河南省信阳市高一年级下册7月月考数学试题

2022-2023学年河南省信阳市高一下学期7月月考数学试题

一、单选题

1.集合A={xH-x-6<o},集合5={x|log2X<l},则AB=()

A.(—2,3)B.(—oo,3)C.(—2,2)D.(0,2)

【答案】D

【解析】先解不等式求出集合A,B,再根据交集的定义求解即可.

【详解】解：由炉-无一6<0即(x—3)(x+2)<0解得-2<x<3,则4=(—2,3),

由log?尤<1解得0<x<2,贝!)3=(0,2),

A3=(0,2),

故选：D.

【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，考查指数不等式的解法，属

于基础题.

2.已知/,加，”是三条不同的直线，a,口,/是三个不同的平面，则下列结论正确的是()

A.若allpjlla,则/〃6

B.若mua,nu(x,/Lm,lLn,贝!!/J_a

C.若尸_Lc,/_La,则£///

D.若mLa,nLa,l//m,则/〃”

【答案】D

【分析】以正方体为例，举例即可说明A、B、C错误；根据线面垂直的性质定理以及平行线的传递

性，即可得出D项.

对于A项，如图正方体ABC。-A与G2中,

平面ABCDI/平面4B1G2,44//平面ABCD,

但是，A瓦u平面AgGA,故A错误；

对于B项，如图正方体ABCD-AiBlClDl中，

ABu平面ABC。，CDu平面ABC。，AD±AB,ADVCD,

但是，ADu平面ABCD,故B错误；

对于C项，如图正方体ABCD-\BXCXDX中，

平面ABCD/平面ABB^,平面ADDXA.1平面ABB^,

但是，平面ABCD人平面故C错误；

对于D项，因为机_La,n±a,

根据线面垂直的性质定理可知，相〃

又///机，所以"/〃，故D项正确.

故选：D.

3.已知。=厩52,Z?=log070.1,0=0.7°”,则”,b,c的大小关系是()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【分析】由Iog51<log52vlog5^,log070.1>log070.7=1,0.71<0.7°4<0.7°即可判断出大小.

【详解】log51<log52<log545,即。<〃<；,

log070.1>log070.7,gpZ?>1,

0.71<O,704<0.7°,即0.7vcv1,

所以avcv》,

故选：A.

TT1

4.在ABC中，5=1，BC边上的IWJ等于,则sinA=()

及回pVio「3亚n29

105105

【答案】C

【分析】做出图形，令，ZMC=e,依题意可求得cose=42=且，5皿。=坡，利用两角和的正

AC55

弦即可求得答案.

【详解】

设的内角A、B、C对应的边分别为。、b、c,作AD13C于。，令NDAC=。，如图所示,

JT

在jC中，Bp,AD1BC,则AABD是以"为斜边的等腰直角三角形,

边上的高为AO=」5C=3,.•.BO=AD=q,CD=—,

3333

a

sin6=Vl-cos20=~~

故选:C

5.已知函数/(x)=2kT+(x—Ip,若〃log3a)>〃2),则实数。的取值范围是()

一8,j]u（9,+8）

A.B.（-oo,l）（9,+oo）

C.10,扑（9,+8）D.（O,l）u（9,+oo）

【答案】D

【分析】根据条件，分析得到函数/(X)关于直线x=l对称且在［1,”)上单调递增，进而将不等式

f(log3a)>f⑵转化为|log3«-1|>1,结合对数函数的图象与性质即可求解.

【详解】由〃彳)=2曰+(尸1)2可得：/(x+l)=2w+x2,

贝U/(-,x+1)=2卜*+(—无?=2忖+f=f(尤+1),

所以函数y=/(x+i)是偶函数，则函数y=/(x+i)的图象关于直线x=o对称,

所以函数〃尤)的图象关于直线％=1对称，

又X21时，〃x)=2i+(尤-1)2在［1,E)上单调递增，则“X)在(f,l)上单调递减,

若/(log3«)>/(2),贝叶(|log3«-1|)>/(|2-1|),

KP|log3a-l|>l,所以log3a>2或log3a<0,解得：o>9或0<a<l,

所以实数。的取值范围是(0」)口(9,内)，

故选：D.

6.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的

教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是（）

24a52

A.9-B.9-9-D.3-

【答案】B

【分析】从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，列出基本事件的总数，利用古典概型求解即可.

【详解】设甲校2男1女的编号分别为1,2,A,乙校1男2女编号分别为B,3,4,

若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，

写出所有可能的结果有：（A3）,（A4）,（A,3）,（1,3）,（1,4）,（1,3）,（2,3）,

（2,4）,（2,3）共计9个,

选出的2名教师性别相同的结果有（1,3）,（2.B）,（A,3）,（A,4）共计4个,

4

故选出的2名教师性别相同的概率为：.

故选：B.

7.已知在一ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=5,点。为其外接圆的圆心.已知

80.AC=5,则当角C取到最大值时的面积为（）

A.巫B.576C.在D.5A/5

22

【答案】A

【分析】利用外心的性质，8O-AC=5可转化为:Be。-3^二再由余弦定理及均值不等式求出

cosC的最小值，即可得解.

【详解】点。为其外接圆的圆心，分别是BA8C的中垂线，如图,

/\1212

/.BOAC=BO(BC-BAj=\BN\-\BC\-\BM\-\BA\=-BC--BA,

：,-a2--c2=5,即c=A.

22

a2+b2-c2立」+2>2庠-巫

由cosC=

lab10bb10~105

1b

当J=即/,=而时取等号，此时角C取到最大值，

此时（厉了+（而）2=52,即一ABC为直角三角形，

所以当角C取到最大值时，..ABC的面积为==

222

故选：A.

8.如图，在四棱锥Q-£FG"中，底面是边长为2近的正方形，QE=QF=QG=QH=4,M为QG

的中点.过作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为匕，匕，则*的最

小值为（）

【答案】A

【分析】先判断A为‘QEG的重心，再利用重心得到工+工=3,求出X=/_8c+%_8c=46孙，

xy

v

进而得到甘}，借助基本不等式求出最小值即可.

V1

过。作平面跳GH的垂线，垂足为O,连EG,EM,设EM,QO的交点为A,在△。所中过A作直

线BC交QH,QF于B,C两点,由相交直线确定平面，则四边形ECMB为过的截面.由计算可得

EG=4,,得心QEG为正三角形，。。=2百，所以A为一QEG的重心，设Q3=xQH,QC=yQ尸，由

向量运算可得QA=2QO=J_QH+J_QR,又QB=xQH,QC=yQF,可得=工°氏。/=工℃,

333xy

所以QA=?QB+；QC,由三点共线，得;+；=1,即1+工=3,易得E到平面。郎的距离为

3x3y3x3yxy

OE=2,M到平面。他的距离为1,因为5少'=3。a。05山。=46孙，所以

匕=/3+%-婀=3刎.（1+2）=：阴。0点啖=46孙，%ES=；X（20『X2G=子，得

J/JDD

]6匕_4指孙_4]]]1rr

V2=VQEFGH-\=-^-^xy,，一:若_4氐「一由r[3,3=-+y＞2^-）

得冲3,当且仅当％=y=q取等号，所以％—1+4-3^~\_4-2,即才的最小值为

9332

故选：A.

【点睛】本题关键点在于由A为-QEG的重心得到工+,=3这一结论，再用苍丫表示出要求的体积,

xy

最后借助基本不等式得到最值.

二、多选题

9.设复数z=An+〃iO,〃£R）,则下列结论正确的是（）

A.若m=nwO,则z?是纯虚数

B.若1＜根＜2,20＜3,则目的最小值为逐

-2i

C.若z=-----,贝ljmn=1

1-i

D.若〃1=1力,则z3在复平面内对应的点的坐标为（1，。）

22

【答案】AC

【分析】计算出z2可判断A,根据线性规划及复数的几何意义可判断B,计算出z可判断C,计算

出z3根据复数的几何意义可判断D.

【详解】对于A：z2=（m+ni）2=m2—n2+2mm,

因为帆=〃w。，则加-1=0且2zmw0,所以z?=2根〃i是纯虚数，故A正确；

对于B：由z=m+所知忖=1病+/,

又1＜根＜2,作出如图阴影部分区域：

|z卜Vm"表示平面区域内点(m,n)到原点的距离，由图象可知可行域边界点A与原点的距离最

小，

又点A取不到且|Q4卜行，所以忖的最小值大于有，故B错误；

对于C：因为彳=7^7=，=—l+i,所以z=_l—i,所以机=〃二一1,所以W=l,故C正确;

对于D：若m=',n=2,则z=L@i,

2222

2(1A/3.Y13A/3.1石.

1^22J44222

所以z3=z2.z=--+^i--+^i=-1,则z3在复平面内对应的点的坐标为(TO),故D错误.

故选：AC

10.在71BC中，角A,8,C所对的边分别是a,》,c,下列说法正确的是()

A.若2acos3=c,则MC的形状是等腰三角形

B.AB=2也，ZB=45，若AC=3,则这样的三角形有两个

C.若A=60,a=5,贝UABC面积的最大值为

D.若ABC的面积S=¥(/+c2一叫，C>|,则3的最大值为1

【答案】ACD

【分析】求得判定J1BC的形状是等腰三角形.选项A判断正确；求得角C有一个值.选项B判

断错误；求得二ABC面积的最大值判断选项C；求得的最大值判断选项D.

C

【详解】选项A：由2acosB=c,可得2〃X""=c,化简得a=b,则的形状是等腰三

2ac

角形.判断正确；

选项B：由A8=2&，ZB=45,AC=3,贝I有sin/C=^sinNB=^x也=2,

AC323

由A8<AC,可得NC<ZB=f,则/Ce(0,；1,cos/C=^

4I4；3

则满足条件的三角形仅有一个.判断错误；

22

选项C：由A=60,a=5,可得25=Z?2+02一2ACOS60=b+c-be

则25+"o=/?2+0222"(当且仅当匕=。时等号成立)，解之得6。<25

则ABC面积S=L6csin604"道.判断正确；

24

选项D：由-ABC的面积S=虫_（/?2+。2一/）,可得4csinA=/_x2/?ccosA

4v724

化简得tanA=JL又A£（0,7i）,贝ljA4

又则0＜3«2，则2=当41,（当且仅当3=C=g时等号成立）

333csinC3

即2的最大值为1.判断正确.

C

故选：ACD

11.已知一组样本数据菁,当,％（菁＜匕＜…〈天），现有一组新的

三工石芋「，咨土,与土，则与原样本数据相比，新的样本数据（）

2222

A.平均数不变B.中位数不变C.极差变小D.方差变小

【答案】ACD

【分析】利用平均数、极差的定义计算判断AC；利用中位数的定义举例判断B；利用方差的意义分

析判断D作答.

【详解】对于A,新数据的总和为：仁^+三/++安士=玉+无,++无

222

与原数据总和相等，且数据个数都是"，因此平均数不变，A正确；

对于B,不妨设原数据为：125,3,中位数为2.5,则新数据为：1.75,2.75,2,中位数为2,B错误;

对于C,原数据极差为：新数据极差为：二1产一国逗，

而当也一与三一（当一斗）=以言士上＜0,即极差变小了，C正确；

对于D,由于两组数据的平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均数，因此

方差变小，D正确.

故选：ACD.

12.圆幕定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、割线定理、切割线定理的统一，（其中相交

弦定理:圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，例如，如果交点为P的两条相交直

线与圆。相交于AC与3D,则=如下图，已知圆。的半径为3,点尸是圆。内的

定点，且OP=2,弦AC、8。均过点尸，则下列说法正确的是（）

Q

A.PA-PC=-SB.OB・QD的取值范围是（-9,一1）

C.当ACLBD时，为定值D.ACLBO时，•旧科的最大值为28

【答案】CD

【分析】根据题设中的圆累定理可判断A,C的正误，取8。的中点为连接OM,利用向量的线

性运算可判断B的正误，再取AC的中点为N,根据勾股定理结合基本不等式求最值，可判断D的

正误.

【详解】如图，设直线尸。与圆。于E,F.

4^--------

则24%=-|叫附卜一网•同=-(|OE|-|PO|)(|OE|+|PO|)=|PO|2-|EO|2=22-32=一5,故A错

误；

取的中点为连接

因为M为8。中点，所以0M_L3D,即OMM3=0,OMAW=0,MD-OM'

则OBOD=(OM+MB^\OM+MD)=OM-MD=OM2-[r1-OM^=2OM2-9,

ffi]0<OM2<|OP|2=4,故OBOD的取值范围是[-9,-1],故B错误；

当AC人班）时，

ABCD=^AP+PB^\CP+=APCP+PBPD

=-|AP|.|CP|-|PB|.|PD|=-2|PE|.|PF|=-2X5=-IO,故c正确;

当AC13D时，圆。半径r=3,取AC中点为N,8。中点为

则ON_LAC,OAf_L3£）,又AC，BD,所以四边形ONP做为矩形，所以+|ON『=|ON］=4,

2

所以二4卜一口叫）4上一口加|）<16.^------------------L=4（18-4）=784'

当且仅当|0M『=.N『=2,不等式等号成立，所以的最大值为28,故D正确.

故选：CD.

三、填空题

13.若复数2=加2-加一2+（加2一以是实数，则实数机=.

【答案】±1

【分析】复数Z=〃r一%-2+（利2_邛是实数，则虚部为0,可求实数加的值.

【详解】复数2=/-01-2+（疝-1）1是实数，则有（济一1）=。，解得机=±1.

故答案为：±1.

14.已知函数/（X）=：lg（m+2i）,meR任取士,马力1+2］,若不等式|〃不）-〃马）|<1对任意

止［-2,-1］恒成立，则实数机的取值范围是.

2

【答案】m>~

【解析】先将问题转化为I/（占）-/（%）1对任意te［-2,-1］恒成立，再结合不等式恒成立问题,

可将问题转化为9加>m对任意小［-2,-1］恒成立，然后求最值即可得解.

【详解】解：由不等式1/（%）一/（无J|<1对任意小［-2,-1］恒成立,

即"(不)—"％)la<1对任意fw[-2,-1]恒成立，

又"(无1)-/(々)Lx=又©max-/Wmin-

又函数/(x)=lg(m+2i)在无e印+2]为减函数，

即"(西)T。J1mx=lg(«+21T)-lg(m+2»'),

即lgO+2J)-lg("?+2»')<1对任意tG恒成立，

即9m>二对任意te恒成立，

即9m>4)2，小[-2,-1],

2

BnnPm>——,

3

2

故答案为：m>--.

【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了函数的单调性的应用，属中档题.

n°_

15.在中，A2边上的中线8=4,若动点p满足PAMsiYgOA+cosZ,CAMeR),贝|

(PA+P孙尸C的最小值是—.

【答案】-8

n

【分析】令2=sin2],0WNW1,则24=2Q4+(1-X)C4,化简得-OP=(2-1)OC,故所求式子

可化为24(几-1)46,再利用二次函数的性质求出最小值.

nn

【详解】令2=sin2-,0WNW1,则cos?—=1-彳，

22

故PA=sit?]Q4+cos25cA可化为PA=+(1-X)C4,

PA=OA-OP，代入得OA-OP=WA+(1-^(CO+网

化简得-OP=(2-l)OC

则(丽+尸孙PC=(OA+OB-2OP\(OC-OP\=(22-2)OC-WC

=2A(2-1)-16

=321一切-8

故当2=:时，取得最小值-8

2

故答案为：-8.

16.四面体A-BCD中，ABJ.BC,CDLBC,BC=2,且异面直线48和8所成的角为60。，若

四面体ABCD的外接球半径为石，则四面体A-3CD的体积的最大值为.

【答案】26

【解析】过8作3D'//CD,由题设知四边形BO'OE为矩形且3c上面ABD,根据△ABD外接圆圆

心与四面体A-BCD外接球球心以及8c的关系即可求△ABZ7外接圆半径，利用余弦定理求AD',

并得到"+廿一"=i2(5£»'=a,AB=6),而四面体4-3。。的体积丫=避3，结合基本不等式即可

6

求体积最大值.

【详解】四面体A-BCD中，AB±BC,CD_LBC,异面直线A3和8所成的角为60。，可得如下

示意图：过B点作BD'〃CD且3D'=Cr),连接DD,

则有=60。且BC1面ABD',

如下图，若。'为△ABD外接圆圆心，则可找到外接球圆心。，E为BC的中点，即

OELBC,BE=EC=1,外接球半径为OC=5

：.在平面ABD'中有03=O'A=O'D'=2,ZAO'D'=120°,可得AD'=2由,

fi

令BD'=a,AB=b,则四面体A—5co的体积V=—x/?sin60°x—x2xa=,

326

而由余弦定理知：a2+Z?2-2aZ?cos60°=AD'2=12,BPab<12当且仅当a=b时等号成立，所以

6

故答案为：2石.

【点睛】思路点睛：

1、由已知线线垂直关系，可知线面垂直：面ABZ7,以及面面垂直：面；

2、由上述垂直关系，结合外接圆圆心，即可根据在四面体A-3CD外接球半径求得△ABZ7

外接圆半径；

3、在△W中利用余弦定理得到A。'，以及另两边a,b与AD的数量关系，应用体积公式用a,

b表示四面体的体积，结合基本不等式求最值.

四、解答题

17.如图，A,B两点在河的同侧，且A,B两点均不可到达，测量者在河岸边选定两点C,D,测

得C£>=9km,同时在C,D两点分别测得NACB=a=45,ZACD=/3=6Q,

2

(1)求B,C两点间的距离；

(2)求A,B两点间的距离.

【答案】(1)km；(2)km

44

【分析】(1)利用三角形内角和求出乙D3C=45,根据正弦定理可求得结果；(2)根据角的大小可

求得AC=OC=走；在AABC中利用余弦定理求得结果.

2

【详解】(1)在ABCD中，ZDBC=180-Z.CDB-ZACD-ZACB=45

BCDC—sin30

由正弦定理得：nr-OCsiny^6

sinYsinZ.DBC2

sin/DBCsin45~4~

即氏C两点间距离为：JLkm

4

(2)在AACD中，ZADC=ZADB+ZCDB=60,ZACD=60

:.ZDAC=60AC=DC=—

2

在AA5c中，由余弦定理得：AB2AC2+BC2-2AC-BCcos45

:.AB-Q_2速乂叵D

4824284

即A,3两点间距离为：&km

4

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，主要考查距离的求解问题，属于常规题型.

18.在一ABC中，已知内角AB,。所对的边分别为a,b,c,向量机=(1,有)，向量〃=(cosC,sinC),

且加//n.

(1)求角。的大小；

(2)若。=乎,AC.A5<0,求a+b的取值范围；

(3)若ABC的内切圆的周长为4兀，当温•浦的值最小时，求..ABC的面积.

【答案】(1)y;(2)(咚,|)；(3)1273.

【分析】(1)由机〃及，可得sinC-/cosC=0,从而可求得角C的大小；

7T9IT

(2)AC.A5<0,可得/A为钝角，即再利用正弦定理表示出

a=sinA,b=sinB=sin(--A),从而有Q+Z?=指sin(A+')，再由巴<A<@可求出a+b的取值范

3623

围；

(3)由余弦定理得/二片+"一成，由抽。的内切圆的周长为4兀，可得内切圆半径r=2,设圆/为

4BC的内切圆圆心，D,£为切点，则可得C/=4,CD=CE=2#>，再由切线长定理可得

a+b—0=46，结合前的式子可得3〃8+48=8百(a+b)216若•痣，贝!J有，人248,从而可得当

〃=/7=46时，CAC5的值最小，进而可求出1ABC的面积

【详解】解：(1)m//nym=(l,6),«=(cosC,sinC)

-，•sinC-A/3COSC=0,BPtanC=^3

jr

CG(0,TI),C=-

3

jr27r

(2)24c•43<0,「•/A为钝角，从而不<A<^-

23

是

由正弦定理，^―=—=—=^-=1,

sinAsinBsinCsin/

3

...2兀

/.a=sinA,b=sinB=sin(------A)

7i.2兀2兀.7i57r

—<A<—,..——<A+—<—

23366

(3)由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2—ab^

由题意可知：/BC的内切圆周长/=2口=4兀，

所以内切圆半径r=2

如图，设圆/为.ABC的内切圆圆心，D,£为切点，

TT

可知aCD/0CEI,又。=可，可得：

C7=4,CD=CE=2s/3,

由切线长定理可知从圆外一点引圆的两条切线长相等,

a+b—c=

=(。+/?-4=a~+b~—2abcosC—u~+b~—ab,

化简得3a6+48=8石（a+瓢（当且仅当a=b时取等号）

即3小16打疝+4820

/.ab>48,^ab<—

3

又〃，匕>26,ab>48,即CA'CB=abcosC=-^abe[24,+co）,

当且仅当〃=6=4指时，温.注的值最小为24,

此时ABC的面积：S=-aZ7sinC=-x48xsin-=12V3

-223

【点睛】关键点点睛：此题考查向量的应用，正弦定理和余弦定理的应用，考查基本不等式的应用,

第（3）问解题的关键是由切线长定理得a+b-c=4代，由余弦定理得/=储+廿-"，从而得再结

基本不等式可得3ab+48=8/（a+b）216若•施，进而可求得结果，考查数学转化思想和计算能力,

属于中档题

19.如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，抬是圆柱的母线，以=3,AD=2AB^2,

/54。=120。，C是BO上的一个动点.

（1）求圆柱的表面积

（2）求四棱锥尸-ABCD的体积的最大值

【答案】（1）14+6017t

3

⑵也

4

【分析】（1）利用余弦定理求出3D,再利用正弦定理求出圆柱底面半径为厂，进而求出结果;

（2）利用余弦定理结合基本不等式求出3CCDW7,再利用体积公式求出结果.

【详解】（1）如图：

连接2，在中，AB=1,AD=2,ZBAD=120°,

由余弦定理，WB£)2=AB2+AD2-2ABADCOSZBAD=1,

所以=近’设圆柱底面半径为，，由正弦定理’得2「濡而=磊"个'

所以厂=浮，故圆柱的表面积S回柱=2无十+尸A)=言区］勺+3〉小竽L；

(2)由(1)知，△5CD中，80=近，ZBCD=180°-ZBAD=60°,

由余弦定理，得BD°=BC?+CD。-2BC-CDcosNBCD

=BC2+CD2-BCCD>2BCCD-BCCD=BCCD,即BC-C£>W7,

当且仅当BC=C£>=B时，等号成立，

所以SA=工BC.COsinNBCD<-x7sin60°=—，

△BCD224

因为S,"n=-ABADsinZBAD=-x1x2sin120°=—,又以=3，

△AABD222

所以四棱锥P-ABCD的体积，

^P-ABCD=§SABCD'尸4=(^AABD+^ABCD

故四棱锥P-ABCD的体积Vp-ABCD的最大值为9.

4

20.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是

举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试

成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.

(1)求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；(同一组中的数据用该组区

间的中点值作代表，中位数精确到0.1)

(2)乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要

通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给

每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率.

【答案】(1)。=0.005,1=69.5,众数为70,中位数为69.4.

【分析】(1)由频率和为1列方程可求出。的值，根据平均数的定义可求出"由众数的定义可求得

众数，先判断中位数的位置，再列方程求解即可；

(2)利用列举法结合古典概型的概率计算公式求解即可.

【详解】(1)由频率分布直方图可知10(2。+0.025+0.045+0.020)=1,解得。=0.005,

%=50xl0x0.005+60xl0x0.025+70xl0x0.045+80xl0x0.020+90xl0x0.005=69.5，

众数为70,

因为前2组的频率和为10xQ005+10x0.025=0.3<0.5,前3组的频率和为

10x0.005+10x0.025+10x0.045=0.75>0.5,

所以中位数在第3组，设中位数为“，则

0.3+0.045(m—65)=0.5,解得MB69.4,

所以中位数为69.4.

(2)记3名男生分别为A民C,记2名女生分别为a,b,则所有抽签的情况有：

未中签AB,中签Cab；未中签AC,中签及力；未中签Aa,中签BC6；

未中签4?,中签3Ca；未中签BC,中签Aa6；未中签初，中签AC0；

未中签劭，中签ACa；未中签Ca,中签ABZ?；未中签C。，中签ABa；

未中签ab,中签ABC,共有10种情况，

其中中签者中男生比女生多的有：未中签Aa,中签gCb；未中签9，中签3Ca；

未中签&,中签ACO；未中签33,中签ACa；未中签Ca,中签AS。；

未中签C。，中签＞kBa；未中签必，中签ABC,共7种，

7

所以中签者中男生比女生多的概率为

21.如图，在直三棱柱ABC-44cl中，ZACB=90°,且AC=BC=CQ=2,点尸为线段片C上的

动点.

B

(1)当尸为线段耳C中点时，求证：平面ABP1平面做C；

(2)当直线AP与平面BCG与所成角的正切值为逑时，求二面角PARC的余弦值.

2

【答案】(1)证明见解析

⑵手

【分析】(1)由题意，得AC_L平面BCG4，从而AC_LBP,又用C_LBP,可得BP_L平面做C,

由此可证得结论；

(2)由(1)得AC,平面8CG耳，所以直线AP与平面3CG与所成角即为/APC,求得PC,作

PMIBC,MNJ.AB,可证得/PNM为二面角尸-AB-C的平面角，求解即可.

【详解】(1)由题意，AC1CC,,AC1BC,BCnCC1=C,8C,C£u平面BCC4,故AC,平

面BCC[Bi,

,?3尸u平面BCCE,：.ACLBP,

•.•尸为瓦C的中点，