2024年陕西省铜川市高考数学二模试卷（文科）（附答案解析）

2024年陕西省铜川市高考数学二模试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的

1.（5分）（2024•铜川二模）若集合M={x|2x-1>5},N={x&N*\-l<x<5},则（CRM）

AN=（）

A.（0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{0,1,2}D.{1,2}

2.（5分）（2024•铜川二模）已知复数（l+2z）（z-1）=-2+i,则|z|=（）

A.V2B.2C.V3D.3

3.（5分）（2024•铜川二模）从1,2,…，9这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数

的概率为（）

14713

A.-B.—C.—D.—

391836

4.（5分）（2024•铜川二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的9倍，则它的

侧面积扩大为原来的（）

A.百倍B.3倍C.3百倍D.9倍

5.（5分）（2024•铜川二模）已知A,2是OC：（尤-2）2+（y-4）2=25上的两个动点，P

是线段48的中点，若|AB|=6,则点P的轨迹方程为（）

A.（%-4）2+（y-2）2=16B.（%-2）2+（y-4）2=11

C.（x-2）2+（j-4）2=16D.（尤-4）2+（y-2）2=11

6.（5分）（2024•铜川二模）已知函数/（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f（x）

=e“，则/'（加2）=（）

11

A.-2B.2C.-77D.一

22

7.（5分）（2024•铜川二模）设尸为抛物线Ci：*=2*的焦点，点尸在抛物线上，点。在

准线/上，满足PQ〃尤轴.若|PQ=|QE|，则吐|=（）

A.2B.2V3C.3D.3V3

fx+3y—2<0/

8.（5分）（2024•铜川二模）己知实数x,y满足约束条件［x-2y+3W0,则z=2尤+y的

V%+y+1>0/

最大值为（）

381

----C--

A.2B.3D.2

9.（5分）（2024•铜川二模）在递增等比数列｛斯｝中，其前〃项和为S”,且6a7是。8和

的等差中项，则含=（）

A.28B.20C.18D.12

10.（5分）（2024•铜川二模）已知函数/'（x）=2s出3久+刍（3〉0）且满足了（-—X）=/

J3

（X—看），则co的最小值为（）

21

A.—B.—C.1D.2

32

X2V2

n.（5分）（2024•铜川二模）已知尸1,尸2是双曲线一一七二l（b>0）的左、右焦点，过

4匕/

人的直线与双曲线的左、右两支分别交于A,8两点，若△A8"为等边三角形，则人=

（）

A.V6B.2V6C.4V2D.4V6

12.（5分）（2024•铜川二模）正四棱锥P-ABCD内有一球与各面都相切，球的直径与边

的比为4：5,则以与平面A3CD所成角的正切值为（）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

T—T一一

13.（5分）（2024•铜川二模）已知向量a=（t—2,3）,b=（3,-1）,且（a+2b）||6,

贝U向'•

14.（5分）（2024•铜川二模）已知锐角a,0满足sina=争，cos/3=|,则cos（a-p）

15.（5分）（2024•铜川二模）已知函数/■（>）=（x—3）〃+尹2-2%+1在区间（2m-2,

3+m）上不单调，则机的取值范围是.

16.（5分）（2024•铜川二模）如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表

示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数

之和为个.（用含w的代数式表示）

<B

=

>

⑴⑵

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.（12分）（2024•铜川二模）清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，是传统

的重大春祭节日，扫墓祭祀、缅怀祖先，是中华民族自古以来的优良传统.某社区进行

流动人口统计，随机抽取了100人了解他们今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的2

X2列联表：

回老家不回老家总计

50周岁及以下55

50周岁以上1540

总计100

（1）根据统计完成以上2X2列联表，并根据表中数据估计该社区流动人口中50周岁以

上的居民今年回老家祭祖的概率；

（2）能否有99.9%的把握认为回老家祭祖与年龄有关？

2

参考公式：K2=其中〃=

Q+h)(c+d)Q+c)(h+d)a+b+c+d.

参考数据：

P（蜉2依）0.1000.0500.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

18.（12分）（2024•铜川二模）在△A5C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

tanAtanB+tanAtanC=3tanBtanC.

（1）证明：3。2+312=5〃2；

（2）若口=回，当A取最大值时，求△ABC的面积.

19.（12分）（2024•铜川二模）如图，在四棱锥E-ABCZ）中.侧面底面ABC。，△

ABE为等边三角形，四边形A8C£＞为正方形，且48=2.

（1）若尸为的中点，证明：ABLEF-,

（2）求点B到平面CDE的距离.

20.（12分）（2024•铜川二模）己知椭圆C；今+/=l（a>6>0）的离心率为当直线x=

ky+b经过椭圆C的右焦点为，且与椭圆交于点A,B.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）设椭圆C的左焦点为尸2,求的内切圆的半径最大时上的值.

1

21.（12分）（2024•铜川二模）已知m>0,函数/（x）=mxlnx满足对任意％〉0,--</（%）<

x2—久恒成立.

（1）当m=1时，求/（%）的极值;

（2）求m的值.

（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一

题计分.（本小题满分10分）［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.（10分）（2024•铜川二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

\x=l+cosa,（观为参数）.以坐标原点为极点，工轴的正半轴为极轴建立极坐标系,

（y=sina

曲线C2的极坐标方程为p=-2sin0.

（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;

（2）设直线百久+y=0与曲线Ci,C2分别交于A,B两点（异于极点），求线段AB

的长度.

［选修4-5：不等式选讲］

23.（2024•铜川二模）已知a>0,b>0,函数<（x）=|x+a|+|x-"的最小值为2,证明:

（1）3次+贬》3；

41

(2)——+->3.

a+1b

2024年陕西省铜川市高考数学二模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的

1.（5分）（2024•铜川二模）若集合M={x|2x-1>5},N={xeN*|-则（CRM）

CN=（）

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3）C.{0,1,2}D.{1,2}

【考点】补集及其运算.

【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算.

【答案】B

【分析】由题知，对集合N进行转化，根据补集的概念求出CRM,结合交集的运算

求出（CRM）AN.

【解答】解：由题意知Af={x|2x-1>5}={小>3},?/={x6N*|-1<%<5}={1,2,3,

4}，

所以CRM={X|尤W3},（CRM）AN={1,2,3）.

故选：B.

【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题.

2.（5分）（2024•铜川二模）已知复数（1+2力（z-1）=-2+i,则|z|=（）

A.V2B.2C.V3D.3

【考点】复数的模.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】A

【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，再利用复数模的公式，即可求解.

r痴;幺;1Aw—2+i.（—2+i）（l—2i）.5i...

【斛答】解：z=1=（1+20（1-20+1=y+1=1+i-

则|z|=应.

故选：A.

【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题.

3.（5分）（2024•铜川二模）从1,2,…，9这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数

的概率为（）

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；排列组合；逻辑推理；数学运算.

【答案】c

【分析】直接利用列举法和组合数求出概率的值.

【解答】解：从1,2,…，9这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的有(1,2),

(1,4),(1,6),(2,3),(2,5),(2,9),(3,4),(3,8),(4,7),(4,9),(5,

6),(5,8),(6,7),(8,9)一共14个，

故和为质数率P=与=芫=焉.

故选：C.

【点评】本题考查的知识要点：组合数，概率的值，主要考查学生的理解能力和计算能

力，属于基础题.

4.(5分)(2024•铜川二模)已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的9倍，则它的

侧面积扩大为原来的()

A.遍倍B.3倍C.3百倍D.9倍

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体(圆柱、圆锥、圆台).

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；数学运算.

【答案】B

【分析】根据题意，设圆柱的高为心底面半径为厂，由圆柱的体积和表面积公式分析可

得答案.

【解答】解：根据题意，设圆柱的高为人，底面半径为r,则体积为

若其体积扩大为原来的9倍，则扩大后的体积为『=9dh,

因为高不变，故体积(3r)2h,即底面半径扩大为原来的3倍，

原来侧面积为S=2mV7,扩大后的圆柱侧面积为S'=2n・3〃7=6m7z,故侧面积扩大为原

来的3倍.

故选：B.

【点评】本题考查圆柱的体积和表面积计算，涉及圆柱的结构特征，属于基础题.

5.(5分)(2024•铜川二模)已知A,8是(DC：(x-2)2+(j-4)2=25上的两个动点，P

是线段AB的中点，若|A8|=6,则点P的轨迹方程为()

A.(x-4)2+(y-2)2=16B.(X-2)2+(j-4)2=11

C.(x-2)2+Cy-4)2=16D.(尤-4)2+(y-2)2=11

【考点】轨迹方程.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【答案】C

【分析】利用已知条件推出|PC|的距离是定值，推出轨迹方程.

【解答】解：A,8是(DC：(%-2)2+(y-4)?=25上的两个动点，尸是线段的中点，

\AB\=6,圆的直径为10,所以圆的半径为5,

可得|PC|=V25-9=4,

所以点尸的轨迹方程为(x-2)2+(j-4)2=16.

故选：C.

【点评】本题考查轨迹方程的求法，是基础题.

6.(5分)(2024•铜川二模)已知函数/(无)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)

=e*,则/(勿2)=()

11

A.-2B.2C.-77D.—

22

【考点】函数奇偶性的性质与判断.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】c

【分析】由己知结合奇函数的定义及已知区间上的函数解析式即可求解.

【解答】解：因为函数/(无)是定义在R上的奇函数，

所以/(-x)=-/(尤)恒成立，

因为尤<0时，f(x)=",

所以/'(仇2)=-/(-Zn2)=-e-ln2=

故选：C.

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题.

7.(5分)(2024•铜川二模)设尸为抛物线G：*=2%的焦点，点尸在抛物线上，点。在

准线/上，满足尸。〃x轴.若|PQ|=|QF|,则|PF|=()

A.2B.2A/3C.3D.3V3

【考点】抛物线的性质.

【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】A

【分析】先根据题意和抛物线的性质可得到△P。/为等边三角形，进而即可求得IPFI的

值.

【解答】解：依题意有|PQ=|。尸|=|尸尸|,则尸为等边三角形,

又PQ〃x轴，所以|尸目=|尸。|=4|。同=2.

故选：A.

【点评】本题考查抛物线的几何性质，属基础题.

x+3y-2<0,

x-2y+3<0,贝Iz=2x+y的

(x+y+1>0,

最大值为()

381

----C--

A.2B.3D.2

【考点】简单线性规划.

【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】C

【分析】由约束条件可作出可行域，将问题转化为y=-2x+z在y轴截距最大的问题,

采用数形结合的方式可求得结果.

【解答】解：由约束条件可得可行域如下图所示，

>

X

当z=2x+y取得最大值时，y=-2x+z在y轴上的截距最大，

由图象可知：当y=-2x+z过B时，直线在y轴上的截距最大.

.—2y+3=0

由《八，

(%+I3y—2O=0

解得8(-1,1),：.Zmax=-2+1=-1.

故选：C.

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题.

9.（5分）（2024•铜川二模）在递增等比数列｛金｝中，其前〃项和为品,且6a7是。8和。9

的等差中项，则0=（）

A.28B.20C.18D.12

【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的性质.

【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算.

【答案】A

【分析】由等比数列的通项公式求出q，再由等比数列的前八项和公式代入化简，即可得

出答案.

【解答】解：由题意得12a7=。8+。9,12=q+/，解得q=3或q=-4（舍），

ai（i-q6）6

则的=—；勺界=—4=1+q'=1+3，=28.

S3ai（i_q3）1_q3”

i-q

故选：A.

【点评】本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推

理能力和运算能力，属于中档题.

10.（5分）（2024•铜川二模）已知函数f（x）=2s讥（3久+刍3>0）且满足了（一一x）=/

33

（x-着），则O）的最小值为（）

21

A.—B.—C.1D.2

32

【考点】正弦函数的图象.

【专题】对应思想；定义法；三角函数的图象与性质；数学运算.

【答案】A

【分析】由S=4itR2=i27t可得函数/（尤）的图象关于久=,对称，由正弦型函数的对称

性列方程求3的最小值.

【解答】解：由已知可得函数f（x）=2s讥（3久+软3>0）且满足y（w-x）=/（x-^）,

即f©—x）=

所以/（尤）关于％=今对称，

9

所以3=4k+可，又3>0,

2

所以女=o时，3取最小值为3

故选：A.

【点评】本题考查正弦函数的图象，属于中档题.

工2y2

11.（5分）（2024•铜川二模）已知为，/2是双曲线——三=l（b>0）的左、右焦点，过

4

后的直线与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点，若△48^2为等边三角形，则匕=

（）

A.V6B.2V6C.4A/2D.4V6

【考点】双曲线的性质.

【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】B

【分析】根据双曲线的几何性质，余弦定理，化归转化，即可求解.

【解答】解：•••△A8F2为等边三角形，

：.\AB\=\AF2\=\BF2\,

.".|AFI|=|BFI|-\BFi\=2a=4,|AF2|=|AFi|+2a=8,,@.ZF1AF2=120°,

1

22

由余弦定理可得：4c==\AFr\+\AF2^-2\AFr\\AF2\x

=16+64+32=112,

Ac2=28,

.'.b2=c2-CZ2=24,

b=2A/6.

故选：B.

【点评】本题考查双曲线的几何性质，余弦定理的应用，化归转化思想，属中档题.

12.（5分）（2024•铜川二模）正四棱锥P-ABCD内有一球与各面都相切，球的直径与边

AB的比为4：5,则B4与平面ABC。所成角的正切值为（）

【考点】直线与平面所成的角.

【专题】对应思想；定义法；球；数学运算.

【答案】D

【分析】根据正棱锥的性质得出球心的位置，进而构造相似三角形，根据相似三角形得

出球的半径，以及四棱锥的高，即可得出答案.

【解答】解：根据正棱锥的性质，易知球心在正棱锥的高线上,

设球心为O,P在平面ABCD内的射影为H,PH=h,

1

取M■为中点，贝且

作0E1.PM于E,设球的半径为r,

则力B=|r,HM=1r,PM=<PH2+HM2=Jh2+(1r)2,OE=OH=r.

因为0E1.PM,

所以APOEsAPMH,

〜,OPOE

所以嬴=俞’

即1九一r二I整理可得〃=等.

*2+(%)2丁

连接AH,则4"=*AB=学，

匚口、I,/n”h2/2h2072

所以tCm/P4”==—g—•—=一g一.

因为PHL平面ABCD,所以/B4”即为直线PA与平面ABCD所成的角，

20A/2

所以，E4与平面48CD所成角的正切值为----.

【点评】本题考查通过正棱锥的性质得出球心的位置以及棱锥的高，并进行球的相关计

算，属于中档题.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

T—T——

13.(5分)(2024•铜川二模)已知向量a=(t-2,3),1=(3,-1),且(a+2b)||b,

则鬲=3V10.

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.

【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】由向量平行的坐标运算，得到，=-7,再利用模的坐标公式求而

T—TT

【解答】解：已知向量a=(t—2,3),b=(3,-1),a+26=(t+4,1),

V(a+2b)||b,

-(f+4)=3,解得f=-7,

：.a=(-9,3),|a|=3"U.

故答案为：3A/T5.

【点评】本题主要考查向量平行的性质，属于基础题.

14.(5分)(2024•铜川二模)已知锐角a,P满足s讥cos/3=则cos(a-P)

_2^5

-

【考点】两角和与差的三角函数.

【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算.

2V5

【答案】

5,

【分析】利用两角和与差的三角函数公式化简即可求解.

【解答】解：由sina=。，cosp=1,a,0均为锐角，得cosa=：^,sinp=1,

milzn\2-/53A42-/5

则cos(a—/?)=5x耳+/5x耳=5•

故答案为：—

【点评】本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题.

15.(5分)(2024•铜川二模)已知函数/■(>)=。-3)靖+*/一2%+1在区间(2m-2,

3+:w)上不单调，则”的取值范围是(7,2).

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】问题转化为导函数在区间(2m-2,3+m)内有零点，结合函数性质可求.

【解答】解：由题意知了'(无)—(x_3)e^+e^+x-2—("+1)(%-2),

因为了（无）在区间（2m-2,3+m）上不单调，

即尸/（X）在区间（2/7?-2,3+772）有零点，

又，+1>0,即为y=x-2的零点x=2在区间（2m-2,3+m）内,

2徵_2<72

'解得-1<加<2,即根的取值范围是（-1,2）.

{3+m>2,

故答案为：（-1,2）.

【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题.

16.（5分）（2024•铜川二模）如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表

示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数

之和为9〃+3个.（用含”的代数式表示）

（1）（2）（3）（n）

【考点】归纳推理.

【专题】整体思想；综合法；推理和证明；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】从图（1）、图（2）、图（3）、…的个数之和找到对应的数字规律.

【解答】解：由图，第1个图中有6个化学键和6个原子，

第2个图中有11个化学键和10个原子，

第3个图中有16个化学键和14个原子，

观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，

则第n个图有6+5（«-1）=5n+l个化学键和4»+2个原子，

所以总数为9”+3.

故答案为：9w+3.

【点评】本题主要考查了归纳推理，属于基础题.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.（12分）（2024•铜川二模）清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，是传统

的重大春祭节日，扫墓祭祀、缅怀祖先，是中华民族自古以来的优良传统.某社区进行

流动人口统计，随机抽取了100人了解他们今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的2

X2列联表:

回老家不回老家总计

50周岁及以下55

50周岁以上1540

总计100

(1)根据统计完成以上2X2列联表，并根据表中数据估计该社区流动人口中50周岁以

上的居民今年回老家祭祖的概率；

(2)能否有99.9%的把握认为回老家祭祖与年龄有关？

2

参考公式.K2=--------n(ad-bc)------苴中

2麦么队.A(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，火什"a+o+c+a.

参考数据：

P（片Nko）0.1000.0500.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

【考点】独立性检验.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据已知数据补全列联表后，由古典概型概率公式计算概率;

(2)计算出K?后可得结论.

【解答】解：(1)补全表格如下：

回老家不回老家总计

50周岁及以下55560

50周岁以上152540

总计2080100

153

该社区中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率为一=-；

408

7

（）2—100x（5x25-15x55）"—1225

⑵-K-20x80x60x40—96~12,760>10,828,

二.有99.9%的把握认为是否回老家祭祖与年龄有关.

【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立性检验的应用，属于基础题.

18.(12分)(2024•铜川二模)在△A8C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,

tanAtanB+tanAtanC=3tanBtanC.

（1）证明：3c2+3廿=5/；

（2）若。=，正，当4取最大值时，求AABC的面积.

【考点】三角形中的几何计算；正弦定理；余弦定理.

【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换整理得sin2A=3sinBsinCcosA,再利用正、余弦

定理边化角分析运算；

（2）利用余弦定理结合基本不等式可得A取最大值时，b=c,cosA=进而可求三角

形的面积.

【解答】解：(1)证明：•.,tanAtanB+tanAtanC=3tanBtanC,

sinAsinBsinCsinBsinC

：.------(-------+——)=3x--------------,

cosAcosBcosCcosBcosC

sinA(sinBcosC+cosBsinC)=3sinBsinCcosA,

sin(B+C)sinA=3sinBsinCcosA,

又sin(B+C)=sinA,sin2A=3sinBsinCcosA,

由正弦定理可得a2=3bccosA,

由余弦定理可得a?=3bccosA=(-&2+c2-a2),

整理得3b2+3c2=5a2.

（2）由（1）可得：3b2+3c2=5a2,即小=,（炉+。2）,

b2+c2—a2

则cos/=

2bc

当且仅当＞3即-，4取最大值,

此时3房+3(?2=6廿=5〃2=75,贝伤2=—,

*.*cosA=耳＞0,则Ze（0,引，可得sinA=

故S3ibcsinA用炉x%J*孕x警=学

乙乙J乙乙JT*

【点评】本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，化归转化思想，属中档

题.

19.（12分）（2024•铜川二模）如图，在四棱锥E-ABC。中.侧面底面ABC。，△

A3E为等边三角形，四边形ABC。为正方形，且AB=2.

（1）若b为C。的中点，证明：ABLEF-,

（2）求点B到平面CDE的距离.

E

【考点】点、线、面间的距离计算.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算.

【答案】（1）证明过程请见解答；（2）第.

【分析】（1）取AB的中点AL连接EM,MF,可证ABIMF,由线面垂直的

判定定理与性质定理，即可得证；

（2）连接BZ）,利用面面垂直的性质定理可得平面A8CD,再由VB-CDE^VE-BCD,

即可得解.

【解答】（1）证明：取A3的中点连接EM,MF,

:△ABE为等边三角形，：.EM±AB,

:四边形ABC。为正方形，：.AD±AB,且AO〃MR

：.AB±MF,

又MECMF=M,ME,MFu平面MEE

，A8_L平面MEF,

:EFu平面MEF,C.ABLEF.

(2)解：连接8。，

VfMffiABCD,ABECtABCD=AB,EMu平面ABE,EMLAB,

平面ABC。，

■■VE-BCD=制BCD-EM=|x|x2x2xV3=^,

_____________1

22

EF=<EM+MF=VT+4=巾,ShCDE=jCD-£F=V7,

设B到平面CDE的距离为h,

•；VB-CDE=VEBCD,

.1ch2^32V21

---S&CDE-h=―,解侍力=

故B到平面CDE的距离为亚祖.

7

【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，面

面垂直的性质定理，等体积法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能

力，属于中档题.

20.(12分)(2024•铜川二模)已知椭圆C；今+，=l(a>6>0)的离心率为当直线%=

3+旧经过椭圆C的右焦点为，且与椭圆交于点A,B.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆C的左焦点为尸2,求△尸2X3的内切圆的半径最大时上的值.

【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的性质.

【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算.

%2

【答案】(1)—+y2=1；(2)±V2.

4

【分析】(1)依题意求出a,b,c的值，即可求出椭圆方程；

(2)设△/2AB的内切圆半径为广，表示出△尸2AB的面积，由等面积法，表示出厂，结合

韦达定理，由基本不等式即可求出r的最大值及k的值.

【解答】解：(1)由题意知右焦点&(8,0),/.c=V3.

Ve=擀=孚，贝!1a=2,b=\.

2

，椭圆C的标准方程为x丁+y2=1；

(2)设的内切圆半径为r,

AF2AB的周长=尸2川+下2司+|AB|=|AFi|+|AF2|+|BFI|+|BF2|=8,

SAFZ^B=2.8,r=4r,.,.r-SAF2AB.

.,.△/MB的面积最大时，其内切圆半径最大.

设A(xi,yi),B(%2,y2),

x=fcy+V3_

联立，消去X得(1+4)y2+2百灼7一1=0,

(w+V=i

A=12必+4(正+4)=16合+16>0恒成立，

•■S^AB=jlfi^21,l7i-yl=BJCXi+%)2—4月火=4：］：］

2

令t=7k2+1,则话=F-1.

・C_4V3t_4V3W3_

••5"2的=市=讲《云耳二乙9

当且仅当t=*即t=b时等号成立，此时k=±&.

【点评】本题考查了椭圆的方程及性质，考查了直线与椭圆的综合，考查了方程思想，

属于中档题.

1

21.(12分)(2024•铜川二模)已知m>0,函数/(x)—mxlnx满足对任意x〉0,--</(%)<

x2一%恒成立.

(1)当机=1时，求/(x)的极值；

(2)求机的值.

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值.

【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】⑴/⑴极小值为解)=—，无极大值；

(2)1.

【分析】(1)将m=1代入/(x)中，判断了(x)的单调性，再求出了(x)的极值;

(2)根据对任意%>0,-}W/(%)W/-”恒成立，分两个部分求解即可.

【解答】解：(1)当相=1时，/(x)=xlnx,则，(x)=lnx+\,x>0,

由/(x)>0,得久+00),由/(九)<0,得xe(0,-),

.•.73)在9，+8)上单调递增，(0,》上单调递减，

•V(X)极小值为熊)=—,无极大值；

(2)f(x)的定义域为(0,+8),由/(%)=mxlnx,得，(x)=m(1+Znx).

则/(%)在(2,+8)上单调递增，(0,》上单调递减，/(%)》/(3=—£.

又,**对任意％>0,f(%)>——>————,*,•m41.

又/(x)-x等价于minx-x+l<0.

设函数g(%)=minx—x+1,g7(%)=£—1=7nx

•・•g(x)在(0,m)上单调递增，(m,+°°)上单调递减，

•'•g(x)《g(m)=mlnm-m+1.

i

•对任意x>0,g(x)40,'.mlnm-m+l<0,Inm+—<1.

设/(TH)=Inm+热则//(m)=

当机(1时，h'(m)<0,：.h(m)>/z(1)=1.

・,•只能有根=1,即m的值为1.

综上，机的值为1.

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用不等式恒成立求参数的值，

考查了转化思想，属难题.

(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一

题计分.(本小题满分10分)［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.(10分)(2024•铜川二模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

L=1+cosa,(观为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

(y=sina

曲线C2的极坐标方程为p=-2sin0.

(1)求曲线Q的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)设直线I；旧尤+，=0与曲线口，C2分别交于A,B两点(异于极点)，求线段A2

的长度.

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程.

【专题】转化思想；转化法；坐标系和参数方程；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)将曲线G的参数方程化为普通方程，进而化为极坐标方程即可；

(2)直线Z；gx+y=0过原点，所以化为极坐标方程后与曲线Ci,C2的极坐标方程联

立，利用p的几何意义求解即可.

【解答】解：⑴曲线Cl：*=l+cosa，(a为参数)，消去参数得(x-1)2+y2=l,

［y=sina

将卜=pcos。’代入，得曲线Cl的极坐标方程为p=2cose,

(y—psind

由p=-2sin0得p2=-2psin0,

-2yf

，曲线C2的直角坐标方程为7+(y+1)2=1；

(2)易知直线/的极坐标方程为8=代入曲线Ci,C2的极坐标方程得pi=l,P2=回

\AB\=|pi-p2l=V3-1.

【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题.

［选修4-5：不等式选讲］

23.(2024•铜川二模)已知a>0,b>0,函数<(x)=|尤+a|+|x-用的最小值为2,证明：

(1)3flW^3；

41

(2)——+->3.

a+1b

【考点】不等式的证明.

【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据绝对值的三角不等式，得到了(%)的最小值为4+6=2,进而化简得到

3次+后=4/_4〃+4,结合二次函数的性质，即可求解；

4114ba+1

(2)由(1)得到〃+1+/?=3,化简---+-=-(5+-------+—「)，结合基本不等式，

a+1b3a+1b

即可求解.

【解答】证明：(1)由于〃>0,b>0,则/(%)=\x+a\+\x-b\^\a+b\=a+b,

当且仅当-九WZ?取等号，故/(x)=|x