不完全信息静态博弈及应用

不完全信息静态博弈及应用不完全信息静态博弈局中人的私人信息使得局中人不能确定对手的支付函数，称这种情况下的博弈为不完全信息博弈，如果参与人同时选择行动，这种博弈模型即为不完全信息静态博弈模型，也称为贝叶斯博弈。5.1海萨尼转换不完全信息的博弈问题在前两章所讨论的完全信息博弈模型中，局中人的支付函数是局中人的共同知识。在很多实际问题中，这是不可能的。这样，我们就面临着不完全信息的博弈模型。考虑具有如下支付矩阵的市场进入问题。设有两个局中人：市场潜在进入者和在位者。他们的生产成本可能是高成本H,也可能是低成本L,但都不为对方所了解。支付矩阵如下：潜在H

进入进不进入入L

进入者不进入

在位者

H

L

默许抵制默许抵制úúúúúûùêêêêêëé----)40,0()40,0()16,2()20,20()40,0()40,0()16,10()15,10()20,0()20,0()8,2()10,15()20,0()20,0()8,10()10,10(局中人的支付函数可以表示为：（进入，默许；H，H）=10，（进入，默许；H，L）=10,

（进入，默许；L，H）=15，（进入，默许；L，L）=20显然，对给定的行动组合，如（进入，默许），局中人还不能确定自己以及对手的支付值，因为支付还依赖于对手的成本是H还是L。而局中人对于对手的这一私人信息还不了解，这样当然无法选择出对自己有利的策略。为解决这个问题，海萨尼提出了解决的方法—海萨尼转换。海萨尼转换1.海萨尼从不完全信息模型的特征入手，引入一个概念，类型：。称为局中人的类型空间或类型集合，称为局中人i的类型。对于局中人i而言是已知的，而对于其余局中人而言，是个随机变量。但的概率分布是共同知识。在前例中，局中人的支付函数是类型依存的，因而也是随机的。记为。这里是局中人的一个行动组合。2.海萨尼在模型中引入一个虚拟局中人—“0”，称为“自然”。它的行动空间为，即n个局中人类型集合的乘积集合。“自然”所选择的行动是，即它为每个局中人i选择了类型3.海萨尼把静态博弈转化为动态博弈，博弈的时序为：（1）自然选择（2）自然把仅通知给局中人而不通知给其余局中人；（3）局中人同时选择行动。4.对给定的n+1个局中人的行动组合，局中人可获得支付。通过海萨尼转换，把信息不完全的静态博弈模型转化为信息完全但信息不完美的动态博弈模型。局中人的策略在贝叶斯博弈中，局中人是根据自己的类型选择行动的，因而局中i人的策略是定义在局中人的信息集上，取值于行动集合的映射：

局中人的条件期望支付函数由于局中人i的支付函数是随机的，因而需用期望支付作为决策的依据。对给定的其余局中人的策略组合及局中人i的行动，局中人i的(条件)期望支付为这里它描写了参与人i依据自己的类型对其余局中人类型的推断或信念。以下用表示贝叶斯博弈模型。贝叶斯纳什均衡称策略组合为不完全信息静态博弈的贝叶斯纳什均衡，对，固定，如果对，，最大化局中人i的条件期望支付，即注：以上定义是对于类型为离散型的随机变量而言的，如果类型为连续型的随机变量，求和号应改为积分号。对于贝叶斯博弈模型，需用上述贝叶斯纳什均衡预测博弈的结果。5.2有限型贝叶斯博弈求解有限型贝叶斯博弈在贝叶斯博弈中，如果所涉及的集合、都是有限集，则称该模型是有限的。本节将通过几个例子，说明求解有限型贝叶斯均衡的方法与步骤。求解有限型贝叶斯均衡的方法与步骤例5.1不完全信息静态囚徒困境问题在囚徒困境问题中，设参与人1具有信息完全静态囚徒困境博弈中的理性选择偏好。局中人2的选择偏好为其私人类型。，表示他具有通常的理性选择偏好。，表示他更偏好于“抗拒”。t的概率分布为，是参与人的共同知识。支付矩阵为

由海萨尼转换，该模型的博弈树如图5-1所示，

①①①①②②图5-1◎局中人1的策略集，局中人2的策略集。固定局中人1的策略c，求，最大化当，得。当，得。于是局中人2对于的最优反应为，或而对于局中人2的策略或。局中人1的策略反应行为是选择，最大化期望支付即求解最大化问题

.即是参与人1关于的最优反应。故：是贝叶斯纳什均衡。类似，固定局中人1的策略D，求，最大化。当，。即。当，即。而对于，局中人1的最优反应是c，因而不是贝叶斯纳什均衡。例5.2在不完全信息的静态囚徒困境问题中，如果局中人1的偏好依赖于对手的类型，局中人2的类型与上例相同。支付矩阵为经过海萨尼转换后的博弈树如图5-2所示。

1.求参与人2关于参与人1的最优反应策略。固定，求，最大化参与人2的支付。可用在支付矩阵中划线的方法得到表5.1①①①①②②图5-2◎

参与人2关于参与人1的最优反应策略为2.求参与人1关于参与人2的最优反应策略。对于固定的，参与人1选择，最大化自己的期望支付，即求解最大化问题，得表5.2

当，参与人1关于参与人2的最优反应策略为，当，参与人1关于参与人2的最优反应策略为。贝叶斯纳什均衡为：若，。若，。两个参与人都具有私人类型的例子例5.3设一个买主与一个卖主，他们就一件商品讨价还价。卖主的类型空间为。类型为s的卖主，称为强卖主，指在讨价还价中处于有利地位的卖主。他对商品的估价是80元。类型为w的卖主称为弱卖主，指在讨价还价中处于不利地位的卖主，他对商品的估价为0元；买主的类型空间也是。类型为s的买主,指在讨价还价中处于有利地位的买主，称为强买主，对商品的估价为20元；类型为w的买主指在讨价还价过程中处于不利地位的买主，称为弱买主，对商品的估价为100元。卖主的行动集合为,这里为卖主的索要价格，其中；买主的行动集合为，指买主的还价，其中。当买主的还价超过卖主的讨价时，双方以平均价格成交。我们以表5.1给出各种情况的成交价格。

买主卖主

表中+表示不能成交。假设买主与卖主的类型独立同分布、概率分布为：根据以上的价格情况，我们可得出如下支付矩阵。卖主的策略为，买主的策略为。其中可取或，可取或。。卖主与买主的策略也可用二维向量表示为：，，，向量的第１个分量为时，局中人i采取的报价，第２个分量表示时，局中人i的报价。为求出卖主的均衡策略，对于，固定，求，最大化卖主期望支付，即求解最大化问题：

==可通过表5.3求上述最大化问题。表5.3

易知（1）对于,固定,求，满足下述最大化问题：

通过表5.4

可得：（2）为求买主策略，对，固定，求满足

=通过表5.5

表5.5

可得（3）对，固定，求满足通过表5.6表5.6

可得（4）由以上计算结果知：参与人1关于的最优反应策略如表5.7所示。表5.7

参与人2关于的最优反应策略如表5.8所示。表5.8

由表5.7与表5.8易知该博弈的纳什均衡为：（1），，即卖主总是表明他的类型是强的，买主的还价与自己的类型一致。（2），，即买主的买价总是表明他的类型是强的，卖主的要价与自己的类型一致。

5.3非有限贝叶斯博弈的应用

5．3.1古诺双寡头竞争中的不完全信息1.基本模型在古诺模型中，两家企业进行同质产品的竞争。企业面对共同的逆需求函数。其中，，，为企业的产量。为产品的价格。假设企业1不知企业2的成本，而企业1的边际成本是共同知识。企业2的成本为，为上的随机变量，，其分布为共同知识。我们要讨论的问题是在贝叶斯纳什均衡中每家企业产量是多少？2.贝叶斯纳什均衡可用以下两个步骤求不完全信息下古诺模型的贝叶斯纳什均衡。第一.求企业2对于企业1的最优反应函数固定及，求，最大化企业2的利润，即求解优化问题由1阶条件，得最优反应函数第二.求企业1关于企业2的最优反应函数固定企业2的策略，选择，最大化企业1的期望支付

由1阶条件可得企业1的最优反应函数两条反应曲线的交点给出贝叶斯纳什均衡：可计算出均衡价格：均衡利润：

(1)式中3.完全信息解如果企业2公开化其私人成本信息，为此我们假设企业2的边际成本也是公共知识。这时有企业2对于企业1的最优反应函数企业1对于企业2的最优反应函数纳什均衡为均衡价格均衡利润（2）4.向竞争对手透露成本信息我们论证无论企业2的效率高低，向对手透露成本都是对自身有利的。命题5.1在均衡中，，换言之，每种类型的企业2，都会透露自己的成本。证明因，无论企业2是否透露其成本，最优反应函数都是若企业2的成本未公开，企业1将判断企业2的成本参数。设，相应的产量记为。企业1的最优反应函数为贝叶斯纳什均衡产量为可计算出均衡价格。两个企业的均衡利润为通过比较易知，对于的企业2，产量与价格低于完全信息古诺纳什均衡的产量与价格。用取代，重复上述推理，最后可得。5.信息的双边不完全性设两个企业的成本都是私人信息。企业1的边际成本是，企业2的边际成本是。这里是上的随机变量，且。与相互独立。企业1的最优反应行为是固定对手的策略，选择，最大化自己的期望利润由1阶条件，得最优反应函数同理，企业2的最优反应函数为6.信息双边不完全时的贝叶斯纳什均衡首先利用最优反应函数计算出，进而可得贝叶斯纳什均衡相应的均衡价格为相应的均衡利润分别为在以上均衡结果中，令，得古诺模型的均衡结果，令，则可得到企业2具有私人信息的贝叶斯纳什均衡结果。5.3.2不完全信息条件下公共品提供问题

不完全信息条件下公共品提供问题两局中人决定是否提供某种公共物品，局中人的行动为：表示i提供公共物品，表示i不提供公共物品。如果至少有1人提供公共物品，每个局中人的收益为1，否则每个局中人的收益为0。局中人i提供公共产品的成本为。这里是私人信息。，，与独立、同分布，分布函数为。策略组合为贝叶斯纳什均衡，满足对每个局中人i和类型，最大化局中人的期望收益，。不完全信息条件下公共品提供问题的贝叶斯纳什均衡令，即表示局中人提供公共物品的概率。局中人的理性行为是：当他预期到提供公共物品时，他肯定不会提供。当他预期到不提供公共物品时，他考虑是否提供。当不提供时，若提供，他的预期收益是。故仅当时，或时，局中人才会提供公共品。从而有：

同理

利用问题的对称性，下面把下标取消

（1）特别，当为区间[]上的均匀分布时，。，。故由（1）式可得，从而。从而有

,故贝叶斯纳什均衡得以确定。5.3.3一级密封价格拍卖问题

两个买者的一级密封价格拍卖问题设两个买者，同时购买一件不可分的物品。他们把出价密封在一个信封之内，交给卖者。出价高的买者将得到货物。买者对于货物的评价是他的私人类型。且设与相互独立，服从[0，1]上的均匀分布。该博弈模型的策略为买者依据对货物的评价的出价，即。买者i的效用函数如下：由于问题的对称性，局中人的均衡的策略满足（由于i与j对称）。假设是v的严格递增函数。当局中人i对于物品的评价为v时，均衡出价。局中人i的均衡期望收益为其中，故有局中人i的问题是选择b，使最大化。由1阶条件

因，故有，或将上式两端从0到b积分，可得。故，即均衡的出价为类型的一半。贝叶斯均衡为多个买者的一级密封价格拍卖问题更一般，设有n个买者，买者i对货物的评价为，为局中人i的私人信息。独立、同分布，服从[0，1]的均匀分布。设该博弈的贝叶斯纳什均衡满足：。当局中人对货物评价为v，均衡出价时，他的期望收益为其中。这里。从而。由1阶条件：，将代入上式，知，令，代入上述方程，可得两端积分，可得将代入上式，可得由于，知。可得：，贝叶斯纳什均衡为。特别，当时，，此时贝叶斯纳什均衡为。它说明对于一级密封价格拍卖问题，当局中人更多时，就更为合理。5.3.4双方叫价拍卖问题双方叫价拍卖问题考虑一个买者和卖者交换一个单位的商品问题。卖者提供商品的成本为c，这是该商品对于卖者的价值。商品对买者的价值为v。设卖者对于商品的要价为，买者对于商品的要价为，当时，双方以的价格成交。故知卖者的效用函数为。买者的效用函数为。双方叫价拍卖问题的贝叶斯博弈模型c，v分别为卖者与买者的私人类型。它们相互独立、同分布，为[0，1]上的均匀分布。可将上述买卖双方叫价问题归结为如下的贝叶斯博弈模型：局中人集合。其中1代表卖者，2代表买者。局中人1的行动集合局中人2的行动集合局中人1的类型集合局中人2的类型集合卖者的策略买者的策略贝叶斯纳什均衡若为贝叶斯纳什均衡，以下两条成立。1.满足卖者最优性。即固定，对于，是以下最大化问题的解。假设买者采取一个线性叫价策略，。服从[]上的均匀分布，于是

为得到1阶条件，将上式对求导，令其为0，得到：

（1）

2应满足买者最优性。固定，对，是以下最大化问题的解=1阶条件为

故有设，从而它服从上的均匀分布。故有

（2）联立（1）和（2）

可得到：,,,.最后得到：

5.4显示原理委托人与代理人在信息经济学中，通常把具有私人信息的参与人称为代理人，把没有私人信息的一方称为委托人。由于委托人与代理人双方的信息不对称性，往往造成了经济效率的损失。机制设计问题研究委托人如何设计一个机制，也就是设计一个博弈规则，能使代理人如实地暴露出自己的类型。显示原理是机制设计理论的重要基础理论。激励相容的直接机制设为一贝叶斯博弈。若，，则称G为一直接机制。在直接机制中，代理人所选择的行动是宣布自己的类型。当然，他可以如实宣布自己的类型，也可以不如实宣布。设G为一直接机制，若G的贝叶斯纳什均衡满足，，则称G为激励相容的直接机制。激励相容条件，表明对任何局中人，他们宣布的类型与他自己真实类型是一致的。显示原理定理5.1

显示原理（Myerson，1979）对于任何贝叶斯博弈的任何贝叶斯纳什均衡，都可以重构为一个激励相容的直接机制。这里重构的含义是：经过适当的设计，可构造一个新的贝叶斯博弈，对于局中人的任何一个类型组合，每个局中人在新的博弈下贝叶斯均衡的支付与原博弈中的贝叶斯均衡下的支付完全一致。证明设为任一贝叶斯博弈，为其任一贝叶斯纳什均衡，下面重构一个贝叶斯博弈，使为一激励相容的直接机制，且局中人在的贝叶斯纳什均衡下的支付与在原博弈G的贝叶斯纳什均衡下的支付相同。在新博弈中，与原博弈相同，令新的行动集合，。且这样构造支付函数：对于中的任一行动组合，规定则

=是个激励相容的直接机制，即，是的贝叶斯纳什均衡。对任何，固定，则。最大化局中人的期望支付。实际比较第1个等号右端与最后一个等号右端易知，以上推导过程中的不等式是等式。从而，对于任何,最大化局中人的在下的期望支付。且局中人在G与中有相同的均衡期望支付。显示原理表明了以下意义：对于一般的机制设计问题的研究，可归结为对于激励相容的直接机制的设计的研究。

5.5用贝叶斯均衡解释混合策略均衡

海萨尼（Harsanyi，1973）指出：完全信息博弈的混合策略纳什均衡可以解释为不完全信息“微扰动博弈”的纯策略意义下贝叶斯均衡的极限。性别战的例子用以下性别战的例子说明上述结论，“性别战博弈”的支付矩阵如下：

它除了具有纯策略均衡（足球，足球）和（芭蕾，芭蕾）外，还有一个混合策略均衡：()其中，,。下面说明混合策略均衡（）可表示为一系列纯策略意义下贝叶斯纳什均衡的极限。考虑下述具有扰动的性别战