人教A版高中数学选择性必修第三册 第6章 §6.2.3-2.4 组合与组合数 同步课时讲练（原卷版）

第第页6.2.3组合6.2.4组合数第1课时组合及组合数的定义学习目标1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.会用组合知识解决一些简单的组合问题．知识点一组合及组合数的定义1．组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示．知识点二排列与组合的关系相同点两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素不同点排列问题中元素有序，组合问题中元素无序关系组合数Ceq\o\al(m,n)与排列数Aeq\o\al(m,n)间存在的关系Aeq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m)1．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题．(√)2．“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合．(×)3．组合数Ceq\o\al(3,5)＝eq\f(A\o\al(3,5),A\o\al(3,3)).(√)4．两个组合相同，则其对应的元素一定相同．(√)一、组合概念的理解例1判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？反思感悟排列、组合辨析切入点(1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可．(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．跟踪训练1判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．二、组合的个数问题例2在A，B，C，D四位候选人中．(1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；(2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；(3)类比上述两个结果间的等量关系，你能找出排列数Aeq\o\al(m,n)与组合数Ceq\o\al(m,n)间的等量关系吗？反思感悟组合个数的求解策略(1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举，如本例中，先枚举以字母A开头的组合，再枚举以字母B开头的组合，直到全部枚举完毕．(2)公式法：利用排列数Aeq\o\al(m,n)与组合数Ceq\o\al(m,n)之间的关系Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))求解．跟踪训练2从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合．三、简单的组合问题例3有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．反思感悟利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数．跟踪训练3一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？1．(多选)下面四组元素，是相同组合的是()A．a，b，c—b，c，a B．a，b，c—a，c，bC．a，c，d—d，a，c D．a，b，c—a，b，d2．从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是()A．10B．5C．4D．13．在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为()A．4×13手 B．134手C．Aeq\o\al(13,52)手 D．Ceq\o\al(13,52)手4．下列问题中，组合问题有________，排列问题有________．(填序号)①从1,3,5,9中任取两个数相加，所得不同的和；②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数；③从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动．5．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________________________．1．知识清单：(1)组合与组合数的定义．(2)排列与组合的区别与联系．(3)用列举法写组合．2．方法归纳：枚举法．3．常见误区：分不清“排列”还是“组合”．1．(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有()A．由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数C．由1,2,3组成两位数的不同方法数D．由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数2．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有()A．Aeq\o\al(3,10)种 B．Ceq\o\al(3,10)种C．Ceq\o\al(3,10)Aeq\o\al(3,10)种 D．30种3．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为()A．3B．4C．12D．244．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为()A．4B．8C．28D．645．某乒乓球队有9名队员，其中有两名种子选手，现要选5名队员参加运动会，种子选手都必须在内，则不同的选法有()A．Ceq\o\al(5,9)种B．Aeq\o\al(3,7)种C．Ceq\o\al(3,7)种D．Ceq\o\al(5,7)种6．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有______种不同选法．7．若已知集合P＝{1,2,3,4}，则集合P的子集中含有2个元素的子集数为________．8．有3张参数是________．(用数字作答)9．判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．(1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？10．平面内有10个点，其中任意3个点不共线．(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？(3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？11．(多选)下列问题是组合问题的有()A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B．平面上有2021个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段C．集合{a1，a2，a3，…，an}中含有三个元素的子集有多少个D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法12．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有()A．60种B．36种C．10种D．6种13．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A．224B．112C．56D．2814．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.15．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)(1)图中有________个矩形；(2)从A点走向B点最短的走法有________种．16．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问：全部赛程共需比赛多少场？第2课时组合数公式学习目标1.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式.2.能运用组合数公式进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题．知识点一组合数公式组合数公式乘积形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，其中m，n∈N*，并且m≤n阶乘形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)规定：Ceq\o\al(0,n)＝1.知识点二组合数的性质性质1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性质2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).1．Ceq\o\al(2019,2020)＝________.2．Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,2)＝________.3．若Ceq\o\al(m,7)＝21，Ceq\o\al(m,6)＝15，则Ceq\o\al(m－1,6)＝________.4．方程Ceq\o\al(x,5)＝Ceq\o\al(2,5)，则x＝________.一、组合数公式的应用命题角度1化简与求值例1－1求值：(1)3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)；(2)Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n).命题角度2与组合数有关的证明例1－2证明：mCeq\o\al(m,n)＝nCeq\o\al(m－1,n－1).命题角度3与组合数有关的方程或不等式例1－3(1)(多选)若Ceq\o\al(4,n)>Ceq\o\al(6,n)，则n的可能取值有()A．6B．7C．8D．9(2)已知eq\f(1,C\o\al(m,5))－eq\f(1,C\o\al(m,6))＝eq\f(7,10C\o\al(m,7))，求Ceq\o\al(m,8)＋Ceq\o\al(5－m,8).反思感悟(1)组合数公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)一般用于计算，而组合数公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)一般用于含字母的式子的化简与证明．(2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数Ceq\o\al(m,n)的隐含条件为m≤n，且m，n∈N*.(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).跟踪训练1(1)计算：Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)；(2)证明：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1).二、有限制条件的组合问题例2课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．反思感悟有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．跟踪训练2某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有()A．210种B．420种C．56种D．22种三、分组、分配问题命题角度1平均分组例3－1(1)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？(2)6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？命题角度2不平均分组例3－2(1)6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有多少种方法？(2)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？命题角度3分配问题例3－36本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？反思感悟“分组”与“分配”问题的解法(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．跟踪训练3将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中．(1)有多少种放法？(2)每盒至多1个球，有多少种放法？(3)恰好有1个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？与几何有关的组合应用题典例如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？[素养提升](1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．(2)把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及数学运算的核心素养．1．Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(5,7)的值为()A．72B．36C．30D．422．若Ceq\o\al(2,n)＝28，则n的值为()A．9B．8C．7D．63．若Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)，则m等于()A．9B．8C．7D．64．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案的种数为______．5．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有________种．1．知识清单：(1)涉及具体数字的可以直接用公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)简化运算．(4)分组分配问题．2．方法归纳：分类讨论、正难则反、方程思想．3．常见误区：分组分配中是否为“平均分组”．1．计算：Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)等于()A．120B．240C．60D．4802．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有()3．(多选)下列等式正确的有()A．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！) B．Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)C．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(m＋1,n＋1)Ceq\o\al(m＋1,n＋1) D．Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)4．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有()A．Ceq\o\al(32,197)·Ceq\o\al(2,3)种 B．Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,197)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,197)种C．Ceq\o\al(5,200)－Ceq\o\al(5,197)种 D．Ceq\o\al(5,200)－Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,197)种5．空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为()A．205B．110C．204D．2006有______种．7．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答)8．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有________种．9．已知Ceq\o\al(4,n)，Ceq\o\al(5,n)，Ceq\o\al(6,n)成等差数列，求Ceq\o\al(12,n)的值．10．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名