3.2.2圆心角、弧、弦的关系2

第1页（共52页）圆心角、弧、弦的关系1．（2016•宝山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．26° B．64° C．52° D．128°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】先利用互余计算出∠B=64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB=∠B=64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=26°，∴∠B=64°，∵CB=CD，∴∠CDB=∠B=64°，∴∠BCD=180°﹣64°﹣64°=52°，∴的度数为52°．故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．2．（2015•巴中模拟）圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（）A．60 B．80 C．100 D．120【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360度进行分析求解．【解答】解：∵内接四边形的对角互补，∴∠A：∠B：∠C：∠D=3：4：6：5设∠A的度数为3x，则∠B，∠C，∠D的度数分别为4x，6x，5x∴3x+4x+6x+5x=360°∴x=20°∴∠D=100°故选C．【点评】本题考查圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360°的理解及运用．3．（2015•鄄城县三模）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD的度数为（）A．27° B．54° C．63° D．36°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】先根据圆周角定理得到∠ACD=∠AOD=27°，然后利用互余求解．【解答】解：∵一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，∴点A、B、C、D都在以AB为直径的圆上，∵点D对应54°，即∠AOD=54°，∴∠ACD=AOD=27°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=63°．故选C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理．4．（2015•玉林二模）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．如果∠BAC=20°，则∠BDC=（）A．80° B．70° C．60° D．50°【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）．【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据∠ACD等于所对的圆周角减去所对的圆周角可得出∠DAC的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：如图，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣20°=70°．根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠B=∠CDB=70°，故选B．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．5．（2015•茂名模拟）如图，已知OA，OB均为⊙O上一点，若∠AOB=80°，则∠ACB=（）A．80° B．70° C．60° D．40°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得，∠AOB=2∠ACB，则结果即可得出．【解答】解：由题意得，∠ACB=∠AOB=×80°=40°．故选D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，重点是圆周角定理的应用．6．（2015•杭州模拟）已知AB是⊙O的直径，弧AC的度数是30°．如果⊙O的直径为4，那么AC2等于（）A． B． C． D．2【考点】圆心角、弧、弦的关系；含30度角的直角三角形；勾股定理．【分析】如图，连接OC．过点C作CD⊥OA于点D．根据圆心角、弧、弦间的关系知∠COD=30°．在直角△COD中，利用勾股定理、30度角所对的直角边是斜边的一半求得线段OD的长度，易求线段AD的长度．所以在直角△ACB中，利用射影定理来求AC2的值．【解答】解：如图，连接OC．过点C作CD⊥OA于点D．∵⊙O的直径为4，∴AB=4，∴OA=OC=2．∵弧AC的度数是30°，∴∠COD=30°，∴CD=1，∴OD==，则AD=2﹣，∵AB是直径，∴∠ACB=90°．∴AC2=AD•AB=（2﹣）×4=8﹣4．故选C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦间的关系，勾股定理以及含30度角的直角三角形．注意，射影定理是在直角三角形中应用．7．（2015•慈溪市一模）下列说法正确的是（）A．同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等B．90°的圆心角所对的弦是直径C．平分弦的直径垂直于这条弦D．三点确定一个圆【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理；圆周角定理；确定圆的条件．【分析】利用等弧和弦的概念，垂径定理以及弧，弦与圆心角之间的关系进行判断．【解答】解：A、弧的度数与所对圆心角的度数相等，所以同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等，故本选项正确；B、90°的圆周角所对的弦是直径，故本选项错误；C、应强调这条弦不是直径，故本选项错误；D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理以及确定圆的条件．熟练掌握相关概念是解题的关键．8．（2015•通州区二模）如图，⊙O中，如果=2，那么（）A．AB=AC B．AB=2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC【考点】圆心角、弧、弦的关系；三角形三边关系．【分析】取弧AB的中等D，连接AD，DB，由已知条件可知AD=BD=AC，在△ADB中由三角形的三边关系可知AD+BD＞AB，即2AC＞AB，问题得解．【解答】解：取弧AB的中点D，连接AD，DB，∵=2，∴AD=BD=AC，在△ADB中由三角形的三边关系可知AD+BD＞AB，∴2AC＞AB，即AB＜2AC，故选C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，题目设计新颖，是一道不错的中考题．9．（2015•河东区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为（）A．25° B．30° C．50° D．65°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】连接CD，先根据直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由等腰三角形的性质得出∠CDB的度数，根据三角形内角和定理求出∠BCD的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出结论．【解答】解：连接CD，∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，∴∠ABC=90°﹣25°=65°，∵BC=CD，∴∠CDB=∠ABC=65°，∴∠BCD=180°﹣∠CDB﹣∠CBD=180°﹣65°﹣65°=50°，∴=50°．故选C．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．10．（2015•奉贤区一模）在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A．相等弦所对的弧相等 B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等 D．相等圆心角所对的弦相等【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断出B、C、D三选项都正确；而同圆或等圆中，同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，所以可判断出A选项错误．【解答】解：A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确．故选A．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．11．（2015•宝山区一模）如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（）A．这两条弦所对的圆心角相等B．这两条线弦所对的弧相等C．这两条弦都被与它垂直的半径平分D．这两条弦所对的弦心距相等【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．【分析】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，但在不同圆中则应另当别论．【解答】解：A、这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误；B、这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误；C、这两条弦都被垂直于弦的半径平分（垂径定理），原说法正确，故本选项正确；D、这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误；故选C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，注意在同圆和等圆这个条件，不要盲目解答．12．（2015•常州模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C、D、E是半圆弧上的点，且弦AC=CD=2，弦DE=EB=，则直径AB的长是（）A．2 B．2 C．3 D．4【考点】圆心角、弧、弦的关系；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】连结CE，过点C作CH⊥DE于H，如图，设半圆O的半径为r，由于AC=CD=2，弦DE=EB=，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC=∠COD，∠DOE=∠BOE，则∠COE=90°，于是可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=r，再根据圆周角定理得∠1=∠DOE，∠2=∠COD，则∠1+∠2=∠COE=45°，于是根据三角形外角性质得∠3=∠1+∠2=45°，所以△CDH为等腰直角三角形，得到CH=DH=CD=，然后在Rt△CHE中根据勾股定理计算出CE=，即有r=，求出r则可得到AB的长．【解答】解：连结CE，过点C作CH⊥DE于H，如图，设半圆O的半径为r，∵AC=CD=2，弦DE=EB=，∴∠AOC=∠COD，∠DOE=∠BOE，∴∠COD+∠DOE=∠AOB=90°，即∠COE=90°，∴△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=r，∵∠1=∠DOE，∠2=∠COD，∴∠1+∠2=∠COE=45°，∴∠3=∠1+∠2=45°，∴△CDH为等腰直角三角形，∴CH=DH=CD=，∴EH=DE+DH=2，在Rt△CHE中，CE===，∴r=，∴r=，∴AB=2r=2．故选A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．13．（2015秋•正定县期末）如图，在⊙O中，已知=，则AC与BD的关系是（）A．AC=BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】由=，得到，于是推出，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．【解答】解：∵=，∴，∴，∴AC=BD．故选A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，正确的理解圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．14．（2015秋•东平县期末）在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为（）A．90° B．145° C．270° D．90°或270°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】利用AB=，OA=OB=1，则AB2=OA2+OB2，根据勾股定理的逆定理得到△AOB为直角三角形，且∠AOB=90°进而得出长度等于的弦所对的弧长有两段，分别求出即可．【解答】解：如图，连接OA、OB；∵在⊙O中，AB=，OA=OB=1，∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB为直角三角形，且∠AOB=90°，即长度等于的弦所对的弧长有两段：一段所对圆心角为90°，另一段所对圆心角为270°，∴长度等于的弦所对的弧的度数为90°或270°．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及圆心角、弧、弦的关系，利用已知得出长度等于的弦所对的弧长有两段，注意不要漏解．15．（2015秋•民勤县期末）如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，若弧DE为40°的弧，则∠BOC=（）A．110° B．80° C．40° D．70°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】连接OE，根据弧、圆心角的关系求出∠DOE的度数，由等腰三角形的性质求出∠ODE的度数，根据平行线的性质得出∠AOC的度数，进而可得出∠BOC的度数．【解答】解：连接OE，∵弧DE为40°的弧，∴∠DOE=40°．∵OD=OE，∴∠ODE==70°．∵弦DE∥AB，∴∠AOC=∠ODE=70°，∴∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣70°=110°．故选A．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．16．（2015秋•荔湾区期末）如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于（）A．100° B．110° C．120° D．135°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．【解答】解：连接OC、OD，∵BC=CD=DA，∴∠COB=∠COD=∠DOA，∵∠COB+∠COD+∠DOA=180°，∴∠COB=∠COD=∠DOA=60°，∴∠BCD=×2（180°﹣60°）=120°．故选C．【点评】本题考查了弧、弦与圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意半圆对的圆心角为180°．17．（2015秋•微山县校级期中）下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个 B．2个 C．1个 D．4个【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆的认识．【分析】①和④、没有前提；②、注意不是直径的弦；③、注意对称轴是直线．【解答】解：①和④、错误，应强调在同圆或等圆中；②、错误，应强调不是直径的弦；③、错误，应强调过圆心的直线才是它的对称轴．故选D．【点评】在叙述命题时注意要强调命题成立的条件．18．（2015秋•台州期中）下列说法正确的是（）A．同弧或等弧所对的圆心角相等B．相等的圆周角所对的弧相等C．弧长相等的弧一定是等弧D．平分弦的直径必垂直于弦【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理；圆周角定理．【分析】根据等弧和同弧的意义即可得出同弧或等弧所对的圆心角相等，即可判断A，举出反例即可判断B、D；根据在同圆或等圆中，弧长相等的弧是等弧，即可判断C．【解答】解：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，故本选项正确；B、如图∠EBF=∠CAD，但是弧EF≠弧CD，故本选项错误；C、在同圆或等圆中，弧长相等的弧是等弧，故本选项错误；D、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，如图，弦AB和直径CD就不垂直，故本选项错误；故选A．【点评】本题考查了对圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．19．（2015秋•诸暨市校级期中）下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等D．圆心到弦的距离相等，则弦相等【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】A，C，D三项一定注意前提“在同圆和等圆中”．否则，错误．【解答】解：A，C，D中没有强调在同圆和等圆中，故错误，只有B正确，故选B．【点评】本题考查了对圆周角定理的理解：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．20．（2015秋•新宾县月考）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB=25°，则∠ADC的度数为（）A．65° B．55° C．60° D．75°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠CAB=25°，得出∠B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得∠ADC的度数．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=25°，∴∠ABC=90°﹣∠CAB=65°，∴∠ADC=∠ABC=65°．故选A．【点评】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．21．（2015秋•邗江区校级月考）已知⊙O中，=2，则弦AB和2CD的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB=2CD C．AB＜2CD D．不能确定【考点】圆心角、弧、弦的关系；三角形三边关系．【分析】如图，取弧AB的中点E，利用=2得到==，则根据圆心角、弧、弦的关系得到AE=BE=CD，再利用三角形三边的关系得AE+BE＞AB，于是有2CD＞AB．【解答】解：如图，取弧AB的中点E，则=，∵=2，∴==，∴AE=BE=CD，∵AE+BE＞AB，∴2CD＞AB．故选C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了三角形三边的关系．22．（2015秋•永嘉县校级月考）如果所在圆的半径为3cm，它所对圆心角的度数是120°，那么的长是（）cm．A．6π B．3π C．2π D．π【考点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算．【分析】根据弧长计算公式，将数值代入计算即可．【解答】解：∵所在圆的半径为3cm，它所对圆心角的度数是120°，∴的长是：=2π．故选C．【点评】本题考查了弧长的计算，掌握弧长计算公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）是解题的关键．23．（2015秋•青海校级月考）下列语句中，正确的有（）A．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴B．平分弦的直径垂直于弦C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等D．长度相等的两条弧相等【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理等知识对各个命题进行分析，从而得到答案．【解答】解：圆的直径是一条线段，而圆的对称轴是一条直线，故A错误；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故B错误；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C正确；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，故D错误；所以正确的结论只有一个．故选C．【点评】本题考查了圆心角、弧的关系以及垂径定理，牢记圆心角、弧的关系，垂径定理等相关知识是解答此题的关键；需要特别注意的是轴对称图形的对称轴是一条直线．24．（2015秋•建湖县校级月考）下列说法正确的是（）A．等弧所对的圆心角相等B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C．经过三点可以作一个圆D．相等的圆心角所对的弧相等【考点】圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、三角形的外接圆和外心的知识进行判断即可．【解答】解：等弧所对的圆心角相等，A正确；三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，B错误；经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C错误；相等的圆心角所对的弧不一定相等，故选：A．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、三角形的外接圆和外心的知识，掌握相关定理并灵活运用是解题的关键．25．（2015秋•杭州校级月考）下列说法正确的是（）A．等弧所对的弦相等B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧C．若抛物线与坐标轴只有一个交点，则b2﹣4ac=0D．相等的圆心角所对的弧相等【考点】圆心角、弧、弦的关系；抛物线与x轴的交点；垂径定理．【分析】由圆心角、弧、弦的关系，可知等弧所对的弦相等；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；注意不要少条件：在同圆或等圆中；抛物线与x标轴只有一个交点，则b2﹣4ac=0；由垂径定理的推论可知：平分（非直径的）弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧．【解答】解：A、等弧所对的弦相等；故本选项正确；B、平分（非直径的）弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧；故本选项错误；C、若抛物线与x标轴只有一个交点，则b2﹣4ac=0；故本选项错误；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故本选项错误．故选A．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理以及抛物线与一元二次方程的关系．注意熟记定理是解此题的关键．26．（2015秋•新北区校级月考）如图，∠AOB=110°，弦AB所对的圆周角为（）A．55° B．55°或70° C．55°或125° D．55°或110°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】首先在优弧AB上取点C，连接BC，AC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，由圆周角定理，即可求得∠C的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠D的度数，继而求得答案．【解答】解：如图，在优弧AB上取点C，连接BC，AC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB=110°，∴∠ACB=∠AOB=55°，∴∠ADB=180°﹣∠ACB=125°．∴弦AB所对的圆周角为：55°或125°．故选C．【点评】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．注意在圆周中，弦所对的圆周角有两类且互补．27．（2014•贵港）如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）A．51° B．56° C．68° D．78°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】由==，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．【解答】解：如图，∵==，∠COD=34°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．又∵OA=OE，∴∠AEO=∠OAE，∴∠AEO=×（180°﹣78°）=51°．故选：A．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．28．（2014•江北区模拟）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（）A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm【考点】圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质．【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为BC=4cm；然后由圆的周长公式进行计算．【解答】解：如图，连接OD、OC．∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，∴==，∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°．又OA=OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA=AD=4cm，∴⊙O的周长=2×4π=8π（cm）．故选：D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定．该题利用“有一内角是60度的等腰三角形为等边三角形”证得△AOD是等边三角形．29．（2013秋•惠山区校级期末）下列语句中正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．平分弦的直径垂直于弦C．长度相等的两条弧是等弧D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．【分析】根据圆、圆心角、弧、弦的相关知识进行解答即可．【解答】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故A错误；B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故B错误；C、在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧；故C错误；D、圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴，故D正确；故选D．【点评】此题涉及的知识点有：圆心角、弧、弦的关系，圆的性质以及垂径定理．30．（2014秋•科尔沁区校级期末）如图所示，正六边形ABCDEF内接于圆O，则∠ADB的度数为（）A．60° B．45° C．30° D．22.5°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】由正六边形ABCDEF，可求出的度数，再得到∠ADB的度数．【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于圆O∴的度数等于360°÷6=60°∴∠ADB=30°故选C．【点评】理解正多边的定义；掌握圆周角定理及其推论．1．（2014秋•新泰市期末）在⊙O中，AB、CD是两条相等的弦，则下列说法中错误的是（）A．AB、CD所对的弧一定相等B．AB、CD所对的圆心角一定相等C．△AOB和△COD能完全重合D．点O到AB、CD的距离一定相等【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据一条弦对两条弧可对A进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对B进行判断；根据三角形全等可对C、D进行判断．【解答】解：A、AB、CD所对的弧对应相等，所以A选项的说法错误；B、AB、CD所对的圆心角一定相等，所以B选项的说法正确；C、△AOB和△COD全等，所以C选项的说法正确；D、点O到AB、CD的距离一定相等，所以D选项的说法正确．故选A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．2．（2014秋•淮北期末）如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据圆心角定理进行判断即可．【解答】解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距相等．故选D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．3．（2014秋•厦门期末）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB=2∠BOC．则下列结论正确的是（）A．AB=2BC B．AB＜2BC C．∠AOB=2∠CAB D．∠ACB=4∠CAB【考点】圆心角、弧、弦的关系；三角形三边关系．【分析】首先取的中点D，连接AD，BD，由∠AOB=2∠BOC，易得AD=BD=BC，继而证得AB＜2BC，又由圆周角定理，可得∠AOB=4∠CAB，∠ACB=∠BOC=2∠CAB．【解答】解：取的中点D，连接AD，BD，∵∠AOB=2∠BOC，∴=2，∴==，∴AD=BD=BC，∵AB＜AD+BD，∴AB＜2BC．故A错误，B正确；∵∠AOB=2∠BOC，∠BOC=2∠CAB，∴∠AOB=4∠CAB；故C错误；∵∠AOB=2∠ACB，∴∠ACB=∠BOC=2∠CAB，故D错误．故选B．【点评】此题考查了弧、弦与圆心角的关系以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．4．（2014秋•江阴市期中）如图所示，小范从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小范第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=48°，则α的度数是（）A．60° B．51° C．48° D．76°【考点】圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质．【分析】连接OD，要求α的度数，只需求出∠AOB的度数，根据已知条件，易证∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度数．【解答】解：连接OD，∵∠BAO=∠CBO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∵∠AOE=48°，∴∠AOB==78°，∴α==51°．故选B．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知，在圆中，半径处处相等，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形等知识是解答此题的关键．5．（2014秋•龙岩校级期中）下列表述不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④半圆是弧；⑤圆内接四边形对角互补．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆的认识；垂径定理；圆内接四边形的性质．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理判断①，根据垂径定理的推论判断②；根据轴对称图形的定义判断③；根据半圆与弧的定义判断④；根据圆内接四边形的性质判断⑤．【解答】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故①表述不正确；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故②表述不正确；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故③表述不正确；④半圆是弧，故④表述正确；⑤圆内接四边形对角互补，故⑤表述正确．故选C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，轴对称图形的定义，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键．6．（2014秋•微山县期中）下列说法不正确的有（）①直径是弦，弦是直径；②长度相等的弧是等弧；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆的认识；圆周角定理．【分析】根据弦、直径的定义对①进行判断；根据等弧的定义对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据圆周角定理对④进行判断．【解答】解：直径是弦，弦不一定是直径，所以①错误；能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以②错误；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③正确；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以④错误．故选C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理．7．（2014秋•亭湖区校级月考）若圆的一条弦把圆分成度数比为1：5的两条弧，则优弧所对的圆心角为（）A．60° B．300° C．30° D．150°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系求出这条弦所对圆心角的度数，再根据圆周角定理得出所分得的优弧所对的圆心角的度数即可．【解答】解：∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，∴AB所对应的圆心角的度数是：360°×=60°，∴所分得的优弧所对的圆心角为：360°﹣60°=300°．故选：B．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点．8．（2014秋•东海县校级月考）一条弦将圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为（）A．30° B．60° C．90° D．120°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】一条弦将圆分成1：3两部分，根据圆心角、弧、弦的关系劣弧所对的圆心角为周角的，然后根据周角的定义计算即可．【解答】解：劣弧所对的圆心角=×360°=90°．故选C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．9．（2014秋•武平县校级月考）如图，A，B是⊙O的直径，C、D在⊙O上，=，若∠DAB=58°，则∠CAB=（）A．20° B．22° C．24° D．26°【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】连结BD，如图，根据直径所对的圆周角为直角得∠ADB=90°，则利用互余可计算出∠ABD=90°﹣∠DAB=32°，再根据圆周角定理得∠DAC=∠ABD=32°，然后计算∠DAB﹣∠DAC即可．【解答】解：连结BD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=90°﹣58°=32°，∵=，∴∠DAC=∠ABD=32°，∴∠CAB=∠DAB﹣∠DAC=58°﹣32°=26°．故选D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理．10．（2014秋•沭阳县校级月考）下列说法正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．圆周角的度数一定等于圆心角度数的一半C．面积相等的圆是等圆D．劣弧一定比优弧短【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】根据等弧的定义，圆周角定理，等圆、优弧与劣弧的定义求解即可求得答案；注意前提条件：在同圆或等圆中不等少．【解答】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧；故本选项错误；B、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．故本选项错误；C、面积相等的圆是等圆；故本选项正确；D、在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短．故本选项错误．故选C．【点评】此题考查了圆周角定理，等弧、等圆以及优弧、劣弧的定义．注意掌握各定理定义的前提条件：在同圆或等圆中是解此题的关键．11．（2014秋•溧水县校级月考）下列说法中，正确的是（）A．同圆中，相等的弦所对的圆周角相等B．同圆中，相等的弧所对的圆心角相等C．圆心角相等，它们所对的弧也相等D．圆心角相等，它们所对的弦也相等【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据圆心角与圆周角的性质求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、同圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故错误；B、同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，故正确；C、在同圆或等圆中，圆心角相等，它们所对的弧也相等，故错误；D、在同圆或等圆中，圆心角相等，它们所对的弦也相等．故错误．故选B．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键．12．（2014秋•安次区校级月考）如图，AB，CD是⊙O的直径，=，若∠AOE=32°，则∠COE的度数是（）A．32° B．60° C．68° D．64°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由=得到∠BOD=∠AOE=32°，然后利用对顶角相等得∠BOD=∠AOC=32°，易得∠COE=64°．【解答】解：∵=，∴∠BOD=∠AOE=32°，∵∠BOD=∠AOC，∴∠AOC=32°∴∠COE=32°+32°=64°．故选D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．13．（2013•内江）如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．4cm【考点】圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE=AF=3cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．【解答】解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质），∴=，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=AC=3（cm），在Rt△DOE中，DE==4（cm），在Rt△ADE中，AD==4（cm）．故选：A．【点评】本题考查了翻折变换及圆的有关计算，涉及圆的题目作弦的弦心距是常见的辅助线之一，注意熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理．14．（2013•台湾）如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若=62°，则的度数为何？（）A．56 B．58 C．60 D．62【考点】圆心角、弧、弦的关系；平行线的性质．【分析】以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，根据平行线求出∠1=∠2，推出弧DC=弧AM=62°，即可求出答案．【解答】解：以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，∵AD∥OC，∴∠1=∠2，∴弧AM=弧DC=62°，∴弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°=56°，故选A．【点评】本题考查了平行线性质，圆周角定理的应用，关键是求出弧AM的度数．15．（2013秋•东昌府区校级期中）已知弧CD是⊙O的一条弧，点A是弧CD的中点，连接AC，CD．则（）A．CD=2AC B．CD＞2AC C．CD＜2AC D．不能确定．【考点】圆心角、弧、弦的关系；三角形三边关系．【分析】首先根据题意画出图形，然后由在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，即可求得AC=AD，然后利用三角形三边关系，即可求得答案．【解答】解：如图，∵点A是弧CD的中点，即=，∴AC=AD，∵CD＜AC+AD，∴CD＜2AC．故选C．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用是解此题的关键，注意掌握两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等定理的应用．16．（2013•湖州校级模拟）如图，△ABC是圆O的内接三角形，且AB≠AC，∠ABC和∠ACB的平分线，分别交圆O于点D，E，且BD=CE，则∠A等于（）A．90° B．60° C．45° D．30°【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】连接AD、BE，求出弧BD=弧CE，推出∠BAD=∠EBC，推出∠CAB=∠ABD+∠ABE，求出∠CAB=∠ABD+∠ACE，根据角平分线性质求出∠ABC+∠ACB=2∠CAB，根据三角形的内角和定理得出3∠CAB=180°，求出即可．【解答】解：连接AD、BE，∵BD=CE∴弧BD=弧CE，∴∠BAD=∠EBC，∵∠BAD=∠CAD+∠CAB，∠EBC=∠ABE+∠ABD+∠CBD，∴∠CAD+∠CAB=∠ABE+∠ABD+∠CBD，∵∠CAD=∠CBD（同圆中，同弧所对的圆周角相等），∴∠CAB=∠ABD+∠ABE，∵∠ABE=∠ACE（同圆中，同弧所对的圆周角相等），∴∠CAB=∠ABD+∠ACE（等量代换）∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB∴∠CAB=（∠ABC+∠ACB）∴∠ABC+∠ACB=2∠CAB∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠CAB+2∠CAB=180°，3∠CAB=180°∴∠CAB=60°．故选B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．17．（2013•保定模拟）如图：AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（）A．= B．= C．= D．EF=GH【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】由AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，根据垂径定理与弦与弧的关系，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：连接EG，AE，∵AB的中垂线CD分别交于C，∴=，故A正确；∵AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，∴=，故B正确；∴四边形EFHG是矩形，∴EF=GH，故D正确．∵AE＞AF=DF，∴AE＞EC，∴＞，故C错误．故选C．【点评】此题考查了弦与弧的关系以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．18．（2013•下关区一模）如图，AD是⊙O的直径，且AD=6，点B、C在⊙O上，=，∠AOB=120°，点E是线段CD的中点，则OE=（）A．1 B． C．3 D．2【考点】圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质．【分析】求出∠DOC=∠AOB=120°，QIUC∠DOC=60°，根据等腰三角形性质求出∠COE=∠DOC=30°，OE⊥DC，在Rt△OEC中解直角三角形求出即可．【解答】解：∵=，∠AOB=120°，∴∠AOC=∠AOB=120°，∴∠DOC=60°，∵PD=OC，E为DC中点，∴∠COE=∠DOC=30°，OE⊥DC，∴在Rt△OEC中，cos30°=，∵OC=AD=×6=3，∴OE=，故选B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形性质，解直角三角形的应用，关键是求出OC长和求出∠COE的度数．19．（2013•武汉模拟）如图表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，且当钟面显示3点时，分针垂直于桌面，分针针尖距桌面的高度为24cm；若此钟面显示3点30分时，分针针尖距桌面的高度为6cm，则钟面显示3点40分时，分针针尖距桌面的高度为（）A．7.5cm B．10.5cm C．6cm D．12cm【考点】圆心角、弧、弦的关系；含30度角的直角三角形．【分析】设分针长为xcm，钟面半径为r，由于当钟面显示3点时，分针垂直于桌面，分针针尖距桌面的高度为24cm；若此钟面显示3点30分时，分针针尖距桌面的高度为6cm，可列出方程组求得分针长为9cm，钟面半径为15，由3点40分时得到∠DOB=60°，作DH⊥OB于H，根据含30度的直角三角形三边的关系得到OH=OD=4.5cm，然后计算BH=OB﹣OH即可．【解答】解：设分针长为xcm，钟面半径为rcm，根据题意得，解得，在右图中，OD=9，OB=15，∠DOB=60°，作DH⊥OB于H，∴OH=OD=4.5cm，∴BH=OB﹣OH=15﹣4.5=10.5（cm）．故选B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量对应相等，那么其他对应的两组量也分别对应相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．20．（2013•奉贤区一模）在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（）A．这两条弦所对的弦心距相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦所对的弧相等D．这两条弦都被垂直于弦的半径平分【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．【分析】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，但在不同圆中则应另当别论．【解答】解：A、这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误；B、这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误；C、这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误；D、这两条弦都被垂直于弦的半径平分（垂径定理），原说法正确，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，注意在同圆和等圆这个条件，不要盲目解答．21．（2013秋•余姚市期末）已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对应的圆心角的度数为（）A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或300°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】AB所对应的圆心角的度数是，就是360度的，据此即可求解．【解答】解：∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，∴AB所对应的圆心角的度数是：360°×=60°．故选C．【点评】本题主要考查了圆周角定理，正确理解弧长的比值等于对应的圆心角的比值是关键．22．（2013秋•长汀县期中）下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆的认识；垂径定理．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理等对每一项进行分析即可求出正确答案．【解答】解：①同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；②平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，故此选项错误；③能重合的弧是等弧，而长度相等的弧不一定能够重合，故此选项错误；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，此选项正确；故正确的有1个，故选：A．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理和圆的有关定理；解题时要注意圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中才能成立．23．（2013秋•丰城市校级期中）下列说法中正确的是（）①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦相等；③两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等；④在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变．A．①③ B．②④ C．①④ D．②③【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据圆心角的定义对①进行判断；根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等对②③④进行判断．【解答】解：圆心角是顶点在圆心的角，所以①正确；在同圆和等圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦相等，所以②错误；③在同圆和等圆中，两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等，所以③错误；在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变，所以④正确．故选C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．24．（2013秋•大城县校级期中）如图，A，B，C，D均为⊙O上的点，且AB=CD，则下列说法不正确的是（）A．∠AOB=∠COD B．∠AOC=∠BOD C．AC=BD D．OC=CD【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】由A，B，C，D均为⊙O上的点，且AB=CD，根据弦与圆心角的关系，即可得∠AOB=∠COD，继而可得∠AOC=∠BOD，则可求得AC=BD．【解答】解：∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，故A正确；∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，故B正确；∴AC=BD，故C正确；∵△OCD不一定是等边三角形，∴OC不一定等于CD，故D错误．故选D．【点评】此题考查了圆心角、弧与弦的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．25．（2013秋•宜城市期中）下列四个命题：①顶点在圆心的角是圆心角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等．其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】圆心角、弧、弦的关系；命题与定理．【分析】由圆心角的定义、弧、弦与圆心角的关系，即可确定答案，注意条件：同圆或等圆中．【解答】解：①顶点在圆心的角是圆心角，正确；②在同圆或等圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；错误；③在同圆或等圆中，两条弦相等，它们所对的弧也相等；错误；④等弧所对的圆心角相等．正确．故选C．【点评】此题考查了圆心角的定义、弧、弦与圆心角的关系．此题比较简单，注意熟记定理与定义是关键．26．（2012•江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（）A．（﹣1，） B．（0，） C．（，0） D．（1，）【考点】圆心角、弧、弦的关系；坐标与图形性质；解直角三角形．【分析】连接OQ、OP，求出∠POQ的度数，得出等边三角形POQ，得出PQ=OQ=OP=2，∠OPQ=∠OQP=60°，求出∠AOQ度数，根据三角形的内角和定理求出∠QAO，求出AQ、OA，即可得出答案．【解答】解：连接OQ、PO，则∠POQ=120°﹣60°=60，∵PO=OQ，∴△POQ是等边三角形，∴PQ=OP=OQ=×4cm=2cm，∠OPQ=∠OQP=60°，∵∠AOQ=90°﹣60°=30°，∴∠QAO=180°﹣60°﹣30°=90°，∴AQ=OQ=1cm，∵在Rt△AOQ中，由勾股定理得：OA==，∴A的坐标是（0，），故选B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形的内角和定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是构造三角形后求出OA的长，主要考查学生分析问题和解决问题的能力．27．（2012•长春校级模拟）如图，弧BE是⊙D的圆周，点C在弧BE上运动（不与B重合），则∠C的取值范围是（）A．0°≤∠C≤45° B．0°＜∠C≤45° C．45°＜∠C＜90° D．45°≤∠C＜90°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】由于是⊙D的圆周，则可计算出∠BDE=90°，再根据等腰三角形的性质由DB=DC，则∠B=∠BCD，于是根据三角形内角和定理得到∠BCD=90°﹣∠BDC，然后根据0≤∠BDC≤90°求∠BCD的取值范围．【解答】解：∵是⊙D的圆周，∴∠BDE=×360°=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴∠C=（180°﹣∠D）=90°﹣∠D，∵0≤∠D≤90°，∴45°≤∠C≤90°，故选D．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．28．（2012•长春校级模拟）如图，圆内接△ABC中，D、E、F是三边的中点，若=，则四边形AEDF的形状是（）A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．等腰梯形【考点】圆心角、弧、弦的关系；三角形中位线定理；菱形的判定．【分析】由圆内接△ABC中，D、E、F是三边的中点，利用三角形中位线的性质，可证得DE∥AC，DF∥AB，即可判定四边形AEDF是平行四边形，又由=，易证得AE=AF，即可判定四边形AEDF的形状是菱形．【解答】解：∵圆内接△ABC中，D、E、F是三边的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵=，∴AB=AC，∴AE=AF，∴四边形AEDF是菱形．故选A．【点评】此题考查了弧与弦的关系、三角形中位线的性质以及菱形的判定．注意在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．29．（2012•荆门模拟）圆中有两条等弦AB=AE，夹角∠A=88°，延长AE到C，使EC=BE，连接BC，如图．则∠ABC的度数是（）A．90° B．80° C．69° D．65°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据题意可得出△ABE、△BEC是等腰三角形，在等腰三角形中先求出∠AEB的度数，然后利用外角的性质可求出∠EBC的度数，继而可得出答案．【解答】解：∵AB=AE，EC=BE，∴∠ABE=∠AEB，∠EBC=∠ACB，又∵∠A=88°，∴∠ABE=∠AEB=46°，∠EBC=∠ACB=∠AEB=23°，∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=69°．故选C．【点评】此题考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解答本题的关键是求出∠ABE及∠EBC的度数，难度一般．30．（2012秋•扬州期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，以C为圆心，以CA的长为半径的圆交AB于点D，则弧AD的度数为（）A．25° B．50° C．45° D．30°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】首先根据直角三角形的两个锐角互余，得到∠A=90°﹣∠B=65°．再根据等边对等角以及三角形的内角和定理得到∠ACD的度数，进一步得到其所对的弧的度数．【解答】解：连接CD．∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°∴∠A=90°﹣∠B=65°．∵CA=CD，∴∠CDA=∠CAD=65°（等边对等角），∴∠ACD=50°即弧AD的度数是50°．故选B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．解题时，综合运用了三角形的内角和定理及其推论，根据同圆的半径相等和等边对等角的性质进行计算．1．已知线段AB是⊙O的弦，点P是优弧上一个动点（P不与A、B重合），直线l是∠APB的平分线．（1）画图并证明：当点P在优弧上运动时，∠APB的平分线l过定点Q；（2）当点P在优弧上运动时，△APQ的面积能否取得最大值，如果能，请用尺规作图确定点P在⊙O上的位置；如果不能，请说明理由．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】（1）由∠APQ=∠BPQ，根据圆周角定理得到弧AQ=弧BQ，即Q为弧AB的中点，为定点；（2）由于AQ为定值，所以当P到AQ的距离最大时，△APQ的面积取得最大值，则过圆心O作AQ的垂线交优弧AB于P点．【解答】证明：（1）如图，∵∠APQ=∠BPQ，∴弧AQ=弧BQ，∴Q为弧AB的中点，即∠APB的平分线过定点Q．（2）能取得最大值．理由如下：∵AQ为定值，∴当P到AQ的距离最大时，△APQ的面积取得最大值，所以过圆心O作AQ的垂线交优弧AB于P点．如图．【点评】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了圆周角定理以及过一点作直线的垂线的方法．2．如图，AB为半圆O的直径，B1，B2，…，Bk是半圆上的k个点，满足BB1=B1B2=…Bk﹣1Bk，对于线段OB1，OB2，…，OBk，AB1，AB2，…，ABk，当k=4时，有两对互相平行的线段；当k取任意大于1的整数时，试探索这2k条线段中有多少对互相平行的线段，写出你的结论：当k取任意大于1的整数时，当k为偶数时，有对互相平行的线段；当k为奇数时，有对互相平行的线段．．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】由BB1=B1B2=…Bk﹣1Bk，得到弧BB1=弧B1B2=…弧Bk﹣1Bk，当k=4时，可得∠B1AO=∠B1=∠B1AB2，得到OB1∥AB2，同理可得OB2∥AB4；当k取任意大于1的整数时，①当k为偶数时，有对互相平行的线段；②当k为奇数时，有对互相平行的线段．【解答】解：∵BB1=B1B2=…Bk﹣1Bk，∵弧BB1=弧B1B2=…弧Bk﹣1Bk，当k=4时，∴∠B1AO=∠B1=∠B1AB2，∴OB1∥AB2，同理可得OB2∥AB4，∴有两对互相平行的线段；当k取任意大于1的整数时，①当k为偶数时，有对互相平行的线段；②当k为奇数时，有对互相平行的线段．故答案为：两；当k为偶数时，有对互相平行的线段，当k为奇数时，有对互相平行的线段．【点评】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了平行线的判定．3．如图，已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB，DC的延长线交圆O于点E，试探究AE的长是否为定值（不随AB长度的变化而变化）？若为定值，求出这个定值；若不为定值，试确定AE与OA长之间的关系．AE=OA=1．【考点】圆心角、弧、弦的关系；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】根据四点共圆的性质得到四边形的对角互补，然后根据等边三角形的内角的度数进一步得到△EAC与△OAB全等进而确定两对应线段的关系．【解答】解：由A、B、D、E四点共圆，∴∠EAB+∠EDB=180°，∵BC=BD，∠BDC=∠BCD，∠BCD+∠ECB=180°，∴∠ECB=∠EAB又∵∠CAB=∠ACB=60°∴∠ECB﹣∠ACB=∠EAB﹣∠CAB，∴∠ECA=∠EAC，∴△EAC是等腰三角形，∵AB=BD，∴∠DEA=∠DOB，∵AC=AB，∴△EAC≌△OAB，∴AE=OA=1．【点评】本题考查了四点共圆、三角形全等的判定及圆心角圆周角之间的关系，解题的关键是利用四点共圆的性质及等腰三角形的性质得到全等三角形，进而确定两线段的关系．4．如图，已知圆内接△ABC中，AB＞AC，D为的中点，DE⊥AB于E，求证：BD2﹣AD2=AB•AC．【考点】圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】在BA上截取BF=CA，连DF，DC，由D为的中点，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到DB=DC，易得△DBF≌△DCA，得到AE=EF，于是有BF=BE﹣EF=BE﹣AE=CA，因此BD2﹣AD2=BE2﹣AE2=（BE+AE）（BE﹣AE）=AB•AC．【解答】证明：在BA上截取BF=CA，连DF，DC，如图，∵D为的中点，∴DB=DC，又∵∠DBF=∠ACD，∴△DBF≌△DCA，∴DF=DA，而DE⊥AB，∴AE=EF，∴BF=BE﹣EF=BE﹣AE=CA，又∵BD2=BE2+DE2，AD2=AE2+DE2，∴BD2﹣AD2=BE2﹣AE2=（BE+AE）（BE﹣AE）=AB•AC，即证．【点评】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了三角形全等的判定与性质和等腰三角形的性质以及勾股定理．5．如图，已知⊙O中，==，OB、OC分别交AC、BD于E、F．求证：△EOF是等腰三角形．【考点】圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的判定．【分析】由于==，根据垂径定理的推论得到OB⊥AC，OC⊥BD，且=，即OE和OE为等弦的弦心距，所以OE=OF，由此可判断△EOF是等腰三角形．【解答】证明：∵==，∴OB⊥AC，OC⊥BD，=，∴OE=OF，∴△EOF是等腰三角形．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．6．如图，以AB为直径的半圆上有C，E，D三点，且OC⊥OD，=，求证：（1）BD=ED；（2）AC+BD＞CD．【考点】圆心角、弧、弦的关系；三角形三边关系．【分析】（1）连接OE，证明∠BOD=∠EOD即可求证；（2）根据AC=CE，DE=BD，在△CDE中，依据三角形的三边关系即可证得．【解答】证明：（1）连接OE．∵OC⊥OD，∴∠AOC+∠BOD=180°﹣∠COD=90°，又∵=，∴∠AOC=∠COE，∠COE+∠EOD=90°，∴∠EOD=∠BOD，∴BD=ED；（2）∵=，∴AC=CE，又∵BD=ED，在△CED中，CE+ED＞CD，∴AC+BD＞CD．【点评】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系以及三角形三边关系定理，证明∠BOD=∠EOD是关键．7．已知：如图，⊙O的两条半径OA⊥OB，C，D是的三等分点，OC，OD分别与AB相交于点E，F．求证：CD=AE=BF．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】由于C、D是弧AB的三等分点，易得∠AOC=∠DOB，又OA=OB=OC，易证得△AOC≌△OCD，可得∠ACO=∠OCD，易知∠AEC=∠OCD，因此∠ACO=∠AEC，即AC=AE=BF．【解答】解：连接AC、BD，∵C，D是的三等分点，∴AC=CD=BD，∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，∴△ACO≌△DCO．∴∠ACO=∠OCD．∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD==75°，∴∠OEF=∠OCD，∴CD∥AB，∴∠AEC=∠OCD，∴∠ACO=∠AEC．故AC=AE，同理，BF=BD．又∵AC=CD=BD∴CD=AE=BF．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识的综合应用能力．8．如图，在⊙O中弦AB⊥CD于点E，过E作AC的垂线交BD于点Q，P为垂足，求证Q为BD的中点．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】在Rt△ACE，Rt△ACE中有∠CEP=∠A，∠DEQ与∠CEP是对顶角，由同弧所对的圆周角相等得∠A=∠D，∴∠DEQ=∠D，∴EQ=QD再根据等角的余角相等得∠QEB=∠B，∴EQ=QB，∴EQ=QD=QB，即Q为BD的中点．【解答】证明：∵AB⊥CD于点E，过E作AC的垂线交BD于点Q，∴三角形ACE、三角形PCE、三角形APE、三角形BED都是直角三角形．∴∠DEQ=∠CEP（对顶角相等）．∠CEP=∠A（同角的余角相等）．又∵∠A=∠D（同弧所对的圆周角相等），∴∠DEQ=∠D，∴EQ=QD（等角对等边）．又∵∠QEB=∠B（等角的余角相等），∴EQ=QB．∴EQ=QD=QB，即Q为BD的中点．【点评】本题利用了直角三角形的性质、同弧所对的圆周角相等、等角的余角相等，等角对等边求解．9．如图，在⊙O中半径OA⊥OB，C，D是的两个三等分点，弦AB分别交OC，OD于E，F点．求证：AE=BF=CD．（提示：连接AC，BD，先证：AC=CD=BD）【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】由于C、D是弧AB的三等分点，易得∠AOC=∠DOB，又OA=OB=OC，易证得△AOC≌△OCD，可得∠ACO=∠OCD，易知∠AEC=∠OCD，因此∠ACO=∠AEC，即AE=BF=CD．【解答】解：连接AC、BD，∵C，D是的三等分点，∴AC=CD=BD，∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，在△ACO与△DCO中，∵∴△ACO≌△DCO（SAS），∴∠ACO=∠OCD．∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD==75°，∴∠OEF=∠OCD，∴CD∥AB，∴∠AEC=∠OCD，∴∠ACO=∠AEC，∴AC=AE，同理，BF=BD．又∵AC=CD=BD，∴AE=BF=CD．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．10．已知如图所示，P为直径AB上一点，EF，CD为过点P的两条弦，且∠DPB=∠EPB；（1）求证：；（2）求证：CE=DF．【考点】圆心角、弧、弦的关系；勾股定理．【分析】（1）根据弧长之间的关系，可证=；（2）由弧CE=弧DF推出CE=DF．【解答】证明：（1）作ON⊥EF，OM⊥CD，∵∠DPB=∠EPB；∴ON=OM，∴CD=EF，∴=，﹣=﹣，即．；；（2）证明：∵∴CE=DF．【点评】本题主要考查圆心角，弧和弦之间的关系．11．如图，在△AOB中，AO=AB，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于D，交AO于点E，AD=OB．试说明，并求∠A的度数．【考点】圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．【分析】设∠A=x，由AD=OB，得DO=DA，所以有∠DOA=x，根据三角形外角性质得∠BDO=2x，因此∠B=2x，由AO=AB，得到∠BOE=∠B=2x，得到∠BOD=2x﹣x=x=∠DOE，所以=．在△OBD中，利用三角形的内角和定理即可求出x．【解答】解：连OD，如图，设∠A=x，∵AD=OB，∴DO=DA，∴∠DOA=x，∴∠BDO=2x，∴∠B=2x，又∵AO=AB，∴∠BOE=∠B=2x，∴∠BOD=2x﹣x=x=∠DOE，∴=，在△OBD中，x+2x+2x=180°，∴x=36°，即∠A=36°．【点评】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了等腰三角形的性质和三角形外角性质以及三角形的内角和定理．12．如图所示，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于D，交AC于E，判断，，之间的大小关系，并说明理由．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】连接OD，OE，由∠B=∠C=60°，易证△BOD与△COE都是等边三角形，可得∠DOE=∠BOD=∠COE=60°，由圆周角定理知，．【解答】解：相等．如右图所示，连接OD，OE，∵OB=OD=OE=OC，∠B=∠C=60°∴△BOD与△COE都是等边三角形∴∠BOD=∠COE=60°∠DOE=180°﹣∠BOD﹣∠COE=60°∴∠DOE=∠BOD=∠COE∴．【点评】本题利用了等边三角形的性质和判定及圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．13．如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D为垂足，E是的中点，求证：∠OAE=∠EAD．（写出两种以上的证明方法）【考点】圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理．【分析】方法一：连接OB，利用同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等即可证明此题．方法二：连接OE，利用垂径定理可得OE⊥BC，再利用AD⊥BC，可得OE∥AD，然后即可证明．【解答】证明：（1）连接OB，则∠AOB=2∠ACB，∠OAB=∠OBA，∵AD⊥BC，∴∠OAB=（180°﹣∠AOB），=90°﹣∠AOB=90°﹣∠ACB=∠DAC，∵E是弧BC的中点，∴∠EAB=∠EAC，∴∠EAO=∠EAB﹣∠OAB=∠EAC﹣∠DAC=∠EAD．（2）连接OE，∵E是的中点，∴弧BE=弧EC，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA=∠EAD，∵OE=OA，∴∠OAE=∠O