数学-2024届安徽省合肥一中高考适应性联考试题和答案

高三数学试卷考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分满分150分考试时间120分钟2.答题前考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚3.考生作答时请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答超出答题区域书写的答案无效在试题卷草稿纸上作答无效4.本卷命题范围高考范围一选择题:本题共8小题每小题5分共40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1.已知集合A—{工eN|工2三4}，B—{—1，0，1，2，3}，则AnB—A.十iB.—iC.—十iD.——i3.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为8的半圆，则该圆锥的体积为 4.为孔扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从N（70，64据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为参考数据：P(μ—C<X<μ十C）~0.6827，P(μ—2C<X<μ十2C）~0.9545，P(μ—3C<X<μ十3C）~0.9973A.0.135%B.0.27%C.2.275%D.3.173%5.某银行大额存款的年利率为3%，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年A.12.6B.12.7C.12.8D.12.92024i—0A.4049B.2025C.4048D.2024【高三数学试卷第1页（共4页）】243636D7.已知双曲线C：——1（a>0,b>0）的右焦点为F,圆0：工2十>2—a2与C的渐近线在第二象限的交点为P,若tan人FP0—槡2,则C的离心率为A.2B.槡28.如图,正四面体ABCD的棱长为2,ΔAED是以E为直角顶点的等腰直角三角形.现以AD为轴,点E绕AD旋转一周,当三棱锥EBCD的体积最小时,直线CE与平面BCD所成角为a,则sin2a—二选择题:本题共3小题每小题6分共18分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求全部选对的得6分部分选对的得部分分有选错的得。分—工2|的最小值是,则[0,上单调递增1个零点10.已知实数a,b满足0<a<b<1,则A.<B.a十b>abC.ab<baD.2a—2b—11.椭圆C：十—1（m>0）的两个焦点分别为F1,F2,则下列说法正确的是A.过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点,则ΔABF1的周长为8B.若C上存在点P,使得PF1.PF2—0,则m的取值范围为（0,槡2]U[2槡2,十…）C.若直线k工—>十1—0与C恒有公共点,则m的取值范围为[1,十…） D.若m—1,P为C上一点,Q（—1,0）,则|PQ|的最小值为槡三填空题:本题共3小题每小题5分共15分12.已知θeθ十——tanθ,则tan2θ—.【高三数学试卷第2页（共4页）】243636DAB一—.13.ΔABC中,若BA.BC—CA.CB—3AB一—.BC14.若对v工e（2,十…）,e工十2a>aln（a工—2a）恒成立,则实数a的取值范围为.四解答题:本题共5小题共77分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤15.（本小题满分13分）设数列{an}的前n项和为sn,已知a1—6,{n2}是公差为2的等差数列.（1）求{an}的通项公式；（2）若bn—an十1,设数列{bn}的前n项和Tn,求证:三Tn<.16.（本小题满分15分）在平时的日常生活中游泳对锻炼身体有很多的好处,大致有以下几个方面:一、游泳可以让身体更加苗条,达到减肥的效果；二、游泳能够增加人体的肺活量,提高人体的呼吸系统能力,也可以预防心脑血管系统疾病,包括冠心病、不稳定型心绞痛以及脑血栓等疾病；三、游泳可以保护关节,让关节避免受到损伤.下面抽取了不同性别的高中生共100人,并统计了他们游泳的水平如下表:合格不合格合计男性1050女性20合计70100（1）根据此表依据a—0.05的独立性检验判断:是否可以认为高中生游泳水平与性别有关？（2）游泳教练从成绩不合格的高中生中抽取了2名女生和1名男生进行游泳示范指导.已知经过一段时间指导后,女生成绩合格的概率为,男生合格的概率为,求这3人经过指导后成绩合格总人数X的分布列和数学期望.参考公式:①相关性检验的临界值表:a0.100.050.10工a2.7063.8416.635②x2—（a十bb十d）,其中n—a十b十c十d.【高三数学试卷第3页（共4页）】243636D17.（本小题满分15分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB—4，BC—2，沿AC将ΔADC折起，使点D到达点P的位置，点P在平面ABC的射影H落在边AB上.（2）若M是棱PC上的一个动点，是否存在点M，使得平面AMB与平面PBC夹角的余弦值为槡？若存在，求出18.（本小题满分17分）已知平面上一动点P到定点F（0，1）的距离比到定直线>——2024的距离小2023，记动点P的轨迹为曲线C1.（2）已知直线>—K工十1（K牛0）与曲线C1交于M，N两点，T是线段MN的中点，点A在直TMTN线>——1上，且AT垂直于工轴.设点B在抛物线C2：>——工2—1上，BP，BQ是C1TMTN两条切线，P，Q是切点.若AB/MN，且A，B位于>轴两侧，求TPTQ的值.19.（本小题满分17分）（1）当a—3时，求曲线>—f（工）在点（0，f（0处的切线方程；①求实数a的取值范围；<2工1.【高三数学试卷第4页（共4页）】243636D槡3—槡3—AnB{0，1，2}.故选B.3.D设圆锥的底面圆半径为r，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2πr—8π,解得r—4，则圆锥的高h槡3，所以该圆锥的体积为Vπr2h—πX42X4槡3—64π.4.A依题意μ—70，C—8，94—μ十3C，所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为X100%—5.B存入大额存款10万元，按照复利计算，可得每年末本利和是以10为首项，1十3%为公比的等比数列，所以本利和S—10（1十3%）8—10[C十CX0.031十CX0.032十…十CX0.037十C]~12.7.故选B.fffffffff2024ffffffii—0fOPOF OPOF 即sin人PFOsin人OPF，ac故选C.a槡,化简得b—2，所以Ca槡8.D在正四面体ABCD中，取BC的中点F，连接DF，AF，则DF—AF，取AD的中点M，连接FM，EM，则FM」AD，ΔAED是以E为直角顶点的等腰直角三角形，正四面体ABCD的棱长为2，则EM」AD，且EM—AD—1.点E绕AD旋转一周，形成的图形为以M为圆心，以1为半径的圆，设该圆与MF的交点为E1，当三棱锥EBCD的体积最小时，即E点到底面BCD的距离最小，即此时E点即位于E1处.因为DF—AF—槡3，则FM—槡AF2—AM2—槡2，FE1E1在底面BCD上的射影为H，则E1H—E1F.sin人E1FH—E1F.MDFD【高三数学试卷.参考答案第1页（共6页）】合肥一中安徽卡魅教育MC,BC的中点为F,故MF」BC,故E1C—槡FC2十E1F2—槡12十（槡2—1）2—槡4—2槡2,由于点E1在底E1C2—（槡4—2槡2）2—面BCD上的射影为H,故人E1CH即为直线CE1与平面BCD所成角a,故sin2aE1C2—（槡4—2槡2）2—12—6槡212..3—2槡212—6槡212..9.ABD由题意可知,函数f（工）的最小正周期T—π—,：幼—2,：f（工）—2sin（2工—.对于A,当工e[0,时,2工—e[—,,：f（工）在[0,上单调递增,故A正确；对于B,f(ℴℴ2sin[2x(ℴℴ—2sin(ℴ——2,：f（工）的图象关于直线工——对称,故B正确；对于C,工——2sin —π,即工—时,f（工）—0,故D正确.故选ABD.10.BCD对于A,——>0,故A错误；对于B,a十b—ab—a十b（1—a）>0,则a十b>ab,故B正fI（工）—1—工工,当0<工<e时,fI（工）>0,f（工）单调递增,因为0<a<b<1,则f<f（b）,得<,即blna<alnb,lnab<lnba,所以ab<ba,故C正确；对于D,函数g（工）—2工—工在R上单调递增,因为0<a<b<1,则g（a）<g（b）,即2a—b—,所以2a—2b—,故D正确.故选BCD.11.BD对于A,由椭圆定义可得ΔABF1的周长为|AF1|十|BF2|十|AB|—|AF1|十|BF1|十|AF2|十|BF2|—一—一—4a,但焦点不一定在工轴上,故A错误；对于B,若PF1.PF2—0,则PF1」PF2,当P位于短轴顶点时,人F1PF2最大,此时tan人。PF1>tan45。—1,即>1.当0<m<2时,由槡4m2>1,解得0<m三槡2；当 m>2时,由槡—4>1,解得m>2槡2,故B正确；对于C,直线k工—>十1—0过定点（0,1）,所以三1,即m2>1,又m2牛4,所以m的取值范围为[1,2）u（2,十…）,故C错误；对于D,设P（2cosθ,sinθ),所以|PQ|—cosθ十2十,当cosθ——时,|PQ|min—槡,故D正确.故选BD.12.—由tan(θ十——tanθ,得an——tanθ,整理得2tan2θ—5tanθ—3—0,解得tanθ——（舍）或tanθ—3,所以tan2θ—12t—θ—12—x——.13.槡由.—.得.（十）—0,即（十）.（—）—0,——0,所以—.由.—3.得.（十3）—0,即.（十—0.设D为线段AB上靠近A的四等分点,则CD」AB.设AD—t,则BD—3t,AC—4t,所以CD—槡15t,BC—2槡6t,所以AB4tAB4t槡6 一——.BC2槡6t314.（0,e3）e工十2a>aln（a工—2a）可变形为e工>aln（a工—2a）—2a,即e工>alna工2a,所以>【高三数学试卷.参考答案第2页（共6页）】合肥一中安徽卡魅教育lna工2a,即e工—2>lna工2a,由工>2,得（工—2）e工—2>（工—2）lna工2a,即（工—2）e工—2>lna工2a.elna工2a.构造函数f（工）—工e工,则fI（工）ℴ（工十1）e工,且原不等式等价于f（工—2）>flna工2a,当lna工2a<0时,原不等式显然成立；当lna工2a>0时,因为f（工）—工e工在[0,十…）上单调递增,所以工—2>lna工2a,解得a<工e工2.令g（工）—工e工2,则gI（工2,3）上单调递减,在（3,十…）上单调递增,从而工—3是g（工）的极小值,也是g（工）的最小值,且g（3）—e3,于是0<a<e3,故a的取值范围为（0,e3）.1—6,所以12—12—2,……………………1分所以n2—2十（n—1）X2—2n,即sn—2n（n十2）.………3分当n>2时,an—sn—sn—1—2n（n十2）—2（n—1n十1）—4n十2,……5分又a1—6适合上式,所以an—4n十2.………………6分十1—（4n十2）44n十6）—4X4n2—4n6）—4n2—4n6,…8分故Tn——十—十—十…十（4n2—4n6）——4n6.………………10分而Tn——4n6关于n单调递增,所以Tn>T1—,…………………12分又4n6>0,所以Tn——4n6<,所以三Tn<.…………………………13分16.解1）完成表格如下：合格不合格合计男性401050女性302050合计7030100…………………2分零假设H0：高中生游泳水平与性别无关,X2—100X710）2~4.762>3.841—工0.05,…………………5分依据a—0.05的独立性检验,我们有充分的理由认为H0不成立,即高中生游泳水平与性别有关.…………………7分（2）依题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,P（X—0）ℴ1—2X1——,P（X—1）—CX1—X（1—十（1—2X—,P（X—2）—CX1—X十2X（1———,【高三数学试卷.参考答案第3页（共6页）】合肥一中安徽卡魅教育 118P（X—3）ℴ2X—, 118所以X的分布列为：X0123P 118 518 49 29………………12分数学期望E（X）—0X十1X十2X 49十3X21196. 518………………15分17.解1）作PE」AC,垂足为E,连接EH,如图所示：由点P在平面ABC的射影H落在边AB上可得PH」平面ABC,又AC仁平面ABC,所以PH」AC,………………2分因为PHnPE—E,且PH,PE仁平面PHE,所以AC」平面PHE,………………3分又EH仁平面PHE,所以AC」EH,又因为ABCD为矩形,AB」BC,可得ΔABC“ΔAEH.…………………4分由AB—4,BC—2,可得AP—2,PC—4,AC—2槡5,所以PE——4,AE—槡AP2—PE2—2.……………………6分由ΔABC“ΔAEH可得—,则AH——22槡5—1,即AH的长度为1.……………7分（2）根据题意,以点H为坐标原点,以过点H且平行于BC的直线为>轴,分别以HB,HP所在直线为工,之轴建立空间直角坐标系,如图所示：一一则A（—1,0,0）,P（0,0,槡3）,B（3,0,0）,C（3,2,0）,设CM—λCP,λe[0,1],一所以CM—λ(ℴ3,—2,槡3）ℴ(ℴ3λ,—2λ,槡3λ),所以M（3—3λ,2—2λ,槡3λ).…………9分一—一一一易知AB—（4,0,0）,MB—（3λ,2λ—2,—槡3λ),PB—（3,0,—槡3）,BC—（0,2,0）,设平面AMB的一个法向量为m—（工1,>1,之1）,则一取>1—槡3λ,取>1—槡3λ,则m—（0,槡3λ,2λ—2）,……10分,（MB.m—3λ工1十（2λ—2）>1—槡3λ之1—0,设平面PBC的一个法向量为n—（工2,>2,之2）,则.n—3工2—槡3之2—0,,则n—（1,0,槡3）,………………11分（BC.n—2>2—0,—2槡3λ—1—槡32X槡7λ2—8λ十44,整理可得3λ2—8λ十4—0,【高三数学试卷.参考答案第4页（共6页）】合肥一中安徽卡魅教育解得λ—2（舍）或λ—,……………………13分因此—,即——. 所以存在点M,使得平面AMB与平面PBC夹角的余弦值为槡,此时CM的长度为.……………15分18.解1）因为点P到定点F（0,1）的距离比到定直线>——2024的距离小2023,所以点P到定点F（0,1）的距离与到定直线>——1的距离相等,由抛物线的定义可知,点P的轨迹是以定点F（0,1）为焦点,定直线>——1为准线的抛物线,所以C1的方程为工2—4>.……………………4分2）,联立十工2—4k,工1工2——4,>—k工十1,工2—4>消去>得工2—4k工—4—0,Δ—16k2十16>0,所以>1十>2—k（工1十工2）十2—4k2十2,>1>2—（工12）2—1,所以T（2k,2k2十1）,则A（2k,—1）.………………………6分因为AB/MN,所以直线AB的方程为>十1—k（工—2k）,即>—k工—2k2—1,联立>—k工—2k2—1,>——工2—1消去>得工2十k工—2k2—0,解得工——2k或工—k,又A,B位于>轴两侧,故B（—2k,—4k2—1）.……………7分0）在抛物线C1上,又由工2—4>,得>,工—工0—工0,整理得工0工—2>—2>0—0,…………8分34）,则C1在P4）处的切线方程分别为工3工—2>—2>3—0与工4工—2>—2>4—0,又两条切线都过点B,则工3（—2k）—2（—4k2—1）—2>3—0,工4（—2k）—2（—4k2—1）—2>4—0,则直线PQ的方程为（—2k）工—2（—4k2—1）—2>—0,即k工十>—4k2—1—0,………………………10分又T（2k,2k2十1）,点T的坐标适合方程k工十>—4k2—1—0,所以点T在直线PQ上.4,由T是线段MN的中点,得TMTN—1MN24,则TMTN—4（k2十1）2.……………12分联立十4k2—1—0,消去>得工2十4k工—16k2—4—0,Δ—80k2十16>0,十工4——4k,工3工4——16k2—4,………………………13分一一TPTQ——TP.TQ——（工3—2k,>3—2k2—1）.（工4—2k,>4—2k2—1）——（工3—2k工4—2k）ℴ（>3—2k2—1>4—2k2—1）——（工3—2k工4—2k）ℴ（2k2—k工32k2—k工4）【高三数学试卷.参考答案第5页（共6页）】合肥一中安徽卡魅教育——（1十k2）工3工4十2k（1十k2工3十工4）—4k2（1十k2）——（k2十1）[工3工4—2k2]——（k2十1）[—16k2—4—2k.（—4k）十4k2]—4（k2十1）2.……………16分TMTNTPTQ所以—1.…………………TMTNTPTQ19.（1）解：当a—3时,f（工）—3e工—sin工—3,则fI（工）—3e工—cos工,…………………