2024年中考数学总复习培优 半角模型（学生版）

【压轴必刷专题】

半角模型专练

1.如图，.ABC是边长为2的等边三角形，MC是顶角为120。的等腰三角形，以点。为顶点作NMDN=60。,

点M、N分别在48、AC上.

(1)如图①，当时，则AMN的周长为；

(2)如图②，求证：BM+NC=MN.

D

图①

2.如图，在四边形ABCD中，ZB=ZD=9O°,E,尸分别是BC,8上的点，连接AE,AF,EF.

(1)如图①，AB=AD,ZBAD=120°,ZEAF=60°.求证：EF=BE+DF；

BEC

图①图②图③

(2)如图②，440=120。，当—AEF周长最小时，求的度数；

(3)如图③，若四边形ABCD为正方形，点E、尸分别在边3C、CO上，且ZE4F=45。，若3E=3,DF=2,

请求出线段反■的长度.

3.如图，在正方形中，点E、尸分别在边BC、C。上，且/EAP=45°,分别连接ERBD,BD与

1

AF.AE分别相交于点M、N

(1)求证：EF=BE+DF

为了证明"E尸=8E+D尸'，小明延长C8至点G,使BG=DF,连接AG,请画出辅助线并按小明的思路

写出证明过程.

(2)若BE=2,DF=3,请求出正方形A8CD的边长.

(3)请直接写出线段BN、MN、三者之间的数量关系

4.如图，在等边三角形A8C中，点E是边AC上一定点，点。是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三

角形DEF,连接CE

(1)如图1,若点。在边8C上，直接写出CE,b与C。之间的数量关系；

(2)如图2,若点。在边的延长线上，请探究线段CE,b与C。之间存在怎样的数量关系？并说明

理由；

(3)如图3,若点。在边的延长线上，请直接写出CE,CP与C。之间的数量关系.

5.(1)阅读理解

2

如图1,在正方形ABC。中，若E,尸分别是CDBC边上的点，ZEAF=45°,则我们常常会想到：把ADE

绕点A顺时针旋转90。，得到.ABG.易证，AEP附,得出线段BRDE,跖之间的关系

为;

(2)类比探究

如图2,在等边,ABC中，D,E为8C边上的点，ZDAE=3Q°,BD=1,EC=2.求线段DE的长；

(3)拓展应用

如图3,在，ABC中，AB=AC=V6+V2,ZBAC=150°,点、D,E在BC边上，/DAE=75。,若DE是等

腰；AOE的腰，请直接写出线段8。的长.

图1图2图3

6.如图，在正方形ABC。中，点尸在直线2C上，作射线AP,将射线AP绕点A逆时针旋转45。，得到射

线A。，交直线C。于点°,过点8作BEL4P于点E,交A。于点F,连接。足

(1)依题意补全图形；

(2)用等式表示线段BE,EF,。尸之间的数量关系，并证明.

7.(1)如图，在正方形ABCD中，E、尸分别是BC,8上的点，且NE4F=45。.直接写出BE、DF、EF

之间的数量关系；

3

(2)如图，在四边形ABC。中，AB=AD,ZB=ZD=90°,£\尸分别是3。，8上的点，且NW=：NR4£),

求证：EF=BE+DF-,

(3)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,延长3C到点E,延长8到点厂，使得

ZEAF=^ZBAD,则结论£F=BE+DF是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系

并证明.

A

E

8.【问题背景】

如图1,在四边形ABCZ)中，AB=AD,ZBAD=120°,NB=NAOC=90°，点£、尸分别是边8C、

CD上的点，且NEAF=60°,试探究图中线段BE、EF、ED之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是：延长阳到点G,使GD=BE,连结AG,先证明再证

明可得出结论，他的结论应是.

【探索延伸】

4

如图2,若在四边形A3CD中，AB^AD,ZB+ZD=180°，点E、尸分别是边8C、C。上的点，且

ZEAF=^ZBAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由.

【学以致用】

如图3,在四边形4BCZ)中，AD//BCQBC>AD\NB=90°,AB=BC=6,E1是边AB上一点，当/

DCE=45°,BE=2时，则。£的长为.

9.如图，在等腰三角形ABC中，NBAC=90°,A2=AC=2,。是BC边上的一个动点(不与3、C重合),

在AC边上取一点E,使/ADE=45°.

(1)求证：AABDsADCE；

(2)设8O=x,AE=y.

①求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围;

②求y的最小值.

10.如图1,ZVIBC与△£>(2均为等腰直角三角形，OC与交于点M,CE与AB交于点N.

(1)以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°,画出旋转后的△ACM'

(2)在(1)的基础上，证明4序+2解=加储.

(3)如图2,在四边形ABC。中，ZBA£>=45°,/BCD=90°,AC平分/BCD,若BC=4,CD=3,

则对角线AC的长度为多少？(直接写出结果即可)

5

11.【操作发现】如图1,AABC为等边三角形，点。为边上的一点，ZDC£=30°,将线段CD绕点C

顺时针旋转60。得到线段CF,连接AF、EF,请直接写出下列结果：

@ZEAF的度数为；

@DE与EF之间的数量关系为；

【类比探究】如图2,△ABC为等腰直角三角形，ZACB=90°,点。为AB边上的一点，/DCE=45°,

将线段CO绕点C顺时针旋转90°得到线段CE连接AF、EF.

①则ZEAF的度数为；

②线段AE,ED,之间有什么数量关系？请说明理由；

【实际应用】如图3,△ABC是