湖南湖北三校2024届高三年级下册4月模拟考试二（含答案解析）

湖北省华中师范大学第一附属中学、湖南省湖南师范大学附

属中学等三校2024届高三下学期4月模拟考试(二模)数学

试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若集合A={x|3%2_16%40},3={x|y=ln(5元一2)},则AB=()

A.1x|O<X<||B.

c-D-bt<x-y!

2

2.已知z=(2a-l)+(a+l)i(aeR),则z|=是"a=二”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.如图所示，己知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为:，

向右移动的概率为;.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位

于X的位置，则P(X>0)=()

-4-3-2-10123456^

50

A052八2「17

A•-----B.C.—U.—

243243981

4.青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分

记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足

I=5+lgV.已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和4.9,记小明和小李

视力的小数记录法的数据分别为乂，区,则能©()

A.(1.5,2)B.(2,2.5)C.(2.5,3)D.(3,3.5)

1+tan1902cos70°/、

3.oo-)

1-tan370sin40

A.tan20B.tan70C.—tan10D.—tan40

6.已知正方体ABC。-44GA中，点E是线段B片上靠近用的三等分点，点尸是线段

AG上靠近2的三等分点，则平面AE尸截正方体ABCO-ABC4形成的截面图形为

()

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

7.已知数列M，｝的前〃项和为s“，S,=l,邑=3,且角是2%,%+2的等差中项,

Vi509

则使得2一＞不6成立的最小的〃的值为（）

Mq128

A.8B.9C.10D.11

8.若关于x的不等式«（lnx+lna）＜2e2^在（0,+s）上恒成立，则实数a的取值范围为（）

A.（0,7e]B.（0,e2]

C.（O,e]D.（0,2e]

二、多选题

9.若函数〃力=卜2_（m_2卜+]在上单调，则实数加的值可以为（）

A.-1B.--C.-D.3

22

10.已知函数〃x)=sin(0x+e)(0>0),则()

A.若。=3,V，则将函数/（力的图象向右平移瑞个单位后关于y轴对称

318

B.若夕=：，函数在1,3上有最小值，无最大值，且/D,则o=5

C.若直线x为函数”力图象的一条对称轴，[£,0）为函数〃尤）图象的一个对

称中心，且在上单调递减，则。的最大值为二

D.若=；在xe[考上至少有2个解，至多有3个解，则4,枭

11.已知抛物线c：y2=2px（p＞0）的焦点为尸，点MN在抛物线c上，则（）

MF33

A.若M,N,F三点共线，且寸=:，则直线MN的倾斜角的余弦值为±=

NF47

B.若M,N,歹三点共线，且直线MN的倾斜角为45。，则OMN的面积为Yip?

2

C.若点A（4,4）在抛物线C上，且",N异于点A,AM，4V,则点MN到直线y=Y

的距离之积为定值

D.若点4(2,2)在抛物线C上，且M,N异于点A,kAM+kAN=Q,其中心“>1,

2/s

贝I]|sinZFMN-sinZFNM\<

试卷第2页，共4页

三、填空题

22

12.关于双曲线C：/==l（a>0,b>0）,四位同学给出了四个说法：

小明：双曲线C的实轴长为8；

小红：双曲线C的焦点到渐近线的距离为3；

3

小强：双曲线C的离心率为；；

小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1；

若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是；双曲线C的方程

为.（第一空的横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”）

13.已知等边；ABC的外接圆。的面积为367，动点”在圆。上，若

MAMB+MBMC<A，则实数2的取值范围为.

14.已知空间四面体ABCD满足AB=AC=DB=OC,AD=23C=6,则该四面体外接球

体积的最小值为.

四、解答题

15.某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较

为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了

营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化

天数X12345678910

作物高度y/cm9101011121313141414

（1）观察散点图可知，天数无与作物高度y之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求

出作物高度y关于天数x的线性回归方程夕=以+&（其中&花用分数表示）；

（2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3cm,请根据（1）中的结果预测

第22天该作物的高度的残差.

£（无,-可（"一刃io

参考公式：>=------------*=歹-笳.参考数据：£%%=710.

元丫;=1

i=l

16.已知数列｛%｝的前"项和为S“，且％=3,2S"=〃（a.+2）.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵若存在“eN*，使得」一+―一++一­—N/U什］成立，求实数几的取值范围.

。偿2a2a3。,见+1

17.已知四棱柱ABC。-44GA如图所示，底面ABCD为平行四边形，其中点。在平

面A耳G2内的投影为点A，且AB=A41=2AD,ZABC=120°.

(1)求证：平面ABDJ_平面ADRA;

(2)已知点E在线段G。上(不含端点位置)，且平面A8E与平面BCG片的夹角的余弦

值为害，求当的值.

51i

18.已知函数/(%)=ln(l+x)—.

⑴求曲线y=/(x)在(0,7(0))处的切线方程；

⑵若xe(-U),讨论曲线y=/(x)与曲线y=-2cosx的交点个数.

22

19.已知椭圆C：=+2=1e>5>0)短轴长为2,左、右焦点分别为耳，F2,过点工

ab

的直线/与椭圆C交于M,N两点，其中分别在X轴上方和下方，MP=PFX,NQ=QR,

直线PF,与直线MO交于点G),直线QF2与直线NO交于点G2.

⑵在(1)的条件下，过点工并垂直于x轴的直线交C于点8,椭圆上不同的两点A,

。满足EA，।耳目，|gq成等差数列.求弦A。的中垂线的纵截距的取值范围；

⑶若4SMN%<3s可M5sMNG”求实数a的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【分析】根据一元二次不等式的解集确定集合A,根据对数函数的定义域确定集合B,再根

据集合的交集运算得结果.

【详解】因为集合4=卜肉2-16xW0}={x|0Wx4g},8={x[y=ln（5x-2）}=1x|x）|},

则A3=1x[g<xW.

故选：D.

2.B

【分析】由|z|=0建立。的等量关系，求解。，从而判断选项.

【详解】因为|z|=J（2aT『+（a+l）2=&,化简得5a2_2a=0,解得。=0或a=|,故

“目=0”是“a=g”的必要不充分条件.

故选：B.

3.D

2

【分析】由题意当X>0时，X的可能取值为1,3,5,且X8（5,：）,根据二项分布的概率公

式计算即可求解.

【详解】依题意，当X>0时，X的可能取值为1,3,5,且X3（5,|）,

所以P（X>0）=尸（X=5）+尸（X=3）+P（X=1）

故选：D.

4.C

【分析】根据题意得到方程组，求出泊班丽，根据2.55=98<100<35=243得至U

痂屋（2.5,3）.

【详解】依题意，+坐，两式相减可得，0.4=匠-电匕=唾，

[4.5=5+坨匕K

故£=10。4=^55,而25=98<100<35=243,故^155<2.5,3）.

答案第1页，共18页

故选：c.

5.A

【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式、诱导公式和倍角公式，准确化简、运算,

即可求解.

sinlO

l+tanl902cos701+tanlO2sin20+coslO2sin20

【详解】由

1-tan370sin401-tanlOsin40sinlO2sin20cos20

1----------

coslO

(coslO+sinlO)-1l+sin201”

-----弓-------------5-----------------=-------------------------=tan20"

cos-10-sin_10cos20cos20cos20

故选：A.

6.C

【分析】如图，由题意，根据空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理可得

1//AE,进而五//ME,结合相似三角形的性质即可求解.

【详解】如图，设AB=6,分别延长AE、A瓦交于点G,止匕时4G=3,

连接FG交4G于耳，连接四，

设平面A跖与平面。CG2的交线为/,则/e/,

因为平面〃平面DCC］，，平面AEFc平面A831A=AE,平面AEFc平面

DCCyDx=I,

所以//M£,设/DtD=I,则以/ME,

4

此时故肛=1连接旬,

所以五边形儿FHE为所求截面图形，

故选：C.

7.D

答案第2页，共18页

【分析】由题意得到｛〃「4｝是等比数列，进而得到%=2"\利用错位相减法求出

£上=4-答，构造函数"x）='（x＞0）,并利用导数判断函数的单调性，即可

日%Z2

求出符合条件的〃的最小值.

【详解】（用是2",,4,+2的等差中项，

a

„+2=3限-2a,,故an+2-an+1=2（a„+1-a„）,

而a,一%=S、-2S］=1N0,-----=2,

an+i-an

故数列｛%+「””｝是首项为1,公比为2的等比数列，则%+「见=21,

«„-1）+（«„-1-«„-2）++（出7+%=2^2+2^++2°+1=+1=2"~',

1—Z

记丁“=£;则＜=焉+号++白,

i=l%ZZZ

24=Jr+|r+L+鼠，

Tn=[+4+!+L+工-n/2+〃

两式相减可得,-----=4---------

"2T20212"~22"2〃-i2”T

2

i2+"人"2+n5092+n3

即£*一4一广，才4一手＞同，即nn广＜高'

i=i%乙ZIZoZIZo

2^-（2+x）-2x-1-ln2_l-（2+x）-ln2

设/口）=券。＞0），则-（无）=

x＞0,，r（x）＜。，，/（x）在（0,+8）单调递减,

［筌］是递减数列，

2+n_2+10_3

一当〃=10时，10

2，T-2^-128’

509

*e•当〃＞10时，说

nj509

,使得X—＞高？成立的最小的n的值为11.

Z7«,■128

故选：D.

答案第3页，共18页

8.D

【分析】根据指对混合型不等式，利用指对运算将不等式。(111*+1110)4262工转化成

曲n(词<2双"，根据结构相同设函数/(x)=xe',xeR,利用函数的单调性及取值情况,

2x2x

将问题转化为a<三,令8红卜彳户已他+司，求导确定最值即可得实数。的取值范围.

【详解】依题意得，axln(ax)<2xe2\故即⑹ln(ax)"2府"

令/(尤)=m*,xeR,则/'(x)=(x+l)e",令/'(x)=0可得尸-1,

所以时，/'(x)<0,则/(x)在(-oo,T)上单调递减，xe(-l,+oo)时，/'(x)>0,

则/(X)在(-1,+8)上单调递增;

且当x<0时，/(x)<0,当x>0时，/(x)>0；

2x

贝U由7(in依)W/(2x)(x>0),得ln(ax)W2x,贝!—

x

令g(x)=J，x£(0，+8)'则g，(x)=(2x?e,

故当x40，m时，g[x)<0,g(x)单调递减，当xeg,+j时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

故[g(x)]mm=gg1=2e,贝i]aW2e,则实数"的取值范围为ae(0,2e]

故选：D.

9.BD

【分析】分别讨论AV0和A>0两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案.

【详解】①当八=(加一2)2-440,BPO<m<40t,/(x)=|x2-(m-2)x+l|=x2-(m-2)x+l,

m—9

所以fM的对称轴为x=三一,则/(%)的图象如下：

结合图象可知，要使函数""=产_(加_2卜+［在上单调，则彳*或

乙乙乙乙

答案第4页，共18页

m—21

----<——,解得：机23或加£1,即3WmW4或0«机«1；

2---2

②当A=O—2)2—4>0,即相<0或机>4,令人(X)=炉一(m—2)%+1,则%(%)的对称轴为

结合图象可知，要使函数〃力=--(加-2卜+1|在上单调,

1m—2

卡2~2

或j

/z(--)<0

91

解得：4<m^—,或一一<m<0,

22

91

综上：3〈m《耳或一5w根wi；

故选：BD

10.ACD

【分析】根据三角函数图像平移及正弦函数性质可逐一判定各选项.

【详解】对于A：若0=3,则”x)=sin(3x+1],将函数〃x)的图象向右平移日

313/18

个单位后得g(x)=sin[X-g+弓j=sin卜x一鼻=-cos3x,

其图象关于y轴对称，故A正确；

对于B：依题意，当.上=工时，“X)有最小值，所以sin[?+：卜-1,

所以曹+三=2析+专化ez),所以0=84+3化eZ),

因为〃x)在区间。，雪上有最小值，无最大值，所以即oW12,

令k=0,得。=1?4,故B错误；

答案第5页，共18页

詈+夕=2勺兀+：化eZ）

与^+0=&兀（心eZ）,则或故C正确;

对于C：依题意有，

兀、兀兀兀

T=-2-5--7

2G6412

对于D：因为“工)=；,贝ljs+夕=2E+[(左EZ)或G%+0=2E+g(k£Z),

一兀

则mi%=上0-+--2%--+春（丘Z）或.+至(ZeZ),

CDCD6a)

JTTT

则需要上述相邻三个根的距离不超过5,相邻四个根（距离较小的四个）的距离超过万,

271<71

即《32,解得口£4,—j,故D正确;

8兀兀

——>—

、3。2

故选：ACD.

11.BCD

【分析】分别设定抛物线C和直线MN的方程，设2（网,％）,N（9,%）,联立求得关于点

3y.3

坐标的韦达定理形式，进而转化各个选项即可；选项A,=7转化为五=一^,

求解即可；选项B,50W=1x|x|y2-yi|,求解即可；选项C,求得点M,N的坐标，进

而求得点到直线＞=-4的距离，求解即可；选项D,设点下到直线MN的距离为d,

11

可得|sinNFMN-sinNFNM\=d\FM\网'求解即可・

【详解】对A,设抛物线C：y2=2px,设直线初V：x=”夕twO）,

y2—2px

设N（天,%）,联立“P,

贝1|9一2。力一=0,%+丫2=2pt，%为=-P2，

MF3V,313

由于诉=W，可得五=一7,代入上式得：-y2=2^,--y2=-p，

解得：/=4，且直线MN的斜率为1,

48t

sincn

设直线MN的倾斜角为。，则tan2a=48,且sir?a+cos2a=l,tani=-------,

coscr

答案第6页，共18页

则,，解得cosa=±；,故A错误；

2

对B,设抛物线C：y=2Px,且直线M;V的倾斜角为45。，

设直线MN：x=y+1,

y2=2px

设N(x2,y2),联立＜n,

I2

则y2—2py—p2=o，%+%=2〃，%%=-/，

sOMN=；x^x|%-M|=gJ(2p)2-4(-p2)=#p2,故B正确;

对c,由于点A(4,4)在抛物线c上，此时抛物线C：y2=4x,

设直线AM：%-4=*丁-4)(”0),

、y2=4x

联立,(人

x-4=/(y-4)

贝u2一4。+16(”1)=0,解得”=4(舍去，此时M,A重合)或%=书一4,

则点M到直线＞=T的距离为回+4|=囹，

14

同理可得，因为/1M_L4V,则N到直线y=-4的距禺为4•--=-,

4

故所求距离之积为47=16,故C正确；

对D,由于点4(2,2)在抛物线C上，此时抛物线C：J=2x,

设直线AM：y-2=k(x-2),

与抛物线方程联立可得"_2y+4-4左=0,

贝4加,2=­；—,则y”:一■—,用一左替换可得)N=—；­，

kkk

k_一一6_加一―_2_1

[Till~MN~XX—2、,2-,一G

人」M~N%>NVM+'N2，

T-T

，/\2\(2

21-n2-2k22z1+4x2+2左、

nIMwv-7,----,Nv—7,-----,

k2kk2k

\7\7

答案第7页，共18页

故直线MM，一2-丁2k=一］I>2（1_-左），即y=_/1x+至1一1,

12-2k2

则点F到直线MN的距离j2—一15k2-4（、，

a=-------j=------=w）

[1

而|sinZFMN-sinZFNM\=d

\FM\但N|

1_______1__

即sinZFMN-sinNFNM\=d二dXM—XN

11XMXN+^XM+/)+；

XM+2XN+2

IsinNFMN-sinZFNM\=5k---32%——,

120。1251-24父+16

16

得|sinZFMN-sinZFNM\=

忑25F-24+14650j+16

4

令t=5k——>1,

k

故即〃“如如昨翁九溪•卡.

t

|sinZFMN-sinZFNM\<.—==

yj5I16,585>

当且仅当f=4时等号成立，故D正确；

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：若点A在抛物线C上，且",N异于点A,七《+七.=。，则直线MN的

斜率为定值，且该定值为A处切线斜率的相反数.

22

12.小强"=1.

【分析】根据题意，小明、小红、小强三个人中必有1位同学说法错误，则小同的说法一定

是正确的，小明和小红正确，小强的说法错误，得解.

【详解】由此确定

c3

由题意，小明正确则有。=4,小红正确有万=3,小强正确有一=二，小同正确则有c-a=l,

a2

答案第8页，共18页

由此分析小明、小红、小强三个人中必有1位同学说法错误，则小同的说法一定是正确的,

22

即c-。=1,则小明和小红正确，即双曲线C：1-3=1,故小强的说法错误.

169

22

故答案为：小强；—..-=1.

169

13.[72,+oo）

【分析】根据正三角形的几何性质可得外接圆半径，再由正弦定理得边长A5,取线段AC的

中点N,取线段3N的中点尸，根据向量的线性运算及数量积的运算性可得

21_2__

MA-MB+MB-MC=2MB-MN，旦MB-MN=MP--BN，再由三角形三边关系列不等式得

4

结论.

【详解】依题意，设；ABC的外接圆的半径为R,贝lkR2=367T,故R=6,

在等边「ABC中由正弦定理得=12,则AB=6石；

sin60

取线段AC的中点N,连接3N,则5N=Y^A5=9,

2

取线段5N的中点P,连接的，则。在线段上，且ON=±BN=3,所以

93

OP=NP-ON=一一3=-,

22

则=加_；前,又城二河尸（（MQ+QP）2=[+j;苧，

22521

故MB-MN4-------=36,则让72.

44

故答案为：[72,+8）.

14.36TI

【分析】设及尸分别为3C,AQ的中点，连接AE,DE,BF,CF,结合三角形全等可证EF是线

段AD的垂直平分线，同理可证班是线段BC的垂直平分线，故而判断球心在E尸上，由三

答案第9页，共18页

角形两边之和大于第三边可得R的范围，结合图形判断球心的位置以及半径，从而求出结果.

【详解】设瓦尸分别为8CAO的中点，连接

由已知，A8=DB,AC=£>C,8C=BC,故△ABC当△Z>BC,因为E是3C的中点,所以AE■=£>E,

因为尸为AD的中点，故所工即EF是线段AD的垂直平分线；

同理可得，所是线段8c的垂直平分线，故球心在所上，

fOB+OC>3f27?>3

设球的半径为R,球心为。，贝I八“八八、<,即CD、/，故R23,

[OA+OD>6[27?>6

此时0为线段AD的中点，且R=3,故所求外接球体积的最小值为367t.

故答案为：36兀

⑵一0.7cm.

【分析】（1）根据表格数据利用公式求出之另即可求解.

（2）将x=22代入回归方程求得预测值，然后根据残差定义求解即可.

-1+2+3+4+5+6+7+8+9+10一

【详解】（1）依题意,x—=5.5,

10

—1c—I+1+2+3+3+4+4+4

y=l0+---------------------------------=12,

10

1010

A一")('一")4"“—1°孙)710-10x5.5x1220

±frb=e________=_______=_________=

£(%-寸385-10x5.5233

1=1Z=1

人20112644匕匚4rnii击工口4人2026

«=12--X—=—,故r所求回归直线万程为了=三彳+飞-.

(2)由(1)可知，当x=22时，y=—x22+—=22cm,

'333

故所求残差为21.3-22=-0.7cm.

答案第10页，共18页

16.(1)。〃=〃+1；

⑵[f

【分析】⑴当〃=1时，求得4=2,当“N3时,得到2s>1=(〃-1)(­+2),两式相减化

简得到念一看=一2匕^一士【’结合叠加法，即可求得数列｛%｝的通项公式;

111111_1__1

(2)由(1)得到求得—+---+ananl5"+2

4A+1〃+1n+2Cl?^^3+

n

n--------=-------1-----

解法1：根据题意，转化为-V2(〃+2)2'结合2(〃+2)22r+4+4\结合基本不等式,

即可求解;

C11

解法2：根据题意，转化为.《2(〃+2)―证疗’结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】(1)解：当〃=1时，2s1=2%=%+2,解得%=2,

当几23时，25〃=〃(q+2),2S〃_i=-1)(%+2),

两式相减可得，(〃-2)为-(几-1)=-2,

则弋一A^=一21—一-一|,&^一制=一21一—-,

n—\n-2\n—2n-1Jn-2n-3\n-3n-2J

叠加可得，々_牛=上?，贝|%=附+1,

n-11n-1

而77=1,2时也符合题意，

所以数列｛%｝的通项公式为4=〃+1.

1111

(2)解：由(1)矢口。〃=几+1,可得-----=(--7?，

anan+x(〃+1)("+2)n+1n+2

111111111n

故----1-----1~~1--------+——~H-------------—7----r.

aa

axa2a2a3nn+\2334n+1n+22(〃+2)'

解法1：由」一+」一++一~一之九%+i,可得o/「、”'("+2)，

a2a3anan+\2^+2)

n「几1-----〃----=-------I------/W—

即也而才，即则八诉下'又由2("2『2"4+4「6,

L\'」maxy/Iy

答案第11页，共18页

当且仅当〃=2时取等号，故实数4的取值范围为1-0,[

V16

11111“7

解法2：由---+----++-----=-__—->>1(«+2),

aa

axa2a2a3nn+\2〃+2

可得xw1——^=-f---9+—,

2(«+2)(n+2)23+24J16

当〃+2=4,即〃=2时，TV--=77,

2(H+2)(H+2)16

-\，Jmax

则％4」，故实数4的取值范围为J。,1.

16I16」

17.(1)证明见解析

DE]_

(2)EQ=

3

【分析】（1）不妨设45=1,根据线面垂直的性质证明A。，A。，利用勾股定理证明

ADYDB,再根据线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证；

（2）以£）为坐标原点，建立的空间直角坐标系。-WZ,利用向量法求解即可.

【详解】（1）不妨设45=1,

因为平面ABCRADu平面ABCD,故

在‘AD3中，AB=2,AD=1,ZDAB=60,

由余弦定理，BD2=AB2+AD2-2ABAD-COSZDAB=22+12-2X2X1XCOS60=3,

得BD=布,AD2+BD2=AB2>则AD_L£>3,

因为4。门。2=。，4£>,。2匚平面ABD,所以4），平面$8。，

而ADu平面ADDA，所以平面4"S。，平面；

（2）由（1）知，）两两垂直，

如图所示，以。为坐标原点，建立的空间直角坐标系。-孙z,

则O（0,0,0）,A（1,0,0）,8（o,0）,A（0,0,g,0）,

故4。=卜2,道,0），AG=AC,

:.C（2,区⑹,所以AB=（O,6，-百）,0。1=卜2,6,唐），

答案第12页，共18页

设DE=；IOC］（0<；1<1）,则。石=2℃1=卜2九岳,&）,即网—2尢&,&）,

设〃=(%,y,zj为平面A]£5的一个法向量，

n•A^B=6y「6Z]=0

人」ri'AXE--22^+-^\/32-A/3jz^o"

令4=24,贝！J必=22,Xj=2^/32-75,所以〃=(2括X-也,2X,22),

因为y轴，平面BCCA,则可取加=(0,1,0)为平面BCC^的一个法向量,

设平面与平面3CC4的夹角为。，

In-ml22

ccq"=—--------=——______

H-lmlV2022-12A+35

3

18.(i)y=-^-i；

(2)2.

【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解方程，

（2）求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性,

结合最值求解.

【详解】（1）依题意，/（切=占+,1、2,故尸（0）=：，

1+X2（1+X）2v72

3Q

而〃。）=-1，故所求切线方程为丁+1=5x，即y=1.

（2）令"In（1+冗）—/——2cosx,故^In（1+x）+2cos%—/=0,

+XJl+X

答案第13页，共18页

令g(x)=In(1+x)+2cosx——2-—,

、A/1+X

i1、_311,、_3

g'(x)=^-------2sinx+—(1+x)2,令"(％)=g'(%)=^-------2sinx+—(1+x)],

13/\_1

h!(1)—---------2—2cos%—(1+x)2

(1+x)4,

(715

①当时,cosx>0,(l+x)2>0,(1+%)5>0,

，/?'(%)<0,，//(同在1-1，9上为减函数，即g'(x)在(T，9上为减函数,

111_2111

又g[o)=l+—>o,g[l)=_2sinl+--22<——2-sinl+-<l-2x-=0,

2222

••・g'（x）在（0,1）上有唯一的零点,设为％,即？（飞）=0（0<$<1）.

，g（x）在上为增函数，在1％,5上为减函数.

g(0)=2-l>0,gf-^Ulnfl-^1

又

，g（x）在（T,x°）上有且只有一个零点，在1%,印上无零点；

（兀5yr11、—3,、

②当匕，不时，g<x）<c^-l+5（l+x）2<0,g（x）单调递减,

又g[3>0,g鼠）=ln（l+引_退_11+引2<ln4-V3<0>

，g（x）在内恰有一零点；

③当XL，TI]时，/7'（彳）=_八1、2_2cos无一+元）2为增函数,

16）（1+无）4

••・”3=陪卜占+1-斗+爸2>。，

.•・g〈x）单调递增，又，⑺>0,g，O<0,所以存在唯一七©C，兀｝g〈Xo）=O,

当xe仔时，g<x）<0,g（x）递减；当xe（xo,7r）时，g<x）>0,g（x）递增，

答案第14页，共18页

g（尤）Wmax[g[乎],g（兀）|<0,

.•.g（x）在引内无零点.综上所述，曲线y=〃x）与曲线>=-2cosx的交点个数为2.

【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数

求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新

的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两

种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数

往往是解题的关键.

19.⑴[+9=1；

【分析】（1）由椭圆的性质可得6=1,再由两中线的交点为重心和重心的性质得到点〃[1,句，

代入椭圆方程可得。即可；

（2）由等差中项的性质得到帆A|+优。=2优用=石，再由弦长公式得到％+%=乎=2厮,

然后分当AB斜率存在时由点差法得到心°=-四，再由点斜式写出弦的中垂线方程，当

4%

x=0时，得至！jAy=-个；当斜率不存在时，此时A。：x=^-,Ay=O；最后得到范围；

1