人教A版高中数学选择性必修第三册 第6章 §6.2.1 -2.2排列与排列数 同步课时讲练（原卷版）

第第页§6.2排列与组合6.2.1排列学习目标1.理解并掌握排列的概念.2.能应用排列知识解决简单的实际问题．知识点一排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点二排列相同的条件两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素完全相同．(2)元素的排列顺序也相同．1．123与321是相同的排列．(×)2．同一个排列中，同一个元素不能重复出现．(√)3．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(×)4．从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．(×)一、排列的概念例1判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互打电话．反思感悟判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1判断下列问题是否为排列问题：(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1?(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？二、画树形图写排列例2将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．反思感悟树形图的画法(1)确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位．(2)确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类．(3)重复以上步骤，直到写完一个排列为止．跟踪训练2(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．三、简单的排列问题例3(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？反思感悟对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解．跟踪训练3(1)沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为()A．15B．30C．12D．36(2)3盆不同品种的花排成一排，共有________种不同的排法．1．(多选)下面问题中，不是排列问题的是()A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为()A．甲乙、乙甲、甲丙、丙甲B．甲乙丙、乙丙甲C．甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙D．甲乙、甲丙、乙丙3．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为()A．5B．10C．20D．604．从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有________个．5．有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里，有________种不同的种法．1．知识清单：(1)排列的定义：顺序性．(2)“树形图”法列举排列．(3)排列的简单应用．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：排列的定义不明确．1．(多选)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有()A．加法B．减法C．乘法D．除法2．某学习小组共5人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为()A．20B．15C．10D．53．从1,2,3,4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为()A．2B．4C．12D．244．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为()A．6B．4C．8D．105．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种6．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是________________________________________．7．车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为________．8．一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种．9．写出下列问题的所有排列：(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？(2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？10．用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？(2)可以排出多少个不同的三位数？11．由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为()A．9B．12C．15D．1812．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为()A．54B．45C．5×4×3×2D．513．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有()A．4种B．5种C．6种D．12种14．现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是________．15．用0,1,2,3，…，9十个数字可组成不同的：(1)三位数________个；(2)无重复数字的三位数________个；(3)小于500且无重复数字的三位奇数________个．16．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法．6.2.2排列数学习目标1.能用计数原理推导排列数公式.2.能用排列数公式解决简单的实际问题．知识点一排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示．思考排列与排列数相同吗？答案排列数是元素排列的个数，两者显然不同．知识点二排列数公式及全排列1．排列数公式的两种形式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.(2)Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！).2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为Aeq\o\al(n,n)＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.1．Aeq\o\al(2,3)＝________.2．Aeq\o\al(2,n)＝132，则n＝________.3．Aeq\o\al(x,5)＝20，则x＝________.4．甲、乙、丙三人站成一排，共有________种不同站队方式．(用排列数表示)5.eq\f(A\o\al(3,7),A\o\al(3,8))＝________.一、排列数公式的应用命题角度1利用排列数公式求值例1－1计算：Aeq\o\al(3,15)和Aeq\o\al(6,6).命题角度2利用排列数公式化简例1－2(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)；(2)化简：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m)．命题角度3利用排列数公式证明例1－3求证：Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).反思感悟排列数公式的选择(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数．(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．跟踪训练1不等式Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)的解集为()A．[2,8]B．[2,6]C．(7,12)D．{8}二、排队问题命题角度1“相邻”与“不相邻”问题例2－13名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法？(1)男、女各站在一起；(2)男生必须排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．命题角度2定序问题例2－27人站成一排．(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？命题角度3元素的“在”与“不在”问题例2－3从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？反思感悟排队问题的解题策略排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题．(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决．即将相邻的元素视为一个整体进行排列．(2)对于不相邻的元素插入空中．(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．(4)对于“决．跟踪训练2三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？1．Aeq\o\al(3,9)等于()A．9×3 B．93C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×32．89×90×91×92×…×100可表示为()A．Aeq\o\al(10,100)B．Aeq\o\al(11,100)C．Aeq\o\al(12,100)D．Aeq\o\al(13,100)3．3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为()A．144B．72C．36D．124.eq\f(A\o\al(6,7)－A\o\al(5,6),A\o\al(4,5))＝________.5．用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．1．知识清单：(1)排列数、排列数公式．(2)全排列、阶乘、0！＝1.(3)排列数的应用：排队问题(相邻、不相邻、定序等问题)．2．方法归纳：直接法、优先法、捆绑法、插空法、除阶乘法、间接法．3．常见误区：忽视Aeq\o\al(m,n)中“n，m∈N*”这个条件．1．设m∈N*，且m<15，则Aeq\o\al(6,20－m)等于()A．(20－m)(21－m)(22－m)(23－m)(24－m)(25－m)B．(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)C．(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m)D．(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m)2．已知Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝10，则n的值为()A．4B．5C．6D．73．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有()A．Aeq\o\al(8,8)种B．Aeq\o\al(4,8)种C．Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)种D．2Aeq\o\al(4,4)种4．要从a，b，c，d，e5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是()A．20B．16C．10D．65．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．3×3!B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!6．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)7．高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．8．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)9．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌节目、3个舞蹈节目、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相