高中数学《立体几何》大题及答案解析

高中数学《立体几何》大题及答案解析（理）

1.（2009全国卷I）如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD_L底面ABCD,

AD=<2,DC=SD=2,点M在侧棱SC上，zABM=60o

（I）证明：M是侧棱SC的中点；

（II小二面角SAMB-的大小。

2.（2009全国卷U）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABJ.ACQ、E分别为AAi、BQ的中点,

DE_L平面BCCi（I）证明:AB=AC（n）设二面角A-BD-C为60。,求BQ与平面BCD所成

的角的大小

3.（2009浙江卷）如图，DC平面£BC,EB//DC,ACBCEB2QP2..

ACB=12OC,P,Q分别为AE,AB的中点.（I）证明：PQ//平面ACD；dl）求AD与平

面ABE所成角的正弦值.

4.（2009北京卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，

PD1底面ABCD，点E在棱PB上.（I）求证：平面

AECJ_平面PDB（n）当PD=V2AB且E为PB的中点时，

求AE与平面PDB所成的角的大小.

5.（2009江西卷）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PAJ•平面ABCD,

PA=AD=4,AB=2.以BD的中点。为球心、BD为直径的球

面交PD于点M.

（1）求证：平面ABM_L平面PCD：

（2）求直线PC与平面ABM所成的角；

（3）求点O到平面ABM的距离.

6.（2009四川卷）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF

所苣平面且相湃直二△ABE是等唯直角三角形，

ABAE,FAFE,AEF45（I）求证：EF平面BCE；

（II）设线段CD,AE］；中点整j为P、M,求证：PM||平面BCE

（III）求二面角FBDA的大小.

6.(2009湖北卷文)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SDJ_平面ABCD,SD=AD=a，点E是

SD上的点，且DE=)va(0<X£1).

(I)求证：对任意的Xe(0、1)，都有AC1BE:

o.

(n)若二面角C-AE-D的大小为60C,求的值。

8.(2009湖南卷)如图3,在正三棱柱ABC-AB1C1中，AB=4,

AA1=41，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE工AiE.

(I)证明：平面ADE_L平面ACGA;(D)求直线AD

1

和平面ADE所成角的正弦值。

9.(2009四川卷)如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE

是等腰直角三角形，AB-AE,FA-FE广AEF-45

(I)求证：EF1平面BCE；

(H)设线段CD、AE的中点分别为P、M,

求证：PM||平面BCE

(III)求二面角FBDA的大小。

n

7.（2009重庆卷文）如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB||DC.NBAD=—

2

CD=AD=2,四边形ABFE为平行四边形，FAJ■平面ABCD,FC=3,ED=.求:

（i）直线AB到平面EFCD的距离；

（口）二面角FADE而平面角的正切值.

题（18）图

11.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，ZDAB=60\AB=2AD,PD,底面

ABCD.

（1）证明：PA±BD；

（2）设PD=AD,求二面角A—PB-C的余弦值.

B

12（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,AC_LBD,垂

足为H,

PH是四棱锥的高，£为AD中点

（1）证明：PE1BC

（2）若NAPB=/ADB=60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值

参考答案

1、【解析】（I）解法一：作MN||SD交CD于N,作NE_LAB交AB于E,

连ME>NB,则MN[iABCD,MEABj_NEAD=2=U

设MN=x,则NCEBx=,

在RTMEB中，vMBE60°ME=3工

22+222+

在RTMNE中由ME=NEMN---3x=x2

解得x车，从而1=一

MNSDM为侧棱SC的中点M.

2

解法二：过M作CD的平行线.

(II)分析一：利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角

也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。

过M作MJ||CD交SD于J,作SHAJgAJ于H，作HKAM交AM于K，则

JM||CD,JM±®SAD,giSAD展/IBA,SH面AMBSKH即为所求二面角的补

角.

法二：利用二面角的定义。在等边三角形ABM中过点B作BFAM交AM于点F,则

点F为AM的中点，取SA的中点G,连GF,易证GFAM,则GFR4|］为所求二面角.

解法二、分别以DA、DC、DS为X、v、z轴如图建立空间直角坐标系D-xyz,则

A(历0,0),B(v^2,0),C(0I0,2)IS(0,0,2)«

(I)设M(0,a,b)(a>0,b>0),则

BA=(0,20),BM=(-V2,a-2,b),SM=(0,a,b-2),

SC=(0,2,-2),由题得

-----------1

cos<BA,BM>=-

2

i一—，即

'SM//SC

[DjL==

2(a2)b22解之个方程组得a1,b1即M(0,1,1)

卜=一

2a2(b2)

所以M是侧棱SC的中点。

=<>=

又也(012,0)I_MB,AB60°

•=•

故

以MBAB|MB||AB|cos60o,即

F=』+(F)2+，解得'=1,

11\

(

1

所以M是侧棱SC的中点。

(口)而(1)得M(0n,1),MA(2,1,1),XAS(2,0,2),AB(0,2,0),

nMA0R-MA02xyz02x0

1=氏72=，即=11=1且2

2x2z02y0

12

即

分别令Xix2得zi1,yi_1,y20,z22,

--------2++J

<>=-----=—

ni(2,1,1),n2(*0,2),

202-

cosni,nz

26

6

二面角SAMB的大小arccos

3

1

2、解法一:(I)取BC中点F,连接EF,则EFBB,从而EFDA。

21

连接AF,则ADEF为平行四边形，从而AF//DE,又DE,平面BCCi,故AF,平面BCCi,从

WAF1BC,即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。

(II)作AG±BD,垂足为G连接CGo由三垂线定理知CG±BD,故NAGC为二面角A-BD-C的平

面角。由题设知，ZAGC=60

0..

7«一

设AC=2,则AG=

由ABADAGBD得2AD=

故AD=AFo又AD±AF,所以四边形ADEF为正方形。

因为BC±AF,BC±AD,AFnAD=A,故BCJ_平面DEF,因此平面BCD_L平面DEF。

连接AE、DF,设AEADF=H,则EH±DF,EH,平面BCD。

连接CH,则NECH为形与平面BCD所成的角

1BC=2,

因ADEF为正方形，AD=2,故EH=1,又EC=1

2

0。.所以N

ECH=30,即BiC与平面BCD所成的角为30

解法二：

(I)以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示

的直角坐标系A—xyzo

设B(1,-0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则Bi(1,0,2c),E

(1,5,c),T

22

于是DE=(,0),BC=(-1,b,0).由DE,平面BCCi知

22

DE±BC,DEBC=0,求得b=1,所以AB=ACo

T—>—>—>—>

(D)设平面BCD的法向量AN=(x,y,z),则ANBC=0,ANBD=0.

又京=(-1,1,0),

q'_x+y=0

BD=(-1,0,c),故《

'_x+cz=0

I

令x=1,则y=1,z=—靡I=(1,1,_).

cc

又平面ABD的法向量AC1,0)

由二面角ABD0_为60知,AhF,AC

故ANAC=从可,~'cos60。，求得=▼

c、’

2

—=«—=-1

于是AN(1,1,2),_CB(1,1,2)

ANCB

AN.CB600-

1△

所以BQ与平面BCD所成的角为30°u

1

3、（I）诵明：连接DP,CQ,=在ABE可,P,Q分别是AE,AB的中点，所以PQ〃BE,

2

±±

1

又DCIFBE,所以PQ〃DC,又PQ界面ACD,DC平面ACD,所以PQ〃平面ACD

2

（n）在ABC中，ACBC2,AQBQ,所以CQAB

±

而DC平面ABC,EB//DC,所与EB平面ABC

而EB平面ABE,所以平面ABE平面ABC,所以CQ平面ABE

A=J；==z

由（I）知四边形DCGP是平行四边形，而以DP〃CQ

所以DP平面ABE,所以直线AD在平面ABE内的射影是AP.

所以直线AD与平面ABE所成角是DAP

2

2DC2

2

在RtAPD中，ADAC215,DPCQ2sinCAQ1

所以sinZDAP=—=_£=—

AD\55

4、【解法1](I)•.,四边形ABCD是正方形，AC±BD,

./PD_L底面ABCD,

.'.PD±AC,；AC_L平面PDB,

二平面AEC_L平面PDB.

(n)设ACABD=O,连接OE,

由(I)知AC_L平面PDB于O,

.,.ZAEO为AE与平面PDB所的角，

.-.O,E分别为DB、PB的中点，

1

」.OE〃PD,=-OEPD,攵...PD底面ABCD,

2

.•.OE±CTABCD,OE±AO,

=1=2/2

在RtAAOE中，OE-PD一AB-AO,

22

oo

_=

.AOE45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.

【解法2］如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz,

设ABa,PDh,

则Aa,0,0,b£a,0,b6,a,0,)D8,0,08,0,h,)

TTT

=(-)=()=()

(1)•/ACa,a,0,DP0,0,h,DBa,a,0\

TT_TT

ACDP_0,ACDB-0,

」.ACJ.DP,ACJ.DB,「.AC,平面PDB,

平面AEC,平面PDB.

_r(«、

(II)当PD=“2AB且E为PB的中点时，P(0,0,、’2a),E!Ta,Ta,Fa

<222

设ACABD=O,连接OE,

由（I）知AC,平面PDB于O,

.'.ZAEO为AE与平面PDB所的角,

11V|—_72)

-EA=~a,一一a,--a,E0=0,0,a

1222)2

■,■cos^AEo=[EA4EOn=JT2，

NAOE=45\即AE与平面PDB所成的角的大小为45：.

lBCF=22多面体ABCDEF的体积为VE—ABC

V

5、解：方法(一)：

(1)证：依题设，M在以BD为直径的球面上，则BMLPD

因为PA,平面ABCD,JJIlJPA±AB,又ABLAD,

所以AB_L平面PAD,则ABJ.PD,因此有PD_L平面ABM,所以平面ABM_L平面PC

D.

(2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB||CD,所以A

B||平面PCD,则AB||MN||CD,

由(1)知，PDJ.平面ABM,贝MN是PN在平面ABM上

z

的磐，=N

所以,PISFM就在。与镉ABIVF所需角,

且PNMPCB-

PD

tanPNMtanPCD22

DC

所求角为arctan22

(3)因为O是BD的中点O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由

(1)知，PD_L平面ABM于M,则|DM|就是D点到平面ABM距离.

因为在RtAPAD中，PAAD4,PDAM,所以M为PD中点，DM22,则O点

到平面ABM的距离等于2。

方法二：

(1)同方法一；

(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0)

D(0,4,0),M(0,2,2),

r2x=o

设平面ABM的一个法向量n(x,=y,z),由n电LnAMI可得:令z=4,

2y+2z=0

则y=1,即1=(0,1,_1).设所求角为a，则sina

所求角的大小为arcsin2"2.

3

(3)设所求距离h,由0(1,2,0),AO(1,2,0),得:

6、【解析】解法一：u

因为平面ABEF,平面ABCD,BC平面ABCD,BC±AB,平面ABEFn平面ABCD=AB

所以BCL平面ABEF.

所以BC±EF.

因为/ABE为等腰直角三角形，AB=AE,

所以nAEB=45°,

又因为/AEF=45,

所以nFEB=90°,即EF1B&

因为BC平面ABCD,BE平面BCE,

BCnBE=B

±

所以EF平面BCE

.......................................................X--X"6分

1

(II)取BE的中点N,钻N,MN,则MNABPC

2

PMNC为平行四遴，所以PM||CN.

CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内，

PM||平面BCE...........................................................................................8分

(III)由E/UAB,平面ABEF,平面ABCD,易知EA±平面ABCD.

作FG^AB,交BA的延长线于G,则FG||EA.从而FG_L平面ABCD,

作GH，BD于H,培H,则由三垂线定期BD1FH.

/FHG为二面角F-BD-A的平面角.

FA=FE,NAEF=45°,

zAEF=90°,/FAG=45/

----•=一

21

设AB=1,则AE=1,AF=，则FGAFsinFAG

22

T_3

=

在Rt/BGH中，NGBH=45°,BG=AB+AG=1+9-

2N

3显3显

GH=BG.sinVJDli=-----------=---------------

224

FG_p

在RtjFGH中,

tanFHG-GH一3

二面角F_BD4的大小为arctan

12分

解法二：因&\BE等腰直角三角形，ABAE=,所以AEABj_

又因为平面ABEFc平面ABCD=AB,所以AE_L平面ABCD,

所以AE_AD

即AD、AB、AE两两垂直；如图建立空间直角标系

(I)设AB=1,距B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0)

.FAJ^E,>XEFJ5o£FE=90。，

11

从而F(0,——)

22

EF(0,),BE(0.1,1),BC(1,0,0)

•=+十一十=•=

于是0

EFBE0,EFBC0

22

EF±BE,EF±BC=

.BE”面BCE,BC平面BCE,BCBEB

EF平面BCE_—*=_____

-----1-111

(II)M(0,0,》Pg富OR为kPM-f-%—5)+——=

1111

-11

EFf/1)!\

\J-(o,/00

2222

,44

PMJ.EF,又EFL平面BCE,直尺M不在平面BCE内，

故PM『平面BCE_

=—=———

(III)设平面BDF的一个法向量为n，并设ni=(x,y,z)

1

BD(1.1,0),BF(0,jJ

)

A\-y=0

•BD

u31

Ln•BFI2y2

1

z.0

取y1,则x1,z3,Onj=（1,1,3）

一[

——•f—

取平EkA百Bp的点金痴量为=（心用

rlrie

nn3②

cosnvn-1211

12111

nn11

12

311

BDA的大小为arccos

11

7、(I)证发1：连建BD,由底面是正方形可得ACBD,

SD羊面A上CD,BD是BF在平面ABCD上的射影,

由三垂线定理得ACBE.0..._L

(II)解法1：SD平面ABCD,&D平面ABCD,S由CD.

又咸曲ABCD是正方形，CDAD,4lSDAD=D,CD平面SAD。

过点D在平面SAD内做DFA呈于F,连接我Fj『CFAE,

故CFD是二面角C-AE-D、的平面角，即CFD=60'

•L

五+2o

在RtAADE中，AD=a,DE=a,AE=a1

1

DF

在RtACDF中，由cot600=

CD

2

1

二

岁上浜

忆：。二式夕,二至二^y

4B

J九2+=3九

&+13，BJ33

2

九6（0,1],解得九=二-

2

8、解：（I）如图所示，由正三棱柱ABC-ABC1的性质知AAiJ_平面ABC.

又DEU平面ABC,所以DEJ.AAi.而DE_LAE,AAIQAE=Ai,

所以DE,平面ACCA,又DEu平面ADE,

11

故平面ADE，平面ACCiA.

（n）解法1：过点A作AF垂直AE于点F,

连接DF.由（I）知，平面ADE_L平面ACC!A,

1

所以AF_L平面ADE,故NADF是直线AD和

1

平面ADE所成的角。因为DE1ACC1A1,

1

A

所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，

于是AD=21，AE=4-CE=4-1-CD=3.

2

2+2

=

又因为AAi7,所以AE=AE=-AE?7]।3=4,

11

AF=AE_A^=3£sinZADF=AL=^I

AE4AD8

即直度)和平面ADE所成角的正弦的—

18

解法2：如图所示，磔是AC的中点，以0为原点建立空间直角坐标系

则相关各点的坐标分别A(2,o,o,),A(2,0,77),D(-1,V3,0),E(-1,0,0).

1

易知(-3,y/3,-yJ7),DE=(0,-F,0),"AD=(-3,火，0).

1

r是平面ADE的一个法向量，则

Q(x,y,z)1

JUUVU_

nDE=-向y=0,

ruuuv_

nAD=-3x+<3y-v7z=0.

1

_£_

解得x乙y%

3

故可取n=(4。，-3)•于是

由此即知，直即和平面ADE所成角的正弦值

18

所以ME与BN不共面，它们是异面直畿..........12分

9、【解析】解法一：

因为平面ABEF_i?FiIiABCD,B(?平面ABCD,BC±AB,平面ABEFn平面ABCD=AB

所以BC_L平面ABEF.

所以BC±EF.

因为ABE为等腰直角三角形，AB=AE,

所以nAEB=45°,

又因为/AEF=45,

所以nFEB=90°,即EF±BE.

因为BCU平面ABCD,BE二平面BCE,

BCnBE=B

所以EF■平面BCE.................6分

(II)取BE的中点N,结N,MN,则MN幺-AB-PC

2

PMNC为平行四超，所以PM||CN.

•.­CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内，

PM||平面BCE...........................................................................................8分

(III)由EA±AB,平面ABEF_L平面ABCD,易知EAL平面ABCD.

作FGLAB,交BA的延长线于G,则FG||EA.从而FG_L平面ABCD,

作GHJ.BD于H,维H,则由三垂线定题BD1FH.

/FHG为二面角F-BD-A的平面角.

FA=FE,NAEF=45°,/AEF=90°,ZFAG=45°.

曲=1,则AE=1,AF=走，则FG=AF.sinFAG=1

22

1_3

在Rt/BGH中，/GBH=45°,BG=AB+AG=1+-=^-

2N

GH=BGsinGBH=；g=3f

FG

在Rt/FGH中,tanFHG

=GH=

•••二面角FBDA的大小为arctan................................

一一.12分

解法二：因小BE等腰直角三角形，ABA之，所以AEAB_

又因为平面ABEF0平面ABCD=AB,所以AE工平面ABCD,所以AEAD^

即AD、AB、AE两两垂直；如图建立空间直角标系

(I)破1,<AE1,§(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0)

VFA=FE,J\EF

11

从而(，一一,一)

F0

22

—_11一_—

EF=(0,一］一?，BE70.1,1),BC71,0.0)

.=+-1■—-1=,=

于是EF0,EFBC0

BE0

22

EF±BE,EF±c

•••BE，平面BCE,BC平面BCE,BCBEB

EF平画BCE

__1_111

<ll>M(0,0,•),P(全，-O^-^jrPMX*—,=)+----------

2222

111111

于是PMEF(1,,)(0,,)00

2222—44

PM_LEF,又EF_L平面BCE,直线PM不在平面BCE内,

故-PM||平面BCE~•

(III)设平面BDF的一个法向量为n,并设m=(x,y,z)

1

|——_f-31

叩」［1,0),BE；(0,

—\——£2=

)

xy0

nBD0

==即=31'

nBF02y_2

1

=z0

一一•_1

取y<1,则臼1］卜产.而1,3)

取平面ABCLD的二个法向量为(QiiX

n

2

n-n%3

cosn、n12

11

121117t

nnj_411V1

12

311

故二面角FBDA的大小为arccos1±

11

10、解法一:(I)ABncDC平而EFCD到面EFCD的距离等于点A到面

="一

EFCD的距离，过点A作AGFD于G,因BADAB||DC,故(DQ；又FA

2

平面ABCD,由三垂线定理可知，CDFD,故CD面FAD,知CDAG,所以AG为

所求直线AB到面EFCD的距离。

在Rt/^ABC中，22945

FDFCCD

由FA耳面ABCD.得FAADL从而在RtAiFAD中，=J2_2=JS-4=1

FAFDAD

zcFAAD22V5ADuucc2<5

AG=———=—=—^―o即直线AB到平面EFCD的距离为一'o

5

V5

(2)由己知，FA平理/\BCD,得FAAD,又由/BAD,知AD,故AD-

2

平面ABFE

DA±AE,所以，NFAE为二面角F-AD-E的平面角，记为6.

在中，

Rt^AED=>/FT2=V7T4=75[_[J

AEEDAD，由ABCD得，FEBA,从而

ZAFE="

2

++=・.・

A(0,0,0)C(2,2,0)D(0,2,0)设F(OQzo)(zb0)可得FC(2,2,Zb),由|FC|3.即

u

222

22z3,解得F(0,0,1)AB||DO,

o

一

-面EFCD,所以直线AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离。设A点在

平面上的射影点为亨产则°,而

82AG(x,y,z)HAGDF0KAGCD

一-==

DF

-----=-T

-2yz0

CD(2,0,0)，此即11解得刈0①，知G点在yOZ面上，故G点在FD

T2x0上.-4

二.1

V1Zi124

GFDF,GF(x,y,