人教A版2019高中数学必修第二册 导数的概念与运算（解析版）

导数的概念与运算

【人教A版2019】

模块导航

・模块一导数的概念

・模块二导数的运算

・模块三课后作业

1.瞬时速度

（1）平均速度

设物体的运动规律是s=s（t）,则物体在到曲3这段时间内的平均速度为第=SC〉"。）

A/

⑵瞬时速度

①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

②一般地，当无限趋近于0时，器无限趋近于某个常数口我们就说当△/趋近于0时，器的极限

是v,这时v就是物体在右用时的瞬时速度,即瞬时速度尸lim与=lim$"。+黑—s"。）.

△10△t△10△t

2.抛物线切线的斜率

（1）抛物线割线的斜率

设二次函数尤），则抛物线上过点尸。（x°,/（x。））、尸&0+心,/（林+心））的割线的斜率为图=

/（为+Ax）—y（x（＞）

Ax.

（2）抛物线切线的斜率

一般地，在二次函数y=/（x）中，当Ax无限趋近于。时，目无限趋近于某个常数比我们就说当△无趋

近于0时，孚的极限是比这时人就是抛物线在点尸。（x°J（x。））处切线的斜率，即切线的斜率"lim，=

ZkXAxT0zxx

lim/（%o+Ax）—/（Xo）

AXTOAx

3.函数的平均变化率

函数平均变化率的定义

对于函数y=/（x）,设自变量尤从X。变化到x°+Ax,相应地，函数值y就从/（X。）变化到/（xo+Ax）.这时，尤

的变化量为△尤，y的变化量为Ay=Ax0+Ax）-"x。）.我们把比值?，即卓=八工。+'）一人与）叫做函数

产/⑴从Xo至Ij'o+Ax的平均变化率.

考点剖析

【考点1瞬时速度、平均变化率】

【例1.1]（2023下•高二课时练习）函数y=《从％=1到尤=2的平均变化率为（）

A.-1B.--

2

C.-2D.2

【解题思路】根据平均变化率的求法求得正确答案.

【解答过程】当％=1时，y=l；当％=2时，y=：.

所以平均变化率为曰

2-1L

故选：B.

【例1.2]（2023下•辽宁沈阳•高二校考阶段练习）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心

相对于水面的高度h（单位m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=-4.9t2+4.8t+11.该运

动员在t=Is时的瞬时速度（单位：m/s）为（）

A.10.9B.-0.1C.6D.-5

【解题思路】对函数求导，将t=1代入导函数求瞬时速度即可.

【解答过程】由题设九'（t）=-9.8t+4.8,则五'（1）=一9.8+4.8=—5,

所以运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为-5.

故选：D.

【变式1.1]（2023•高二课时练习）已知物体做直线运动对应的函数为S=S（t）,其中S表示路程，f表示时

间.则S，（4）=10表示的意义是（）

A.经过4$后物体向前走了10m

B.物体在前4秒内的平均速度为10m/s

C.物体在第4秒内向前走了10m

D.物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s

【解题思路】根据导数的物理意义可知，S（t）函数的导数即是r时刻的瞬时速度.求解即可.

【解答过程】..•物体做直线运动的方程为S=S（t）,

根据导数的物理意义可知，S（t）函数的导数是f时刻的瞬时速度，

；.S，（4）=10表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s.

故选：D.

【变式1.2］（2022下.北京丰台.高二校考阶段练习）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药

物在人体血管中的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度c与时间，的关系为c=f（t）,甲、

乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间f变化的关系如下图所示.给出下列四个结论错误的是（：

c(mg/mL)

'3f(h)

A.在q时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；

B.在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；

C.在［办打］这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；

D.在L，t2］，伯253］两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.

【解题思路】根据图象以及导数的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【解答过程】A选项，根据图象可知，在匕时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A选项结论正确.

B选项，根据图象以及导数的知识可知，在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同，

B选项结论正确.

C选项，根据图象可知，在上，5］这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，

C选项结论正确.

D选项，根据图象可知，在［九/2］这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于

在［办这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率

D选项结论错误.

故选：D.

【考点2导数定义中极限的简单计算】

【例2.1］（2023下•重庆长寿•高二校考期中）若函数f（x）在久=1处的导数为2,则蚂/0+祟/⑴=（）

A.2B.1C.|D.4

【解题思路】根据题意，由导数的定义，代入计算，即可得到结果.

【解答过程】根据导数的定义可得，函数f（久）在x=1处的导数为2,

则lim-/⑴=1)2

故选：B.

【例2.2】(2023下•河北沧州•高二校考阶段练习)如果广Q°)=2,贝以向3铝邈=()

Jk-02k

A.2B.1C.-D.-

24

【解题思路】由尸(Xo)=2,利用导数的定义求解.

【解答过程】解：因为尸(而)=2,

所以lim"xo+k)-fg),

k->02k

故选：B.

【变式2.1](2023下•福建宁德•高二校联考期中)已知函数尸(x0)=a,则d-0时，色殁3的值趋近

于()

11

A.2〃B.—2ciC.—aD.—a

22

【解题思路】根据导数定义可得答案.

[解答过程】由题意可得limfg+d)-fg)=1limfg+d)-fd)

d->02d2d->od

=/&)=*

故选：c.

【变式2.2X2022上•浙江宁波.高二镇海中学校考期中)已知函数/O)可导，且满足点续江^=2,

则函数y=/(%)在久=3处的导数为()

A.-1B.-2C.1D.2

【解题思路】根据导数的定义求解.

【解答过程】因为lim"3-AX)-f(3+Ax)=_2Hmf(3-Ax)-"3+Ax)=7r⑶=2,

所以尸(3)=-1,

故选:A.

【考点3利用定义求函数在一点处的导数(切线斜率)】

【例3.1](2023•高二课时练习)已知函数/(%)在久=1处的导数为3,则函数/(切的解析式可能为()

A./(x)=3(x—1)B./(x)=2(x-1)

C./(x)=2x—1D./(%)=x—1

【解题思路】由导函数的定义计算可得答案.

【解答过程】解：对于A：尸(1)=lim)=iim"I+4XT)-3XO]=3,故A正确;

对于B：尸(1)=lim""MF⑴=lim[2(-)-2x0]=2,故B不正确；

对于C：/⑴=lim"】+»(】)=lim更匕热土”目=2,故C不正确；

A%T021%T0

z

对于D：f(l)=limfa+“x)-«i)=lim"xT-3=1,故D不正确，

4XT0AX

故选：A.

【例3.2](2023・高二单元测试)设函数/(久)=ax+1,若尸(1)=2,贝必=()

A.2B.-2C.3D.-3

【解题思路】利用导数的定义可求a的值.

【解答过程】⑴=lim"1+上。)=%。⑷+D+「(a+i)=以且尸⑴=2,

/.a=2.

故选：A.

【变式3.1】(2022下•贵州遵义•高二校考阶段练习)设f(x)存在导函数且满足如/⑴=一1,则

曲线y=f(x)上的点(l,f(l))处的切线的斜率为()

1

A.-1B.-3C.1D.--

3

【解题思路】利用导数的定义求解.

【解答过程】解:因为lim2)573=3lim八一…⑴

△%TOLX-3AX^0-3AX

所以limnA”⑴1

-SAx-*0-3Ax3’

故选：D.

【变式3.2](2023•高二课时练习)定义1•2•3••…n=n!,已知函数/(%)=%(%-1)(%-2)…式-2020)

在(一1,+8)内的导函数为/(%),尸(2019)的值为()

A.2019!B.-2019!C.2020!D.-2020!

【解题思路】利用导数的定义公式/8)=/更/(x°+幻-可知,r(2019)-Jim/(2019+^~/(2019),即

可解出.

【解答过程】因为/(2019+Ax)=(2019+4x)(2018+Ax)-(1+Ax)Ax(-l+Ax),

"2°i9+q-"2019)=Roig+/X)(2018+Ax)(1+4x)(—l+Ax),

所以/''(2019)=lim"2oi9+4x)--2oi9)=[(2019+4x)(2018+/x)…(1+/x)(-l+/久)]=-2019!

21x->04%T0

故选：B.

模块二a导数的运算。I

基础知识

i.基本初等函数的导数公式

函数导数

f(x)=c(C为常数)f'(x)=0

/(x)=xa(a£Q,且a彳0)f(x)=axa~x

f(x)=sinxf(x)=cosx

f(x)=cosxf'(x)=—sinx

f(x)=々x(a>0,且aW1)f(x)=ax\na

/(x)=e*f'(x)=ex

/(x)=log以x(a>0,且Q*1)/'(X)-Hna

/(x)=lnxr(x)=g

2.导数的运算法则

符号表达文字叙述

两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导

"(x)士g(x)]，=/，(x)土g，(x)

数的和(或差)

两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第

[/W-g(x)]，=/，(x)・g(x)+/(x)•g'(x)

二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数

r/(x)],=r(x)g(x)—/(x)g〈x)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减

[g(x)」—[g(x)]2

去分子乘分母的导数，再除以分母的平方

3.复合函数的导数

(1)复合函数的定义

一般地，对于两个函数y=/(")和片g(x),如果通过变量可以表示成尤的函数，那么称这个函数为函

数＞=/缶)和”=g(x)的复合函数，记作广场(尤)).

(2)复合函数的求导法则

复合函数丫刁3%))的导数和函数产Xa),〃=g(尤)的导数间的关系为二'=yu''ux',即y对尤的导数等于y

对"的导数与u对尤的导数的乘积.

考点剖析

【考点1基本初等函数的导数】

【例1.1](2023上•河北邯郸•高三校联考阶段练习)下列求导运算中正确的是()

A.(4)'=2B.(3")'="3'-1C.Qnx)'=^^D.(久5)，=5-

【解题思路】根据基本初等函数的导数公式计算可得；

【解答过程】对于A,(4丫=0,故A错误；

对于B,(3工)'=3、」n3,故B错误；

对于C,(lnx)'=1,故C错误；

对于D,(x5y=5x3故D正确.

故选：D.

【例1.2](2023下.新疆巴音郭楞.高二校考期中)已知外四=己+2%>(1),则r(1)等于()

A.-2B.2C.-1D.1

【解题思路】根据题意，求得广(X)=2久+2尸(1),令x=1,即可求解.

【解答过程】由八x)=/+2xr(1),可得广3)=2%+24(1),

令x=l,可得尸(1)=2+2尸(1),解得尸(1)=一2.

故选：A.

【变式1.1](2023下・甘肃天水•高二校考阶段练习)下列求导运算正确的是()

A.(2'=妥B.(久2—cos久)，=2久+sinx

C.(xey=(1-x)xeD.(In2y=I

【解题思路】根据导数的运算公式，准确计算，即可求解.

【解答过程】对于A中，由(]=(厂*=一厂2=一妥，所以A错误；

对于B中，由(产一cos%)'=(/y一(cosx)'=2x+sinx,所以B正确；

对于C中，由(Y)，=ed-i,所以c错误；

对于D中，由(In2y=0,所以D错误.

故选:B.

【变式1.2](2023下•陕西渭南•高二校考期中)已知%(%)=cos%,/i(%)=/o'(%)，4(%)=牙(%)，.•・，

fn+lM=fnM，ncN,则正007(%)为()

A.sinxB.—sin%C.cosxD.—cosx

【解题思路】根据基本初等函数的导函数分析可得At+4(x)=加(x)，nEN,进而可得结果.

【解答过程】因为%(>)=cosx,fn+1M=neN,

可得：/i(x)=—sin%,/^(%)=—cosx,^(x)=sinx，4(x)=cosx,

即AI+4(X)=Ai(x)，N,

所以上007(%)=/5O1X4+3(X)—/s(x)—sinx.

故选：A.

【考点2复合函数的求导方法】

【例2.1](2023上•江苏南京•高三校联考阶段练习)下列求导正确的是()

A.(simr-sin,)=cosx—sin,B.[(2x+1)2了=2(2%+1)

/X2X

C.(log2x)=D.(2+x)'=2+2x

【解题思路】根据基本函数的求导公式，及导数的运算法则和复合函数的求导法则，进行运算即可判断选

项.

【解答过程】对于A,(sin久一sinf=(sin比)'—(sinj=cosx,故A错误；

对于B,根据复合函数的求导法则，

[(2%+I)2],=2(2%+1)(2久+1)'=4(2%+1),故B错误；

/

对于C,(log2x)=故C正确；

对于D,(2，+/)，=(2*)'+(/)，=2"ln2+2x,故D错误.

故选：C.

【例2.2](2023下・陕西榆林・高二校考期中)已知函数/0)=5皿(2刀+9，贝厅'6)=()

A.-2B.0C.-1D.1

【解题思路】利用复合函数的求导法则即可求解.

【解答过程】因为函数f(x)=sin(2x+§,

所以/''(尤)=2cos(2x+B，

rC)=2cos(2xg+f=-2,

故选：A.

【变式2.1](2023下•宁夏银川•高二校考阶段练习)下列求导运算正确的是()

A.[ln(2x—1)了=一之B,1+£)’=1+昼

C.(牙=D.(-Y=

\yjx/2\xJ%2

【解题思路】根据导数的运算逐一判断即可.

【解答过程】4：•.・[ln(2x—l)]，=―-义2=白，，A错误，

2x-l2x-l

B：v(x+=1—‘B错误，

\xJx2

c「忌)’=[3)=一产工一点一£正确，

必•・・(£)'=耍，.2错误，

故选：C.

【变式2.2】(2023下•广西玉林•高二校考阶段练习)设/o(%)=sin2x+cos2%/(%)=启⑴/⑴=

//(%)，••・fn+lM=fn'(x),nEN,则上020(%)=()

A.22020(cos2x—sin2x)B.22020(—sin2x—cos2x)

C.22020(sin2x+cos2x)D.22020(—cos2x+sin2x)

【解题思路】按照题意，依次求解，寻找规律，得到答案.

【解答过程】/o(x)=sin2x+cos2x,f1a)=2cos2x—2sin2x=2(cos2x—sin2x),

fz(x)=fja)=22(—sin2x—cos2x),%(%)=方(%)=23(—cos2x+sin2x),

fx4

f4(x)=f3()=2(sin2x+cos2x),.........,

依次计算，由于2020=4x505,

得到介020(%)=22020(sin2x+cos2x).

故选：C.

【考点3与导数运算有关的新定义问题】

【例3.1](2023上•湖南益阳•高三统考阶段练习)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑

讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若/'(%)是/(%)

的导函数，/"(%)是尸(%)的导函数，则曲线y=/(%)在点(阳/(%))处的曲率K=—,(刈于若/(%)=x-ex,

(i+(r(%))2y

则曲线y=/(久)在(0,-1)处的曲率4是()

A.0B.-C.1D.e

2

【解题思路】根据曲率的定义求解即可.

【解答过程】因为70)=x—eL

所以r(x)=l-ez,所以广(x)=-ez,

所以曲线y=f(乃在(0,—1)处的曲率K=''(°)J=―匕上『=1.

(l+(rz(0))2)2(l+(l-e°)2)2

故选：C.

【例3.2](2023•四川攀枝花•统考三模)定义在R上的连续可导函数f(x)的导函数为尸(x),/(%)满足

/(I-%)=/(%+1),且y=/(4x+2)为奇函数.当%£(2,3]时,f(x)=(x-2)3-3(%-2),则/(2022)+

f(2023)=()

A.—5B.—2C.-1D.1

【解题思路】推导出函数“为、/(%)均为周期函数，确定这两个函数的周期，结合周期性可求得尸(2022)+

/(2023)的值.

【解答过程】因为函数y=/(4x+2)为奇函数,+2)=-f(4x+2),

BP/(2—x)+f(2+x)=0,可得/(4—x)+/(x)=0,

又因为/'(1-x)=f(x+1),则/'(4-x)=f(x-2),

所以，/(x)+/(x-2)=0,可得/(x)+f(x+2)=0,贝!]/(x+2)=/(x—2),

即y(x+4)=y(x),

所以,/(2023)=f(4x505+3)=f(3)=l-3xl=-2,

在等式/'(x+4)=/(x)两边求导得/'(x+4)=f'M，

故函数尸(x)也为周期函数，且该函数的周期为4,

因为f(4一x)+f(x)=0,令x=2时，则有2/(2)=0,所以，/(2)=0,

所以，/(2)=。满足f(x)=(x-2)3-3(x-2),

即当久e[2,3]时,/(x)=(x—2)3—3(%—2),此时尸(x)=3(%—2)2—3,

所以,尸(2022)=广(4X505+2)=/(2)=-3,

因此，尸(2022)+/(2023)=-3-2=-5.

故选：A.

【变式3.1](2022下•云南昭通•高二校联考期末)定义满足方程广(无)+/(*)=1的实数解X。叫做/(切函数

的咱足点”，则下列函数存在咱足点”的是()

A./(x)=%2+3B./(%)=ex+1

C./(X)=InxD./(x)=ex—sinx+3

【解题思路】根据广(久)+/(%)=1逐个答案进行分析求解即可.

【解答过程】对于A选项，/(x)=%2+3,则:(%)=2x,由f(%)+//(%)=%2+2%+3=1,

即/+2%+2=0,A=4—8<0,因此，/(%)=/-3%不存在“自足点”，故A不满足易于题意;

对于B选项，/(%)=ex+1,则/'(%)=e%,由/'(%)+/'(%)=e"+1+e%=1,

得2e*=0,又e%>0,所以2e%=0无解，所以/(')=e%+1不存在“自足点”，故B不满足题意；

对于C选项，/(%)=Inx,则:(%)=[，其中％>0,所以/(%)+/(%)=Inx+：=1,

又广(1)+/(1)=1,故函数/(%)=ln%存在“自足点”，C选项满足题意；

对于D选项，/(x)=ex—sinx+3,则f'(%)=ex—cosx,

由/(%)+/'(%)=2ex—sinx—cosx+3=1,得2e%—sinx-cosx+2=0,

所以sin%+cosx=2(ex+1),即V^sin(%+：)=2(ex+1),

因为近5也(％+9€[—鱼,&],2(ex+1)>2,

所以&sin（x+：）=2©+1）无解，D选项不满足题意.

故选：C.

【变式3.2］（2023上•河南商丘•高二校考期末）给出定义：设广⑺是函数y=/（久）的导函数，尸'（久）是函数

y=/'（x）的导函数，若方程广（久）=0有实数解x=w则称（&,〃珀）为函数y=f。）的“拐点”•经研究

发现所有的二次函数/（©=ax3+bx2+ex+d（a丰0）都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y=/（x）的图像的

对称中心.若函数中）=-炉+3/,财岛）+/（嘉）+/（募）+…+/（翳）+/端）=（）

A.8082B.-8082C.8084D.-8084

【解题思路】按定义求得拐点，即为函数y=/（x）的图像的对称中心，利用对称性化简求值即可.

【解答过程】f'（X）=-3x2+6%,令/"（%）=-6%+6=0得x=1,/（I）=2,即函数y=f（x）的图像的对

称中心为（1,2）,则/0）+/（2-0=4,

）./1/4040、/,4041、

故f（疯）+"痂）+-砺）+…+/（痂）+"痂）

202020222021

['(2021)+”2021)]+[,(2021)+/(2021)]+…+[,(2021)+“2021)]+“2021)

=4x2020+2

=8082

故选：A.

模块三a课后作业。I

1.(2023下•高二课时练习)质点M按规律s=2/+3"故直线运动(位移单位：m,时间单位：s),则质

点M在f=2s时的瞬时速度是()

A.2m/sB.6m/s

C.4m/sD.11m/s

【解题思路】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合.

【解答过程】质点M在f=2s时位移的平均变化率为竺=也竺左丝土密咨=11+2A3

△tAt

当小无限趋近于0时，竺无限趋近于11m/s.

△t

故选：D.

2.(2023下•新疆伊犁•高二统考期中)设f(x)=aK3+x,若尸(_i)=4,则()

A.-2B.-1C.0D.1

【解题思路】求出导函数，将-1代入导函数，即可求出

【解答过程】/'(x)=3a%2+1,r(-1)=3a4-1=4,.>.a=1.

故选：D.

3.(2023下•辽宁阜新•高二校考期末)若函数/(x)=/+x,则函数/(%)从乂=-1到x=3的平均变化率为

()

A.6B.3C.2D.1

【解题思路】根据条件，直接求出"-1)=0,/(3)=12,再利用平均变化率的定义即可求出结果.

【解答过程】因为/0)=/+X，所以〃一1)=(一1)2一1=0,,(3)=32+3=12,

故函数f(%)从乂=-1到x=3的平均变化率为祟=蹩苔生=宁=3，

故选：B.

4.(2023下•河北廊坊•高二校联考开学考试)函数/(%)在R上可导，若尸⑵=3,则蚂/3%)=

()

A.12B.9C.6D.3

【解题思路】根据题意，由导数的定义，代入计算，即可得到结果.

【解答过程】limf(2+3Ax)-f(2-Ax)=4xlim"2+3Ax)-f(2-Ax)=，⑵=

△%TOAXAX^O4AX

故选：A.

5.(2023上•陕西汉中•高三校联考阶段练习)下列求导正确的是()

A.[(2%-1)21=2(2%-1)B.(2x+x2y=2x+2x

/

C.卜inx-cosg)=cosx+|sin|D.(log2x)=

【解题思路】根据基本函数的求导公式以及四则运算即可求解.

【解答过程】[(2无一1)2]，=2(2%—1)-2=4(2%—1),故A错误;

(2X+x2y=2xIn2+2x,故B错误；

(sinx-cos])=cosx,故C错误；

Qog2X)'=*=典，故D正确.

04xln2x

故选:D.

6.(2023上•北京•高三校考阶段练习)某种新产品的社会需求量y是时间t的函数，记作：y=/(t).若/(0)=y0,

社会需求量y的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，/⑴的导函数;⑴满足：r(t)=fc/(t)(500-

/(0)(左为正的常数)，则函数f(t)的图像可能为()

D.①②④

【解题思路】由尸⑴=kf(t)(500-/⑴)得，/⑴>0,即单调递增，再结合基本不等式，即可求.

【解答过程】因为广⑴=kf(t)(500-/⑴)，依题知0</(t)W500,所以广⑴〉0,

即函数y=f(t)单调递增，④不合，

又广Q)=fc/(t)(500-/(t))<上畔)+(5；。-")))2,

当且仅当f(t)=(500-f(t)),即f(£)=250时,等号成立,

则若y0<250,则等号可以取得，即导函数尸⑴在f(t)=250处取得最大值，

即在该处函数的变化最大，则③满足题意，②不合题意；

当先2250时，等号取不了，但y=/(t)是单调递增的，①符合题意；

只有①③符合题意.

故选：B.

7.(2023下•河南驻马店•高二统考期末)定义在R上的函数y=f(x)在区间［2,2+△灯(△%>0)内的平均变

化率为表=(AX)2+2AX+1,其中Ay="2+△久)⑵，则函数/⑺在久=2处的导数尸⑵=()

A.-1B.1C.3D.9

【解题思路】利用导数的定义可求得尸(2)的值.

【解答过程】由导数的定义可得尸⑵=黜0上+黑-/⑵=2im［(Ax)2+2Ax+l］=1,

故选：B.

8.(2023・上海闵行・上海学校考二模)某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企

业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间f的关系为W=f(t),用-与3的大小评价在［a,切这段时

间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下

列正确的命题是()

污

水

达

标

排

放

量

A.在L，t2］这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；

B.在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；

C.在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；

D.甲企业在［0,切，上,切，伯2士］这三段时间中，在的污水治理能力最强

【解题思路】根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力.

【解答过程】设甲企业的污水排放量卬与时间r的关系为勿=h(t),乙企业的污水排放量W与时间r的关系

为W=g(t).

对于A选项，在［St2］这段时间内，甲企业的污水治理能力％(t)=-九(女)一"〃)

12Tl

乙企业的污水治理能力g(t)=_或切-以〃).由图可知,hQi)—h(t2)>9(。)—9。2)，

12Tl

所以/i(t)>g(t),即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误；

对于B选项，由图可知，h(t)在t2时刻的切线斜率小于9«)在12时刻的切线斜率，

但两切线斜率均为负值，故在以时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误；

对于C选项，在J时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，

故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误；

对于D选项，由图可知，甲企业在卜/2],[为今]这三段时间中，

在力,旧时以幻-以切的差值最大，所以在[切切时的污水治理能力最强，故D选项正确，

故选：D.

9.(2023上•四川•高三校联考阶段练习)己知函数/(%)及其导函数(。)的定义域均为R,且/(比-1)为奇函

数,//(2-x)+f(x)=-2,/(一1)=—2,则£舞"'⑵-1)=()

A.-28B.-26C.-24D.-22

【解题思路】根据题意利用赋值法求出尸(1)、尸(3)、尸(5)、((7)的值，推出函数广(切的周期，结合广(1)+

/⑶+尸⑸+尸(7)+…+尸(49),每四个值为一个循环,即可求得答案.

【解答过程】由尸(2—幻+尸(£)=-2,令x=l,得2尸⑴=-2,所以:(1)=一1,

由/(%—1)为奇函数,得/(x—1)=—/(—x—1),所以广0—1)=/(r—1),

故/0)=尸(一%一2)①.

又尸(2-x)+r(x)=—2②，

由①和②得尸(2—x)+f'[—x—2)=—2,即/(4—尤一2)+f'Q—x—2)=—2,

所以广(为+,0+4)=—2,③

令x=—1,得尸(-1)+((3)=-2,得广(3)=0,

令x=l,得/(1)+尸(5)=—2,得r(5)=-1,

又/'(X+4)+f'(x+8)--2@,

由③-④得尸(%)-f'(x+8)=0,即/⑺=尸(%+8),

所以函数尸(%)是以8为周期的周期函数，

故尸(7)=尸(-1)=一2,

所以尸(1)+尸⑶+/(5)+f'(7)=-1+0-1-2=-4,

所以£名厂(2i—1)=尸⑴+((3)+尸⑸+((7)+…+广(53)

=6[1(1)+/(3)+((5)+/(7)]+尸⑴+/(3)+/(5)=-24-1+0-1=-26,

故选：B.

10.(2023下•河南南阳•高二校联考期末)给出新定义：设/'(%)是函数/(%)的导函数，/〃(%)是/'(%)的导函

数，若方程/"(%)=0有实数解%0，则称点(%o，/(%o))为f(%)的“拐点"，已知函数f(%)=sin2x+cos2x+|x

的一个拐点是P(%o，yo),且一：<%oV。，则Vo=()

A.1--B.--C.1-—D.--

24241212

【解题思路】二次求导，根据拐点定义求得然后代入函数/(%)可得.

【解答过程】由题可知/'(%)=2cos2%—2sin2x+1,/"(%)=—4sin2x—4cos2%,

结合题意知一4sin2%()—4cos2x0=0,BPsin2x0+cos2x0=V2sin(2%o+：)=0，

又一7<x0<0>所以久°=—7?所以%=sin2x0+cos2%0+|x0=g%o=一三

4oo5Z4

故选：B.

11.(2023・全国•高二随堂练习)下表为某水库存水量y(单位：万m3)与水深无(单位：m)的对照表：

水深x/m05101520253035

存水量y/万n?0204090160275437.5650

(1)当尤从5m变到10m时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义；

(2)当尤从25m变到30m时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义；

(3)比较(1)与(2)的数值的大小，并联系实际情况解释意义.

【解题思路】(1)(2)问利用平均变化率公式计算即可；(3)结合前问结果比大小并解释意义即可.

【解答过程】(1)根据表格可知当x从5m变到10m时，存水量y关于x的平均变化率为*=4,

即当尤从5m变到10m时，水库存水量随水深每增加1m,水量增加4万；

(2)根据表格可知当x从251n变到30m时，存水量y关于尤的平均变化率为蜉等=32.5

30—25

即当X从25m变到30m时，水库存水量随水深每增加1m,水量增加32.5万n^；

(3)显然4<32,5,所以该水库的水深从5m增长到10m时，存水量的平均增长率小于水深从25m增长到

30m时存水量的平均增长率，

说明该水库的存水量随着水深的增长会越来越快.

12.(2023下•高二课时练习)求下列函数的导数.

(l)y=3x2+xsinx；

(2)y=(x2+3)(ex+lnx)；

/Cxlnx

(3)y=——.

\"x+l

【解题思路】利用复合函数求导求出即可.

【解答过程】(1)y'=(3/)'+(xsinx)/=6%+sin%+x(sin%)'=6%+sinx+xcosx

(2)y'=(x2+3),(ex+lnx)+(x2+3)(ex+In%)，=2%(ex+In%)+(x2+3)(e*+5)=ex(x2+2%+3)+

2xlnx