全等模型-角平分线模型（解析版）-2024年中考数学常见几何模型

全等模型-角平分线模型

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点,需要掌握其各类

模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模

型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）

【模型解读与图示】

条件:如图1,OC为AAOB的角平分线、CA±OA于点月时，过点。作CA±OB.

结论：CA=CB、AOA。空AOBC.

图1图2

常见模型1（直角三角形型）

条件:如图2,在bABC中，/C=90°,AD为NCAB的角平分线,过点。作DE_LAB.

结论：DC=DE、kDAC法ADAE.（当ZVLBC是等腰直角三角形时，还有AB=AC+CD.＞）

图3

常见模型2（邻等对补型）

条件:如图3,OC是/COB的角平分线，AC=BC,过点。作

结论t①ZBOA+ZACB=180°；②力。=BE；③。4=QB+2AD.

网］1（2022•北京・中考真题）如图，在AABC中，AD平分若47=2,DE=1,则S&ACD=

A

【答案】1

【分析】作。FLAG于点F,由角平分线的性质推出DF=DE=1,再利用三角形面积公式求解即可.

【详解】解:如图，作。F，AC于点F,

•.•人。平分/34。，DE±AB,DF.LAC,：.DF=DE=1,

SAAC°=-^-AC•DF=x2x1-1.故答案为：1.

【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边的高是解题的关键.

血12(2022.山东泰安.中考真题)如图，△ABC的外角/ACD的平分线CP与内角/4BC的平分线BP交于

点P,若/BPC=40°,则/CAP=()

【答案】。

【分析】根据外角与内角性质得出ABAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得

出/C4P=/用4P,即可得出答案.

【详解】解:延长区4,作PN_LBD,PF_LB4PM_LAC,设/PCD=,

：CP平分AACD,/.AACP=ZPCD=x°,PM=PN,

■：BP平分AABC,：.AABP=NPBC,PF=PN,：.PF=PM,

•/NBPC=40°,/.ZABP=2PBe=NPCD-ZBPC=Q-40)°,

AZBAC=AACD-AABC=2x°-(d-40°)-(/-40°)=80°,二ACAF=100°,

PA=PA

在Rt/^PFA和Rt^PMA中，｛,

PM^PF

：.Rt^FA笃RtAPMA®),：.NFAP=ZPAC=50°.故选C.

【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线

的性质得出PW=PN=P尸是解题的关键.

的3(2023•广东中山•八年级校联考期中)如图，/XABC中，/AB。、/区4。的角平分线BP、AP交于点P,延

长BA、BC,PM±BE,PN±BF,则①CP平分ZACF；®ZABC+2NAPC=180°；③/ACB=

2/APB；④S^AC=Ss+S,cp.上述结论中正确的是()

A.①②B.①③C.②③④D.①②③④

【答案】。

【分析】过点P作PD±47于O,根据角平分线的判定定理和性质定理即可判断①结论;证明R但AM

空①APAD(RL),Rt/\PCDTRtAPCN(HL),得出/APM=AAPD,=/CPN,进而得到

£MPN=2ZAPC,再利用四边形内角和，即可判断②结论;根据角平分线的定义和三角形的外角性质，即

可判断③结论;根据全等三角形的性质，即可判断④结论.

【详解】解:①如图，过点P作PD_L人。于。，

BP平分AABC,PM±BE,PN±BF,：.PM=PN,

•：AP平分AEAC,PM±BE,PD_LAC,：.PM=PD,：.PN=PD,

•：PN_LBF,PD±AC,.•.CP平分乙4CF,①结论正确；

②•/PM±BE,PD_LAC,PN±BF,：.APMA=APDA=/PNB=90°,

(PM=pn

在Rt^PAM^Rt^PAD中，Q_口4,ARt/^PAM^Rt4PAD(HL),

AAPM=AAPD,同理可得，RtNPCDWRt4PCN(HL),：.ACPD=4CPN,

：.4MpN=AAPM+AAPD+ACPD+4CPN=2(NAPD+4CPD)=24ApC,

■：AABC+Z.PNB+AMPN+APMA=360°,/.AABC+AMPN=360°-Z.PNB一APM•A=M180°,

乙4BO+2乙4PC=180°,②结论正确；③•••？!9平分/E47,.•./CAE=2/AMP,

•/ZCAE=ZABC+AACB,/MAP=/ABP+NAPB,：.AABC+AACB=2(ZABF+AAPB),

•••BP平分/ABC,/.AABC=2AABP,：.2ZABP+AACB=2AABP+2ZAPB,：./ACB=2/APB,

③结论正确；

④由②可知，Rt/\PAMgRt/\PAD,Rt/\PCD空Rt/^PCN,：.S.71M=4p,S"CD=S^CN,

S"AC=^APAD^'S&PCD，,:S"AC=S"(JN：・SACPN=SAAPC，④结论正确，

：.正确的结论是①②③④,故选：D

【点睛】本题考查了角平分线的平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的判定和性质，四边形内角和，

三角形的外角性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键.

题4(2023秋・浙江•八年级专题练习)如图，四边形ABDC中，/。=AABD=90°,点。为的中点，且OA

平分/BAG.(1)求证：OC平分/4CD；⑵求证：OA，。。；(3)求证：AB+CD=AC.

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析

【分析】⑴过点。作于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得OB=OE,从而

求出。B=OD,然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；

(2)利用,证明Rt/\ABOgRtAAEO,根据全等三角形对应角相等，可得AAOB=/AOE,同理可得

NCOD=NCOE,然后求出乙4。。=90°,再根据垂直的定义即可证明；⑶根据全等三角形对应边相等,

可得AB=AE,CD=CE,然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论.

【详解】(1)证明：过点。作OE_LAC于E,

•/NABD=90°,04平分ABAC,：.OB=OE,

•.•点。为BO的中点，,OB=OD,：.OE=OD,叉：90°,二OC平分AACD-,

(2)证明：在Rt/\ABO和Rt^AEO中,

AO=AO

口,：.Rt4ABOWRt/\AEO(HL),：・^AOB=ZAOE

013—Oh/f

在Rt/\CEO和Rt^CDO中，jOE=go，，RtACEO空RtACDO(HL),

ACOD=ACOE,：.AAOC=AAOE+4cOE=yx180°=90°,/.OA±OC;

(3)证明：：Rt/\ABO空Rt^AEO,：.AB=AE,

Rt/\CEO笃RtACDO,：.CD=CEJ：AE+CE^AC,：.AB+CD^AC.

【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线

构造出全等三角形是解题的关键.

而]5（2022・河北•九年级专题练习）已知OP平分/AOB,乙DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线

OA于点F,射线CE交射线于点G.

（1）如图1,若CDLO4请直接写出线段CF与CG的数量关系；

（2）如图2,若AAOB=120°,4DCE=AAOC,试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）CF=CG-,⑵CF=CG,见解析

【分析】⑴结论CF=CG,由角平分线性质定理即可判断.（2）结论：。歹=。3,作。打，。4于河，CN

_LOB于N,证明△CMF名△CWG,利用全等三角形的性质即可解决问题.

【详解】解：（1）结论：CF=CG;

证明：「OP平分乙4OB,CF±OA,CG_LOB,.•.CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）;

⑵CF=CG.理由如下:如图，过点。作CM,CM,CN±OB,

•：0P平分ZAOB,CM±OA,CN±OB,ZAOB=120°,

CM=CZV（角平分线上的点到角两边的距离相等），AAOC=ABOC=60°（角平分线的性质），

•/NDCE=AAOC,：.ZAOC=ZBOC=ZDCE=60°,：.AMCO=90°-60°=30°,ZNCO=90°-60°

=30°,

ZMCN=30°+30°=60°,2MCN=ZDCE,

•：AMCF=AMCN-ADCN,2NCG=2DCE-ADCN,：.2MCF=ANCG,

\〃JMF=2CNG

在4MCF和4NCG中，〈CM=CN:.4MCF叁△NCG（ASA）,

[^MCF=ZNCG

CF=CG（全等三角形对应边相等）.

【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线

的性质的应用，熟练证明三角形全等.

模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）

【模型解读与图示】

条件:如图1,0。为NAOB的角平分线，

结论：AAOC^ABOC,AOAB是等腰三角形、OC是三线合一等。

图1

条件:如图2,8后为AABC的角平分线，8EJ_E。，延长BA,CE交于点F.

结论：^BEC^^BEF,AB尸。.是等腰三角形、BE是三线合一等。

吼色（2023•山东淄博•校考二模）如图，点。在△ABC内部，BD平分/ABC,且连接CD.若

△BCD的面积为2,则△ABC的面积为.

【答案】4

【分析】延长4D交BC于E,由ASA证明△48。空ABBD,得出AD=ED,根据三角形中线的性质即可

求解.

【详解】解:延长40交3。于E,如图所示：

•/BD平分/ABC,AD垂直于BD,

NABD=AEBD,2ADB=NEDB=90°,

(AABD=AEBD

在△ABD和△£©£)中，\BD=BD,

\/ADB=/EDB

：./\ABD空AEBD(ASA),：.AD=ED,

=

S^ADBSABDE，SMDC=SADEC,SAADB+SAADC=S&BDE+SADEC=SABI>C=2,

•••△BCD的面积为2,.•.△ABC的面积为4,故答案为：4.

【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，中线的性质，

证明三角形全等得出AD=ED是解题关键.

血］7（2022秋.湖北黄冈.八年级校考期中）如图，△48。中，4DABAC的角平分线，CD，AD,AC—

AB=5；若$加°的最大值为30,则5。长为.

MS

A

【答案】24

【分析】延长CD和AB相交于点E,构造出△ADC空△ADE(ASA),从而求出BE的值;根据当BE_LBC

时，SABCE有最大值求解即可；

【详解】解:延长CD和AB相交于点E,如图：

•：AD是4BAC的角平分线二/CAD=/EAD-/CD±AD：.ACDA-ZEDA=90°

AD=AD：./\ADC^/\ADE{ASA):.AC=AE,DC=DE

：.BE^AE-AB^AC-AB^b,S^E=2s

当BE，BC时，SABCE有最大值；此时S,E=2sg加=2x30=60,

即：^-BC-BE=60/.BC=6[：2=_120=24

2BE5

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义；通过角平分线构造全等三角形是解题关键.

的8(2022•绵阳市•九年级期中)在△43。中，48=47,乙氏4。=90,平分乙48。交AC于点D

(1)如图1,点F为8。上一点，连接AF交B。于点E.若4B=BF,求证：BO垂直平分AF.

(2)如图2,CE，BD,垂足E在的延长线上.试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,点F为上一点，NEFC=[/ABC,CELEF,垂足为E,EF与AC交于点直接写出

线段CE与线段FN的数量关系.

【答案】⑴见解析；(2)BD=2CE,理由见解析；(3)FM=2CE.

【分析】(1)由BD平分/AB。,可得2ABE=NFBE,可证△ABE"FBE(SAS),可得AE=FE,

/AEB=/FEB=!xl80°=90°即可；(2)延长CE,交氏4的延长线于G,由CE_LBD,NABE=

NFBE,可得GE=2CE=2GE,可证ABAD空^CAG(ASA)，可得BD=CG=2CE-,⑶作FM的中垂

线NH英CF于N,丈FM于H,由FN=MN,MH=FH=可得4NMH=ANBH,由4EFC=

22.5°,可求NABC=AACB=/儿WC=45°,可得NM=CM=FN,由外角4EMC=/.MFC

+NMCF=22.5°+45°=67.5°,可求ZECM=90°—NEMC=22.5°,可证△??如笃△CME(AAS),可得

FH=CE即可.

【详解】证明(1)VBD平分AABC,：.NABE=AFBE,VBA=BF,BE=BE,：.△ABE空△FBE

(SAS),

：.AE=FE,AAEB=ZFEB=^-x180°=90°,.•.BD垂直平分AF.

(2)BL>=2CE,理由如下：延长CE,交BA的延长线于G,

CE±BD,NABE=NFBE,；.GE=2CE=2GEj；4CED=90°=ABAD,NADB=AEDC,：.

NABD=/GCA,

又AB=AC,ABAD=ACAG,,：.4BAD空△CAG(ASA)，:.BD=CG=2CE,

（3）MW=2CE,理由如下：作FM■的中垂线NH■交CF于N,交FM于A,

:.FN=MN,MH=FH=±FM,：.4NMH=4NBH,

ZEFC=:/ABC=22.5°,ANMNC=22NFH=2x/ABC,

VAB=AC,ABAC=90,：.AABC=AACB=AMNC=45°,：.NM=CM=FN,

■：ZEMC=ZMFC+ZMCF=22.5°+45°=67.5°,ZECM=90°-AEMC=22.5°,/.2NFH=AMCE,

又/FHN=NE=90°,：.AFNH^^CME（AAS）,：.FH=CE,:.FM=2FH=2CE.

【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线，三角

形外角性质，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线是解

题关键.

题9（2022.安徽黄山•九年级期中）如图，在^ABC中，ABAC=90°,AB=AC,。是力。边上一动点，CE，

BD于E.（1）如图（1）,若平分AABC时,①求AECD的度数；

②延长CE交BA的延长线于点F,补全图形，探究BD与EC的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图（2）,过点A作AF，BE于点F,猜想线段BE,。E，AF之间的数量关系，并证明你的猜想.

•M

图（I）图（2）

【答案】（1）①2ECD=22.5°,②B。=2EC,理由见详解；⑵BE=CE+2AF,理由见详解.

【分析】（1）①由题意易得ZABC=NACB=45°，则有ACBD=NABD=22.5°,进而可求NECD=

NDBA,则问题得解;②由题意易得CE=EF,则可证4ABD空AACF，进而可得BD=CF,最后根据线

段的数量关系可求解；

（2）在BE上截取BH=CE,连接AH,则易证△BH4笃ACEA,则有AE=AH,NBAH=/CAE,进而可

得ZHAE=90°,然后根据线段的数量关系可求解.

【详解】解：（I）；ZBAC=90°,AB^AC,：./ABC=/ACB=45°,

•••BD平分/ABC,/CBD=/ABD=22.5°,

①•//ABD+ABDA=ACDE+2ECD=90°,Z.CDE=ABDA,：.NABD=ZECD=22.5°;

②BD=2EC,理由如下：如图所示：

•/CE±BD,：.NCEB=/FEB=90°,/BE=BE,：.△CEB空/\FEB（ASA）,：.CE=FE,

•：/DBA+"=90°,ZFCA+ZF=90°,；./DBA=NFCA,

■：ABAD=ZCAF=90°,AB=AC,：.△ABD空^ACF（ASA）,BD=CF,：.BD=2CE;

⑵BE=CE+2AF，理由如下：在BE上截取BH=CE,连接AH,如图，由⑴易得AHBA=NECA,

AB^AC,：.4BHA笃△C£L4(SAS),：.AH^AE,ZBAH=NCAE,

•：^BAH+ZHAC=90°,AAEAC+4HAe=90°,即=90°,

,:AFLBE,：.AF=HF=FEj：BE=BH+HF+FE,：.BE=CE+2AF.

【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形斜

边中线定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键.

模型3.角平分线构造轴对称模型(角平分线+截线段相等)

【模型解读与图示】

•M

A

A

C

条件;如图，OC为AAOB的角平分线，A为任意一点,在OB上截取08=OA,连结CB.

结论：AOA。第AO8。，CB=CA。

条件:如图，BE,CE分别为AABC和ABCE的角平分线，A8〃CO,在GC上截取,连结EF.

结论：XBAE空ABFE,kCDE空ACFE,AB+CD=BC.

网］10（2022秋・江苏•八年级专题练习）在AABC中，AD为△48。的角平分线,点E是直线BC上的动点.

⑴如图1,当点E在您的延长线上时，连接AB,若/E=48°,AE=AD=DC,则/AB。的度数为

（2）如图2,AB,点P在线段AD延长线上，比较AC+与AB+CP之间的大小关系，并证明.

（3）连接AE,若ZDAE=90°,ABAC=24°,且满足AB+AC^EC,请求出NACB的度数（要求:画图,

写思路，求出度数）.

【答案】（1）108°;（2）47++PC,见解析；（3）44°或104°;详见解析.

【分析】（1）根据等边对等角，可得/E=/ADE,再根据三角形外角的性质求出NADE=

2/D4C=48°,由此即可解题；

⑵在AC边上取一点“使AM=AB,构造△ABP会AAMP,根据MP+MOPC即可得出答案；

（3）画出图形，根据点E的位置分四种情况，当点E在射线CB延长线上，延长CA到G,使AG=AB,可

得GC=EC,可得/G=2GEC,设AACB=2c,则/G=2GEC=90°一2;根据ABAC=24°,AD为

△ABC的角平分线，可得ABAD=ADAC^12°,可证4AGE工LABE（SAS）,得出NABE=/G=90°

一2,利用还有乙48£=24°+22,列方程90°—：1：=24°+23；;当点£；在80上时，/EADV90°,不成立；当

点E在CD上时，/EADV90。，不成立；当点E在BC延长线上，延长C4到G,使AG=AB,可得GC

=EC,得出/6=/6七。,设乙4。8=23；,则4G=4GEC=x；乙氏4。=24°,根据AD为△ABC的角平

分线，得出ABAD=ADAC=12°,证明AAGE=△ABE（SAS）,得出4ABE=/G=c,利用•三角M形内角

和列方程,+24°+2c=180°,解方程即可.

【详解】解：⑴•.•>1£；=AD=DC,ZE=ZADE,NDAC=NC,

/E=48°,NADE=ADAC+ZC,/.NADE=2/DAC=48°,

AD为AABC的角平分线，即ZBAC=2NDAC,：.ABAC^48°;二NABC=180°-48°-24°=108°

(2)如图2,在47边上取一点M使AB,连接MP,

(AB=AM

在△ABP和LAMP中,《NBAP=ZMAP,：./\ABP=AAMP(SAS)，:.BP=MP,

[AP^AP

•：MP+MOPC,MC=AC-AM,/.AC-AB+BP>PC,：.AC+BP>AB+PC-,

⑶如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G,使AG=AB,

AB+AC^EC,：.AG+AC^EC,^GC=EC,："G=ZGEC,设AACB=2c,则/G=/GEC=

90°-x-,

又24°,AD为△ABC的角平分线，二ABAD=NDAC=12°,

又；ZDAE=90°,ZBAE=90°-ABAD=78°,ZGAE=90°-ZDAC=78°,/.ABAE=AGAE,

(AE=AE

在&AGE和AABE中，(ZGAE=/BAE,：.4AGE会△ABE(SAS)，,NABE=/G=90°—c,

[AG=AB

当点E在BO上时，90°,不成立；当点E在CD上时，/EADV90°,不成立;

如图,点E在BC延长线上，延长CA到G,使AG^AB,

•：AB+AC=EC,：.AG+AC=ECGC=EC,：./G=/GEC,设=22,则AG=AGEC=

x-,

又ZBAC=24°,AD为ZVIB。的角平分线，二ABAD=ADAC=12°,

又ADAE=90°,：.ZBAE=90°+ZBAD=102°,ZGAE=90°+ZDAC=102°,ABAE=NGAE,

(AE^AE

在/\AGE和LABE中,/NGAE=ABAE,；./\AGE=AABE(SAS),

[AG=AB

：.ZABE=/G=/，；.,+24°+2x=180°，解得：a=52°,二AACB=2c=104°./.AACB的度数为44°

或104°.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内

角和，解一元一次方程,根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键.

厕11(2023•浙江•九年级专题练习)如图，在4ABC中，AB=A。，/A=100°,BD是AABC的平分线,延长

BD至点、E,DE=AD,试求NECA的度数.

A

【答案】40°

【分析】在BC上截取BF=4B,连接DF,通过证明AABDnAFBD(SAS),可得ADFC=180°-ZA=

80°,再通过证明ADCE空△DCF(SAS)，即可求得NECA=ADCB=40°

【详解】解:如图，在BC上截取BF=AB,连接DF,•.•BD是乙4BC的平分线，二/ABD=/FBD,

在AABD和4FBD中，(AABD=AFBD,：.4ABD经△FBD(SAS),：.ABFD=AD^DF,

[BD^BD,

：.DE=DF,：.ZDFC=180°一/A=80°,又:/ABC=ZACB^40°,/.4FDC=60°,

•/NEDC=NADB=180°-AABD-ZA=60°,/.AEDC=NFDC,

(DE=DF,

在^DCE和ADCF中,(4EDC=ZFDC,：.4DCE经MXJF(SAS),故NECA=4DCB=40°.

[DC=DC,

—

D

BFC

【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键.

网］12（2022•北京九年级专题练习）在四边形ABDE中，。是边的中点.

（1）如图（1）,若AC平分/.BAE,/ACE=90°,则线段AE、AB.DE的长度满足的数量关系为；

（直接写出答案）；（2）如图（2）,AC平分2BAE,EC平分/AED,若/ACE=120°,则线段AB、BD、

DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明.

【答案】（1）AE=AB+DE;（2）4E=+证明见解析.

【分析】（1）在AE上取一点F,使AF=AB,由三角形全等的判定可证得4ACB空/\ACF,根据全等三角

形的性质可得8C=FC,NACB=ZACF,根据三角形全等的判定证得△CEFW/\CED,得到EF=ED,

再由线段的和差可以得出结论；

⑵在AE上取点F,使AF=AB,连结CF,在4E上取点G,使EG=ED，连结CG,根据全等三角形的判

定证得△力CB空△ACF和AECD空/\ECG，由全等三角形的性质证得CF=CG,进而证得△CFG是等

边三角形，就有FG=CG=十BD,从而可证得结论.

【详解】解：⑴如图（1）,在AE上取一点F,使AF=4B.

B乙-----------------D

图⑴

(AB^AF

■：AC平分NBAE,：.4BAC=ZFAC.在△4CB和/\ACF中，(ABAC=AFAC：./\ACB叁/\ACF

[AC=AC

(SAS).

:.BC=FC,NACB=ZACF.•.•。是BD边的中点，BC=8.：.CF=CD.

•：ZACE=90°,：.AACB+ADCE=90°,ZACF+NECF=90°.2ECF=AECD.

(CF^CD

在LCEF和△CED中，(ZECF=ZECD：./\CEF空4CED(SAS).：.EF=ED.

[CE=CE

•：AE^AF+EF,：.AE^AB+DE.故答案为：AE=AB+DH;

⑵AB=AB+DE+^BD.

证明：如图(2),在AE上取点F,使人尸=AB,连结CF,在AB上取点G,使EG=ED,连结CG.

图⑵

•/。是BD边的中点，CB=CD=^BD.；AC平分NBAE,：.^BAC=AFAC.

(AB^AF

在4ACB和/\ACF中,《ABAC=AFAC：./\ACB笃AACF(SAS).：.CF=CB,NBCA=/FCA.

[AC^AC

同理可[正：'CD丝/^ECG：.CD=CG,NDCE=NGCE.•:CB=CD,：.CG=CF.

•：/ACE=120°,ZBCA+NDCE=180°-120°=60°.AFCA+ZGCE=60°.A/FCG=60°.

.•.△FGC是等边三角形.：.FG=FC=^BD.•：AE=AF+EG+FG,：.AE=AB+DE+^BD.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问

题的关键.

血］13（2022.湖北十堰.九年级期末）在△4BC中，/ACB=2/B,如图①,当ZC=90°,AD为/BAC的角平

分线时，在4B上截取AE=AC,连结。E,易证48=AC+CD.

（1）如图②，当/CW90°,4D为/区4。的角平分线时，线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系？不需要

证明，请直接写出你的猜想；⑵如图③，当人。为△ABC的外角平分线时，线段ABAC,CD又有怎样

的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.

【答案】（1）48=47+CD;证明见解析；（2）AB+AC=CD；证明见解析.

【分析】（1）首先在AB上截取AE^AC,连接DE,易证4ADE笃AADC（SAS）,则可得AAED=ZC,

ED=CD,又由NAED=ZACB,AACB=2,所以AAED=2/B,即/B=NBDE,易［正DE=CD,

则可求得AB=AC+CD;（2）首先在BA的延长线上截取4E=AC,连接ED,易证^EAD空△CAD,可

得ED=CD,NAED=AACD,又由NACB=2/B,易证DE=EB,则可求得AC+AB=CD.

【详解】（1）猜想：AB=AC+CD.

证明：如图②，在AB上截取AE=47,连结DE,•M

AD为△ABC的角平分线时，ABAD=ACAD,/AD^AD,

：.△ADE第△ADC（SAS）,：.NAED=ZC,ED=CD,

•：NACB=2/B,：.NAED=22B.

•：NB=4EDB,；.EB=ED,：.EB=CD,：.AB=AE+DE=AC+CD.

（2）猜想：AB+AC=CD.

证明：在BA的延长线上截取AE=AC,连结即.

AD平分AFAC,：.NEAD=ACAD.

在AEAD与△CAD中，AB=AC,NEAD=ACAD,AD^AD,

：.LEAD笃/\CAD.ED=CD,NAED=AACD.：.NFED=AACB.

又AACB=2NB,/FED=+AEDB,ZEDB=ZB.

:.EB=ED.:.EA+AB=EB=ED=CD.：.AC+ABCD.

【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识,

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

课后专项训练

题目—（2022秋.福建厦门.九年级校考期中）如图，=是常量）.点P在乙4OB的平分线上，且

0P=2,以点P为顶点的/皿PN绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与OB,OA相

交于河，N两点，若2MPN始终与AAOB互补，则以下四个结论:①PM=PN；②OM+ON的值不变；③

四边形PMON的面积不变;④点”与点N的距离保持不变.其中正确的为（）

A.①③B.①②③C.①③④D.②③

【答案】8

【分析】如图作PE_LOA于点E,PF_LOB于点F,只要证明Rt^PEO空Rt^PFO,RtAPENT

RtAPFM即可——判断.

【详解】解:如图所示：作PE_L于点E,PF_LOB于点F,

・・・"EO=/PFO=90°,；.AEPF+AAOB=180°,VZMPN+ZAOB=180°,A4EPF=4MPN,

・・•/EPF=AEPN+ANPF,AMPN=AMPFA-ANPF,：.AEPN=AMPF,

・・,OP平分ZAOBfPEVOA,PF±OB,：.PE=PF,

（pc—p（~）

在RtAPEO和Rt^PFO中，（DA_DA，，RtAPEO名Rt^PFO{HL）,：.OE=OF,

［产—rr

（AEPN=AFPM

在APEN和/\PFM中，（PE=PF,：.Rt^PEN畛Rt"FM（ASA）,

、4PEN=4PFM

：.EN=FM,PN=PM,故①正确，

=

S"EN=St1PFM，：-S田边形PMONS四边衫PEOF=定值，故③正确，

•1•OM+ON=OF+MF+ON=OE+NE+ON=OE+OE=2OE=定值，故②正确，

；M、N的位置是变化的,/.M、N之间的距离也是变化的，故④错误；故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添

加辅助线，构造全等三角形解决问题.

题目0（2022.江苏常州.一模）如图，已知四边形ABCD的对角互补，且ABAC=ADAC,AB=15,AD=

12.过顶点。作CELAB于E,则恁的值为（）

A.V73B.9C.6D.7.2

【答案】8

【分析】要求箧值,主要求出和BE的长即可，注意到AC是角平分线，于是作CF，AD交AD的延

k）rj

长线于点F,可以证得两对全等三角形，结合已知数据可以求得4E和跳;的长，从而解决问题.

【详解】解:作。尸_LAD交4D的延长线于点F,则ACFD=90°,

•：CE.LAB,.\ZCEB=90°,AZCFD=ZCEB=90°,

16

・・・Za4C=NOAC,・・・4C平分ZR4。，・・.CE=CF,

・・・四边形4BCD对角互补，・・.ZABC+NADC=180°,

又•・・ACDF+4ADC=180°,・・.ACBE=/.CDF,

(ACEB=ACFD

在4CBE和4CDF中，〈/CBE=/CDF,：.ACBEWACDF(AAS),：.BE=DF,

[CE=CF

(ZAEC=AAFC

在/\AEC和/\AFC中，(AEAC=/.FAC,l\AEC空AAFC(AAS)，,AE=AF,

[AC=AC

设_BE=Q，则DF=Q,T4B=15,4D=12,，12+2Q=15,得a=1.5,

AE=12+a=13.5,BE—a—1.5,.AE鲁■=%故选R

1*BE

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是巧妙构造全等三南形进而

得出等量关系.

题目§（2023•成都•中考模拟）己知,如图，乙8+/。=180°.连接AC,在AB,AC,4D上分

别取点E,P,F,连接PE,PF.若4E=4,AF=6,ZVLPE的面积为4,则△4PF的面积是（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】。

［分析】作PG_L于点G,PJ_L4D于点J,延长4D,取DH=AB,连接CH,先证明AABCxAHDC

（SAS），由全等三角形对应边相等、对应角相等，得到ABAC=/H,AC=CH,结合等边对等角得到

乙民4C=/CAD,再由角平分线的性质证得PG=PJ,最后根据三角形面积公式解题即可.

【详解】解:如图，作PG_LAB于点G,PJ_LAD于点J,延长AD,取。8=48,连接。巴，

•/ZB+NADC=18Q°,AADC+ACDH=180°/.AB=ZCDH

[BC=CD

(NB=ACDH/\ABC=/\HDC(SAS)：.ABAC=NH,AC=CH：.ACAD=AH：.ABAC=ZCAD

PG=PJ

$*=]AE>PG=4PG=2PJ=2ASw=]AF-PJ=]X6x2=6故选：C.

17

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一般,

作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键.

题目⑷（2023福建厦门•九年级校考期中）如图，乙=是常量）.点P在乙4OB的平分线上，且OP

=2,以点P为顶点的/皿PN绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与相交于

M,N两点，若NMPN始终与AAOB互补,则以下四个结论:①PM=PN；②。M+ON的值不变；③四边

形PMON的面积不变;④点河与点N的距离保持不变.其中正确的为（）

A.①③B.①②③C.①③④D.②③

【答案】3

【分析】如图作PE_L于点E,PF_L于点F,只要证明Rt^PEO空Rt^PFO,Rt/\PEN名

母APFM即可——判断.

【详解】解:如图所示:作PE_L。4于点E,PF_LOB于点F,

•/ZPEO=Z.PFO=90°,NEPF+Z.AOB=180°,

AMPN+ZAOB=180°,ZEPF=AMPN,

•：NEPF=AEPN+ANPF,AMPN=NMPF+ANPF,：.4EPN=NMPF,

•：OP平分AAOB,PE±OA,PF±OB,：.PE=PF,

（pc—pc

在Rt/^PEO和Rt/^PFO中，13cl_Rt^PEO空Rt"FO（HL）,：.OE=OF,

（AEPN=AFPM

在△PEN和△PEW中，IPE=PF,Rt/\PEN^RtAPFM（ASA）,

[/PEN=/PFM

EN=FM,PN—PM,故①正确，；.S^PEN~S四边彩PMON~S四边形PEOF~定值,故③正确，

OM+ON=OF+MF+ON=OE+NE+ON=OE+OE=2OE=定值，故②正确，

河、N的位置是变化的，M、N之间的距离也是变化的,故④错误；故选:B.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添

加辅助线，构造全等三角形解决问题.

题目回（2022.安徽合肥.一模）如图,△48。中，AD平分/BAG,E是中点，4D，BD,AC=7,4B=

4,则DE的值为（）

18

13

A.1B.2C.yD.y

【答案】。

【分析】延长BD交AC于点F,先证明/\ABD=^AFD(ASA),得到BD=DF,。是BF的中点，再由中位

线的性质解答即可.

【详解】解:延长交AC于点F,如图

•/ND平分ABAC,AD_LBD：.ABAD=ZFADZADB=ADF=90°

•/AD=AD：./\ABD=^AFD(ASA)：.AB=AF=4,BD=_DF；._D是BF的中点，

YE是BC中点，.•.£)£；=舞。=/(7—4)=|■故选:D

【点睛】本题考查全等三角形判定与性质、中位线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

题目回(2022.福建.福州一模)如图，△48。中，AABC=45°,CD