2024年上海市春考高考数学试卷答案解析版 (二)

2024上海春考数学试卷答案解析

一、填空题（本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.10g2%的定义域.

【考点】函数定义域

【答案】（0，+8）

2.直线x-y+l=0的倾斜角.

【考点】直线的倾斜角

【答案】

［解析］k=tana=1

3.已知三=i,则2=____.

l+l

【考点】夏数

【答案】—1—i

4.（%-1）6展开式中X4的系数为

【考点】二项式展开

【答案】15

【解析］Cfx(-1)2=15

5.三角形ABC中，则4B=

BC=2,4=3BB=4£,

【考点】解三角形

【答案】若映

【解析】在三角形中Z+B+C=7r,C=工

由正弦定理2二名,解得48=注农

sin力sine3

1

6.已知ab=1,4a2+9b2的最小值为.

【考点】基本不等式

【答案】12

【解析】由ab=1,4a2+9b2>2-2a-3b=12当且仅当2a=3b,

即a=^-,b=乎或a=-号b=一日时取最小值12.

7.数列｛a/即=n+c,S7<0,c的取值范围为.

【考点】等差数列

［答案］(_8,—4)

【解析】由册=TI+C,知数列｛册｝为等差数歹［).$7=\力=答=7°4<

0,。4=4+c<0,c<—4.故c的取值范围为(一8,一4).

8.三角形三边长为5,6,7,则以边长为6的两个顶点为焦点,过另外一个顶点的双

曲线的离心率为.

【考点】双曲线的定义、离心率

【答案】3

【解析】由双曲线的定义,2c=6,2a=2,e=£=3

a

9.已知f(%)=j；o,求g(%)<2-％的％的取值范围

【考点】分段函数运算

【答案】％6(—°°fl\

【解析】根据题意知9(%)=｛/广-°八

所以当%>0时,g(%)<2-X^>X2+X-2<0,解得％E［04］

2

同理当％<0时,g(%)<2—x=—%2+%—2<0,解得％E(―8©

综上所述:%e(-8，i]

10.已知四棱柱4BCD-4当的小底面ABCD为平行四边形，=3,BD=4且

ABi-BC-ADi-DC=5,求异面直线与的夹角

【考点】立体几何线线角

【答案】arccos鲁

ABi=AB+AA[AD[=AD+AA1

(AB+油).AD-(AD+油).反=5

=AA[-RD=3x4xcos。

5

台cose=—

11.正方形草地4BCD边长1.2,£1到距离为0.2,F到8GCD距离为0.4,有个

圆形通道经过E,F,且经过4。上一点,求圆形通道的周长

.(精确到0.01)

【考点】解析几何、数学建模

【答案】2.73

【解析】以4为原点建系，易知E(0.2,0.2),F(0.8,0.8),不妨设

EF中点为M(0.5O5)直线EF中垂线所在直线方程为y-0.5=—(%-0.5),化简得

y=_x+1

3

所以圆心为(a，—a+1),半径为a,且经过E,F点

即(a—0.2)2_|_(—0+1—0.2)2-02

化简得a?—2a+0.68=0C=271a«2.73

12.at=2,a2=4,a3=8,a4=16,任意b2,b3,b4ER,满足{%十3|1<i<

j<4}={d+bj\l<i<；<4],求有序数列{仇力2,仇小j有对.

【考点】数列

【答案】48

【解析】以题易知{%+%|6，10，12，18,20,24}

满足{的+a7|l<i<j<4}={br+bj\l<i<j<4],

不妨设瓦<b2<b3<64由单调性则必有匕1+b2=6,b1+b3=10,b2+b4=

20,63+64=24

(1)b2+b3=12,br+b4=18,解得比=2也=4,优=8,b4=16

(2)b2+b3=18,b1+b4=12,解得比=-1,b2=7也=11,匕4=13

所以2种.

综上共有2片=48对

二、选择题(本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分，第15-16题每题5

分)

13.a,8c6R,b>c,下列不等式恒成立的是()

k.a+b2>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.02b>a2c

【考点】不等式的性质

【答案】B

4

【解析】对于4若网＜|c|,则按＜c2,选项不成立，故A错误；

对于C、D,若a=0,则选项不成立，故C、D错误;故答案选B.

14.空间中有两个不同的平面a,0和两条不同的直线他几则下列说法中正确的是

()

A.若a_Z./3,mJ.a,nJ./?,贝nB.若a_Z./3,mJ.a,m±n,贝伍/3

C.若a〃夕,m//a,n///?,贝D.若。〃0,m//a,m//n,贝切〃

【考点】立体儿何

【答案】A

【解析】对于4,若a_Z_P，mJ.a,则m〃/?或mu0,又山0,所以m工几故A正确；

对于8,若aJ,0,m_La,则m〃/?或mu/?,由zn_Z.n,贝।仇与/?斜交、垂直、平行均有

可能，故B错误；

对于C,若a〃乙m〃a,则m〃/?或mu仇由n〃/?,则m与n相交、平行、异面均有

可能,故C错误；

对于若。〃£,血〃%则?n〃S或znu0,又m〃小贝加〃0或九u/?,故。错误.故答

案选A.

15.有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记本本、笔袋，第四个礼盒里面

三种礼品都有，现从中任选一个盒子,设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所

选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则()

A.事件Z与事件B互斥B.事件A与事件B相互独立

C.事件4与事件BUC互斥D.事件4与事件Bn。相互独立

【考点】事件的关系

【答案】B

5

【解析】对于A,事件A和事件B可以同时发生,即第四个礼盒中既有中国结,又有

记事本,所以A与B互斥,故A错误；

对于B,PQ4)=iP⑻=]尸(ZnB)=：-1,符合P(4nB)=P(A)-P(B),B正_____确；

ZZ4

对于c,事件z与事件8UC可以同时发生,所以C错误；

对于QPQ4)=pP(BnC)=[,而P(Zn(BnC))=3wP(A)-P(BnC),所以Z与

Bnc不独立,故。错误。

故答案选5

16.现定义如下：当％e[n>n+1)时(neN),若/(%+1)=/'(%),则称/(%)为延展

函数.

现有，当％e@1)时,g(%)=e"与/(%)=%i°均为延展函数,则以下结论()

(1)存在y=kx+b(k，beR;k'bw0)与y=g(%)有无穷个交点

(2)存在y=kx+b(k，bER>k>b丰0)与y=h(%)有无穷个交点

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立C.(1)成立⑵不成立D.(1)

不成立⑵成立.

【考点】图像与导数

【答案】D

【解析】根据题目所给条件，画出g(%)与/(%)图像即可，

因为々W0,所以(1)错;当k=10!时,存在b使得直线y=kx+b可以与%(%)在区

间(9，10)的函数部分重合,因而有无穷个交点,所以(2)正确,故选D

6

三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分)

17.已知f(%)=sin(cox+1),to>0

(1)设口=1,求解:y=/(%),%e［0饲的值域；

(2)a>7r(ae/?),/(%)的最小正周期为兀若在％e比以］上恰有3个零点,求a的取

值范围.

【考点】三角函数周期与零点

【答案】⑴ye—亨1；

(2)ae停等)

【解析】(l)co=Lf(%)=sin(%+2).因为％e［0，用，所以令t=%+eg?

所以y=/⑴在性］上单调递增,在［转］上单调递减

所以%nax=/(1J=Lymin=f管)=一今因此yC［—苧1

(2)由题知T=^-=71,所以co=2/(%)=sink%+§.

当/(%)=0时,2%+(=kn,kEZ,即％=—kEZ.

当k=3时,％=?>7T,所以?+T<a<^-+|T,即?<a<?.因止匕,aE

33323o

'7n17TT\

18.如图，尸4、PB、PC为圆锥三条母线,4B=AC.

⑴证明：P4J_BC；

（2）若圆锥侧面积为旧可8C为底面直径,BC=2,

求二面角8—24—C的大小.

【考点】圆锥体中的线面关系

【答案】（1）证明见解析（2）兀—arccosg

7

【解析】（1）取BC中点。，连接4。、P0,

因为AB=AC,PB=PC,所以AOJ.BC,PO，BC,

又因为P。u面24。,4。a^PAO.POdAO=0,

所以8CJ.面24。，因为P4u面P4。，所以24工BC.

（2）如图建立空间直角坐标系

因为圆锥侧面积为为底面直径,BC=2,

所以底面半径为1,母线长为旧,所以

P0=y/PA2-AO2=V2,

则可得P（0。夜）,Z（O，1，O）,B（1，O,O）,C（—1，O,O）,

故港=（0'1,-y[2）,PB=（I。->[2）,PC=V2）,

设近=（%1，为，窃）为面P4B的法向量,贝注%.上二°0

困•PB=0

,乃?Z1。，令%]=企，则y】==1,所以方=

、％i—72z\=0

（夜，夜，1）.

设百=(%292%)为面P4C的法向量，

则，苗.同=0=(y2-V2Z2=o

［五-PC=0(―x2—V2Z2=0,

令%2=-V2,则力—V2,Z2—L所以底=(-V2-V24).

/—>—»、,道

则mHcos<nn>=——-=—2+2+1=-1

1(2I九ill九2lV5x<55

设二面角8-PA-C为仇所以二面角8-PA-。的大小为兀-arccosj.

19.水果分为一级果和二级果,共136箱,其中一级果102箱,二级果34箱。

（1）随机挑选两箱水果,求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

8

⑵进行分层抽样,共抽8箱水果,求一级果和二级果各几箱；

⑶抽取若干箱水果,其中一级果共120个,单果质量平均数为303.45克,方差为

603.46;二级果48个,单果质量平均数为240.41克,方差为648.21;求168个水果

的方差和平均数,并预估果园中单果的质量.

【考点】概率、统计

【答案】(1)［；(2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；

45

(3)平均数:285.44,方差:1426.46,预估平均287.69

【解析】

(1)古典概型:设4事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，|川=C；02-反4=

3468,

⑼=C§36=9180,PQ4)=2

(2)一级果箱数:二级果箱数=3:1,因此一级果抽取6箱,二级果抽取2箱.

⑶设一级果平均质量为无,二级果质量为%总体样本平均质量为Z

平均值：

11

x=^^E期=303.45,y=—Sy；=240.21

1/、120元+48歹

之二168(9+诩)=168=285.44

方差：

11

Sx=行式(阳一£)2=诉—⑴2==120⑸+(%)2)

乙U_L乙\J

11

Sy=-力2=—Xyf-@)2=5K=48⑸+(y)2)

9

111

=痂七⑵-2)2=-一⑶2=—+£久)一⑵2=1426.46

loolooloo

预估:平均质量=1°宵夕=287.69

136

22

20.在平面直角坐标系％Oy中，已知点4为椭圆八>+9=1上一点,%、%分别为

OZ

椭圆的左、右焦点。

⑴若点Z的横坐标为2,求|Z%|的长；

(2)设厂的上、下顶点分别为Mi、M2,记44%七的面积为SI，44MIM2的面积为S2,

若SiNS2,求|。川的取值范围

⑶若点4在二轴上方,设直线44与「交于点民与y轴交于点K,KF\延长线与「交于

点C,是否存在%轴上方的点C,使得取+F\B+F^C=2(0+无石+营)(2e

R)成立?若存在，请求出点。的坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】解析几何

【答案】⑴苧⑵(应，甯⑶。(-冷)

【解析】⑴设Z(2，y),因为点％为椭圆「：£+[=1上一点,则总+1=1,得=

2

-0

3

又%(—2,0),所以|g|=J(2_(-2))2+(y—0)2=孚

(2)设4(%，y),%yH0,则S1=211yl=2|y|,S2=^\MrM2\\x\=V2|x|

因为Si>S2,即21yl>V2|%|,即2y2>/,

又看+5=L所以2y2之6-3y2,得牌y2<2

所以|0Z|=+y2=J(6-3y2)+y2=,6-2y2,所以|。4|的范围是

(不钓

10

（3）设4（小,乃）,月＞0,8（%2，力），由图像对称性,得A、C

关于y轴对称,所以C（—卬月），又%（―2,0）,&（2,0）,所以

=(%i+2，yD，FrB=(亚+292)，F]C=

(一%]+2，乃)，

所以?遇+F]B+F^C=(%2+6,2+2yD；

同理尸2人+F2B+F2c=(%2-692+2yD

因为比1+^B+F^C=A(O+取+无CiGLeR),所以Kl+O+^1C//

F2^+F?B+F2c

3+6)(2/2+27/1)=(①2-6)(。2+2?/1)

所以力+2乃=0,或京6（无解）

22

设直线4尸2：%—My+2,与椭圆'+—=1联立得，（m?+3）y2+4my—2=0

62

［月月=-2走=专得."得空

（乃+力=一月=一而

由％1=见人+2,得%1=：,所以C（一普）

21.记M(a)=[t\t=/(%)—f(d)>x>d},L{d)=(t\t=/(%)—f(a)>x<a}

(1)若f(%)=x2+1,求M(l)和£(1);

(2)若/(%)=炉一3%2,求证:对于任意aeR,都有M(a)U且存在a,使

得-4EM(a).

⑶已知定义在R上;'(%)有最小值,求证〃/(%)是偶函数〃的充要条件是“对于任意

正实数c,均有M(—c)=£(c)”.

ii

【考点】导数

【答案】见解析

【解析】（1）由题意得:

M(l)={t\t=x2+1—2>x>1]=[0»+8)；L(l)=[t\t=x2+1—2>x<1]=

[—1，+8);

(2)证明:由题意知M(a)={t\t=x3—3x2—a34-3a2»x>a],

3

记g(%)=A—3%2_a33a2,有g'(%)—3/—6%=。0％=。或2

X(—8,0)0（。，2）2（2，+吟

g<x)正0负0正

g(%)7极大值极小值7

现对a分类讨论：

(1)当a22,有t=/一3x2-a3+3a2,x>a为严格增函数，因为g(a)=0,

所以此时M(a)=[0叶8)c[_4叶8)符合条件；

(2)当04a<2时，t=/—3/—03+3a2,%>a先增后减，〃讥=g(2)=—

a3+3a2—4

因为—a3+3a2=a2(3—a)>0(a=0取等号),所以坛讥=g(2)=—a3+3a2—

4之一4,

则此时M(a)=[-a3+3a2-4，+8)c卜4，+8)也符合条件；

⑶当aV0时,t=八一3x2-a3+3a2,x>a,在[a，0)严格增,在[0,2]严格减,在

[2'+8)严格增，1也=min{g(a)，g(2)}=min{0,一a3+3a2-4],

因为/(a)=—a3+3a2—4,当a<0时,』(a)=—3tz2+6a>0,则/(a)>

h(0)=-4

12

则此时M(a)=[tmin>+°°)c[一4叶8)成立；

综上可知,对于任意aGR,都有M(a)£[-4，+刃],且存在a=o,使得一4eM(a).

⑶证明：

(1)必要性:若f(%)为偶函数，

则M(-c)={t\t=/(%)-/(-c)»x>-c],L(c)=[t]t=/(%)-/(c)a<c}

当%>-c,t=/(%)-f(-c)=/(-%)-/(c),因为一%<c故M(-c)=L(c);

(2)充分性：若对于任意正实数c,均有M(—c)=£(c),

其中M(-c)={t\t=/(%)-f(一c)，%>-c],L(c)={t|t=/(x)-f(c)，x<c]

因为/(%)有最小值，不妨设f(a)=fmin=m,

由于<7任意，令c>|a|则ae[-C'C].>.M(-c)最小元素为/'(a)-/(-c)=m-

Me)中最小元素为m—f(c)

又M(-c)=1(c)=/(c)=f(-c)对任意c>又成立二f(a)=/(-a)=m

若a=0,则f(c)=/(-c)对任意c>0成立=/(%)是偶函数

若aW0止匕后取ce(-\a\>\a\)

=/(—c)=f(c)