初一七年级数学竞赛系列练习16套 (含答案)

初一数学竞赛系列训练1——自然数的有关性质

一、选择题

1、两个二位数，它们的最大公约数是8,最小公倍数是96,这两个数的和是()

A、56B、78C、84D、96

2、三角形的三边长a、b、c均为整数，且a、b、c的最小公倍数为60,a、b的最大公

约数是4,b、c的最大公约数是3,贝ija+b+c的最小值是()

A、30B、31C、32D、33

3、在自然数1,2,3,…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是()

A、33B、34C、35D、37

4、任意改变七位数7175624的末四位数字的顺序得到的所有七位数中，能被3整除的数

的个数是()

A、24B、12C、6D、0

5、若正整数a和1995对于模6同余，则a的值可以是()

A、25B、26C、27D、28

6、设n为自然数，19n+14=10n+3(mod83),则n的最小值是()

A、4B、8C、16D、32

二、填空题

7、自然数n被3除余2,被4除余3,被5除余4,则n的最小值是

8、满足[x,y]=6,[y,z]=15的正整数组(x,y,z)共有组

9、一个四位数能被9整除，去掉末位数后得到的三位数是4的倍数，则这样的四位数中

最大的一个，它的末位数是

10、有一个11位数，从左到右，前k位数能被k整除(k=l,2,3,…,11),这样的最小H位数

是_______

11、设n为自然数，贝1132n+8被8除的余数是

12、14+24+34+44+-+19944+19954的末位数是

三、解答题

13、求两个自然数，它们的和是667,它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商是120。

14、已知两个数的和是40,它们的最大公约数与最小公倍数的和是56,求这两个数。

15、五位数耳面百能被12整除，它的最末两位数字所成的数75能被6整除，求出这个

五位数。

16、若a,b,c,d是互不相等的整数，且整数x满足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9

求证：4I(a+b+c+d)

17、一个数是5个2,3个3,2个5,1个7的连乘积，这个数当然有许多约数是两位数,

这些两位约数中，最大的是多少？

18、求24。。被11除，所得的余数。

19、证明3198。+4的被5整除。初一数学竞赛系列训练1答案

1、设这两个数为a,b,由(a,b)=8得a=8m,b=8n,且(m,n)=l

由[a,b]=96得[m,n]=12,又(m,n)=l,所以m=3,n=4或m=4,n=3

所以a+b=8(m+n)=56,故选A

2、由题意知，b既能被4整除，又能被3整除，所以b能被12整除

又60能被b整除，所以b=12或60

(1)若b=12,则60+b=5,因为5与4互质，5与3也互质，所以a、c中至少有一

个含有因数5。

若a含有因数5,则Q20,又c23,所以a+b+c»20+12+3=35

若c含有因数5,则仑15,又a24,所以a+b+c»4+12+15=31

取a=4,b=12,c=15,能构成三角形

(2)若b=60,则a+b+c>60>31

故a+b+c的最小值为31o

3、在自然数1,2,3,…，100中，能被2整除的数有50个；既能被2整除又能被3整

除，即能被6整除的数有6,12,18,…，96共16个，所以能被2整除但不能被3整除

的数有50-16=34个,选B

4、七位数各位数字之和为32,不能被3整除，...任意改变七位数末四位数字的顺序得

到的所有七位数均不能被3整除，故选D

5、1995除以6的余数是3,且a三1995(mod6),所以a除以6的余数也是3,故选C

6、由19n+14=10n+3(mod83)知19n+14—(10n+3)三0(mod83)

区立一11-9

.,.9n+ll=0(mod83)，n=—-——=94一1+——

99

当k=l时，n取最小值8。故选B

7、由题意得n+1是3、4、5的公倍数，最小的n=3x4x5-1=59

8、整除6又整除15,，y整除3,所以y=l,3.

代入可得：(6,1,15),(2,3,5),(2,3,15),(6,3,5),(6,3,15)五组解。

9、被4整除的最大三位数是996,所求四位数可表示成师，..书I996x,，x=3,于是所

求的末位数是3。

10、2|10,3|102,4|1020,5|10200,6|102000,7|1020005,8|10200056,

9|102000564,10|1020005640,11|10200056405,于是最小9位数是10200056405

IkV32n+8=9n+832n+8=ln+0(mod8)=1(mod8)...32.8被8除的余数是1

12、设自然数N的末位数是a,则N三a(modlO),从而三a"mod10),

14=1(mod10),24=6(mod10),34=1(mod10),44=6(mod10),54三5(mod10),

64=6(mod10),74=1(mod10),84=6(mod10),94=1(mod10),104=0(mod10)

Al4+24+34+44+-+19944+19954=199x(14+24+34+44+-+104)+l4+24+34+44+54

=199x(1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)+1+6+1+6+5=199x33+19=7+9=6(mod10)

故14+24+34+44+-+19944+19954的末位数是6

db

13^设两个自然数是a,b(aWb),且(a,b)=d,并设ai=—,bi=—,则⑶，bi)=l,且

dd

a+b=d(ai+b1)=667=23x29.

因为23,29都是质数，所以d=l或d=23或d=29

(1)若d=l,贝!![a,b]=ab=120

又因为a+b=667,所以a2-667a+120=0.但此方程中a不能是自然数，所以d#l.

(2)若d=23,则有ai+bi=29

日…b\

[a,b]=23[ai,bi]=23*ai*bi，所以a/bi=--------=120

d

・•.a；-29%+120=0,则%(29-%)=120,把120分解质因数，可得ai=5,

从而bi=24。所以a=23x5=115,b=23x24=552

(3)若d=29,则有ai+bi=23

“…la,bl

[a,b]=29[ai,bi]=29*ai*bi，所以bi==120

d

・•.a；-23al+120=0,则%(23-%)=120,把120分解质因数，可得ai=8,

从而bi=15。所以a=29X8=232,b=29x15=435

综上所得，本题有两组解：115,552或232,435

14、设这两个数为x,y,则x+y=40,且(x,y)+[x,y]=56,由于(x,y)X[x,y]=xy,所以卜,y]=7"、

,40

a+b=一

设(x,y)=d,则x=da,y=db,且(a,b)=l,于是可得方程组＜d

,,56

1+ab=—

d

由于(40,56)=8,所以d=l,2,4,8当d=l,2,4时方程组无整数解，所以d=8

a+b-5

d=8时，方程组变为《,可得a=2,b=3或a=3,b=2,所以x=16或24,y=24或

ab=6

16,从而所求的两个数为16和24

15、由于五位数4H97H能被12整除，而12=3x4,且3,4互质，所以314H97H且

4I4H97H。，3I(4+H+9+7+H),即3](215+20),经试算口可取2、5或8,又因为6|7H,

所以2|而，故H为偶数，所以H取2或8,又因为4|4H97H,所以41两，所以

H取2,所以这个五位数为42972。

16、•••a,b,c,d是互不相等的整数，则x-a,x-b,x-c,x-d也是互不相等的整数。

*/(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9,所以x-a,x-b,x-c,x-d均为9的约数,

而9=(-1)x(+l)X(-3)X(+3),则(x-a)+(x-b)+(x-c)+(x-d)=(-1)+(+1)+(-3)+(+3)=0

即a+b+c+d=4x,所以4|(a+b+c+d)

17、V99=32XH,98=72X2,97=97,96=2”3

/.96是25X33X52X7的最大的两位约数。

18、25=32三一1(mod11),210=(-1)2=1(mod11),2400=(210)40=140=1(mod11)

即24。。被11除，余数是1

19、31980+41981=(32)"0+41981=9990+41981三1"°+(-1)1981=1+(-1)=0(mod5)

所以31980+41981被5整除

初一数学竞赛系列训练2——特殊的正整数

一、选择题

1、在整数0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中，设质数的个数为x,偶数的个数为y,完

全平方数的个数为z,合数的个数为u,则x+y+z+u的值是（）

A、17B、15C、13D、11

2、设n为大于1的自然数，则下列四个式子的代数值一定不是完全平方数的是（）

A、3n2-3n+3B、5n2-5n-5C、9n2-9n+9D、1In2-1In-11

3、有3个数，一个是最小的奇质数，一个是小于50的的最大质数，一个是大于60的最

小质数，则这3个数的和是（）

A、101B、110C、111D、113

4、两个质数的和是49,则这两个质数的倒数和是（）

5、a、b为正整数，且56a+392b为完全平方数，则a+b的最小值等于（）

A、6B、7C、8D、9

6、3个质数p、q、r满足等式p+q=r,且p<q<r,则p的值是（）

A、2B、3C、5D、7

二、填空题

7、使得m2+m+7是完全平方数的所有整数m的积是

8、如果一个正整数减去54,是一个完全平方数，这个正整数加上35后，是另外一个完全

平方数，那么这个正整数是

9、一个质数的平方与一个正奇数的和等于125,则这两个数和积是

10、p是质数，p2+2也是质数，则1997+p4=

11、若n为自然数，n+3,n+7都是质数，则n除以3所得的余数是

12、设自然数ni>n2，且";一"：=79,则ni=,n2=

三、解答题

15、a、b、c、d都是质数,且10<c<d<20,c-a是大于2的质数,d2-c2=a3b(a+b),求a、

b、c、d的值

17、求一个三位数，使它等于n2,并且各位数字之积为n-L

18>设ni、ri2是任意两个大于3的质数，M=1,N=wf-1,M与N的最大公约数至

少为多少？

19、证明有无穷多个n,使多项式d+n+41表示合数。

20>已知p和8P2+1都是质数，求证：8P2-p+2也是质数。

初一数学竞赛系列训练2答案

1、x=4,y=5,z=4,u=4,故x+y+z+u=17选A

2、当n=2时,3n2-3n+3是3的平方,当n=3时,5n2-5n-5是5的平方,当n=4时，lld-lln-ll

是11的平方，所以选C

3、最小的奇质数3,小于50的的最大质数是47,大于60的最小质数是61,3+47+61=111

故选C

4、49是奇数，故两个质数中必有一个是偶数2,从而另一个是47,所以_1+_1=，49

24794

故选B

5、V56a+392b=23«7(a+7b)...a+7b含因子2和7

,要求a+b取最小值，...取a=7,于是l+b=2,b=l,

..•a+b的最小值为8

6、除2以外的质数都是奇数，从而r是奇质数，于是p和q必是一奇一偶，又p<q

故p=2,选A

7、84

8、设这个正整数为a,由题意得a-54=m2①，a+35=n2②，②-①得

n+m=S9

n2-m2=89(n+m)(n-m)=89/.{解得n=45,m=44

n-m=l

从而a=54+442=1990

9、设a为质数，b为正奇数，则a2+b=125,所以a?必为偶数，从而a为偶数.

所以a=2,从而b=121,所以ab=242

10、p=3,所以1997+p4=2078

11、n除以3所得的余数只可能是0、1、2

若余数为0,即n=3k,则n+3=3k+3=3(k+l),n+3不是质数

若余数为2,即n=3k+2,则n+7=3k+9=3(k+3),n+7不是质数

所以n除以3所得的余数只可能是1

12、裙—M=Gi+"2)61_"2)=79

：ni与112是整数，，ni+n2、ni-n2都是整数，而79是一个质数，由质数的性质，同时

注意至Uni+n2>ni-n2所以有ni+n2=79、ni-n2=l,解得5=40,n2=39

13、N=abc+bca+cab=(100a+10b+c)+(l00b+10c+a)+(l00c+1Oa+b)

=lll(a+b+c)=3x37(a+b+c)

要使N是一个完全平方数，只有a+b+c至少含有3和37这两个因数，由于a、b、c

只能取0,1,2,…，9(aW0),所以a+b+cW27<37,所以37I(a+b+c)是不可能的

则对任意的三位数abc,abc+bca+cab都不可能成为完全平方数

14、•.•xxyy=ll(100x+y)是一个完全平方数，则11|(100x+y)

又,.T00x+y=99x+(x+y),/.11|(x+y)而l<x+yW18,.,.x+y=ll

经验证x=7,y=4故所求四位数是7744。

15、Va>b、c、d都是质数，且10<c<d<20,于是c可取11、13、17,而d可取13、17、

19,又,二c-a是大于2的质数，所以a=2,注意到c<d,则c=13

(1)若d=17,则172-"2=8b(2+b),BPb2+2b-15=0；.b=3若b=-5(不合,舍去)。

(2)若d=19,则192/32=8b(2+b),BPb2+2b-24=0，b=4若b=-6(都不合，舍去)。

/.a=29b=3,c=13,d=17

16、由4m=4(ab+cd)2-(a2+b2-c2-d2)=(2ab+2cd+a2+b2-c2-d2)(2ab+2cd-a2-b2+c2+d2)

=[(a+b)2-(c-d)2][(c+d)2-(a-b)2]=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)①

注意到①式最后四个因式都是偶数，所以4m是16的倍数，所以|m|必是4的倍数，

所以|m|是合数。

17、设三位数为A=100a+10b+c,其中a,b,c为0,1,2,…,9的整数,且aWO

由题意100a+10b+c=n2,abc=n-l,显然cWO,否则n=l,A=1不是三位数

若c为偶数,则abc=n-l也为偶数，则n为奇数，从而I?为奇数，但个位数为偶数，

所以这不可能。

若c为奇数，由于A是完全平方数，则c只能是1,9,5

又由100Wn2<1000,得10WnW31,.•.9WnTW30,则9WabcW30,

当c=9时,lWabW3,则A只能是119,219,129,139,319,这五个数都不是完全平

方数。

当c=5时，2WabW6,则A只能是125,215,135,315,225,145,415,155,515,

165,615,235,325。其中只有225是完全平方数，但是225=152,而2x2x5W15-l

所以不合题意。

当c=l时，lWabW30,此时三位平方数只有121,361,441

——验证：121=112,1x2x1关11-1,441=2已4x4x17^21-1,361=192,3x6x1=19-1

所以所求的三位数为361。

18、因为小是大于3的质数，所以ni不是3的倍数且ni是奇数，故可设

m=3k+l或m=3k+2(k为正整数)。

当m=3k+l时，—1=(3k+l)2-l=9k2+6k=3(3k2+2k),所以3|八；—1

当m=3k+2时，-1=(3k+2)2-l=9k2+6k+3=3(3k2+2k+1),所以3|九；-1

又因为由是奇数，所以又可设m=2k+l,从而裙—l=Qk+l)2-l=4k2+4k=4k(k+l)

因为k与k+1是连续的整数，所以814k(k+1),即8|裙一1

由于3与8互质，所以24|裙一1,同理24|〃；-1

综上所述，M与N的最大公约数至少为24。

19、当n=41k(k=l,2,…)时，41|n2+n+41,所以j+11+41是合数

20、先研究使得p和8p2+l都是质数的p。

若p>3,则可设p=3k±l,则8P2+1=8(3k±l)2+l=3(24k2±16k+3),

由k为正整数可知24k2±16k+3>l

于是8P2+1是合数，所以p只能是2或3

若p=2,8P2+1=33是合数，于是p#2,

若p=3,8P2+1=73是质数,所以p=3

当p=3时，8P2-p+2=71,因为71是质数，于是本题得证。

初一数学竞赛系列训练3

数字、数位及数谜问题

一、选择题

1、两个十位数1111111111和9999999999和乘积的数字中有奇数()

A、7个B、8个C、9个D、10个

2、若自然数n使得作竖式加法n+(n+l)+(n+2)时均不产生进位现象，便称n为“连绵

数”。如因为12+13+14不产生进位现象，所以12是“连绵数”；但13+14+15产生进位现

象，所以13不是“连绵数”，则不超过100的“连绵数”共有()个

A、9B、11C、12D、15

3、有一列数:2,22,222,2222,…，把它们的前27个数相加,则它们的和的十位

数字是()

A、9B、7C、5D、3

4、19932002+19952002的末位数字是()

A、6B、4C、5D、3

5、设有密布马3・BIDFOR=4・FORBID,其中每个字母表示一个十进制数字，则将这个

密码破译成数字的形式是

6、八位数141*28*3是99的倍数，则*=,A=

二、填空题

7、若axbxab=bbb,其中a、b都是1到9的数字，则a=,b=

8、在三位数中，百位比十位小，并且十位比个位小的数共有个。

9、在六位数25孙52中羽y皆是大于7的数码，这个六位数被11整除，那么，四位

数1移5=。

10、4343的末位数字是

11、2m+2000_2m(m是自然数)的末位数字是

12、要使等式1=1+1成立，*处填入的适当的自然数是________________

8**

三、解答题

13、有一个5位正奇数x,将x中的所有2都换成5,所有的5都换成2,其他数字不

变，得到一个新的五位数，记作y。若x和y满足等式y=2(x+1),求x

14、有一个若干位的正整数，它的前两位数字相同，且它与它的反序数之和为10879,

求原数。

15、求出所有满足如下要求的两位数：分别乘以2,3,4,5,6,7,8,9时，它的

数字和不变。

16、求12+22+32+42+-+1234567892的末位数

17、求符合下面算式的四位数丽

abed

x9

deba

18^设的的％是一个三位数，a3>ai，由生的%减去%得一个三位数“3"。仇，

证明：b3b2bl+bib2b3=1089

19、对于自然数n,如果能找至U自然数a和b,使得n=a+b+ab,那么n就称为“好数”。

如3=l+l+lxl,所以3是“好数”。在1至U100这100个自然数中，有多少个“好数”？

20、AOMEN和MACAO分别是澳门的汉语拼音和英文名字。如果它们分别代表两个5位

数，其中不同的字母代表从1到9中不同的数字，相同字母代表相同的数字，而且它们的

和仍是一个5位数，求这个和可能的最大值是多少？

初一数学竞赛系列训练3答案

1、Vllllllllllx9999999999=l111111111x(10000000000-1)

=11111111110000000000-1111111111

=11111111108888888889

，乘积的数字中有奇数10个

2、n+(n+1)+(n+2)=3(n+1),要使作竖式加法时各位均不产生进位现象，则自然数n的各位

数字都不超过3。若n为一位数，则“连绵数”有1、2两个；若n为二位数，则“连绵数”

有10,H,12,20,21,22,30,31,32共9个；若n为三位数，则“连绵数”只有100

这一个。故不超过100的“连绵数”共有2+9+1=12个。选C

3、前27个数中，个位数字之和是2x27=54,十位数字之和是2x26=52,故前27个数相加，

和的十位数字是5+2=7,选B

4、19932002的末位数字和19932的末位数字相同，是9

19952002的末位数字和19952的末位数字相同，是5

所以19932。。2+19952。02的末位数字是4,选B

5、设B/D=x,FOR=y,则有3(1000x+y)=4(1000y+x),整理得2996x=3997y

化简得：428x=571y,由于x、y都是三位数，且428与571互质，故得

x=571,y=428,所以密码破译成数字的形式是3・571428=4・428571

6、设*=x,A=y则由于141*28*3是99的倍数，所以141*28/3被9x11整除。

则l+4+l+x+2+8+y+3是9的倍数，(l+l+2+y)-(4+x+8+3)是11的倍数，

即x+y+1是9的倍数，y-x是11的倍数。

因为-9Wy-xW9,所以y-x=0,即y=x

又lWx+y+l=2x+lW19,所以要使x+y+1是9的倍数，必须2x+l=x+y+l=9或18

但2x+l是奇数，所以2x+l=9,从而y=x=4,即*=4,4=4

7、Vbbb=bxlll,axbxab=bxlll,即axab=lll

于是，可将ni分解成一个一位数与一个两位数的积，显然in=3x37满足条件，且

111只有这一种分解法，故a=3,b=7

8、按百位数字分类讨论:

①百位数字是8,9时不存在，个数0；

②百位数字是7,只有789,1个；

③百位数字是6,只有679,678,689,共3个;

④百位数字是5,有567,568,569,578,579,589,共6个；

⑤百位数字是4,有456,457,458,459,467,468,469,478,479,489共10个;

@百位数字是3时，共15个；

⑦百位数字是2时，共21个；

⑧百位数字是是1时，共28个。

总计，共1+3+6+10+15+21+28=80个。

9、设“=25孙52,则〃一250052+100+10?y,其中九,y为8或9,因为250052,103,

IO?被11除的余数分别为0,—1,L可设250052=11攵=心―羽

2

10y=1U3+y,匕七左3为正整数，故可得％=乂所以所求四位数是1885或1995.

10、4343=43吗<433=(434严义433,:434的末位数字与34的末位数字相同，.MB，的末位数字

是1,从而(43叩。的末位数字也是1；433的末位数字与33的末位数字相同，是7

••.4343的末位数字是7

11、2m+2000_2m=2rn(22000-^(：22。。。的末位数字与24的末位数字相同为6,

的末位数字是5,又2m是偶数，.・.2m(22000-1)的末位数字是0

12、设一=—+—,因为m、n是自然数，所以一〉一,一〉一，则8<m,8<n

8mn8m8n

可设m=8+a,n=8+b贝!J1=---+-i-

88+a8+b

；.(8+a)(8+b)=8(8+b)+8(8+a),化简得：ab=64

把64分解成两个因数的积的形式，一个因数是a,另一个因数是b

①64=1x64,取a=l,b=64,则1=1+-L

8972

②64=2x32,取a=2,b=32,则1=1+1

81040

③64=4x16,取a=4,b=16,则」=J-+2_

81224

@64=8x8,取a=8,b=8,则1=+

81616

共有四组解。

13、首先x的万位数字显然是2,则y的万位数字是5,其次x的千位数字必大于5,但百

位数字乘2后至多进到1到千位，这样千位数字只能是9,依次类推得到x的前四位数字

是2,9,9,90x的个位数字只能是1,3,5,7,9,经验证是5。所以x是29995

14、首先确定原数是几位数。若原数是五位数，则它最小是llxxx,已超过10879,与已

知条件不符；若原数是三位数，则它与它的反序数之和最大为999+999=1998,还不到

10879,也与已知条件不符。所以原数是四位数。

因为它的前两位数字相同，故可设原数是丽，其中aNl,c》l,

则它的反序数为cbaa,由题意得：aabc+cbaa=10319,即

(103a+102a+10b+c)+(103c+102b+10a+a)=10879,A1001(a+c)+110(a+b)=10879,

比较上式两边的末位数，得a+c=9,代入上式得a+b=17

由于a=17-bN17-9=8,且c》l,所以a=8,代入可求得c=l,b=9

所以原数是8891

15、设这个数为x,依题意，x与9x的数字和相同。而9x的数字和能被9整除，所以x

的数字和也能被9整除，从而x只可能是：18,27,36,45,54,63,72,81,90,99

经检验，其中只有18,45,90,99符合要求。

16、因为123456789=12345678x10+9而连续10个自然数的平方和的末位数都是5。

所以12+22+32+42+-+1234567892=02+12+22+32+42+-+1234567892

的末位数是12345679x5的末位数。

所以12+22+32+42+…+1234567892的末位数5

17、从两个数相乘的进位情况进行考虑。

由于被乘数丽与乘积丽都是四位数，说明ax9没有进位，，a=l

又dx9的个位数是a=l,，d=9。这样算式就变为：

lbc9

x9

9cbl

再考虑bx9,由于bx9没有进位，所以b=0或1

若b=l,则c=9,但c=9时，十位cx9要进位，这是不可能的，.,.bWl

于是b=0,则c=8。故所求的四位数为1089

18、设：a3a2al

d-yCl2^^3

b3b2bl

由于a3>ai，所以可得：

bi=(10+ai)-a3①b2=(10+a2-l)-a2=9②b3=(a3-l)-ai③

①+③得：bi+b3=9

b3b2bl+贴2b3=100(bi+b3)+10(b2+b2)+(bi+b3)=100x9+20x9+9=1089

19、对于“好数”n,n+l=a+b+ab+l=(a+l)(b+1)

即n+1是合数。反过来n+1是合数，n是“好数”

在2至U101中有26个质数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,

43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101

则有74个合数，即1到100中有74个“好数”

20、可以利用竖式AOMEN

+MACAO

?????

问题即确定和5=的最大值

最大值是99782,一方面有：17865

+81917

99782

另一方面，可以证明和SW99782,理由如下：

首先，A+M是一位数，为使S最大，A+M可能为9也可能为8。

若A+M=8,则AW7,O+AW9+7=16,MEN+CAO<1000+1000=2000

所以和S<80000+16000+2000=98000,所以A+M=9

于是O+A是一位数（不进位），并且O+AWA+M,所以为使S最大，O+A可能为8也可能

为7,若O+A=7,则SW97000+2000=99000,所以O+A=8

M+C应当尽可能大。但M、C不同，所以M+C=17或16。

若M+C=16,因为O+A=8,所以AW7,SW99600+98+76<99780,所以M+C=17

由上式知M=8或9。又A+M=9,则M=8,从而A=l,C=9,0=7

现在未出现的数字只有6,5,4,3,2。因此，EN最大为65。所以S最大时，AOMEN

和MACAO分别是17865和81917,从而和可能的最大值是99782

初一数学竞赛系列训练4

有理数的有关知识

一、选择题

1、若卜『=1,则:的值是（）

A、1B、-1C、1或TD、以上都不对

2、方程％-2+卜-3|=1的解的个数是（）（第四届祖冲之杯数学邀请赛试题）

A、0B、1C、2D、3E、多于3个

3、下面有4个命题：

①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同。

②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同。

③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同。

④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同。

其中正确的命题是：（）

（A）①和②（B）②和③

（C）③和④（D）④和①

4、两个质数的和是49,则这两个质数的倒数和是（）

5、设y=axi5+bx"+cx"-5（a、b、c为常数），已知当x=7时，y=7,则x=-7时，y的值

等于（）

A、-7B、-17C、17D、不确定

6、若a、c^d是整数，b是正整数，且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a,则a+b+c+d的最

大值是（）

A、-1B、0C、1D、-5

二、填空题

7、设a<0,且贝！J卜+1卜卜一2卜

8、a、b是数轴上两个点，且满足aWb。点x到a的距离是x到b的距离的2倍，则

x=___________

9、若卜+6|与H—31互为相反数，则优"=

、*1111

10、计算：----+--------+--------+••,+-----------------

I-21+2+31+2+31+2+3+…+100--------

11、若a是有理数，则（-a）+lal+l-a1+（-lai）的最小值是.

12、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简

ba9?

o11*

la+Z?l-IZ?-ll-la-cl-ll-cl=

三、解答题

13、化简：卜+5|+|2%_3|

(A'2(1\2002

14、已知(2〃—11+2+1|=0,求-+

ka77

若abcWO,求£+?+：的所有可能的值

15、

HHM

X是有理数，求I%-10°+X+处

16、|的最小值。

12211221

17、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数,x的绝对值为1,求a+b+x2-cdx的值。

18、求满足曲|++闿=1的所有整数对（a,b).

19、若2%+R-5x|+11-3%|+6的值恒为常数，求x的取值范围及此常数的值。

20、已知方程国=Qt+1有一个负根而没有正根，求a的取值范围。

初一数学竞赛系列训练4答案

1、选c

2、卜-2|+卜-3|=1表示x到2与3的距离和等于1,可见x在这两点之间（包括这两点）,

所以方程的解是2WxW3的所有数，故应选E

3、既然只有零和它的相反数相同，所以①不正确，②是正确的，另外1与一1都等于其倒

数，因此④不正确，③是正确的。所以选择B。

1149

4、两个质数的和是49,则这两个质数必是2和47,-+一=—选B

24794

5、5x=7时,y=7,.,.a-715+b-713+c-711-5=7,.,.a-715+b-713+c-711=12

1513n1513n

则x=-7时，y=a(-7)+b(-7)+c(-7)-5=-(a-7+b-7+c-7)-5=-12-5=-17,选B

6、Va+b=c,c+d=a,b=c-a,d=a-c,d=~b

Vb+c=d,/.c=d-b=-2b,由c+d=a,/.a=-3b

...a+b+c+d=a+c=-3b-2b=-5b,,；b是正整数，，-5b的最大值是-5,选D

7、Va<0,T—r=—1,

则pv+l|—|x_2|=+1)-(2-x)=-x-1-2+x=-3

8、由题意得：卜-a|=2|x—Z?,所以x-a=2(x-b)或x-a=-2(x-b)

wCTt2b+a

斛得：x=2b-。或x=-----

3

9、：k+6与向一3y互为相反数，...k+6|+(72-31=0,贝！Ja+6=0且m-3=0

a=_6,m=3,am=(-6)3=-216

_111

1°、原式=行访T+G+3)*3+…+(i+100)x]00

100101；

2_99

ioi-Toi

11、右a20,则(—a)+IaI+I—aI+(—IaI)=0

若〃〈0,则(—Q)+IaI+I—aI+(—IaI)=—2a>0.所以(—Q)+IQI+I—QI+(—IaI)的

最小值是0.

12、由图可见,a〈0,伙0na+伙0,=>|a+b\=-(a+b),

又仅0〈1=^>Z?-1{0=>lZ?-11=一(Z?-1)；又0〈cna—c(0nl〃-c1=-(a-c)

由图可知c〈lnl—c〉0nll—cl=l—c所以：

\a-^-b\—\b—l\—\a—c\—\1—c\=-(a+b)-J(b-1)]—[-(〃-(?)]—(1—c)

=—(a+Z?)+(Z?—1)+(a—c)—(1—c)=-a—b+b—1+〃—c—1+c=-2.

13、由x+5=0得x=-5,由2x-3=0得x=3/2

所以，当x<-5时，原式=-(x+5)-(2x-3)=-3x-2

3

当一5«%—x<-5时，原式二(x+5)-(2x-3)=-x+8

2

3

当.2一时,原式=(x+5)+(2x-3)=3x+2

2

—3x—2,(x<—5)

3

即原式二-x+8,(-5«x<—)

3

3x+2,(x>-)

2

14、由题意得：2a-l=0且b+l=0,所以a=l/2,b=_1

/A2/x

11\

—l2

贝12

yn-+--+

—7i

Ia7IP7

15、'.,abcWO,...a、b、c均不等于0。

­、，bcabcc

①若a、b、C均为正，则:~r+T-T+-j—;=-+—+—=3

\a\pcabc

②若a、b、c中仅有一个为正，不妨设a>0,b<0,c<0,则

abcabc,

------1--------1-----=—H-----------1-----------1

|a||Z?||c|a-b-c

③若a、b、c中有二个为正，不妨设a>0,b>0,c<0,则

abcabc

-H—1-.—"I-——]

\a\\b\\c\ab-c

八什।…A…abcabc

④右a、b、c均为负，贝！J~~T+=-------+—r+=-3o

\a\Z?\c\-a-b-c

ahc

・•・-+3+=有四种可能的不同取值：±1，±3

hl\b\H

16、分三种情况讨论：

95

(1)当x〈一---时，1%-雪+5+巴

221221221

100、/95、c5、/c、/95、519515

-)+-(%+)=-2x+—J-22f+221-221-17

221L22J221

95100..100,,

Pvt1Y

(2)当——2iHJ,］人巴

221221221............221

1009519515

------)+(x+------)=

22122122117

⑶当时，

221

,100,,95,z100、,95、c5s100519515

\x---I+Ix+-1=(x---------)+(x+—-)=2x-------)2X-

22122122122122122122122117

综合(1),(2),(3),可得，最小值是”.

17

17.Va.b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为1

a+b=09cd=l?x=±l

当x=l时,原式=0+l-lxl=0

当x=-1时，原式=0+l-lx(-l)=2

18、,.,卜/?|》0