松原市2024年高三第一次模拟考试数学试卷含解析

松原市重点中学2024年高三第一次模拟考试数学试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知实数集R,集合A={x|l<%<3},集合8=1%|、=刀-],则AC(CRB)=()

I，尤-2J

A.{x\l<x<2}B.{x|l<x<3}C.{x\2<x<3}D.{x|l<x<2}

22

2.已知双曲线[-4=1(。>0,6>0)的左焦点为P，直线/经过点P且与双曲线的一条渐近线垂直，直线/与双曲线

ab

的左支交于不同的两点A,B,若A户=2FB，则该双曲线的离心率为().

AMV6273c

•-----aR»----c•------u•73

323

3.如图，在AABC中，点N分别为C4,CB的中点，若AB=下,CB=1,且满足3AG•MB=C4?+CB?，

则AG-AC等于()

/-28

A.2B.J5C.-D.-

33

4.已知a>0,f(x)=ax1-x+l(x>0),A={^If(x)<x],B-{x\/(/(x))<f(x)<x],若A=3则实数。的

取值范围是()

A.(0,1]B.(0,1]C.[|,1]D.[1,+<»)

5.如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的%,利，的，，%o为茎叶图中的

学生成绩，则输出的机，〃分别是()

43678

501233689

6001344667889

70122456667889S

800244569

90168

开始

加=0j?=0,i=0

入…啰/1

/=/+1

m,n/

结束

A.加=38,n=12B.m=269n=12

C.加=12,n=12D.根=24,n=10

6.尸是正四面体A5C。的面ABC内一动点，石为棱A。中点，记。尸与平面5c石成角为定值。，若点。的轨迹为

一段抛物线，贝！|tane=（）

A.72B.—C叵D.272

24

22

7.已知点A（2遍,3师）在双曲线*-/=1仅＞0）上，则该双曲线的离心率为（）

A.巫B.叵C.屈D.2A/10

32

8.在空间直角坐标系。-孙z中，四面体。钻C各顶点坐标分别为:

<9(0,0,0),A(0,0,2),31gG,0,0),C10,g百,0

假设蚂蚁窝在。点，一只蚂蚁从。点出发，需要在A5,AC±

分别任意选择一点留下信息，然后再返回。点.那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（）

A.272B.711-721C.,5+值D.2也

9.已知过点P（U）且与曲线y=%3相切的直线的条数有（）.

A.0B.1C.2D.3

10.已知AB是过抛物线丁=4x焦点E的弦，。是原点，则。4.08=（）

A.-2B.-4C.3D.-3

11.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物,

曲线C:（必+/）3=16x2/恰好是四叶玫瑰线.

给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都

不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4万；④方程（/+丁2）3=16/};2（刈<0）表示的曲线。在第二象限和第四

象限其中正确结论的序号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.②③④

12.设0WxW2;r,且-sin2x=sinx-cosx，贝!I（）

c77兀，兀，，3冗

A.OWXWTTB.—WxW—C.—<x<—D.—<x<—

—444422

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在正方体ABCD-agaA中，E,尸分别为棱相，24的中点，则直线EE与直线所成角的正切值为

14.（5分）某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到

抗癌的效果）对人体的作用，现从4只雌蛙和2只雄蛙中任选2只牛蛙进行抽样试验，则选出的2只牛蛙中至少有1只

雄蛙的概率是.

已知函数/（x）=sin|ox+（卜oeN）在［0,句上仅有2个零点，设g（x）=

15.

区间[0,句上的取值范围为

16.已知函数/（%）=百5皿2%+0）-85（2尤+0）（0<0<兀）是定义在人上的奇函数，则/的值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）ABC中的内角A,B,C的对边分别是。，b,c,若园=4c，B=2C.

（1）求cosB；

（2）若c=5,点。为边8C上一点，且5。=6,求ADC的面积.

.cfr=J2cos«

18.（12分）在平面直角坐标系x0y中，已知点P0,6,曲线C：\为参数）以原点为极点，x

\'[y=2sina

轴正半轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为夕cos-彳）=*.

（I）判断点尸与直线/的位置关系并说明理由；

11

（H）设直线与曲线C的两个交点分别为A,B,求历+两的值.

19.(12分)已知函数/(x)=|x-4|+|x+2|(左eH),g(x)=|2x+m|(meZ).

（1）若关于x的不等式g（x）,,l的整数解有且仅有一个值y,当左=1时，求不等式/（%）,,加的解集；

（2）已知丸0）=必一2》+3,若V%eR,玉：2e（0,+oo）,使得/（西）..领马）成立，求实数上的取值范围.

20.（12分）如图，ABC为等腰直角三角形，AB=AC=3,。为AC上一点，将沿80折起，得到三棱

锥A-BCD,且使得人在底面BCD的投影E在线段3c上，连接AE.

21.(12分)已知xGR,设相=(2cosx,sin%+cosx),〃=(抬'sinx,sinx-cosx),记函数/(x)=g〃.

(1)求函数/(九)取最小值时X的取值范围；

(2)设AABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若/(C)=2,c=Q，求△A3C的面积S的最大值.

22.(10分)已知函数=ln(x+a)(a〉0).

(1)证明：函数/(X)在(0,+8)上存在唯一的零点；

(2)若函数Ax)在区间(0,+8)上的最小值为1,求。的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

7^2>0可得集合瓦求出补集CRB，再求出AC(CRB)即可.

【详解】

由Jx-2>0,得x>2,即B=(2,+oo),

所以CM=(—8,2],

所以AC(CRB)=(1,2].

故选:A

【点睛】

本题考查了集合的补集和交集的混合运算，属于基础题.

2、A

【解析】

b

直线/的方程为》=一y-c,令a=1和双曲线方程联立，再由AF=2EB得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.

a

【详解】

b

由题意可知直线I的方程为x=-y-c,不妨设a=l.

2

^x-by-c,且廿=c-1

2

'^x=by-c代入双曲线方程好一卓=i中，得到仅4T,2—2叫+/=o

设46,%),3(孙％)

4

贝！1%+为=2言b3c，*%=b占

0—1b—k

^2b3c

一%==

由A尸=2EB，可得%=-2%，故1

-2£=，

〔2b4-l

,1

贝!18必。2=1—解得

则c=y/b2+1=

3

所以双曲线离心率e=£=叵

a3

故选：A

【点睛】

此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.

3、D

【解析】

选取瓦，前为基底，其他向量都用基底表示后进行运算.

【详解】

由题意G是AABC的重心，

2一——一一1一一一1一一一

3AGMB=3x-AN(-BM)=-2(BN-BA)~(BC+BA)=(BA--BC)(BC+BA)

-----21-2111-

=BA——BC+-BABC=5——+-BABC

2222

.2.2-----------------2------------------2--------------

CA+CB=(BA-BC)2+1=BA-2BABC+BC+1==5-2BABC+1+1，

91-----------------------------------------------

：•—I—BA.,BC=7—2JBA,BC,BA,BC=1，

22

2----------------21———————21—23.-22138

:.AGAC=-ANAC=-(-BC-BA)\BC-BA)=-(-BC——BCBA+BA)=—(-------+5)=:

3323223223

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明

确，易于操作.

4、C

【解析】

根据Aw。，得到/(x)=ax2—x+l<x有解，则A=4—4。》0,得0<aWl,占=%，得

aa

到A={x"(x)Vx}=值,%]=[IziEZ,1+E],再根据B={%|/(/(x))<f(x)<幻，有/(/(%))</(x),

aa

即a(t«2—x+l)2—2(加一%+1)+1«0,可化为(加一2%+1乂4尤2+“-1)<0,根据A=则

a2x2+a-l>0的解集包含［匕YE2,1±YE2］求解,

aa

【详解】

因为Aw。，

所以/(%)=-%+1<%有解,

即f(x)=a/-2%+1<。有解,

1—J1—Cl1+\1—CL

所以A=4—4〃20,得七，%2=

aa

所以A={x"(x)<x}=［和％］=［匕迈三，比丘2］，

aa

又因为3={x"(/(%))<f(x)<x],

所以“/(%))V"x),

即1(tLV?—%+1)——%+1)+1V0,

可化为(依2—2%+1乂/%2+〃一1)«。，

因为A=Bw。，

所以储/+a_i2o的解集包含[匕YE?,1±^EZ],

aa

1+J1-a—a_p,1—Jl—ay/l-ci

3

解得一＜。＜1,

4

故选：C

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法及集合的关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题，

5、B

【解析】

试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不

小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故m=26,"=12.

考点：程序框图、茎叶图.

6、B

【解析】

设正四面体的棱长为2,建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面的法向量，设尸的坐标，求出向量。尸，

求出线面所成角的正弦值，再由角。的范围0,-,结合。为定值，得出sin。为定值，且尸的轨迹为一段抛物线，

所以求出坐标的关系，进而求出正切值.

【详解】

由题意设四面体ABC。的棱长为2,设。为的中点，

以。为坐标原点，以。1为x轴，以03为y轴，过。垂直于面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

O-xyz,

则可得OB=OC=1,OA=@X2=6取。4的三等分点G、尸如图,

则0G,O4=3，AG=OF=2OA=£1,DG=[AD?_心=，EF，DG=西,

3333323

所以6(o,i,o)、c(o,-i,o),A,0,0)、o[",o,平]、E[¥，O,平],

I33)\33)

由题意设尸(x,y,0),DP=,

ABD和一ACD都是等边三角形，E为AD的中点，.•.5EJ_A。，CELAD,

(2百2巫、

.BE[CE=E,平面BCE,，AD=--,0,亍为平面BCE的一个法向量，

7T

因为OP与平面BCE所成角为定值。，则0,-

由题意可得

sin0=lcos<AD,DP>1=J："

11\AD\-\DP\

卜+闽_(x+6)_Ix2+2y/3x+3

—1『+3/+8-：3八3/—2后+9一位+3/—2后+9

因为P的轨迹为一段抛物线且tan。为定值，则sin夕也为定值,

..._工厂=,可得3y2=86%,此时sin。=且，贝！Icos6=逅，tan0==—.

3y2—2a3x2933cos。2

故选:B.

【点睛】

考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题.

7、C

【解析】

将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.

【详解】

22

将x=2j?,y=3jIU代入方程东一方=1仅＞0）得6=3M，而双曲线的半实轴。=屈，所以c=J=10,

得离心率e=f=屈，故选C.

a

【点睛】

此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.

8、C

【解析】

将四面体。RC沿着。4劈开，展开后最短路径就是的边OO',在中，利用余弦定理即可求解.

【详解】

将四面体Q钻C沿着。4劈开，展开后如下图所示：

A

最短路径就是AAOO'的边OO'.

易求得Z.OAB=AO'AC=30°，

由AO=2,08=2百知AB=±£

33

AC=-V3,BC=^OB2+OC2：=—A/6

33

AB2+AC2BC2

^CQSZBAC=-

2ABAC

1616_8

=

2XAXA4

V3V3

由余弦定理知OO'2=AO2+AO'2--2AO-AO'cosZOAO'

其中AO=AO'=2,cosZOAO'==cos(60°+ZBAC)=3-广

•*-OO,~=5+V21,n0。=+、历

故选:c

【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.

9、C

【解析】

设切点为(xo，y0),则yo=x03,由于直线1经过点(1,1),可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点X。处

的切线斜率，建立关于x0的方程，从而可求方程.

【详解】

V—1x?—1

若直线与曲线切于点(x0,y0)(x0w0),则k==-^―=X；+X。+1,

X。—1X。—1

又；y'=3x2,y[x=Xo=3Xo2,二？*。？—*。—：!：。，解得Xo=l,x0=-^-,

过点P。』)与曲线C:y=x3相切的直线方程为3x—y—2=0或3x—4y+l=0,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何

意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

10、D

【解析】

/2A/2A

设A,B\^-,y2,设gx^my+1,联立方程得到%%=-4,计算

I4)I4

22

OAOB=聚-+%%得到答案.

【详解】

(2(22

、、2

设A+''I与,故。403='].

14JI4J16

x=my+1

易知直线斜率不为0,设AB：x=my+l,联立方程21,

[/=4%

22

2

得到,2—4加y—4=0,故%为二—4,OA-OB=77^+yiy2=-3.

16

故选：D.

【点睛】

本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为％=根〉+1可以简化运算，是解题的关键.

11、B

【解析】

利用基本不等式得f+V＜4,可判断②；x2+y2=4和(x2+y2)3=16x2y2联立解得x2=y2=2可判断①③；由

图可判断④.

【详解】

C2.2、2

22322x+y

x+y|=16xy<16

、2，

解得好+产＜4(当且仅当/=丁=2时取等号)，则②正确；

将必+V=4和(X?+y2了=16x2y2联立，解得x2=y~=2,

即圆1+y=4与曲线C相切于点(0,0)，(-72,72),(-应「吟，I形「吟,

则①和③都错误；由孙＜0,得④正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.

12、C

【解析】

将等式变形后，利用二次根式的性质判断出sin乂.cos无，即可求出x的范围.

【详解】

…Vl-sinlx=Vsin2x+cos2x-2sinxcosx

=/sinx-cosx)2

=|sinx-cosxl

=sinx-cosx

/.sinx-cosx.0,即sinx.cosx

v®21

.-.-M—

44

故选:C

【点睛】

此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据sinx,cosx的关系即可求解，属于简单题目.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、73

【解析】

由中位线定理和正方体性质得EF//3G，从而作出异面直线所成的角，在三角形中计算可得.

【详解】

如图，连接A。，BG，AC，•••£,尸分别为棱4VAA的中点，二石/〃AA，

又正方体中AB//GD],A3=G2,即A6G2是平行四边形，•••AD1//5G，.•.所//BG，ZA.BC,(或其补角)

就是直线跖与直线48所成角，AAjBG是等边三角形，.•.4415£=60。，其正切值为若.

故答案为：6

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，解题关键是根据定义作出异面直线所成的角.

3

14、-

5

【解析】

记4只雌蛙分别为仇Gd，2只雄蛙分别为A,3,从中任选2只牛蛙进行抽样试验，其基本事件为

(a,b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),(A,B),共15个,选出

的2只牛蛙中至少有1只雄蛙包含的基本事件为(。，A)，33)，(仇A)，SI)，(GA),(c,3),(d,A),(4为，(A3),共9个，故选

93

出的2只牛蛙中至少有1只雄蛙的概率是P=A=£.

15、—,•s?2+1

4

【解析】

先根据零点个数求解出。的值，然后得到g(x)的解析式，采用换元法求解g(x)在［0,句上的值域即可.

【详解】

因为/(x)=sin［ox+?)(0eN)在［0,句上有两个零点，

on+—>2TT

71714711

所以0x+7e所以，所以一＜啰＜一且

4444

①兀+—<3TT

4

所以0=2,所以/(x)=sin[2x+?),

71

所以g(x)==A/2sinx+—+sin2x=sinx+cosx+sin2x,

4

令sinx+cosx=A/^sin[x+i]=/,所以sin2x=/_],所以g(%)=/+/_]=[+(]

因为X£[0,»],所以+,所以J^sin[x+i]£[―1,0],所以[w[-l,行],

所以ga)max=[0+j-|=V2+1,g(x)1nm=(—g+j-|=-|«

所以g(x)e—；,&+l.

故答案为：-"6'+1.

【点睛】

本题考查三角函数图象与性质的综合，其中涉及到换元法求解三角函数值域的问题，难度较难.对形如

y=sinx+cosx+asinxcosx的函数的值域求解，关键是采用换元法令sinx+cosx=/,然后根据

(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx,将问题转化为关于f的函数的值域，同时要注意新元/的范围.

16、-72

【解析】

先利用辅助角公式将/(x)=百sin(2x+o)-cos(2x+cp)转化成/(x)=2sin[2x+°?J,根据函数是定义在R

上的奇函数得出9=S，从而得出函数解析式，最后求出/[-fj即可.

【详解】

解:/(x)=esin(2x+c)-cos(2x+o)=2sin12x+Q-高，

又因为/(X)定义在R上的奇函数，

则/⑼=2sin12x0+9-£|=0,

则0一2=左乃，又因为(04。＜〃)，

所以9=B，/(x)=2sin(2x),

6

所以/[_鼻]=2sin^-^x2^=-A/2.

故答案为：-行

【点睛】

本题考查三角函数的化简,三角函数的奇偶性和三角函数求值，考查了基本知识的应用能力和计算能力，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3

17、(1)-(2)10

5

【解析】

(1)由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得cosC=2叵，再根据二倍角的余弦公式计算cos6即可；

5

(2)由已知可得人=4君，利用余弦定理解出。，由已知计算出CD与sinC,再根据三角形的面积公式求出结果即

可.

【详解】

(1)B=2C,

•**sinB=sin2C=2sinCeosC,

sinBh

在ABC中，由正弦定理得，——

sinCc

又折=4c,

._sinBb2y[5

-cosC=--------=—=-------，

2sinC2c5

3

cosB=cos2C=2cos9C-l=—,

5

(2)c—59y/5b=4cf

•*-b=4A/5，

由余弦定理得，b1=片+/-2〃ccos_B,

3

贝！180="+25—2"5X《，

化简得，〃2一6。-55=0,

解得〃=11或。=一5(负值舍去)，

BD=6,，CD=5,

cosC=9。£(。，》),

，sinC=A/1-COS2C=，

5

ADC的面积S=」DC-AC-sinC=！x5x4君x且=10.

225

【点睛】

本题考查了三角形面积公式以及正弦定理、余弦定理的应用，考查了二倍角公式的应用，考查了运算能力，属于基础

题.

18、(I)点P在直线/上；见解析(II)向+/同=

【解析】

(I)直线/：22cos]，—£[=/,即®cos6+Qsine=0,所以直线/的直角坐标方程为氐+y=班，

因为百x0+G=6,所以点尸在直线/上；

(II)根据直线的参数方程中参数的几何意义可得.

【详解】

(I)直线/：2/?cos[，一％■]=,即G/7cos6+夕sin6=0，

所以直线l的直角坐标方程为4ix+y=6,

因为百x0+百=百，

所以点P在直线/上；

1

X——t

(ii)直线/的参数方程为2厂a为参数)，

y=小回

、2

22

曲线C的普通方程为三+匕=1,

24

将直线I的参数方程代入曲线。的普通方程得5»+12,-4=0,

124

设两根为4，12，所以。+/2=~»。，4=一不＜0，

故。与，2异号，

所以伊留+|尸创+幻2_4%=4y,

|出|忖用=叶归|=-%=1，

所以1+1-lPAl+lPBl-JIZ

所以网+国一画画f4.

【点睛】

本题考查在极坐标参数方程中方程互化，还考查了直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题.

-971

19、(1)⑵(9I][0,+oo)

_22_

【解析】

(1)求解不等式g(x),,l,结合整数解有且仅有一个值T,可得加=8,分类讨论，求解不等式，即得解;

(2)转化切e(0,+8),使得/(再)./(々)成立为八%)皿-使々)「，利用不等式性质

f(x)=\x-k\+\x+2\..^x-k)-(x+2)\=\k+2\,求解二次函数最小值，代入解不等式即可.

【详解】

—JTI—1I—TH+1

(1)不等式即|2%+加|,,1,所以-----瓢-----

22

,_一根一］双1—TTI+1

由一5<---------微>4----------<一3,

22

解得7v/nv9.

因为加£Z,所以根=8,

当左=1时,

-2x-l,A;,-2,

/（X）=|x-l|+|x+2|=<3,—2<x<1,

2x+l,x..l,

♦2,—2<%<1,x.l,

不等式/(球,8等价于〈或<

-2x-l<83„82x+L,8.

97

即一一强山一2或一2<x<l或啜*

22

Q7

故---瓢一,

22

「97]

故不等式/(只,8的解集为-5，Q.

(2)因为/(x)=|九一左|+|x+2|...|(x-•左)一(%+2)|=|左+2|,

由%(x)=x?-2x+3=(x-1,+2,xe(0,+oo),

可得无(了焉=丸(1)=2,

又由VxieR,BX2e(0,+oo),使得/(%；)..h(x2)成立，

则|去+2|..2,解得匕，—4或■.().

故实数左的取值范围为(f,T][0,+<»).

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.

20、(1)见解析；(2)叵

2

【解析】

(1)由折叠过程知AE与平面5C。垂直，得AELBD,再取A4]中点"，可证AA】与平面儿哂垂直，得

A^IBD,从而可得线面垂直，再得线线垂直；

(2)由已知得。为AC中点，以E为原点，E3,E4所在直线为羽z轴，在平面5C。内过E作的垂线为V轴建

立空间直角坐标系，由已知求出线段长，得出各点坐标，用平面的法向量计算二面角的余弦.

【详解】

(1)易知AE与平面5C。垂直，...AELB。，

连接AA1,取AA|中点连接

由。4=%,痴=网得的朋_LMB,MBMD=M,

M，平面AffiD,应)u平面AffiD,，叫，^。，

又A414石=4，平面44乃，B£)J_AE；

(2)由tanNAB£)=」,知。是AC中点，

2

令BE=^BC，则AE=43+3石=(1—/1)A3+/IAC，

由=AD—AB=gAC-AB,BD_LAE，

：.((1-2)AB+2AC)-(-AC-AB)=0,解得2=],故3E=2&,CE=&.

以E为原点，E3,E4所在直线为羽z轴，在平面BCD内过E作的垂线为丁轴建立空间直角坐标系，如图,

m-B\=-2A/2X+z=0

则9723^2»取x=l，则根=(1,3,20).

m-BD=-------xH-------y=0

44

又易知平面\BC的一个法向量为n=(0,1,0),

m-n3y/2

cos<m,n'>—~i—n~~r=----产=

MM1-3V22,

二面角C-BA.-D的余弦值为叵.

2

【点睛】

本题考查证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角.证线线垂直，一般先证线面垂直，而证线面垂直又要证线线垂

直，注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的转化.求空间角，常用方法就是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空

间角.

21>(1)=左万一W，左ez1；(2)

【解析】

⑴先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到/(x)=241112%-个；再根据正弦函

数的性质即可求出答案；(2)先求出C的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出根据三角形的面积

公式即可求出答案.

【详解】

(1)/(x)=m-n=2^/3sinxcosx+sin2x-cos2x=A/3sin2x-cos2x=2sin[2x—.

^2x——=2kn——kRZ,即x=ATT—工(kcZ)时，sin|2x——|=-1,/(x)取最小值，

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