北京2023-2024学年高考冲刺数学模拟试题含解析

北京昌平临川育人学校2023-2024学年高考冲刺数学模拟试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知数列{怎}是公差为以…）的等差数列，且。“3，。6成等比数列，则号=（）

A.4B.3C.2D.1

2.已知点（叫8）在嘉函数/（%）=（加—1）%”的图象上，设〃]/=/（ln乃）,c=/5）,则（）

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b

3.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑,，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者

对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角AC处作圆弧的切线,

两条切线交于3点，测得如下数据：AB=6cm,BC=6cm,AC=10.392cm（其中且00.866）.根据测量得到的结

2

果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）

4.已知集合A={0,1,2,3},B={x\x=n2-l,neA},p=Ar^B,则尸的子集共有（）

A.2个B.4个C.6个D.8个

5.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先

入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，

等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（）

A.多1斤B.少1斤C.多!斤D.少工斤

33

4+3z

6.复数z=的虚部为（）

i-2

A.2iB.-2iC.2D.-2

7.已知函数/（%）=Asin（«x+0）（4>0,。>0,冏苦）的部分图象如图所示，且/（。+%）+/（。一％）=0,贝！1时

的最小值为（）

71

A.B.—

126

兀57r

C.D.——

I12

8.已知机为实数，直线乙：mx+y-l^O,/2：（3m-2）x+my-2=0,贝！机=1”是“4//上的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

皿■复数（i为虚数单位）的共朝复数对应的点位于（）

9.在复平面内,

1-z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

[%],%>0

10.已知函数/'(x)=<1（［%］表示不超过x的最大整数），若/（X）-砒=0有且仅有3个零点，则实数a

一，xVO

1%

的取值范围是（)

£2122323

A.B.C.D.

2?323354

11.要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节

语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）

A.84B.54C.42D.18

12.数列｛a,,｝满足：%=1，%—4+1=2/4+1，则数列｛44+J前10项的和为

1020918

A.—B.—C.—D.—

21211919

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/（x）=sin|x+B3eN）在［0,句上仅有2个零点，设g（x）=0/心］+/卜一（］,则g（x）在

区间［0,句上的取值范围为.

14.三棱锥S-ABC中，点P是及AABC斜边A5上一点.给出下列四个命题：

①若SAL平面ABC,则三棱锥S-ABC的四个面都是直角三角形；

②若AC=4,BC=4,SC=4,SC_L平面ABC,则三棱锥S—ABC的外接球体积为32后；

③若AC=3,BC=4,SC=6,S在平面ABC上的射影是AABC内心，则三棱锥S—ABC的体积为2；

④若AC=3,BC=4,&L=3,平面ABC,则直线PS与平面SBC所成的最大角为60°.

其中正确命题的序号是.（把你认为正确命题的序号都填上）

15.（5分）国家禁毒办于2019年U月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2019年

全国青少年禁毒知识答题活动，活动期间进入答题专区，点击“开始答题”按钮后，系统自动生成20道题.已知某校高

二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是17,20,16,18,19,则这五位同学答对题数的方差

是.

2

16.（X—-）5的展开式中含/的系数为.（用数字填写答案）

X

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在AABC中，-J3asinC=ccosA.

（I）求角4的大小；

（II）若3MBe=6，b+c=2+2布,求。的值.

22

18.（12分）设点耳（—C,0）,E（G。）分别是椭圆C:=+^=l（a〉2）的左，右焦点，尸为椭圆C上任意一点，且

a4

PFX-Pg的最小值为1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，直线/:尤=5与％轴交于点E,过点心且斜率左W0的直线4与椭圆交于A,3两点，M为线段E工的中

点，直线AM交直线/于点N,证明：直线RV，/.

n

19.（12分）我们称"（〃N*）元有序实数组（再，x2,%）为"维向量，£同为该向量的范数.已知”维

Z=1

向量a=（无1，9,，无“），其中％e｛—1,0,1｝,，=1,2,”.记范数为奇数的”维向量。的个数为A.,这4个向量

的范数之和为纥.

（1）求七和与的值；

（2）当"为偶数时，求A,，凡（用”表示）.

20.(12分)已知函数Inx,g(x)=x2—ax.

（1）求函数式x）在区间［f,f+l］（f>0）上的最小值加（。；

h（^x）—h（x）

（2）令人（X）=g（X）—以）’4不，3D），5（X2,"（X2））（X#X2）是函数3）图像上任意两点'且满足…2>1，求

实数”的取值范围；

（3）若三%仁（0,1］,使/（x心幺必»成立，求实数”的最大值.

X

21.（12分）已知函数/（x）=Mln（l+x）-x,g（x）=mx-sinx.

（1）若函数了（“在（。，+8）上单调递减，且函数g（X）在>|上单调递增，求实数m的值;

（2）求证:1+sin--r<e2(〃£N*Kn>2).

22.(10分)数列｛〃〃｝满足4。0,%=1且4+1—4+3%+必〃=0.

（1）证明：数列2是等差数列，并求数列｛。"｝的通项公式;

（2）求数列｛an-an+l｝的前〃项和Sn.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.

【详解】

由6，4，。6成等比数列得据=%•%，即(。1+2疗=%(%+5〃)，已知dwO,解得$4.

故选：A.

【点睛】

本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.

2、B

【解析】

先利用惠函数的定义求出机的值，得到事函数解析式为/(x)=x3,在R上单调递增，再利用幕函数/(%)的单调性,

即可得到“，儿c的大小关系.

【详解】

由塞函数:的定义可知，——

:.点(2,8)在幕函数/(x)=x"上,

2"—8,.".n—3,

...幕函数解析式为/(x)=，，在R上单调递增，

m2

■:——=—,l</njr<3,"=3,

n3

加

:.一<4n兀<n,

n

:・aVbVc,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了募函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题.

3、A

【解析】

由已知AB=BC=6,设ZABC=2，.可得sin。=^^=0.866.于是可得。，进而得出结论.

【详解】

解：依题意48=6。=6,设NABC=2夕.

贝！Isin。="电=0.866~也.

72

:.0=~,29=—.

33

设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为a.

贝（Ia+2。=%,

71

'.Ct——.

3

故选：A.

【点睛】

本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

4、B

【解析】

根据集合A中的元素，可得集合8,然后根据交集的概念，可得P,最后根据子集的概念，利用2〃计算，可得结果.

【详解】

由题可知：A={0,1,2,3},B={无,="一］,〃£A}

当〃=0时，x=-l

当九=1时，x=0

当〃=2时，x=3

当〃=3时，％=8

所以集合5=1卜=n--l,neA}={-1,0,3,8）

则尸=AcB={0,3}

所以P的子集共有2z=4

故选：B

【点睛】

本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合P中有〃元素时，集合P子集的个数为2"，真子集个数为

2"-1，非空子集为2"-1，非空真子集为2"-2,属基础题.

5、C

【解析】

设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{g}，则勾+出+%=4。8+。9+。10=3，由等差数列的性

故选c

6、D

【解析】

根据复数的除法运算，化简出z,即可得出虚部.

【详解】

4+3z(4+3Z)(Z+2)_5+10Z_

解：z=7TT=("2)(i+2)一丁一一力，

故虚部为2

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的除法运算和复数的概念.

7、A

【解析】

a是函数f(x)的零点，根据五点法求出图中零点及V轴左边第一个零点可得.

【详解】

31171717T7T

由题意三7=上一°,T=],.•.函数/(x)在y轴右边的第一个零点为<+<=且，在y轴左边第一个零点是

41266412

717171

.•.同的最小值是:

故选:A.

【点睛】

本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性.函数/(%)=Asin(ox+9)的零点就是其图象对称中心的横坐标.

8、A

【解析】

根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

当m=l时,两直线方程分别为直线h：x+y-1=0,h：x+y-2=0满足h〃L,即充分性成立，

当m=0时,两直线方程分别为y-1=0,和-2x-2=0,不满足条件.

当m网时，则h〃Ln3一二竺

m1—1

3m—2TY1

由------=一得m?-3m+2=0得m=l或m=2,

m1

由一H—得m,2,则m=L

1—1

即“m=l”是“h//L”的充要条件，

故答案为：A

【点睛】

(1)本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能

力.(2)本题也可以利用下面的结论解答，直线qx+4_y+G=0和直线。2%+4丁+。2=°平行，则。也一。24=。且两

直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.

9、D

【解析】

将复数化简得z=l+2i,z=l-2z•，即可得到对应的点为(1,-2)，即可得出结果.

【详解】

+

z=7—=+=l+2zz=1-2z,对应的点位于第四象限.

1-z(l-z)(l+z2)

故选:D.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，考查共轨复数和复数与平面内点的对应，难度容易.

10、A

【解析】

根据［X］的定义先作出函数f(X)的图象，利用函数与方程的关系转化为f(X)与g(x)=ax有三个不同的交点，利用

数形结合进行求解即可.

【详解】

当0W%<1时，［%］=0,

当1Wx<2时，［九］=1,

当2Wx<3时，印=2,

当3Wx<4时，区=3,

若=0有且仅有3个零点，

则等价为/(%)=◎有且仅有3个根，

即/(九)与g(%)=砒有三个不同的交点，

作出函数“九)和g(x)的图象如图,

当a=l时，仪“=》与/(九)有无数多个交点，

当直线g(x)经过点42,1)时，即g(2)=2a=l,a=g时，/(九)与g(x)有两个交点，

9

当直线g(x)经过点8(3,2)时，即g(3)=3a=2,a=§时，/(九)与g(x)有三个交点,

12

要使/⑺与g(x)=你有三个不同的交点，则直线g(x)处在过y=]X和y=§x之间，

用1,2

即一<a<一,

【点睛】

利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

⑴直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；(2)分离参数法：先将参数

分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.

11、C

【解析】

根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别

求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案.

【详解】

根据题意，分两种情况进行讨论：

①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆

绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为=18种;

②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.

语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不

加以区分，此时，排法种数为—=24种.

综上所述，共有18+24=42种不同的排法.

故选：C.

【点睛】

本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题.

12、A

【解析】

11c1

分析：通过对an-an+i=2anan+i变形可知--------=2,进而可知4=------，利用裂项相消法求和即可.

aa

n+ln2n~1

一11c

详解：a”-an+x=2anan+1,———2,

an+ian

1

XV—=5,

/.--=-_+2（n-3）=2n-l,即4二—--,

为2〃—1

anan+l4+1）=Ij011-0'|，

2212〃-12〃+lJ

二数列｛4%+J前10项的和为:卜_:+1_:++白==u，

故选A.

点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子

的结构特点，常见的裂项技巧：(1)—^7^=717(2)「---7==K(n+k-赤)；(3)

n[n+k)k(nn+kJy/n+k+y/nkv)

11(11)1」「11]、

7^7；=T7；7—7；7I；(4)~.w-，7—(^—7^7TV;此夕卜，需注意裂项

(2n—l)(2n+l)212"—12n+\)++2[“(”+1)(〃+l)(〃+2)

之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13>—,A/2+1

_4_

【解析】

先根据零点个数求解出。的值，然后得到g(x)的解析式，采用换元法求解g(x)在［0,句上的值域即可.

【详解】

因为/(x)=sin［如+口3eN)在［0,句上有两个零点，

con+—>2TT

7in4711

所以0X+7e―,公/+—所以，所以一<G<一且口£?/,

44n-44

0)71+—<3TT

14

所以0=2,所以/(x)=sin12x+7

所以g(x)==V2sinx+—+sin2x=sinx+cosx+sin2x,

I4

令sinx+cosx=0sin[x+i]=%,所以sin2x=[2所以g(犬)=J=1+

因为X£[0,»],所以+,所以后sin[x+i)£[—1,,所以％w[—1,0],

所以g(xLx=[0+£|-|=V2+1,=(—(+；)-|=-|,

所以g(x)e—；,&+l.

故答案为：—"a+1.

【点睛】

本题考查三角函数图象与性质的综合，其中涉及到换元法求解三角函数值域的问题，难度较难.对形如

y=sinx+cosx+asinxcosx的函数的值域求解，关键是采用换元法令sinx+cosx=/,然后根据

(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx,将问题转化为关于/的函数的值域，同时要注意新元f的范围.

14、①②③

【解析】

对①，由线面平行的性质可判断正确；

对②，三棱锥外接球可看作正方体的外接球，结合外接球半径公式即可求解；

对③，结合题意作出图形，由勾股定理和内接圆对应面积公式求出锥体的高，则可求解；

对④，由动点分析可知，当P点与A点重合时，直线PS与平面S3。所成的角最大，结合几何关系可判断错误;

【详解】

对于①，因为&4,平面ABC,所以SILAC,SA±AB,SALBC,又

所以平面出LC,所以3CLSC,故四个面都是直角三角形，...①正确；

对于②，若AC=4,BC=4,SC=4,SC,平面ABC,

三棱锥S-AfiC的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，

•*.2R^742+42+42=4A/3-R=2jL；•体积为V=g"(2Q)3=32岳，.•.②正确;

对于③，设AABC内心是。，则SO_L平面ABC,连接OC,

则有SO2+OC2=SC;2,又内切圆半径厂=g(3+4—5)=l,

所以0C=拒，SO2=SC2-OC2=3-2=1,故SO=1,

...三棱锥S—ABC的体积为丫=』乂5枷c义S。=』x』x3><4xl=2,...③正确；

332

对于④，：若幺=3,平面ABC,则直线PS与平面所成的角最大时，P点与A点重合，

3

在H/ASC4中，tanZASC=-=l,：.ZASC=45°,即直线PS与平面S3。所成的最大角为45。，

二④不正确，

故答案为：①②③.

【点睛】

本题考查立体几何基本关系的应用，线面垂直的性质及判定、锥体体积、外接球半径求解，线面角的求解，属于中档

题

15、2

【解析】

由这五位同学答对的题数分别是17,20,16,18,19,得该组数据的平均数受="+2。+；+18+19=]8,则方差

52=1X[(17-18)2+(20-18)2+(16-18)2+(18-18)2+(19-18)2]=—=2.

55

16、10

【解析】

由题意得，二项式展开式的通项为I5=C；x5-r(--)r=(-2)rC；x5-2r,

令厂=1,则。=(一2)七*3=—10%3,所以犬3得系数为TO.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)A=—;(2)a=2.

6

【解析】

试题分析：(1)由正弦定理得到GsinA-sinC=sinCcosA.消去公因式得到所以tanA=$.

进而得到角A；(2)结合三角形的面积公式，和余弦定理得到人+c=2+2百，联立两式得到a=2.

解析：

(I)因为6asinC=ccosA，所以cosAW0，

abc

由正弦定理——,

sinAsinBsinC

得A/3SIIL4-sinC=sinC•cosA.

又因为Ce(0,7r),sinCwO,

所以tanA=，3.

3

又因为Ae(O,»),

71

所以A=-.

6

].1/~i-

(II)由5c=ibcsinA=,得Z?C=4A/^,

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,

得a2=Z>2+c2-2Z?ccos—,

6

即a2=[b+c)2-2bc—y/3bc=(Z?+c)2-8A/3-12,

因为6+。=2+26，

解得a2=4.

因为a>0,

所以a=2.

22

18、(1)—+=1(2)见解析

54

【解析】

(1)设P(x,y),求出月后由二次函数知识得最小值，从而得。，即得椭圆方程；

(2)设直线式的方程为丁=左(%—1),左力0,代入椭圆方程整理，设4和％),5(々,％)，由韦达定理得

5k

x+x=^L^xx='-^,设N(5,y°),利用N三点共线，求得为=2\,

11

-4+5左2-4+5左2%一3

然后验证为-%=。即可.

【详解】

解：(1)设P(x,y),则P耳=(—c—乂―y),P7<=(c—乂―y),

所以尸耳・尸乙=/+9—02—°2,

a

因为a>2,%£[-a.a].

所以当x=0时，坨・夕巴值最小，

所以4—，=3,解得。=1,(舍负)

所以"=5,

22

所以椭圆C的方程为土+匕=1,

54

(2)设直线4的方程为y=*(x—l),左wo,

y=k(x-l),

联立2,得(4+5/)/—10/x+5/_20=0.

1一5+—4=1,

4/、pz、milOZr_5k~—20

设A(x15%),3(々,当)，贝(IX+x2=——=，

/1IDrVI。»v

设N(5,%),因为AM,N三点共线，又M(3,0)

所以产匚=3,解得%=上1.

5-xx2xx-5

c,10左25左2—20「

而2%24a—1)34&+々)一3々一54_4+5424+5%2所以

石一3/一3X]-3%―3

直线3N//X轴，即BN，/.

【点睛】

本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题.直线与椭圆相交问题，采取设而不求思想，设4%,%),5(%,%)，

设直线方程，应用韦达定理，得出再+升,再42,再代入题中需要计算可证明的式子参与化简变形.

nl

19、(1)4=4,B?=4.(2)4=3J,Bn=n-(3-1^

【解析】

(1)利用枚举法将范数为奇数的二元有序实数对都写出来，再做和；(2)用组合数表示4和纥，再由公式

5-左)c：=“3或小：=内二;将组合数进行化简，得出最终结果.

【详解】

解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：（—1,0）,（0,-1）,（0,1）,（1,0）,

它们的范数依次为1,1,1,1,故4=4,为=4.

（2）当〃为偶数时，在向量。=（无］,%，七，•，%,）的〃个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以

可按照含0个数为：1,3,…，1进行讨论：。的〃个坐标中含1个0,其余坐标为1或-1,共有个，每

个。的范数为1;

。的"个坐标中含3个0,其余坐标为1或-1，共有C：-2"-3个，每个。的范数为〃—3；

。的"个坐标中含个0,其余坐标为1或-1,

共有C：，2个，每个。的范数为1；所以

A-+C2T++C，2,

Bn=(〃—1>C；-2"T+(”—3卜02-3++C：T2

因为(2+1)"=C>2"+C：2T+C>2"-2++c：,①

(2—1)'=C>2〃—C>2"T+Ci2"2_+(—1)"C：,②

①£②得,Ci2"T+C；2"3十3"—1

2

所以4=号・

解法1：因为n（〃-一）《=（〃一吐/',=n-=仁_|,

k!(n-k)!

1

所以纥=(〃—1>C；+(〃—3>C：2-3++C：--2.

=McA2"T+c32-3++C：：；-2)

2n4

=2n(CL-2--+CL1-2-++C：：1)

==1).

解法2：①十②得,C〉2"+C:2"-2+=义/.

22

又因为kC"=k———=n-7—。、/),———=,所以

心=k._______=n.____("一］)'___=

"M(i)!J

="(C：•2"T+C：•2-3++C：T.2)_(C；•2"T+3•C：•2"-3++(〃—1)•C：1•2)

=囱-〃©T•2'T+CL-2-3++c；j2)=〃1号-=〃-(3"T-1).

【点睛】

本题考查了数列和组合，是一道较难的综合题.

7-ln?J>l

20、(1)机(。=〈(2)a<2J2~2.(3)a<2yj2~2.

l,O<t<l

【解析】

(1)是研究在动区间上的最值问题，这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进

行求解.

(2)注意到函数入®的图像上任意不同两点A,5连线的斜率总大于1,等价于7l(Xl)—/l(X2)<Xl—X2(X1<X2)恒成立，

从而构造函数尸(x)=/i(x)—x在(0,十⑹上单调递增，进而等价于P(x)沙在(0,+与上恒成立来加以研究.

(3)用处理恒成立问题来处理有解问题，先分离变量转化为求对应函数的最值，得至"2x2-xlnx,再利用导数求

X+1

函数M(x)=2厂—“In”的最大值,这要用到二次求导，才可确定函数单调性，进而确定函数最值.

x+1

【详解】

(1)/(x)=l--,x>0,

x

令尸(x)=0,则x=l.

当t>l时，｛x)在Zf+口上单调递增，/U)的最小值为｛f)=f一加f;

当OVfVl时，/(©在区间&1)上为减函数，在区间(1,f+1)上为增函数，/(X)的最小值为式1)=1.

r-lnr,r>1

综上,m(t)=<

(2)h(x)=x2—(a+l)x+lnx,

不妨取OVXIVM,则XI—必<0,

则由('〉1,可得h(xi)—h(X2)<Xl—X29

石~x2

变形得X1V/|(X2)—X2恒成立.

令F(x)=h(x)—x=x2—(a+2)x+lnx,x>0,

则F(x)=x2—(a+2)x+lnx在(0,+切)上单调递增，

故耳口)=2了-3+2)+^却在(o,+oo)上恒成立，

x

所以2xH-->a+2在(0,+oo)上恒成立.

x

16

因为2x+—之2及，当且仅当时取“=”，

元2

所以七20一2.

(3)因为一"⑴,所以。(X+DWZ——%历工.

%

因为xe(o,l],贝！Jx+ie(i,2],所以mxe(o,i],使得处至二成立.

X+1

22

A2x-xlnx2x+3x-Inx-1

令M(x)=----------,则M，(x)=——-~~-----.

X+1(x+1)

y=2x2+3x—lnx—l,则由旷=乜土里如一—=0可得x=工或x=—1(舍).

%4

11

当x£(0,一)时，jr<0,则函数y=2x2+3x—加x—1在一上单调递减；

44

当X£(L+8)时，V>0,则函数y=2x2+3x一加x—1在(L+oo)上单调递增.

44

所以这山4—：>0,

所以Mr(x)>0在xe(0,1]时恒成立，

所以M(x)在(0,1]上单调递增.

所以只需aWM(l),即处1.

所以实数«的最大值为L

【点睛】

本题考查了函数与导数综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算能力，属于难题.

21、(1)1；(2)见解析

【解析】

(1)分别求得/(%)与g(x)的导函数，由导函数与单调性关系即可求得加的值；

(2)由⑴可知当x〉0时，ln(l+x)<x,当0<尤<(时，sinx<x,因而

sinl,sin^—,sin^—sin]

>QAneN\n>2\9构造

1x22x3zi-l)xn

(

+sin」一1+sin-^—1、

In(1...1+sin,由对数运算及不等式放缩可证明

1x22x3

(

l+sin-^—]、

In(1+sinl)1+sin...1+sin=2--<2f从而不等式可证明.

1^22x3n

【详解】

(1)I•函数/(九)在(O,+8)上单调递减,

：.f\x)=-1<0,即mWl+x在(0,+s)上恒成立,

1+X

:.m£1,

嶷，上单调递增,

又•.•函数g(x)在4

秒2

/.g"(x)=m-cosx>0,即相2cosx在津号上恒成立，m>l,

综上可知，m=l»

(2)证明：由⑴知，当加=1时，函数/("=111(1+£)—%在(0,+8)上为减函数,

g(x)=x—sinx在谡,g上为增函数，而〃0)=0,g(0)=0,

・•・当x>0时，ln(l+x)<x,当0<%<]时，sinx<x.

•sinl,sin^—,sin^—sin——\--->0,(neN*,n>2

1x22x3n-l)xn'

1+sin^—]、

AIn(1+sin—...1+sin

1x22x3n-l)x