河北省2021-2022学年高考数学一模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中

有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直

到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1

到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机

数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：

141432341342234142243331112322

342241244431233214344142134412

由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（）

1123

A.—B.—C.一D.-

4555

2.《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各

分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）

分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：〃=2及〃=3时，如图：

H=3

记乂为每个序列中最后一列数之和，则$6为（）

A.147B.294C.882D.1764

3

3.执行如图所示的程序框图，若输出的3==,则①处应填写（）

A.k<3?B.k„3?C.k„5?D.k<5?

4.已知集合A={x|心<1},B={x|lnx<l},则

A.AB={x|O<x<e}B.AB={x\x<e}

C.AB={x|O<x<e}D.4B={x|-l<x<e}

5.定义在衣上的函数/（x）=x+g（x）,g（x）=-2x—2+g（-2—x）,若/（尤）在区间［―1,+8）上为增函数，且存在

-2<t<0,使得/（。）•/⑺<0.则下列不等式不一定成立的是（）

A./(r+/+1)>/IB./(-2)>0>/(0

C./(Z+2)>/(/+1)D./(/+1)>/(/)

6.下列命题为真命题的个数是（）（其中万，e为无理数）

©Ve>—；②In乃<2；©In3<—.

23e

A.0B.1C.2D.3

7.如图，在四边形ABC。中，AB=1,BC=3,ZABC=120°,NACD=90。，ZCDA=60°,则瓦)的长度

为()

B.2^/3

c.3石D.内I

3

8.在AABC中，OA+OB+OC=0，AE^2EB>|AB|=2|AC|,若AC=9AO-EC，则实数4=（）

A.正B.正C.立D.如

3232

9.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立

即执行任务E,任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有（）

A.36种B.44种C.48种D.54种

10.正项等比数列｛4｝中的4、。4039是函数/（力=：%3一4炉+6>3的极值点，贝！Jlogn4020=（）

A.-1B.1C.yf2D.2

11.若某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则此几何体的体积是（）

正视图斜视图

12.已知椭圆二+4=1（。〉6〉0）的焦点分别为片，F?,其中焦点乃与抛物线y=2px的焦点重合，且椭圆与

ab

抛物线的两个交点连线正好过点尸2,则椭圆的离心率为（）

A.母B.72-1C.3—2后D.73-1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不熊

连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是.

14.两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线方向相同.如图所示，一列圆G：无2+(y-%)2=今2(诙>0,30,

2

n=lf2…)逐个外切,且均与曲线尸x相切,若ri=l,则三

15.在△ABC中，NR4C=60，A。为N5AC的角平分线，KAD=1AC+1AB,若43=2,贝!JBC=.

16.已知a是第二象限角，且sina=半，tan(«+/?)=-2,则tan£=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在/A5C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ccos3=2a—乱

(I)求/C的大小；

(II)若C4-gcB=2,求AABC面积的最大值.

18.(12分)如图所示，四棱锥P-A5CZ)中，PCL^ABCD,PC=CD=2,E为A5的中点，底面四边形A8CZ>

满足NAOC=NDC3=90。，AD=1,3c=1.

(I)求证：平面尸。七_1_平面PAC；

(II)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值;

(III)求二面角D-PE-B的余弦值.

19.(12分)已知函数/'(x)=；|x-a|(aeR).

(1)当a=2时，解不等式x—；+/(x)21；

(2)设不等式x-g+/(x)<x的解集为"，若,求实数。的取值范围.

一昌

X—1H---1

20.(12分)已知直线/的参数方程为2a为参数)，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标

卜宣1

系，曲线C的极坐标方程为夕=4cose.

(1)求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设点尸(1,0),直线/与曲线C交于A,B两点,求IAPI+IPBI的值.

21.(12分)(江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题)在平面直角坐标系中，已知平行于x轴的动直线/交

抛物线C：=4%于点P，点尸为。的焦点.圆心不在y轴上的圆〃与直线/,PF,x轴都相切，设〃的轨

迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)若直线乙与曲线E相切于点。(s/),过。且垂直于《的直线为4,直线4，4分别与丁轴相交于点A，瓦当

线段A5的长度最小时，求$的值.

22.(10分)已知椭圆C：—+/=1,不与坐标轴垂直的直线/与椭圆。交于4，N两点.

4

(I)若线段的中点坐标为求直线/的方程；

(II)若直线/过点(4,0),点P(5,0)满足原"+即％=。(kpM，勺N分别为直线PM，PN的斜率)，求升的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解.

【详解】

由题意可知当L2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142,112,241,142,412.

则恰好第三次就停止摸球的概率为P=5=；.

故选：A.

【点睛】

本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题.

2.A

【解析】

根据题目所给的步骤进行计算，由此求得臬的值.

【详解】

依题意列表如下：

上列乘6上列乘5上列乘2

163060

£

31530

2

1

21020

3

j_215

15

42~2

16

612

55

1

1510

6

所以06=60+30+20+15+12+10=147.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.

3.B

【解析】

模拟程序框图运行分析即得解.

【详解】

左=1,S=0;k=2,S=OH—y--=—；

2-+26

13

=3,S=—+—7--=—；k=^,S=—+—----=—.

632+34442+410

所以①处应填写“鼠3?”

故选：B

【点睛】

本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4.D

【解析】

因为A={x[/<1}={X|-1<X<1},B={x|lnx<l}={x|0<x<e},

所以AB={x\Q<x<}],A3={尤|一1<尤<e},故选D.

5.D

【解析】

根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可.

【详解】

由条件可得f(~2-x)=—2—x+g(—2—x)=-2—x+g(x)+2x+2=g{x)+x=f(x)

函数AM关于直线x=—1对称；

/(X)在[-1,+8)上单调递增，且在—2<f<0时使得/(0)./(0<0；

又/(-2)=/(0)

.••/(0<0,/(-2)=/(0)>0,所以选项3成立;

3111

t2+t+2——=(t+—)2+—>0,；,t2+t+l比一离对称轴迹，

2242

1

.•.可得/(9/+。+1)>/(5),二选项4成立；

Q+3)2-Q+2)2=2f+5>0,；.|f+3|>|f+2|,二可知/+2比t+1离对称轴远

.•./a+2)>/(r+l),选项C成立；

♦.•一2</<0,.,.4+2)2—«+l)2=2t+3符号不定，Br+21,|r+l|无法比较大小，

.•"Q+l)>/Q)不一定成立.

故选：D.

【点睛】

本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

6.C

【解析】

2

对于①中，根据指数易的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数/(x)=lnx-§,x〉0,

利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到/(»)>/,),即可判定是错误的；对于③中，构造新函数

f(x)=elnx-x,x>0,利用导数求得函数的最大值为/(e)=0,进而得到/(3)<0,即可判定是正确的.

【详解】

由题意，对于①中，由(Gy=e,(|)=(=2.25,可得e>2.25,根据不等式的性质，可得成立，所以是正

确的；

21

对于②中，设函数/(x)=lnx——,x>0,则/(x)=—>0,所以函数为单调递增函数，

DX

因为"〉e,贝!!/(»)>/(e)

9?12

又由〃e)=lne—耳=1—§=§>0,所以/(»)>0,即皿乃>§,所以②不正确；

£>Z2—V

对于③中，设函数/(x)=elnx-x,x>0,贝!|/'(%)=-—1=----,

当xe(0,e)时，/,(%)>0,函数/(x)单调递增，

当xe(e,+8)时，//(%)<0,函数/(x)单调递减，

所以当x=e时，函数取得最大值，最大值为〃e)=elne—e=0,

所以/(3)=eln3—3<0,即eln3<3,即ln3<一,所以是正确的.

e

故选：C

【点睛】

本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求

得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

7.D

【解析】

设NACB=。，在AABC中，由余弦定理得AC?=i。—6cosl20。=13，从而求得CD,再由由正弦定理得

AH

--=――,求得sin。，然后在ABCD中，用余弦定理求解.

smasin120°

【详解】

设NACB=。，在AABC中，由余弦定理得AC?=i0—6cosl20。=13,

则AC=y/13f从而CD=,

加ABAC.y/3

由正弦定理得———=-------,即a=—；=，

cmzvcm1。八。sinCItO

从而cosZBCD=cos（90°+a）=

A/3_49

在ABCD中，由余弦定理得：BD2=9+—+2x3xJ—x

3V32^/13-3

故选：D

【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

8.D

【解析】

将A。、EC用A3、AC表示，再代入48.4。=940・石。中计算即可.

【详解】

由。4+。8+。。=0，知。为AABC的重心，

21-1

所以AO=§X2(AB+AC)=§(AB+AC),又Ak=2EB，

__________-2-__-2--

所以EC=AC-AE=AC--AB,9AO-EC=3(AB+AC)-(AC--AB)

2.2221IABI区A/6

=ABAC-2AB+3AC=A5AC，所以2AB=3AC，^=777q=J-=—­

I21X_zJY/乙

故选：D

【点睛】

本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.

9.B

【解析】

分三种情况，任务A排在第一位时，E排在第二位；任务A排在第二位时，E排在第三位；任务4排在第三位时，E

排在第四位，结合任务5和C不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案.

【详解】

六项不同的任务分别为A、B、C,D、E、F,

如果任务A排在第一位时，E排在第二位，剩下四个位置，先排好。、F,再在。、尸之间的3个空位中插入5、C,

此时共有排列方法：国耳=12；

如果任务A排在第二位时，E排在第三位，则瓦C可能分别在A、E的两侧，排列方法有可费=12,可能都在4、

E的右侧，排列方法有其&=4；

如果任务A排在第三位时，E排在第四位，则B,C分别在A、E的两侧尺隹=16；

所以不同的执行方案共有12+12+4+16=44种.

【点睛】

本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.

10.B

【解析】

根据可导函数在极值点处的导数值为0,得出4%039=6,再由等比数列的性质可得.

【详解】

解：依题意为、为039是函数/(x)=gxL4好+6%—3的极值点，也就是8x+6=O的两个根

••〃1。4039—6

又｛q｝是正项等比数列,所以4020=而々4039=底

.-.log^t72020=log^V6=l.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.

11.B

【解析】

试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积二&=＞二4=：6,四棱柱的底面是梯形，体积为

匚「21-62;支，因此总的体积宓=：1幄带攀=*§.

■

考点：三视图和几何体的体积.

12.B

【解析】

272+3

根据题意可得易知且＜

c=',4，解方程可得＜

2

p2b2+4p~a2=4a2b2

【详解】

易知。="，且＜

2

p2b~+4p2a2=4a-b2

故有‘2二号="2&，则e=，3-2夜=也.-1

故选：B

【点睛】

本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.60

【解析】

分析：首先将选定第一个钉，总共有6种方法，假设选定1号，之后分析第二步，第三步等，按照分类加法计数原理,

可以求得共有10种方法，利用分步乘法计数原理，求得总共有6x10=60种方法.

详解：根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号钉的

时候，第二个可以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有10种方法，所以总共有10x6=60种方法，故答案是60.

点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理和分步乘法计数原理，在解题的过程中，需要逐个的将对应的过程写出来，

所以利用列举法将对应的结果列出，而对于第一个选哪个是机会均等的，从而用乘法运算得到结果.

n

【解析】

第一空：将圆G：V+（y—q『=i与'=%2联立，利用△=。计算即可；

第二空：找到两外切的圆的圆心与半径的关系4=%-+*+*再将C”：无2+（y—4『=犬与'=必联立，得到

,1

an=r,；+-,与%-+*+/；结合可得）为等差数列，进而可得小

【详解】

当ri=l时,圆G:尤之,

与>=必联立消去y得y2_（2q_l）y+%2_]=0,

则A=（2aI_l）2_4（a]2_l）=0,解得q=|；

由图可知当“22时，«„=«„_1+rn_x+rn®,

将Q:尤2+（y—。『公与尸一联立消去丁得

y2_（2%_l）y+%2_/2=0,

则A=（2a,,—1）2—4&2_目=0,

整理得％,=Y+；，代入①得Y+：=7：+：+1]+5,

整理得9―7i=l,

则/=（+（〃T）=〃.

故答案为：—；n.

4

【点睛】

本题是抛物线与圆的关系背景下的数列题，关键是找到圆心和半径的关系，建立递推式，由递推式求通项公式，综合

性较强，是一道难度较大的题目.

15.2s

【解析】

由AQ=（AC+[AB,求出8。,CD长度关系，利用角平分线以及面积关系，求出AC边，再由余弦定理，即可求解.

【详解】

AD=iAC+^AB,l（A£>-AC）=1（AB-AD）,

CD=3DB,:.CD=3DB,

.SA»c_CD,4。•4。•sinNCAD4cAe

SADBBD-AB-ADsinZBADAB2

2

AC=6,BC2=AB2+AC2-2AB-AC-COSABAC=40-2x6=28,

BC=2币.

故答案为：2疗.

【点睛】

本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.

3

16.——

4

【解析】

由々是第二象限角，且sina=半，可得tana,由tan(«+K)=—2及两角和的正切公式可得tan尸的值.

【详解】

解：由a是第二象限角，且sin(z=1后，可得cosa=-,tancr=--,

552

由tan(e+/?)=—2,可得］面1a+面］§:一2,代入tantz=一^,

''1-tanaxtanp2

3

可得tan/=-一,

4

3

故答案为：-：.

4

【点睛】

本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角和的正切公式，相对不难，注意运算的准确性.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)C=y(2)2y/3

【解析】

分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C；

⑵运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的

面积公式计算即可得到所求的值.

详解：(1)V2ccosB=2a—b9

/.2smCbosB=2sinA-sinB,/.2sinCbosB=2sin(B+C)-siaB,

171

2siiiBcosC=sinB,cosC=——

23

(II)取中点。，则CA—gc5|=2=|ZM,在AADC中，AD2=AC2+CD2-2AC-CDcosC，

(注：也可将C4—gc3|=2=|ZM两边平方)即4-y,

>2J—,所以abW8,当且仅当a=43=2时取等号.

V422

此时5AABC=ga'sinC=，其最大值为2A

点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模

的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.

is.(I)证明见解析(II)(ni)-士叵.

317

【解析】

(I)由题知DELPC,如图以点C为原点，直线CD、CB、CP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，计算

DE-AC=0，证明DELAC,从而DE_L平面协C,即可得证；

(II)求解平面PDE的一个法向量〃，计算cos(2CP),即可得直线PC与平面POE所成角的正弦值；

(III)求解平面P3E的一个法向量加，计算cos(根,即可得二面角。-PE-3的余弦值.

【详解】

(I)PC±底面ABCD,:.DE±PC,

如图以点C为原点，直线CD、CB、CP分别为X、y、Z轴，建立空间直角坐标系,

则C（0,0,0）,D（2,0,0）,B（0,3,0）,P（0,0,2）,A（2,l,0）,E（1,2,0）,

DE=（-1,2,0）,AC=（-2-1,0），,DE.AC=0,

DELAC,又CP\C4=C,二£>石_1平面如C,

OEu平面PDE,：.平面PZ>E_L平面PAC；

（II）设〃=（%］，X，zJ为平面POE的一个法向量，

又PE=(1,2,-2),DE=(-1,2,0),CP=(0,0,2),

n-DE-+2%=0

则取％=1,得”=(2,1,2)

n-PE=%+2%-2Z]=0

cos(n,CP]=-CP2

H-ICPI3

2

•••直线PC与平面PDE所成角的正弦值一；

3

（III）设加=（%,%，22）为平面PBE的一个法向量,

又PB=(0,3,-2),EB=(-1,1,0),

m-PB-3y2—2z=0

则2取为=2,得根=（2,2,3）,

n-EB=—x2+%=0

n-m4jF7

/.cos(m,n

|n|-|m|17

二二面角D-PE-B的余弦值-

17

【点睛】

本题主要考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成角的计算，二面角大小的求解，考查了空间向量在立体几何中的

应用，考查了学生的空间想象能力与运算求解能力.

,「14'

19.(1){x|x<0或x，1}；(2)—

【解析】

(1)使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果.

(2)利用等价转化的思想，可得不等式|3x-l|+|x-a区3%在恒成立，然后解出解集，根据集合间的包含关

系，可得结果.

【详解】

(1)当a=2时，

原不等式可化为|3x—l|+|x—2|23.

①当时，

3

则一3x+1+2—X23=>%<0,所以X<0；

②当，<%<2时，

3

则3x—l—2+xN3=xNl,所以

⑧当时，

3

则3x—1—2+x>3=>x—,所以x22.

2

综上所述：

当。=2时，不等式的解集为{犬|九<0或九21}.

(2)由|x—g|+/(%)«%,

贝！]—+1x-a\<3x,

由题可知：

13%—11+1〃区3%在—,一恒成立，

[32]

所以3%—1+1x-a区3%,Bp|x-a|<1,

即a—l<x<a+l,

一314

所以<n-一<a<-

,123

o+l>—

[2

故所求实数。的取值范围是-•

【点睛】

本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时掌握等价转化的思想,

属中档题.

20.(1)x—0y—1=0；(x-2)2+y2=4(2)厉

【解析】

(1)利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；

(2)将直线参数方程代入圆的普通方程，可得"+/2=G，〃2=-3,而根据直线参数方程的几何意义，知

?+?2，代入即可解决.

\PA\+\PB\=\tl-t2\^7(I2)-4^2

【详解】

「出

X—1H---1

(D直线/的参数方程为2a为参数),

1

消去人得x-百y-1=0

曲线C的极坐标方程为夕=4cos，.

由％=/?cose,y=psin0,x2+y2=p2,

可得犬2+J=,即曲线。的直角坐标方程为(%—2)2+J?=4；

「出

X—1H---1

(2)将直线/的参数方程2。为参数)代入C的方程(X-21+V=4,

可得/_"一3=0，A>Q,

设乙,巧是点A,3对应的参数值,

%+/2=G，q2=-3,贝!||PA|+|PB|=,T2|=7(r^)^4?A=A.

【点睛】

本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.

21.(1)y2=x-l(y/0).(2)见解析.

【解析】

试题分析：⑴设根据题意得到词，化简得到轨迹方程;(2)设。(产+1J),

4(0,%),8(0,%)，A3=2r+3/-：+；=2/+|^+；«〉0),构造函数研究函数的单调性，得到函数的最

值.

解析：

(1)因为抛物线C的方程为y2=4x,所以尸的坐标为(1,0),

设因为圆以与x轴、直线/都相切，/平行于x轴，

所以圆M的半径为|〃|,点P(能2力则直线0产的方程为(=三3即2〃(尤—1)—y(“2—1)=0,

|2n(m—1)—nfzz2—ill

所以I~~丁。TH，又加,“/0,所以|2〃L"2_I|="2+],即1―机+1=0,

所以E的方程为y2=x—1(yw。).

⑵设。“2+ij),4(0,%),8(0,%)，

由(1)知，点。处的切线4的斜率存在，由对称性不妨设r>0,

由六占'所以"。=M=了三'心。=片=一2431,

/12

所以％二万一五，%=21+3/，

所以A5=2t3+3t--+—^2t3+-t+—(t>0).

212,/t2

令/⑺=