非现行模型的线性化

关于非现行模型的线性化有时候变量之间的关系是非线性的。虽然其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。以下非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。

第2页,共30页，星期六，2024年，5月幂函数模型指数函数模型对数函数模型双曲线函数模型多项式方程模型生长曲线模型第3页,共30页，星期六，2024年，5月(1)

幂函数模型(全对数模型)(b>1)

(0<b<1)

(b=-1)

(b<-1)

(0>b>-1)

b取不同值的图形分别见上图。对上式等号两侧同取对数，得

Lnyt=Lna+bLnxt+ut

令yt*=Lnyt,a*=Lna,xt*=Lnxt,则上式表示为

yt*=a*+bxt*+ut

变量yt*和xt*之间已成线性关系。幂函数模型也称作全对数模型。第4页,共30页，星期六，2024年，5月Cobb-Douglas生产函数（二元幂函数）

第5页,共30页，星期六，2024年，5月(1)幂函数模型(全对数模型)例4.1：Cobb-Douglas生产函数（台湾）第6页,共30页，星期六，2024年，5月(2)指数函数模型

上式等号两侧同取自然对数，得

Lnyt=Lna+bxt+ut

令Lnyt=yt*,Lna=a*,则

yt*=a*+bxt+ut

变量yt*和xt已变换成为线性关系。其中ut表示随机误差项。第7页,共30页，星期六，2024年，5月某硫酸厂生产的硫酸的透明度一直达不到优质指标。经分析透明度低与硫酸中金属杂质的含量太高有关。影响透明度的主要金属杂质是铁、钙、铅、镁等。通过正交试验的方法发现铁是影响硫酸透明度的最主要原因。测量了47个样本，得硫酸透明度（y）与铁杂质含量（x）的散点图如下：案例1：硫酸透明度与铁杂质含量的关系（指数函数案例）

（1）y=121.59-0.91x（2）1/y=0.069-2.37(1/x)(10.1)(-5.7)(18.6)(-11.9)R2=0.42,s.e.=36.6,F=32R2=0.76,s.e.=0.009,F=142

第8页,共30页，星期六，2024年，5月案例1：硫酸透明度与铁杂质含量的关系（指数函数案例）

（3）y=-54.40+6524.83(1/x)（4）Lny=1.99+104.5(1/x)(-7.2)(16.3)(22.0)(21.6)

R2=0.86,s.e.=18.2,F=266R2=0.91,s.e.=0.22,F=468还原，Lny=Ln(7.33)+104.5(1/x)第9页,共30页，星期六，2024年，5月（5）非线性估计结果是

R2=0.96EViews命令：Y=C(1)*EXP(C(2)*(1/X))

样本内预测评价：案例1：硫酸透明度与铁杂质含量的关系（指数函数案例）样本点与指数拟合曲线

第10页,共30页，星期六，2024年，5月

(3)

对数函数模型

yt=a+bLnxt+ut,(b>0)yt=a+bLnxt+ut,(b<0)令xt*=Lnxt,则

yt=a+bxt*+ut

变量yt

和xt*已变换成为线性关系。(b>0)

(b<0)

第11页,共30页，星期六，2024年，5月

28个省市自治区1985

2005年城镇居民人均食品支出（food）与人均收入（income）的关系案例2：28个省市自治区1985

2005年城镇居民人均食品支出（food）与人均收入（income）的关系第12页,共30页，星期六，2024年，5月(4)

双曲线函数模型1/yt=a+b/xt

+ut

或yt=1/(a+b/xt

+ut)令yt*=1/yt,xt*=1/xt，得yt*=a+bxt*+ut

已变换为线性回归模型。双曲线函数还有另一种表达方式，yt=a+b/xt+ut

令xt*=1/xt，得

yt=a+bxt*+ut

上式已变换成线性回归模型。yt=a+b/xt+ut

1/yt=a+b/xt

+ut

第13页,共30页，星期六，2024年，5月案例3：炼钢厂钢包容积Y与钢包使用次数X的关系

建立线性模型并估计建立对数模型并估计y=7.85+0.27xy=6.16+1.83Lnx(19.6)(5.7)(16.0)(10.1)

R2=0.71,N=15R2=0.89,N=15第14页,共30页，星期六，2024年，5月

双倒数线性化双倒数模型建立倒数模型并用1

14组数据估计，1/y=0.081+0.1339(1/x)(42.1)(14.1)R2=0.94,

N=15倒数模型的估计结果最好。案例3：炼钢厂钢包容积Y与钢包使用次数X的关系第15页,共30页，星期六，2024年，5月(5)多项式函数模型(1)一种多项式方程的表达形式是

yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut

令xt1=xt，xt2=xt2，xt3=xt3，上式变为

yt=b0+b1xt1+b2xt2+b3xt3+ut

这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产品产量曲线与左图相似。(b1>0,b2<0,b3>0)

(b1<0,b2>0,b3<0)第16页,共30页，星期六，2024年，5月总成本函数的估计第17页,共30页，星期六，2024年，5月(5)多项式函数模型(1)例4.2：总成本与产品产量的关系yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut

第18页,共30页，星期六，2024年，5月(5)多项式函数模型(1)例4.2：总成本与产品产量的关系=2434.7+85.7

xt-0.028xt2+0.00004xt3

(1.8)(12.0)(-2.8)(9.6)R2=0.9998,N=15第19页,共30页，星期六，2024年，5月案例4：厦门市贷款总额与GDP的关系分析（1990~2003）第20页,共30页，星期六，2024年，5月

从散点图看，用多项式方程拟合比较合理。Loant=

0+

1GDPt+

2GDPt2+

3xt3+ut

t=-24.5932+1.6354

GDPt-0.0026GDPt2+0.0000027

GDPt3

(-2.0)(11.3)(-6.3)(7.9)

R2=0.9986,DW=2.6案例4：厦门市贷款总额与GDP的关系分析（1990~2003）第21页,共30页，星期六，2024年，5月(5)多项式方程模型(2)(b1<

0,b2>0)

(b1>0,b2<0)另一种多项式方程的表达形式是yt=b0+b1xt+b2xt2+ut

令xt1=xt，x

t2=xt2，上式线性化为，yt=b0+b1xt1+b2xt2+ut

如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似。第22页,共30页，星期六，2024年，5月(5)多项式方程模型(2)例4.2：平均成本与产品产量的关系=105.1-0.06xt+0.00006xt2

(42.5)(-8.7)(12.8)R2=0.97,N=15第23页,共30页，星期六，2024年，5月(6)

生长曲线

(logistic)模型

美国人口统计学家Pearl和Reed广泛研究了有机体的生长，得到了上述数学模型。生长模型（或逻辑斯谛曲线，Pearl-Reed曲线）常用于描述有机体生长发育过程。其中k和0分别为yt的上限和下限。a,b

为待估参数。曲线有拐点，曲线的上下两部分对称于拐点。第24页,共30页，星期六，2024年，5月(6)

生长曲线

(logistic)模型第25页,