高中数学复习 直线与方程

第三章直线与方程

(一)直线的倾斜角

1.定义：在平面直角坐标系中，当直线与X轴相交时，取X轴非负半轴作为基准，把X轴的正方向按

逆时针旋转至与直线重合的最小角，叫做直线的倾斜角.

当直线平行于X轴或与X轴重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.

2.范围：0°<a<180°倾斜角［0°,180°)二面角［0°,180°］

线面角［0°,90°］异面直线成角(0°,90°］

(二)直线的斜率

1.定义：倾斜角a不是90。的直线，正切值叫做这条直线的斜率，直线的斜率常|‘尸g。

用k表示，当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在./；

2.倾斜角a与斜率k的范围之间的对应关系J/,,

(三)斜率公式1；/

经过两点PKx”y。,P(,yj的直线的斜率是："工

2X2X2-X1

注：

(1)斜率公式适用范围XiWx2

(2)斜率公式变形.y2-yi=kg-x。

例1⑴过P(-1,T)的直线1与x轴和y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中|尸

点，求直线1的斜率和倾斜角.y.

k=-1,a=135°

(2)若经过点A(『t,1+t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，求实数t的取值范围.

(-2,1)

(3)若直线1的倾斜角是连接(-3,5),(0,9)两点的直线倾斜角的2倍，则直线1的斜率为—学

k=tana=-3k'=7tan2a=——

(4)直线1的方程为x+ycos6+3=0(9CR),则倾斜角的范围为［：，彳］

tana=COS06(-8,+oo)

(5)已知两点A⑵3)和B(-L,2),过点P(l-1)的直线1与线段AB有交点，则直线1斜率k的取值范围

为(—8,--j+00).

(四)直线方程的五种形式

名称方程适用条件参数几何意义

k:斜率

斜截式y=kx+baW90。

b：纵截距(可正，可负)

k:斜率

点斜式y-yd=k(x-xo)aW90。

点(xo,y0)

名称方程适用条件参数几何意义

两点式y尸丫尹邛1(aW90°两点(XLYi)(X2,yj

a：横截距

截距式兀+自二1

b：纵截距

A2+B2^0

一般式Ax+By+C=0

(A,B不同时为0)

例2(1)过P(-2,2)点引一条直线1,使其与两坐标轴围成的三角形的面积等于4,求直线1的方

程.

解析｛b-a=；abab=8或—8

•••(a=2+2V3b=-2+2V3J{a=-2-2y/sb=2-

(2)直线1过点P(-2,3),且与x轴、y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线1的

方程.

3x-2y+12=0

(3)若直线((2m2+m-3)x+(2-m)y=4m-l在x轴上的截距为1,则实数m是(D)

A.1B.2C.--D.2或一工

22

(4)①在x轴，y轴上截距分别是-2,3的直线方程是3x-2y+6=0

②求过点P(2,3),并且在两轴上截距相等的直线方程y=|%或.x+y-5=0

例3(1)直线1的方程为.Ax+By+C=0(A、B不同时为零)，根据下列各位置特征，写出A,B,C应满足

的关系：

①1与两坐标轴都相交A#0;B#0;

②1过原点___C=0______;

③1只与x轴相交_B=0_;

④1是y轴所在直线_B=0/>0_;

⑤1在x,y轴上的截距互为相反数①C=0.AWO,BW0②CW0且A=BW0.

(2)①直线kx+y+l=0(keR)恒过定点_(0,-1)_.

②直线kx+k+3k2x+k2y=0(fceR)恒过定点(T,3).

(3)过点P(3,0)有一条直线1,它夹在两条直线匕:2%-y-2=0与12：x+y+3=0之间的线段恰被

点P平分，求直线1的方程。

①y=k(x-3),k=8,y=8x-24,8x-y-24=0

②设点，设直线1与1&于A(t,2t-2),1与I,交于B(6-t,2-2t),又B在心上,则t=孩=两点求直

(4)过P(l,4)作直线1分别交x,y正半轴于A,B两点.

©|PAI•|PB|取得最小值时，求直线1的方程；

k=-l,y=-x+5

②[0A|­|0B|取得最小值时，求直线1的方程；

k=-4,y=-4x+8

③|0A什|0B|取得最小值时，求直线1的方程;

k=-2,y=-2x+6

@|PAH+|PB/取得最小值时，求直线1的方程;

k=-2,y=-2x+6

(五)两直线的位置关系

设直线li：y—kxx+bi,Zi：y—k2x+b2

1.平行

(fci=kz,bi*打率都不存在时也平行

2.垂直

(七+B=-1-4263为0,一条直线斜率不存在

设直线/i：4iX+Biy+Ci-0^l-y,A2X+^*2=0(4：+丰0,

当11〃时，

4$2^42^1(41(-2丰42cl或B1C2HB2C1)

当1山2时,

/1人2+B'B2=0

例4(1)求与已知直线3x-4y+8=0垂直，且与两坐标轴围成的三角形周长为8的直线方程.

解析:4x+3y+C=0

c=8

4x+3y±8=0

(2)求与直线2x-3y-5=0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为3的直线方程.

解析:2x-3y+c=0

2x-3y-6=0,2x-3y+6=0

(3)直线l2x+(m+l)y+4=0和l:mx+3y-2=0平行的m的值为-3或2-=—.

1：2m3

(4)直线(a+2)x+(l-a)y-3=0与(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直，则a的值为土1.

(a+2)(a_l)+(l-a)(2a+3)-0

•••a2+a-2-2a2-a+3=0

⑸已知三点A(2,-4),B⑶6),C(-8,1),求过AABC的重心G且平行于边AC的直线方程.

G(-l,1)

lx=x+2y+6=0

1=x+2y-l=0

(6)直线li：ax+y+l=0,12：a+ay+l=0,13：x+y+a=0能围成一个三角形，求a的取值范围.kr=-

CL,k.2=—,k]=_1

1八b、IsS不平行aW±l

aWl且a7£-1且aW—2

(7)求过点(cos0,sin。)且平行于直线xcos。+ysin。+2=0(9£R)的直线方程.

xcos0+ysin0-1=0

(六)点到直线的距离公式

1.点P(xo,y0)到直线Ax+By+C=0的距离是d=的普罗

Vi42+B2

2.两条平行直线.Ax+By+Ci=Q,Ax+By+C2=0的距离公式是8c?1

y/A2+B2

例5(1)到直线3x-4y-l=o的距离为2的点的轨迹方程是(C)

A.3x-4y-ll=0B.3x-4y+ll=0

C.3x-4y-ll=0或3x-4y+9=0D.3x-4y+ll=0或3x-4y+9=0

(2)已知点A(a,2)(a>0)到直线1:x-y+3—0的距离为1,则a—(C)

A.V2B.2-42C.V2-1D.V2+1

(3)求过点A(-3,1)的直线中，与原点距离最远的直线的方程是3x-y+10=0____.直线与0A垂直

k=3,过(-3,1)y=3(x+3)+1

(4)过点P(l,2)引一直线，使A⑵3),B(4,-5)到它的距离相等,求这条直线的方程.

解析：(①lAB=4x+y-11=0

4x+y-6=0

②AB中点(3,-1)

3x+2y-7=0

(5)已知平行四边形两邻边所在直线方程是x+y+l=0和3x-y+4=0,对角线交点是⑶3),求另两边所

在的直线方程.

x+y-13=0,3x-y-16=0

(七)到角和夹角公式

li_L12时夹角为90°

11与1彳垂直且斜率存在时

1.直线k：y=々6+bi/2：y=七%+/,则直线11到1斯成的角e满足tan8=

2.直线k：y=七%+如以丫=七％+久,则直线11到b的夹角。满足tan。=|[

转至li=%

(1)已知直线1过点A(3,2),且与直线x+5y+6=0的夹角为45°,求直线1的方

程.

2x-3y=0,3x+2y-13=0

(2)直线1力12M率是方程6%2+%一1=。的两根，则I1与I2的夹角是(B)

A.n/6B.n/4C.n/3D.居

(3)等腰三角形ABC的直角顶点A(1,-2),斜边乱所在直线方程是22*+3丫-6=0,求直角边A8"(：所

在直线方程.

x-5y-ll=0

5x+y-3=0

X当AB或AC斜率不存在时不满足.

k[=成45°角伤=(或H

(八)对称问题

例6(1)求P⑶4)关于点M(5,7)的对称点的坐标(7,10).

(2)求P(3,4)关于直线x=12的对称点的坐标(21,4).

⑶求P(3,4)关于直线尸直的对称点的坐标(3,-18).

(4)求P(3,4)关于直线2x-y-6=0的对称点的坐标(£孩).

(5)求P(3,4)关于直线y=x+2的对称点的坐标(2,5).

⑹求P⑶4)关于直线y=-x+2的对称点的坐标(-2,-1).

例7(1)求直线3x-y-4=0关于点M(l,1)对称的直线方程.

3x-y=0

(2)求直线3x-y-4=0关于原点对称的直线方程.

解析：3%—y-4=Oy->—y

3x-y+4=0

⑶求直线3x-y-4=0关于直线x-y-2=0对称的直线方程.

解析：y=3x-4y=x-2

交点(1,-D

在直线上取一点对称点y=1久一3

(4)求直线3x-y-4=0关于直线3x-y-2=0对称的直线方程.

解析：y=3x-4y=3x-2

(无交点)平行直线3x-y=0

例8(1)已知光线从点P(4,3)射到直线x+y+2=0上,反射后穿过点Q(-l,8),求入射光线和反射

光线所在直线的方程.

解：y=-x-2

P加热P'(-5)一理

723

LPQ=y=~x+万与y=-x-2交于(-3,])

入射:2x-7y+13=0

反射:7x-2y+23=0

X切割定理

PA2=PBPC

(2)己知点A(-3,5),B(2,15),在直线1:x-y+40上找一点P使|PA

+1PB|最小,并求出这个最小值.

y=x+4P(xo,xo+4)

|PA+|PB=|PA+PB'

B点-对称点、B'(11,6)

(|M|+|PB|)min=

(3)已知AABC的三边AB,BC,CA的中点分别是D(6,5),E(1,3),F(2,8),求AABC三边所在的

直线方程.

A(7,10)B(5,0)C(-3,6)

5x-y-25=0

2x-5y+36=0

3x+4y-15=0

(九)五种常用的直线系方程.

1.过两直线11和父点的直线系方程为4%++C]+A(AzX++Q)=0(不含

+(B]++C1+AC2=0

此直线系为I2X需验证12直线

例如:求过(1,3),且过直线2x+3y-5=0与直线x+y-2=0的交点的直线方程.

2x+3y-5+入(x+y-2)=0(1,3)

入=-3,x=1

X单独验证%：%+y-2=0是否过此点

2.与直线y=kx+b平行的直线系方程为y=kx+m(m^b).

3.过定点(xo,yo)的直线系方程为.y-y()=k(x-%。)及x=xo.

4.与Ax+By+C=0平行的直线系方