCSAABC,那么AABCSAABC.

⑶传递性：假设AABCsAA'〃C',且AA'BC'sAA"6"C",那么AABCsAA"6"C".

9三角形相似的判定方法

1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.

2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，

所构成的三角形与原三角形相似.

3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这

两

个三角形相似.简述为：两角对应相等，两三角形相似.

4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且

夹

角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相

似.

5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，

那么这两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两三角形相似.

6、判定直角三角形相似的方法：

(1)以上各种判定均适用.

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角

边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.

(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.

直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边

是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式如图，RtaABC中，ZBAC=90°,AD是斜边BC上的高，那么有射影定理如下：

⑴(AD)2=BD•DC,

⑵(AB)2=BD•BC,

2

⑶(AC[=CD•BCo

证明：在ABAD与4ACD中，ZB+ZC=90°,ZDAC+ZC=90°,AZB=ZDAC,又：

ZBDA=ZADC=90°,，ABADs^ACD相似，I.AD/BD=CD/AD,即

(AD)2=BD-DCo其余类似可证。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式12)+[3)得：

(AB)2+(AC)JBD•BC+CD•BC=(BD+CD)•BC=(BC)2,

即(AB〕2+(AC)2=(BC)2。

这就是勾股定理的结论。

10相似三角形性质

(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例.

(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.

(3)相似三角形周长的比等于相似比.

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.

(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等.

11相似多边形

如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多

边形.相似多边形对应边的比叫做相似比(相似系数).

12相似多边形的性质

(1)相似多边形周长比，对应对角线的比等于相似比.

(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比.

(3)相似多边形面积比等于相似比的平方.

注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三

角形知识是根底和关键.

13与位似图形有关的概念

1.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的

两个图形叫做位似图形.

2.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.

拓.

(1),位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一

点.

(2〕位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.

(3)位似图形的对应边互相平行或共线.

14位似图形的性质

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.拓展：位似图形有许

多性质，它具有相似图形的所有性质.

15画位似图形

1.画位似图形的一般步骤：

m确定位似中心

(2)分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长(或截取〕.

〔3〕根据的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.

(4)顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.

2.位似中心的选取：

(1)位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外.

〔2〕位似中心可取在多边形的一条边上.

(3)位似中心可取在多边形的某一顶点上.

说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方

法都能把一个图形放大或缩小.

16相似三角形常见的图形

(1)假设DE〃BC(A型和X型)那么△ADES^ABC

(2)射影定理假设CD为Rt^ABC斜边上的高(双直角图形〕

那么RtAABCRtAACDRtACBD且AC=AD•AB,CD=AD•BD,BC=BD•AB；

⑶满足1、AC=AD«AB,2、ZACD-ZB,3、ZACB=ZADC,都可判定△ADCS^ACB.

Ar)4F

(4)当叱=/或AD•AB=AC•AE时，△ADES^ACB.

ACAB

(3)⑷

重点：

相似三角形的判定方法及相似三角形的有关性质

难点：

相似三角形性质的应用

考P八占、、•,

图形的相似是平面几何中极为重要的内容。中考的主要命题点为：

(1)比例的性质和黄金分割

(2)相似三角形的定义及相似三角形的判定

(3)相似三角形的性质及其应用

(4)相似多边形的定义和性质

(5)位似图形及其作图等。

题型主要为选择题、填空题、解答题等，选择题、填空题将注重“相似三角的判定与性质”

等根底知识的考查，将在解答题中加大知识的横向与纵向联系及应用问题的力度。

九下第一章解直角三角形

知识点:

锐角三角函数的定义：

在RTAABC中，ZC=90°,a、b、c分别是NA、NB、ZC

的对边，那么：

常用变形：a=c.sinA；c=，等，由同学们自行归纳。

sinA

锐角三角函数的有关性质：

1、当0°<ZA<90°时，0<sinA<l；0<cosA<l；tanA〉O；

2、在0°90°之间，正弦、正切（sin、tan）的值，随角

度的增大而增大；余弦（cos）的值，随角度的增大而减

小。

同角三角函数的关系：

常用变形：sinA=Vl-cos2AcosA=71-sin2A（用定义证明，易得，同学自行完成）

四、正弦与余弦，正切与余切的转换关系:

如图1,由定义可得：sinA=—=cosB=cos(90°-A)同理可

五、特殊角的三角函数值:

三角函数sinacosatana

j_A/3

30°旦

2~T

45°~TT1

]_

60°百

22

六、解直角三角形的根本类型及其解法总结：

类型条件解法

重点：

2

两直角边a、bc=da+b9tanA=—9/B—90°—

b一、三角函数

两边

1.特殊

直角边a,斜边cb=y]c2-a2,sinA=-,ZB=90°-ZA

c角的三角函

数值：

一边直角边a,锐角A4=90。-"b=acotA,c=-^~

sinA

一锐角

斜边c,锐角AZB=90°-ZA,a-osinA,b=acosA

0°30°45°60°90°

sin

a

cos

a

tga||/

2.互余两角的三角函数关系：sin（90°-a）=cosa；…

3.三角函数值随角度变化的关系

二、解直角三角形

1.定义：边和角（两个，其中必有一边〕一所有未知的边和角。

2.依据：①边的关系：a2+b2=c2

②角的关系：A+B=90°

③边角关系：三角函数的定义。

注意：尽量防止使用中间数据和除法。

三、对实际问题的处理

1.俯、仰角：2.方位角、象限角：3.坡度:

两个直角三角形中，都缺

角三角形的条件时，可用

程的方法解决。

1、锐角三角函数的概念

2、直角三角形的解法

3、三角函数在解直角三角形中的灵活运用

考点：

1.中考重点考查正弦、余弦的根本概念和求特殊角的三角函数值，及利用正弦和余弦解决

一些比拟简单的直角三角形问题.

2.中考侧重考查求特殊角的正切值、余切值，利用正切求线段的长.以及综合应用三角函

数解决测量问题.

3.考查三角形的边角关系是中考常见题型，解决此类问题的方法是将一般图形转化为解直

角三角形的知识来解决。有时需要添加辅助线.

4.中考中的三角函数与圆的综合题是热点题型.解决这类问题的方法是利用勾股定理、锐

角三角函数关系式.