湖南省岳阳市汨罗市2023-2024学年八年级下学期学习能力检测竞赛数学试题(含答案)

年上学期学习能力检测试题卷八年级数学科时量：90分钟总分：100分一、单选题（本题共8小题，每小题2分，共16分）1．计算的值是（）A．1 B． C．2 D．52．求和：＝（）A． B． C． D．3．如图，在x轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作x轴的垂线与三条直线y＝ax，y＝（a+1）x，y＝（a+2）x相交，其中a＞0．则图中阴影部分的面积是（）A．12.5 B．25 C．12.5a D．25a第3题图 第5题图第6题图4．函数y＝a|x|与y＝x+a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．﹣1＜a＜1 C．a≥1或a≤﹣1 D．a＞1或a＜﹣15．如图，若将正方形分成k个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．126．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝5，S3＝8，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（）A．7 B．10 C．13 D．157．如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（）A． B． C． D．第7题图第8题图第9题图8．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为、、4，则正方形ABCD的面积为（）A． B． C．12 D．24二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的几个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分）9．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的有（）A.对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小B.函数y＝ax+d的图象不经过第一象限C.D.d＜a+b+c10．关于x的新函数定义如下：（1）当x＝0时，y＝1：（2）当（p是正整数，q是整数，q≠0，且p，q不含除1以外的公因数）时，；（3）当x为无理数时，y＝0．例：当x＝时，y＝；当x＝﹣时，y＝．以下结论：A.当x＝时，y＝0；若a、b是互不相等且不为0的有理数，当x＝a时，函数值记为y1，当x＝b时，函数值记为y2，当x＝a•b时，函数值记为y3，则一定有y1y2＝y3：若，则对应的自变量x有且只有4种不同的取值；若2022≤x≤2023，则满足的自变量x的取值共有12个．不正确的结论是（）11．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．则下列说法正确的是（）A.S△ABD＝S△ADC；B.∠CFD＝60°；C.S△CDF：S△AEF＝FC：AF；D.AE＝AC﹣CD；E.若BE＝AB，则CE是△ABC的高．第11题图第12题图12．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：A.∠COD＝45°；B.AE＝6；C.CF＝BD＝；D.△COF的面积是．其中正确的结论为（）三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知，则x的取值范围是14．如图，点A，B分别在一次函数y＝x，y＝8x的图象上，其横坐标分别为a，b（a＞0，b＞0）．若直线AB为一次函数y＝kx+m的图象，则当是整数时，满足条件的整数k的值为第14题图第15题图第16题图15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在BD上，点E为CD中点，且PC+PE＝1，则边AB的最大值等于16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，以AB为边向外作等腰直角三角形ABD，则CD的长可以是．四、解答题（本题共6小题，共52分）17．(8分）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝1米，BC＝5米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为3米．在点A有一只蚂蚁想尽快爬到位于B、C两点之间的D处，且CD＝0.1米，问它怎样走最近？为什么？18（8分）．正数m，n满足m+4﹣2﹣4+4n＝3，求的值．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作射线BE，过点C作射线CF，使∠ABE＝∠ACF，且射线BE、CF交于点D，过点A作AM⊥BD于点M．求证：BM＝DM+DC．20．（8分）某校教学楼共五层，设有左、右两个楼梯口，通常在放学时，若持续不正常，会导致等待通过的人较多，发生拥堵，从而出现不安全因素．通过观察发现位于教学楼二、三楼的七年级学生从放学时刻起，经过单个楼梯口等待人数按每分钟12人递增，6分钟后经过单个楼梯口等待人数按每分钟8人递减；位于四、五楼的八年级学生从放学时刻起，经过单个楼梯口等待人数按每分钟8人递增，6分钟后经过单个楼梯口等待人数按每分钟16人递减．若在单个楼梯口等待人数超过80人，就可能出现安全问题．（1）若设在楼梯口等待的人数为y（人），时间为t（分），试分别写出七、八年级学生y和t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．（2）若七、八年级学生同时放学，试计算等待人数超过80人所持续的时间．（3）要使单个楼梯口等待人数不超过80人，则八年级学生最好比七年级迟几分钟放学？21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（8，0）．（1）求直线BC的解析式；（2）如图（1），点G是线段BC上一动点，当G点距离y轴3个单位时，求△ACG的面积；（3）如图（2），已知D为AC的中点，点O关于点A的对称点为点Q，点P在直线BC上，当∠DQP＝45°时，求点P的坐标．22．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是；（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2，BE＝2，请直接写出△APE的面积．2024年上学期学习能力检测试题卷八年级数学科答案一、单选题（本题共8小题，每小题2分，共16分）1．计算的值是（）A．1 B． C．2 D．5【分析】将原式的被开方数配成完全平方式，再开平方，合并．【解答】解：原式＝﹣＝（3+）﹣（3﹣）＝2．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的化简求值．可以用配方法将被开方数配成完全平方式，也可以将所求式子先平方，再开方．2．求和：＝（）A． B． C． D．【分析】先找出一般规律，再根据一般规律将一个式子拆分为两个式子，寻找抵消规律．【解答】解：∵＝＝＝（﹣），∴当n＝4，6，8，…，98时，S＝[（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，＝（﹣），＝（﹣），＝．故选：A．【点评】本题考查了二次根式的化简求值问题，寻找式子拆分的一般规律是解题的关键．3．如图，在x轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作x轴的垂线与三条直线y＝ax，y＝（a+1）x，y＝（a+2）x相交，其中a＞0．则图中阴影部分的面积是（）A．12.5 B．25 C．12.5a D．25a【分析】分别把x＝1，x＝2，x＝3，x＝4，x＝5代入解析式，求出梯形或三角形的边长，根据面积公式求出即可【解答】解：把x＝1分别代入y＝ax，y＝（a+1）x，y＝（a+2）x得：AW＝2，WQ＝a+1﹣a＝1，∴AQ＝2﹣1＝1，同理：BR＝RK＝2，CH＝HP＝3，DG＝GL＝4，EF＝FT＝5，2﹣1＝1，3﹣2＝1，4﹣3＝1，5﹣4＝1，∴图中阴影部分的面积是×1×1+×（1+2）×1+×（2+3）×1+×（3+4）×1+×（4+5）×1＝12.5，故选：A．【点评】主要考查了一次函数和三角形的面积公式，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用面积公式求解．4．函数y＝a|x|与y＝x+a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．﹣1＜a＜1 C．a≥1或a≤﹣1 D．a＞1或a＜﹣1【分析】画图象用数形结合解题，y＝a|x|的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；a＞0时，y＝x+a斜率为1，与y＝a|x|交于第一、二象限，a＜0时，y＝x+a斜率为1，与y＝a|x|交于第三、四象限，分析图象可得答案．【解答】解：根据题意，y＝a|x|的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；分两种情况讨论，①a＞0时，过第一、二象限，y＝x+a斜率为1，a＞0时，过第一、二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有a＞1；②a＜0时，y＝a|x|过第三、四象限；而y＝x+a过第二、三、四象限；若使其图象恰有两个公共点，必有a＜﹣1；故选：D．【点评】本题要求利用图象求解各问题，先画函数图象，根据图象观察，得出结论．5．如图，若将正方形分成k个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】计算小矩形的面积，根据k个小矩形的面积等于正方形的面积，即可求得k．【解答】解：设正方形边长为a，小矩形长为x，宽为y，则x+2y＝a，且2x＝a，解得：x＝、y＝，∴小矩形面积S＝xy＝，∴k＝＝8．故选：B．【点评】本题考查了矩形、正方形面积的计算方法，考查了正方形各边相等，且各内角为直角的性质，解本题的关键是计算小矩形的面积，并根据小矩形面积和正方形面积求得k．6．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝5，S3＝8，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（）A．7 B．10 C．13 D．15【分析】根据勾股定理得到a2＝c2+b2，根据正方形的面积公式结合图形得出阴影部分面积等于两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积．【解答】解：设直角三角形的斜边长为a，较长直角边为c，较短直角边为b，由勾股定理得，a2＝c2+b2，∴a2﹣c2﹣b2＝0，∴S阴影＝a2﹣c2﹣（b2﹣S四边形DEFG）＝a2﹣c2﹣b2+S四边形DEFG＝S四边形DEFG∴S四边形DEFG＝S1+S2+S3＝2+5+8＝15，故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．关键是弄清阴影部分与两小正方形重叠部分面积相等．7．如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（）A． B． C． D．【分析】本题中蚂蚁要跑的路径有三种情况，知道当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短．蚂蚁爬的是一个长方形的对角线．【解答】解：如图1，当爬的长方形的长是（4+6）＝10，宽是3时，＝．如图2，当爬的长方形的长是（3+6）＝9，宽是4时，＝．如图3，爬的长方形的长是（3+4）＝7时，宽是6时，＝．故选：B．【点评】此题主要考查了最短路径问题，关键知道蚂蚁爬长方形的对角线长时，路径最短，关键确定长和宽，找到最短路径．8．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为、、4，则正方形ABCD的面积为（）A． B． C．12 D．24【分析】如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．首先证明∠PMC＝90°，推出∠CMB＝∠APB＝135°，推出A，P，M共线，利用勾股定理求出AB2即可．【解答】解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．∵BP＝BM＝，∠PBM＝90°，∴PM＝PB＝2，∵PC＝4，PA＝CM＝2，∴PC2＝CM2+PM2，∴∠PMC＝90°，∵∠BPM＝∠BMP＝45°，∴∠CMB＝∠APB＝135°，∴∠APB+∠BPM＝180°，∴A，P，M共线，∵BH⊥PM，∴PH＝HM，∴BH＝PH＝HM＝1，∴AH＝2+1，∴AB2＝AH2+BH2＝（2+1）2+12＝14+4，∴正方形ABCD的面积为14+4，故选：B．【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的几个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分）9．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的有（）A.对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小B.函数y＝ax+d的图象不经过第一象限C.D.d＜a+b+c【分析】A.根据函数图象直接得到结论；B.根据a、d的符号即可判断；C.当x＝3时，y1＝y2；D.当x＝1和x＝﹣1时，根据图象得不等式．【解答】解：由图象可得：对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小，故A正确；由于a＜0，d＜0，所以函数y＝ax+d的图象经过第二，三，四象限，故B正确；∵一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象的交点的横坐标为3，∴3a+b＝3c+d∴3a﹣3c＝d﹣b，∴a﹣c＝（d﹣b），故C正确；当x＝1时，y1＝a+b，当x＝﹣1时，y2＝﹣c+d，由图象可知y1＞y2，∴a+b＞﹣c+d∴d＜a+b+c，故D正确；故选：ABCD．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．10．关于x的新函数定义如下：（1）当x＝0时，y＝1：（2）当（p是正整数，q是整数，q≠0，且p，q不含除1以外的公因数）时，；（3）当x为无理数时，y＝0．例：当x＝时，y＝；当x＝﹣时，y＝．以下结论：A.当x＝时，y＝0；若a、b是互不相等且不为0的有理数，当x＝a时，函数值记为y1，当x＝b时，函数值记为y2，当x＝a•b时，函数值记为y3，则一定有y1y2＝y3：若，则对应的自变量x有且只有4种不同的取值；若2022≤x≤2023，则满足的自变量x的取值共有12个．不正确的结论是（）【分析】A.根据函数的定义求值即可；举一个反例说明即可；根据定义，由y的值求出相应的x值即可；根据y的范围，设x＝，求出2022p≤q≤2023p，再由p的可能取值，确定q的所有可能取值即可．【解答】解：A.∵是无理数，∴当x＝时，y＝0；故A符合题意；∵a、b是互不相等且不为0的有理数，设a＝，则y1＝，设b＝，则y1＝，∴x＝a•b＝，则y3＝≠y1y2，故B不符合题意；时，x＝±或x＝±或x＝±……，故C不符合题意；∵，∴x一定是有理数，且x≠0，设x＝，则2022≤≤2023，∴2022p≤q≤2023p，∵，∴p的可能取值为1，2，3，4，5，当p＝1时，q可以取2022，2023，共2个，当p＝2时，q可以取4045，共1个，当p＝3时，q可以取6067，6068，共2个，当p＝4时，q可以取8089，8091，共2个，当p＝5时，q可以取10111，10112，10113，10114，共4个，∴的自变量x的取值共有11个，故D不符合题意；其中不正确的结论为BCD，【点评】本题考查函数的概念，弄清所给的函数的概念，结合不等式的知识进行推断是解题的关键．11．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．则下列说法正确的是（）A.S△ABD＝S△ADC；B.∠CFD＝60°；C.S△CDF：S△AEF＝FC：AF；D.AE＝AC﹣CD；E.若BE＝AB，则CE是△ABC的高．【分析】A.当AD是△ABC的中线时，S△ABD＝S△ADC，进而可以进行判断；B.②根据三角形内角和定理可得可得∠ACB+∠CAB＝120°，然后根据AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，可得∠FCA＝ACB，∠FAC＝CAB，再根据三角形内角和定理即可进行判断；C.过G作GM⊥FC，GH⊥AF于点G，H，由④知，FG为∠AFC的角平分线，可得GH＝GM，所以可得S△AGF：S△FGC＝AF：FC，根据△AEF≌△AGF，△CDF≌△CGF，进而可以进行判断；D.作∠AFC的平分线交AC于点G，可得∠AFG＝∠CFG＝∠AFE＝60°，证明△AEF≌△AGF（ASA），△CDF≌△CGF（ASA），可得AE＝AG，CD＝CG，进而可以判断；E.延长CE至G，使GE＝CE，连接BG，根据AB＝2AE，证明△ACE≌△BGE（SAS），得∠ACE＝∠G，然后根据等腰三角形的性质进而可以进行判断．【解答】解：.A.当AD是△ABC的中线时，S△ABD＝S△ADC，而AD平分∠BAC，故A错误；在△ABC中，∠ABC＝60°，∴∠ACB+∠CAB＝120°，∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠FCA＝ACB，∠FAC＝CAB，∴∠AFC＝180°﹣（∠FCA+∠FAC）＝180°﹣（∠ACB+∠CAB）＝120°，∴∠CFD＝60°；故B正确；如图1，作∠AFC的平分线交AC于点G，过G作GM⊥FC，GH⊥AF于点G，H，∴GH＝GM，∴S△AGF：S△FGC＝AF：FC，∵∠AFC＝120°，∴∠AFG＝∠CFG＝60°，∴∠AFE＝60°，∴∠AFG＝∠CFG＝∠AFE＝60°，∵∠EAF＝∠GAF，∠DCF＝∠GCF，∴△AEF≌△AGF（ASA），△CDF≌△CGF（ASA），∴S△AEF：S△FDC＝AF：FC，故C正确；∵△AEF≌△AGF（ASA），△CDF≌△CGF（ASA），∴AE＝AG，CD＝CG，∴CD+AE＝CG+AG＝AC，∴AE＝AC﹣CD，故D正确；如图2，延长CE至G，使GE＝CE，连接BG，∵BE＝AB，∴AB＝2BE＝2AE，∴AE＝BE，∵∠AEC＝∠BEG，∴△ACE≌△BGE（SAS），∴∠ACE＝∠G，CE＝GE，∵CE为角平分线，∴∠ACE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠G，∴BC＝BG，∵CE＝GE，∴BE⊥CE，∴CE是△ABC的高，故E正确；综上所述：正确的有BCDE，错误的有A【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作辅助线，构建三角形全等是关键，有难度．12．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：A.∠COD＝45°；B.AE＝6；C.CF＝BD＝；D.△COF的面积是．其中正确的结论为（）【分析】A.根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD；根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长；作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据勾股定理可求CF，BD，即可求解；根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：A.∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故正确；∵EF＝，∴OE＝2，∵AO＝AB＝3，∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故错误；作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，则FG＝1，CF＝＝＝，BH＝3﹣1＝2，DH＝3+1＝4，BD＝＝＝2，故错误；△COF的面积S△COF＝×3×1＝，故正确；∴其中正确的结论为AD，【点评】考查了正方形的性质，含45°的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度．三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知，则x的取值范围是【分析】把等式左边化简后有|2﹣3|x||＝2+3x，可得到2+3x≥0和2﹣3|x|＝2+3x，再得x≤0，最后得到x的范围．【解答】解：等式左边＝|2﹣3|x||，它要等于2+3x，则x≤0且2+3x≥0，所以≤x≤0．【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的化简：．同时考查了绝对值的意义．14．如图，点A，B分别在一次函数y＝x，y＝8x的图象上，其横坐标分别为a，b（a＞0，b＞0）．若直线AB为一次函数y＝kx+m的图象，则当是整数时，满足条件的整数k的值为【分析】先求出A，B两点的坐标，然后代入函数y＝kx+m，用a，b表示k，利用整除的性质变形讨论可得到答案．【解答】解：根据题意得A（a，a），B（b，8b），把A，B坐标代入函数y＝kx+m，得，②﹣①得：k＝＝8+，∵a＞0，b＞0，是整数，∴为整数时，k为整数；则﹣1＝1或7，所以满足条件的整数k的值共有两个，为9或15【点评】掌握点在直线上，则点的横纵坐标满足直线的解析式．掌握整除的性质和代数式的变形．15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在BD上，点E为CD中点，且PC+PE＝1，则边AB的最大值等于【分析】首先连接AP，AE，AC由已知条件可以得出PE+PC＝PE+PA＝1≥AE（当P是AE与DB的交点时取等号），再利用等边三角形的性质得出AE＝AD＝AB，进而求出AB长的最大值．【解答】解：连接AP，AE，AC根据四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AP＝CP，∴PE+PC＝PE+PA＝1≥AE，∵∠ABC＝60°，∴∠ADE＝60°，AD＝CD，∴△ADC是等边三角形，∵DE＝CE，∴∠AED＝90°，∠DAE＝30°，设DE＝x，则AD＝2x，由勾股定理得：AE＝＝x∴AE＝AD＝AB≤1，所以AB≤，即AB长的最大值是，【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，以及菱形的性质和锐角三角函数等有关知识，得出△ADC是等边三角形，AE＝AD是解决问题的关键．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，以AB为边向外作等腰直角三角形ABD，则CD的长可以是2或2或3．【分析】先分类讨论：（1）AB＝BD，（2）AB＝AD，（3）AD＝BD，分别计算CD的值，即可解题．【解答】解：（1）如图1所示，当∠ABD＝90°，AB＝BD时，作DE⊥BC，与CB的延长线交于点E，∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠ABC+∠DBE＝90°，∴∠CAB＝∠DBE，在△BED和△ACB中，，∴△BED≌△ACB（AAS），∴BE＝AC＝4，DE＝BC＝2，∴CE＝2+4＝6，∴CD＝；（2）如图2所示，当∠BAD＝90°，AB＝AD时，过点D作DE⊥CA，与CA的延长线交于点E，∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠BAC+∠DAE＝90°，∴∠ABC＝∠DAE，在△DEA和△ACB中，，∴△DEA≌△ACB（AAS），∴DE＝AC＝4，AE＝BC＝2，∴CD＝；（3）如图3所示，连接CD．当AD＝BD时，过点D作DE⊥AC于E，DF⊥CB，与CB的延长线交于F，∵∠C＝∠DFC＝∠DEC＝90°，∴∠EDF＝90°，∵∠ADE+∠BDE＝90°，∠BDF+∠BDE＝90°，∴∠ADE＝∠BDF，在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（AAS），∴AE＝BF，DE＝DF，∵DE⊥AC，DF⊥CF，∴∠DCE＝∠DCF＝45°，∴△DEC是等腰直角三角形，∴AC+BC＝AE+CE+CF﹣BF＝2CE．∴CE＝3，∴CD＝3．综上所述，CD的长是2或3或2；故答案为：2或3或2．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．四、解答题（本题共6小题，共52分）17．(8分）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝1米，BC＝5米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为3米．在点A有一只蚂蚁想尽快爬到位于B、C两点之间的D处，且CD＝0.1米，问它怎样走最近？为什么？【分析】过C作CH⊥AB于H，可以计算AH，BH，根据AH，CH可以计算AC的长，根据AB，BH可以计算AB的长，比较AC+CD和AB+BD的长，选择一个最近的路线，即为蚂蚁行走的路线．【解答】答：蚂蚁沿着A﹣B﹣D路线走最近．理由如下：过C作CH⊥AB于H，在Rt△BCH中，∠H＝90°，∵株距为3米，∴CH＝3米，∵BC＝5米，∴由勾股定理：BH2＝52﹣32＝16，∴BH＝4米，AH＝5米，（3分）在Rt△ACH中，∠H＝90°，∴CA2＝52+32＝34，（5分）BC＝5米，CD＝0.1米，BD＝4.9米，∴AC+CD＝（+0.1）米，AB+BD＝1+4.9＝5.9（米），∴AB+BD＜AC+CD．-（7分）∴蚂蚁沿着A﹣B﹣D路线走最近．（8分）【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了实数大小的比较，本题中正确的计算AC，AB的长是解题的关键．18（8分）．正数m，n满足m+4﹣2﹣4+4n＝3，求的值．【分析】先利用完全平方公式化简左边，然后利用十字相乘法分解因式，并解方程求得+2＝3；最后将其代入所求的代数式求值即可．【解答】解：∵正数m，n满足m+4﹣2﹣4+4n＝3，∴（+2）2﹣2（+2）﹣3＝0，（4分）即（+2﹣3）（+2+1）＝0，（6分）∴+2＝3或+2＝﹣1（不合题意，舍去），（7分）∴＝＝＝；即＝．-（8分）【点评】本题考查了二次根式的化简求值．解答该题时，还可以采用换元法解答+2的值．19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作射线BE，过点C作射线CF，使∠ABE＝∠ACF，且射线BE、CF交于点D，过点A作AM⊥BD于点M．求证：BM＝DM+DC．【分析】过点A作AN⊥CF，垂足为点N，连接MN，证明△AMB≌△ANC（AAS），得BM＝CN，AM＝AN，然后根据线段的和差即可解决问题．【解答】证明：如图，过点A作AN⊥CF，垂足为点N，连接MN，∴∠ANC＝90°，∵AM⊥BD，∴∠AMB＝∠AMD＝90°，∴∠AMB＝∠AMD＝∠ANC，在△AMB与△ANC中，，∴△AMB≌△ANC（AAS），∴BM＝CN，AM＝AN，（5分）∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMD﹣∠AMN＝∠AND﹣∠ANM，∴∠DMN＝∠DNM，∴DN＝DM，（7分）∵CN＝DN+DC，∴BM＝DM+DC．（8分）【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△AMB≌△ANC．20．（8分）某校教学楼共五层，设有左、右两个楼梯口，通常在放学时，若持续不正常，会导致等待通过的人较多，发生拥堵，从而出现不安全因素．通过观察发现位于教学楼二、三楼的七年级学生从放学时刻起，经过单个楼梯口等待人数按每分钟12人递增，6分钟后经过单个楼梯口等待人数按每分钟8人递减；位于四、五楼的八年级学生从放学时刻起，经过单个楼梯口等待人数按每分钟8人递增，6分钟后经过单个楼梯口等待人数按每分钟16人递减．若在单个楼梯口等待人数超过80人，就可能出现安全问题．（1）若设在楼梯口等待的人数为y（人），时间为t（分），试分别写出七、八年级学生y和t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．（2）若七、八年级学生同时放学，试计算等待人数超过80人所持续的时间．（3）要使单个楼梯口等待人数不超过80人，则八年级学生最好比七年级迟几分钟放学？【分析】（1）前六分钟时，七年级单个楼梯口等待人数＝12×时间；6分钟后七年级单个楼梯口等待人数＝6×12﹣8×超过6分钟的时间，注意应根据等待的人数为非负数得到自变量的取值；前六分钟时，八年级单个楼梯口等待人数＝8×时间；6分钟后七年级单个楼梯口等待人数＝6×8﹣16×超过6分钟的时间，注意应根据等待的人数为非负数得到自变量的取值；（2）根据同时放学4、5楼不变，但2、3楼需要加八年级的人数，从而得出关系式求出即可；（3）让（1）（2）得到的式子为80列式求值即可．【解答】解：（1）七年级：y＝12t（0≤t≤6），y＝72﹣8（t﹣6）＝﹣8t+120（15≥t＞6），（2分）八年级：y＝8t（0≤t≤6），y＝48﹣16（t﹣6）＝144﹣16t（9≥t＞6）；（4分）（2）同时放学：七、八年级单个楼梯口等待人数为：y＝（12+8）t＝20t（t≤6），y＝120﹣24（t﹣6）＝﹣24t+264（9≥t＞6），∵等待人数超过80人时，即y＞80，∴20t＞80，∴t＞4，∴6﹣4＝2分钟，（5分）∴﹣24t+264＞80，∴t＜，∵t＞6，∴﹣6＝分钟，（6分）∴等待人数超过80人所持续的时间为：2+＝分钟；（7分）（3）若八年级学生最好比七年级推迟五分钟放学时，即当t＝5，y＝12t＝12×5＝60，第6分钟时，位于教学楼二、三楼的单个楼梯口等待人数为80人，6分钟后逐渐减少，∴八年级学生最好比七年级迟5分钟放学．（8分）【点评】此题主要考查了一次函数的应用，正确得出七、八年级在单个楼梯口等待人数与时间的关系式是解题关键．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（8，0）．（1）求直线BC的解析式；（2）如图（1），点G是线段BC上一动点，当G点距离y轴3个单位时，求△ACG的面积；（3）如图（2），已知D为AC的中点，点O关于点A的对称点为点Q，点P在直线BC上，当∠DQP＝45°时，求点P的坐标．【分析】（1）先求出C点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据G点距离y轴3个单位时，得到G的横坐标为±3，分两种情况进行求解即可；（3）先求出D，Q坐标，分点P在x轴上方和x轴下方，两种情况，构造等腰直角三角形和全等三角形，利用两直线的交点进行求解即可．【解答】解：（1）∵y＝2x+8，∴当x＝0时，y＝8，当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），C（0，8），∴设直线BC的解析式为y＝kx+8，把B（8，0）代入，得：k＝﹣1，∴y＝﹣x+8；（1分）（2）如图1所示，∵G点距离y轴3个单位，∴G的横坐标为±3，∴当xG＝3时，yG＝﹣3+8＝5，当xG＝﹣3时，yG＝3+8＝11，∴G（3，5）或G（﹣3，11），（2分）∵A（﹣4，0），C（0，8），当G（3，5）时，S△ACG＝×（3+7）×8﹣×7×5﹣×3×3＝18；（3分）当G（﹣3，11）时S△ACG＝×（3+4）×11﹣×4×8﹣×3×3＝18；（4分）综上：△ACG的面积为18；（3）∵A（﹣4，0），C（0，8），D为AC的中点，∴D（﹣2，4），∵点O关于点A的对称点为点Q，∴Q（﹣8，0），①当P在x轴下方时：连接DQ，作EQ⊥DQ，且EQ＝DQ，过点Q作MN⊥x轴，过点D作DM⊥QM，过点E作EN⊥QN，如图2，则：DM＝6，QM＝4，∴∠DMQ＝∠ENQ＝90°，∴∠DQM＝∠NEQ＝90°﹣∠NQE，又∵EQ＝DQ，∴△DMQ≌△QNE（AAS），∴QN＝DM＝6，EN＝MQ＝4，∴E（﹣4，﹣6），取DE的中点F，则：F（﹣3，﹣1），连接QF，则：，∵∠DQP＝45°，∴点P在直线QF上，设直线QF的解析式为y＝ax+b，则：，解得：，∴，联立，解得：；∴P（12，﹣4）；（7分）②当点P在x轴上方时，连接DQ，作EQ⊥DQ，且EQ＝DQ，过点D作DM⊥x轴，过点E作EN⊥x轴，如图3，同法可得：F（﹣7，5），设直线QF的解析式为y＝mx+n，则：，解得：，∴y＝5x+40，联立，解得：，∴．综上：或P（12，﹣4）．（10分）【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，分