上海市浦东新区普通高中2024届高二数学第一学期期末考试试题含解析

上海市浦东新区普通高中2024届高二数学第一学期期末考试试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在长方体A3CD—A4GR中，BA+BC+CQ=()

D[B[B.D.B

C.DB.D.BDX

3

2.已知抛物线则它的焦点坐标为()

K3]3

c.&。]

3.已知等比数列｛4,｝各项均为正数，且必，外成等差数列，贝!]%。2。+“2。21+“2。22=()

24^2019+〃2018+^2017

A.27B.18

C.9D.1

4.已知数列｛4｝满足％=2,。“=2---,则%=()

an-l

67

A.-B.-

56

55

c.一D.-

46

5.当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了()

A.三点确定一平面B.不共线三点确定一平面

C.两条相交直线确定一平面D.两条平行直线确定一平面

6.设数列｛%｝的前〃项和为S“，数列⑸+科是公比为2的等比数列，且4=1,则/=()

A.255B.257

C.127D.129

7.如图是函数y=/（x）的导函数y=/'（x）的图象，下列说法正确的是（）

儿函数丁=/（"在（-2,2）上是增函数

B.函数y=/（x）在（L+co）上是减函数

c.x=-l是函数y=/（x）的极小值点

D.x=1是函数y=/（力的极大值点

8.不等式3x+2<0的解集是（）

A.{x|lVxV2}B.1x|l<x<2}

C.{x|%v1或%>2}D.{x|x<l^x>2}

9.如图，正三棱柱ABC—A与G中，AB=AAi=2f则人氐与平面A41G。所成角的正弦值等于（）

R6

A也

A.------

22

D.巫

邛4

10.“根>0且〃>0”是“方程加/+町;2=1表示椭圆”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

11.抛物线>2=2px（"〉0）的焦点到直线>=x+l的距离为代，则片（）

A.1B.2

C.272D.4

12.已知/,“是两条不同的直线，是两个不同的平面，豆lua,muB,则（）

A.若a1,则/〃"zB.若11-/3,则a_1_

C.若贝！|/上mD.若/〃m，则a//〃

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设函数/'（X）是函数/（x）（xeR）的导函数，已知/'（x）</（x）,且/（0）=2,则使得了⑴―2"<0成立的

x的取值范围是.

2

14.若函数/（犬）=kp之X—31nx—XL+3x1—L（ZeR）恰有两个极值点，则上的取值范围是

JC2%

2x-1

15.曲线y=二一在点（T-3）处的切线方程为

x+2

16.若p：存在x<5,使2x+a>0是真命题，则实数a的取值范围是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.（12分）已知耳,后是椭圆C:「+==l（a〉6〉0）的两个焦点，尸为C上一点，。为坐标原点

ab

（1）若VP。工为等边三角形，求C的离心率；

（2）如果存在点P,使得PFJPF2,且月的面积等于16,求b的值和a的取值范围.

18.（12分）已知圆M：（x+2Gj+y2=-^的圆心为M,圆N：卜一26）~+/=；的圆心为N,一动圆与圆N

内切，与圆拉外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C

（1）求曲线C的方程；

（2）已知点尸（6,3）,直线/与曲线C交于A,B两点,且=直线/是否过定点？若过定点，求出定点坐标；

若不过定点，请说明理由

19.（12分）已知椭圆C:\+£=l（a〉》〉0）的离心率为且，点4（2,1）在椭圆上.

ab2

（1）求椭圆C的方程;

（2）过A点作X轴的平行线交y轴于点T,过T点的直线/与椭圆。交于两个不同的点P、Q,直线AP、A。与x

轴分别交于“、N两点，若|AM|=|AN|,求直线/的方程；

（3）在第（2）问条件下，点3是椭圆。上的一个动点，请问：当点3与点A关于x轴对称时△PQB的面积是否

达到最大？并说明理由.

20.（12分）已知椭圆E：「+与=1（。〉人〉0）的离心率6=正，且右焦点到直线工—丁+2=0的距离为20.

ab2

（1）求椭圆的标准方程；

h2

（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC,过原点。，若左前•凝二，证明：四边形ABC。的面

a'

积为定值.

21.（12分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为

世界读书日.某研究机构为了解当地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间

（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：

（2）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于[50,60）,[60,70）和

[80,90）的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于[80,90）的概率.

22.（10分）已知直线4：（加一4）%—丁+1=0和4：（m+4）x+（m+l）y-l=0

（1）若乙〃4,求实数机的值；

（2）若求实数，〃的值

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解题分析】根据向量的运算法则得到BA+BC=BD，带入化简得到答案.

【题目详解】在长方体ABC。—44Gq中，易知CC1=DR,

所以BA+BC+CC]=BA+BC+DD[=BD+DD[=BD\.

故选：D.

2、D

【解题分析】将抛物线方程化标准形式后得到焦准距p=g,可得结果.

3,,442

【题目详解】由y得所以2P=§,所以p=],

所以抛物线x2=1y的焦点坐标为(0,1).

故选：D.

【题目点拨】关键点点睛：将抛物线方程化为标准形式是解题关键.

3、A

【解题分析】结合等差数列的性质求得公比4,然后由等比数列的性质得结论

【题目详解】设｛4｝的公比为心因为必，义,与成等差数列，

24

所以9=普+出，即呼=空+%4，q--2q-3=Q,q=3或q=—l(舍去，因为数列各项为正)

匕匕八|"2020+“2021+12022_Q

所以一q一乙/

“2019+"2018+“2017

故选：A

4、A

【解题分析】根据递推关系依次求出生，%，%，%即可•

C1

[题目详解]4=2,4=2——,

4-1

3c14c15c16

%~2---于%=2-[=],%=2一点=1%=2一或=不

ax

故选：A.

5、B

【解题分析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定，此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上.

【题目详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上，所以可以确定一个平面，即地面,

从而使得自行车稳定.

故选B项.

【题目点拨】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题.

6、C

【解题分析】由题设可得S,=2"-〃，再由。8=1-57即可求值.

【题目详解】由数列｛S“+4是公比为2的等比数列，且4=1,

,,1

ASn+n=(ax+1)2-=2\即S,,=2"—〃,

87

Aas=Ss-S7=2-2-l=127.

故选：C.

7、A

【解题分析】根据图象，结合导函数的正负性、极值的定义逐一判断即可.

【题目详解】由图象可知，当工€（—2,2）时，r（x）＞0;当xe。,”）时，/'（无）＜0,

・••/（X）在（-2,2）上单调递增，在（2,+8）上单调递减，可知B错误，A正确；

x=2是极大值点，没有极小值，；.x=—1和x=l不是函数的极值点，可知C,。错误

故选：A

8、A

【解题分析】确定对应二次方程的解，根据三个二次的关系写出不等式的解集

【题目详解】X2-3X+2<0,即为(%—1)(%—2)KO,l<x<2

故选：A

9、C

【解题分析】取AG中点。，连接用。，AD,证明用。，平面A&GC，从而可得为A与与平面A&CC所

成角，再利用三角函数计算DBJAQ的正弦值.

【题目详解】取AG中点。，连接与。，A£),在正三棱柱ABC—A31G中，底面431G是正三角形，人AG，

又：CG，底面4月。］,CG，3］。，又CGcAG=G，，与。，平面A&G。，二⑶四人。为4片与平面

22

A41GC所成角，由题意，4£>=6-F=5AB1=V2+2=2y/2,在RtA5|A。中,

V3

sinNB[AD=

AB,2V2-4

故选：c

【解题分析】根据充分条件、必要条件的定义和椭圆的标椎方程，判断可得出结论.

【题目详解】解：充分性：当加=〃=1,方程必+丁2=1表示圆，充分性不成立；

m＞0

必要性：若方程如2+争2=1表示椭圆，贝!］卜〉0,必有机＞0且九＞0,必要性成立,

mwn

因此，“根＞0且〃＞0"是“方程加/+〃产=1表示椭圆”的必要不充分条件.

故选：B.

11、B

【解题分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得。的值.

【题目详解】抛物线的焦点坐标为

£-0+1

其到直线x—y+i=0的距离：d=2_______=立，

''-^/l+T―

解得：p=2(p=-6舍去).

故选：B.

12、B

【解题分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系分析选项A,C,D,由平面与平面垂直的判定

定理判定选项D.

【题目详解】选项A.由/ua,mu4,a±/3,直线/,机可能相交、平行，异面，故不正确.

选项B.由/，分，lua,则故正确.

选项C.由/ua,mu力，直线/,机可能相交、平行，异面，故不正确.

选项D.由/ua,mu/，/〃根,则%尸可能相交，可能平行，故不正确.

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13>(0,+oo)

【解题分析】构造函数尸(乃=/学利用导数研究单调性，即可得到答案；

e

【题目详解】/(为一2产<00翌<2,令E(x)=/学，

ee

二八f\x)ex-f(x)-ex于卜)一于(x)c

•r(x)=----------5------=------------<0

•'e，，

单调递减,且尸(0)=2,

r.F(x)<F(0)<=>x>0,

••.x的取值范围是(0,+8),

故答案为：(0,+oo)

47I

14、——<左<1

e

【解题分析】求导得尸(X)=.[履,-有两个极值点等价于函数丫=h'-@-1)2有一个不等于1的零点，分离

X

参数得上=321,令/z(x)=321,利用导数研究/z(x)的单调性并作出/z(x)的图象，根据图象即可得出发的取

exex

值范围

【题目详解】函数Ax)的定义域为(。，+8),

Y-1

1(%)=三%/—(%—I)?],

X

令/'(x)=。，解得x=l或左=攵士，

若函数f(x)有2个极值点，

则函数y=k与〃(X)=生3-图象在(0，+8)上恰有1个横坐标不为1的交点，

而//(x)=_(x—D(x—3),

ex

令”(x)>0^>l<x<3,令h'(x)vOnxvl或x>3,

故h(x)在(0,1)和(3,+8)上单调递减，在(1,3)上单调递增，

4

又%(0)=1,如)=0,/z(3)=—,lim/z(x)=O,如图所示，

故答案为：:，1]

15、5x-y+2-O

【解题分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可

【题目详解】由题，当x=—1时，y=-3,故点在曲线上

,2（x+2）-（2x-l）5

求导得：y=—————-所以VL_I=5

（x+2『（%+2）2

故切线方程为5x—y+2=0

故答案为：5x-y+2=0

16、＞-10}

【解题分析】将问题分离参数得到存在x<5,使a>-2x成立，可得结论.

【题目详解】存在％<5,使2x+a>0,即存在x<5,使a>—2x,所以a>—10

故答案为：10}

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)e=73-l;(2)6=4,。的取值范围为[4&,+oo).

【解题分析】(1)先连结「耳，由VP。鸟为等边三角形，得到/耳「工=90,忸玛卜c,归娟=辰；再由椭圆定

义，即可求出结果；

⑵先由题意得到，满足条件的点P(x,y)存在，当且仅当TW2c=16,二——匕=-1,=+多=1,根据三

个式子联立，结合题中条件，即可求出结果.

【题目详解】(1)连结PK，由VPO&等边三角形可知：在△耳P8中，/五/耳=90,忸8|=c,归耳|=辰，

于是2a=归耳|+|叫|=c+石c,

c2r

故椭圆。的离心率为£=一=；---T==A/3-1；

a1+V3

122

(2)由题意可知，满足条件的点P(x,y)存在，当且仅当一|必2c=16,!——乙=-1,=+1=1,

21-1x+cx-ca1b2

即c|y|=16①

八/=02②

22

由②③以及q2=》2+c2得y2=[,又由①知/=£,故万=4；

由②③得Y=1d—〃)，所以c22b2,从而储量2+c222b2=32，故

c

当b=4,。之4夜时，存在满足条件的点P.

故b=4,。的取值范围为[40,+oo).

【题目点拨】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求

解，考查计算能力，属于中档试题.

22

18、(1)-匕=1,%>3；

93

(2)过，(12,-6).

【解题分析】(1)根据两圆内切和外切的性质，结合双曲线的定义进行求解即可；

(2)设出直线/的方程与双曲线的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合平面向量数量积的坐标表示公式

进行求解判断即可.

【小问1详解】

设圆E的圆心为E(x,y),半径为r,

171

贝!||EN|=r+；,怛=r—所以|即=6<|ACV]

由双曲线定义可知，E的轨迹是以M,N为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，

22

所以动圆的圆心E的轨迹方程为工-匕=1,x>3；

93

【小问2详解】

设A(石,%),3(%，%)，直线/的方程为兀=冲+方

f22

土-上=1x23/、

由<93,，得(次一3)V+2爪0+厂一9=0,且布_3力0,

x=my+1,

-2mt

故|；又PAPB=0，所以(%一6)(9—6)+(%—3)(%—3)=0

t—9

Im-3

又%]=myx+%,x2=my2+1,

所以=+£—6)+(%-3)(%一3)

二(〃+i)%%+(皿—6加—3)(%+%)+(56)2+9

(加+1)(/一9)一2加(加/一6加一3)+，2-12，+45)(>一3

=0,

m2—3

即18Hz2+3加才一〃+18-72=0.又

18m2+3mf-^2+18/^-72=18m2+3皿一«-6)«-12)=(3加+/-6)(6加一/+12)=0,故彳=6加+12或

，二—3根+6

若t=—3加+6,贝！I直线I的方程为x=m(y-3)+6,

过点尸(6,3),与题意矛盾，所以3帆+6,故/=6机+12,

所以直线/的方程为x=m(y+6)+12,过点(12,—6)

【题目点拨】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.

22

19、(1)——=1；

82

(2)y=gx+l；

(3)当点3与点A关于％轴对称时，△尸08的面积达到最大，理由见解析.

【解题分析】(D设c=©«>0),可得出a=2f,病二7=八将点A的坐标代入椭圆C的方程，求出r的

值，即可得出椭圆。的方程；

(2)分析可知直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=H+l,设点P(七,%)、。(%2，%)，将直线/的方程与椭圆C

的方程联立，列出韦达定理，由已知可得七户+心。=0,结合韦达定理可求得大的值，即可得出直线/的方程；

(3)设与直线/平行且与椭圆。相切的直线机的方程为y=+将该直线方程与椭圆C的方程联立，由判别式

为零可求得/=±2,分析可知当点3为直线y=2与椭圆。的切点时，APOB的面积达到最大，求出直线

y=；x-2与椭圆C的切点坐标，可得出结论.

【小问1详解】

解：因为工=1,设。=后(/>0),则。=23b=y/JT^=t,

a2

22

所以，椭圆C的方程可表示为二+4=19

4/t2

2

将点A的坐标代入椭圆C的方程可得7=1,解得/=行，

22

因此，椭圆C的方程为土+乙=1.

82

【小问2详解】

解：设线段的中点为E,因为14M=|AN|,则轴，

故直线AP、AQ的倾斜角互补，

易知点T（O,1）,若直线轴，则P、。为椭圆。短轴的两个顶点，

不妨设点尸（0,行）、2（0,->/2）,则的.=上乎，&°=上?2,kAP+kAQ^0,不合乎题意.

所以，直线/的斜率存在，设直线/的方程为丁=履+1,设点。（%,%）、。（9，%），

联立1、.=n+1，W（4^2+l）x2+8fct-4=0,A=64k2+16（4Z:2+1）=16（8A:2+1）>0,

«1+4yz=g

_8左4

由韦达定理可得为+々=一一下一，=---3一，

4k-+l4k+1

^-1kx,=y2-lkx2

AP

xx-2X]—2，A°X2-2X2-2,

则kAPf==处一T"=0，

xx-2x2-2

X“一41

所以Xl%2一（%1+%）=4左2+]=0'解得上=5，

因此，直线/的方程为y=gx+L

【小问3详解】

解：设与直线/平行且与椭圆C相切的直线m的方程为y=Lx+t,

一1

y——x~\~t

联立『2,可得无2+2笈+2产—4=0（*）,

x2+4/=8

△，=4尸-4（2/-4）=16-4/=0,解得/=±2,

由题意可知，当点3为直线y=gx-2与椭圆C的切点时，此时△P0B的面积取最大值，

当/=—2时，方程（*）为尤2—以+4=0,解得X=2,此时y=gx2—2=—1,即点8（2,—1）.

此时，点3与点A关于％轴对称，

因此，当点3与点A关于x轴对称时，△PQB的面积达到最大.

【题目点拨】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性

或三角函数的有界性等求最值

22

20、(1)-x------J1-------=1；

84

（2）证明见解析.

【解题分析】（1）根据已知条件列出关于队氏c的方程组求解即可;

⑵设九：，=6+根，代入三+汇=1，利用韦达定理，通过心0•怎。=一4,结合SABCO=4S.,转化求解即

84a1

可

【小问1详解】

'£=2/2

a2\a=242,,

c+2/—,xy

5一尸-=2n4b=2=E:----F—=1

垃。84

a2=b2+c2〔

【小问2详解】

22

设人（%,%）,6（%2，%），设5：＞=6+根，代入上+乙=1，

84

得(1+2k2)x2+4kiwc+2m2-8=0,

4km2m2-8

A>0,工玉+々

1+2^2'