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文档简介

第一章第三节自变量变化过程的六种形式:函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1.时函数极限的定义引例.

几何解释:引例.

注:二、自变量趋于无穷大时函数的极限当x越来越大时，函数值越来越接近0

，的极限为0,重要极限：

.;*一、自变量趋于有限值时函数的极限1.时函数极限的定义引例.

几何解释:定义1.

设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数

A

为函数当时的极限,或即当时,有若记作极限存在函数局部有界这表明:几何解释:*例1.证明证:故对任意的当时,因此总有*例2.证明证:欲使取则当时,必有因此只要例3.

证明证:故取当时,必有因此例4.

证明:当证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有2.极限性质定理3.1.（局部有界）若定理3.2.（唯一性）则极限唯一.则存在有界.定理3.3（

局部保号性）

若且

A>0,*证:

已知即当时,有当

A>0时,取正数则在对应的邻域上(<0)则存在(A<0)若取则在对应的邻域上若则存在使当时,有推论1:分析:推论2.

若在的某去心邻域内,且则证:

用反证法.则由定理1,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不真,(同样可证的情形)思考:

若定理2中的条件改为是否必有不能!存在如假设A<0,条件矛盾,故3.左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理3.4.例5.

给定函数讨论时的极限是否存在.解:

利用定理3.4.因为显然所以不存在.定义2

.设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释:记作直线y=A

为曲线的水平渐近线.A

为函数*二、自变量趋于无穷大时函数的极限*例6.

证明证:取因此注:就有故欲使只要直线y=A仍是曲线

y=f(x)

的渐近线.两种特殊情况:当时,有当时,有几何意义:例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，三、函数极限与数列极限的关系定理3.5.有定义,为确定起见,仅证明讨论的情形.有定理3.5.有定义,且设即当有有定义,且对上述

,时,有于是当时故可用反证法证明.(略)有*证：当“”“”定理3.5.有定义且有说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法1

找一个数列不存在.法2

找两个趋于的不同数列及使例1.

证明不存在.证:

取两个趋于0的数列及有由定理1知不存在.例1.

证明不存在.证:

取两个趋于0的数列及有由定理1知不存在.内容小结1.函数极限的或定义及应用2.函数极限的性质:唯一性、

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