辽宁省大连市2024届高三年级下册第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

辽宁省大连市2024届高三下学期第一次模拟考试数学试卷

学校:.姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.已知集合。={123,4,5,6},集合A={1,2,4},B={1,3,5},则BgA=()

A.{2,4}B.{1,6}C.{3,5}D.{1}

2.为评估一种农作物的种植效果，选了“块地作试验田.这"块地的亩产量(单位：

依)分别为XI,X2,…，W,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程

度的是

A.Xl,X2,尤”的平均数B.尤1,尤2,…，X”的标准差

C.尤1,X2,初的最大值D.XI,XI,XW的中位数

22

3.方程上+匕=1表示椭圆，则实数加的取值范围()

4m

A.m>0B.m>4C.0<m<4D.加>0且相。4

4.已知直线4,b,C是三条不同的直线，平面a,B，〃是三个不同的平面，下列命题

正确的是()

A.若a_Lc,b-Lc,贝|a//〃

B.若allb,alia,则blla

C.若1〃a,blla,c±a,且c_LZ?,则c_La

D.若/7_La,yLa,且,y=a,则々_11

5.将ABCDEF六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中分配到同一

所学校，则不同的分配方法共有()

A.12种B.18种C.36种D.54种

,且5cos2a=Vising-

6.若,则tana=()

A.」B.N

c.--D.1

343

33

7.设函数/(x)=sinm+e^-一工十3贝|满足/(x)+/(3—2%)<4的工的取值范围是

()

A.(3,+co)B.(-oo,3)C.(l,+oo)D.(-oo,l)

22

8.设斗鸟是双曲线C:二-多=l(a>0,人>0)的左、右焦点，点A是双曲线C右支

ab

上一点，若△△耳工的内切圆M的半径为a(M为圆心)，且m/leR,使得

AM+30M=%耳£,则双曲线C的离心率为()

A.y/3B.y/5C.2D.2A/5

二、多选题

9.已知i是虚数单位，下列说法正确的是()

A.已知a,b,c,deR,若a>c,b=d,贝!ja+bi>c+M

B.复数4，Z2满足Z1=Z2,则㈤=同

C.复数z满足|z-iHz+i|,则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线

D.复数z满足z(l+i)=|l-后则z=0(cos：-isin：］

10.已知函数/(x)=sin(0x+0)(ty>O,O<9<7t),若且

都有则()

A.>=〃可在(0,1|］单调递减

B.y=的图象关于11,01寸称

C.直线>=-氐+：是一条切线

D.y=〃x)的图象向右平移三个单位长度后得到函数g(x)是偶函数

11.已知函数“X)是定义域为R的可导函数，若〃x+y)=〃x)+〃y)+3Ay(x+y),

且广⑼=一3,则()

A.〃尤)是奇函数B.是减函数

C./(^)=0D.x=l是“X)的极小值点

三、填空题

12.“函数〃同=--sinx是奇函数”的充要条件是实数”.

13.在边长为4的正方形A8CD中，如图1所示，E,F,M分别为BC,CD,BE的中

点，分别沿AE，河及所所在直线把AEB,AFD和EFC折起，使B,C,。三点重

合于点P,得到三棱锥尸-AEF,如图2所示，则三棱锥P-A即外接球的表面积

是；过点M的平面截三棱锥尸-3外接球所得截面的面积的取值范围

是.

试卷第2页，共4页

图1图2

14.已知实数”>。,6>0,且"(a+8b)=4,则a+46的最小值为.

四、解答题

15.如图多面体尸中，面E4B_L面ABC。，_E45为等边三角形，四边形ABC。

3

为正方形，EF//BC,S.EF=-BC=3,H,G分别为CE,C。的中点.

4

⑴证明：BF±AD-,

⑵求平面与平面FG8所成角的余弦值；

AP

⑶作平面尸HG与平面ABC。的交线，记该交线与直线AO交点为尸，写出F的值(不

AD

需要说明理由，保留作图痕迹).

16.己知函数/'(x)=xlnx+«x+l(aeR).

(1)若恒成立，求。的取值范围；

(2)当x>l时，证明：e*lnx>e(x-l).

17.一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球,

现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球.

⑴求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；

(2)停止取球时，记总的抽取次数为X,求X的分布列与数学期望：

(3)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3个小球，其中2

个白球，1个黑球：乙盒装4个小球，其中2个白球，2个黑球.采取不放回的方式先

从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取,

直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或者乙盒小球全部取出后停止.记

这种方案的总抽取次数为匕求丫的数学期望，并从实际意义解释X与y的数学期望的

大小关系.

18.在平面直角坐标系xOy中，点。为坐标原点，已知两点5(-1,-2),点“

满足吃+啊=OAf.+响+2,记点M的轨迹为G.

⑴求曲线G的方程：

(2)若P,C,。为曲线G上的三个动点，/CPD的平分线交x轴于点。(。，0)(。＜-1),

点0到直线PC的距离为1.

(i)若点。为PCD重心，用a表示点尸的坐标；

(ii)若尸QLCD,求a的取值范围.

19.对于数列eN/=l,2,3),定义“T变换”：T将数列A变换成数列

8：4也%,其中4=际「⑷(7=1,2),且4=何-蜀.这种“T变换”记作3=7(A),继

续对数列8进行“T变换”，得到数列C:C”Q,C3,依此类推，当得到的数列各项均为0

时变换结束.

⑴写出数列人3,6,5经过5次叮变换”后得到的数列：

⑵若4,出，内不全相等，判断数列A：%，%%不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；

(3)设数列A2020,2,2024经过七次“T变换”得到的数列各项之和最小，求左的最小

值.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】由补集和交集的定义运算.

【详解】集合。={123,4,5,6},集合A={1,2,4},8={1,3,5},

则6A={3,5,6},有BgA={3,5}.

故选：C

2.B

【详解】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.

点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；

中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；

平均数：反映一组数据的平均水平；

方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平

均数的大小）.在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.

标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度.

3.D

【分析】分焦点在x轴，y轴两种情况讨论，写出机范围即可.

22

【详解】方程土+乙=1表示椭圆，

4m

若焦点在％轴上，4>m>0；

若焦点在y轴上，m>4.

综上：实数加的取值范围是m>0且机。4

故选：D

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算能力，属

于基础题.

4.D

【分析】由空间中直线与平面的位置关系，对各项进行分析即可.

【详解】若b^c,则〃，6可以是平行，也可以是相交或异面，故A错误；

若a〃b,alia,则Z?//a或6ua,故B错误；

若〃〃a,blla,,当。〃万时，不能证明。，。，C选项错误；

若力_L&,yLa,且4y=a,在〃上取一点作PQ_La,

答案第1页，共17页

由面面垂直的性质定理可得PQu夕且PQuy,既。与PQ重合，可得故D正确.

故选：D

5.B

【分析】先平均分组，再利用全排列可求不同分配方法的总数.

r2C2

【详解】将余下四人分成两组，每组两人，有j种分法，

2

故不同的分配方法共有』xA；=18种，

2

故选：B.

6.A

【分析】先利用三角恒等变换公式化简可得cosc+sina=g,结合cos?a+side=1可得

cosa,sina,进而可得tana.

［详解】由5cos2a=A/2sin匕-aJ得5(cos2a-sin?a)=夜下-cosa———sina,

即5(cosa-sincr)(cosa+sina)=cosa-sina,

因为a,所以cosa-sinawO,

所以cosa+sina=g,结合cc^a+sin2a=1,且cosa<O,sina>0,

34

得cosa=--,sincr,

sina4

所以tana=----=——.

cosa3

故选：A.

7.C

【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数ga)=/(x+l)-2,利用奇偶性的定义与导

数说明其奇偶性和单调性，从而将所求转化为g(x-l)vg(2x-2),进而得解.

【详角军】=sin7L¥+e3%-3-e3~3x-x+3,

所以/(x+l)=sin(7Lx+7i)+e3A3_3_e3-3--3-x-1+3

——sinTIX+e'—e"—x+2，

设g(%)=/(九+l)—2=—sin7tx+e3x—e—3x-x,显然定义域为R,g(x-l)=/(x)-2,

答案第2页，共17页

又g(_x)=_sin(_7tx)+e_e-'+x=_(_sinTUC+e3A_e一彳)=一g(*)，

所以g(x)为R上的奇函数，

又g'(x)=-兀cos7tr+3e"+3e-3'-1>-7tcosx+2^3e3x-3e-3x-1=5-兀cosx>0，

所以g(x)在R上单调递增，

又/(x)+〃3-2x)<4,则"(x)-2]+[〃3-2x)-2]<0,

所以g(x-l)+g(2—2x)<0,即g(x—l)<-g(2—2x)=g(2x—2),

所以x—l<2x—2,解得x〉l,

贝IJ满足/(x)+“3—2%)<4的x的取值范围是(1,口).

故选：C.

8.A

【分析】向量坐标化并结合双曲线定义与等面积得|A娟=3c+a,|M|=3c-a,点点距列方程

得A(3a,4a)代入双曲线求出离心率.

【详解】设/(乙，％)，4(/，以)，由对称性不妨设A在第一象限，此时M也在第一象限,

UULlLIULILILILIU

因为AM+3O河=4耳鸟,所以，,一%+3,“=0,%=4坊=4a,

所以5期&=32c4a=((|M|+|A用+2。)@又慎同一M阊=2a,

解得|纯|=3c+a,|盟|=3c-a,耳(一c,。),

所以

XC22211

|^|=7(A+)+^=J®+cj+b[今t]=^exA+2cxA+a==exA+a,

所以|前|=a+%,解得4=3a,所以A(3a,4a),代入双曲线方程得：”一丝t=1,

ab

解得b=6a,c=yja2+b2=-J3a，所以e=?=6.

故选：A

【点睛】关键点点睛:本题考查双曲线的离心率，关键是向量坐标化并充分利用曲线定义确

定A的坐标.

9.BCD

答案第3页，共17页

【分析】根据虚数不能比较大小可知A错误；根据共轨复数的定义可判断B；根据复数的

几何意义可判断C；根据复数的运算法则进行计算，可判断D.

【详解】对A,虚数不能比较大小，可知A错误；

对B,根据共轨复数的定义知，当=时，4=三，

则闾=同，故B正确；

对C因为复数z满足|z-i|=|z+i|,

则复数z在复平面上对应的点到（0,1）,（0,-1）两点间的距离相等，

则复数z在复平面上对应的点为两点构成线段的中垂线，

即z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线，故C正确；

因为z（l+i）=|1-后|=2,

2_2（l-i）2（l-i）

则一百飞+训一厂^^，

兀..兀

又z=V5cos----ism—

44

故D正确,

故选：BCD.

10.BC

【分析】依题意可得了=兀即可求出口，再根据函数的最大值求出。，即可求出函数解析式,

再根据正弦函数的性质判断A、B、D,设切点为%°,sin卜+副］,利用导数的几何意义

求出方,即可判断C.

【详解】对A,因为/（x）=sinOx+e）O〉0,0<e<7i）,所以/（力侬二葭

又/HP闺j且Vx.W都有

所以7==兀，所以7=0=兀，解得0=2,

616Jco

BP/（x）=sin（2x+0）,

答案第4页，共17页

7T7TS1T

所以---(■"=—+2/CK,左£Z,解得(p=一+2kit,keZ,

326

所以9=g571,所以“x)=sin(2x+g],

又

6

”吟5兀时2x+g5兀5兀5兀5兀

G，又丁=5111］在上不单调,

12T'T~6,~3

所以y=/(x)在(。亮

上不单调，故A错误;

7兀sin23+2

对B,因为了=sin2兀=0,

12I126

石_，。］对称，故B正确;

所以，=/(力的图象关于

cos2X+&

对C,因为/'(x)=2，设切点为|毛,sin

I6

则「伉)=2-6,

所以

LLt、1c5兀5兀,r—IXc5715兀c,,一

以2%oH--------F2km,左£Z2%oH---=-----\-2AJI,keZ,

6666

解得飞=E«wZ或％=--+fat,A:eZ,

6

1

又sin+2,

1,即-IV-若与+［《1,解得一旦飞4立,

因为TVsin

262

所以%=0,

即直线>=-后+；是函数〃x)在

°4处的切线，故C正确;

对D,将y=/(x)的图象向右平移;个单位长度后得到

715兀

g(x)=sin2x+一=sin2x+-\,

6I6

显然g(x)是非奇非偶函数，故D错误.

故选：BC

11.ACD

【分析】令无=y=0求出f(0),令》=一》可确定奇偶性，将y当作常数，x作为变量，对

答案第5页，共17页

原式求导，然后可通过赋值，解不等式求单调性及极值.

【详解】令x=y=O,得"0)=0,令》=一%得0="x)+〃r),所以“X)是奇函数,

A正确；

f(x+y)=f(x)+f(y)+3x2y+3xy2,:.f'(x+y)=f'(x)+6yx+3y2

令x=0,"(加-(0)+3V,

2

又・r(O)=-3,.-.r(y)=3y-3,.-./(y)=/-3y+C,

/(O)=O,.-.c=O,.-/(y)=y3-3y,:.f(x)=x3-3x,:.f(^)=O,

令尸(x)=0,:.x=±l,/,(x)>0,x<-l或x>L/'(x)<0,T<x<l

■-f(x)在(-oo,-l)和(1,+oo)上为增函数，/(元)在(-1,1)上为减函数，

；.X=1是/(X)的极小值，故CD正确，B错误.

故选：ACD.

12.0

【分析】结合三角函数奇偶性、幕函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.

【详解】若函数〃£)=改2-sinx是奇函数，

贝!I当且仅当/(无)=内2-sinx=-［。(一尤『一sin(-X)］=-/(-x),

也就是2ax2=0恒成立，从而只能a=0.

故答案为：0.

13.24兀［兀,6兀］

【分析】补体法确定外接球直径进而求得表面积；利用球的截面性质确定面积最值.

【详解】由题意，将三棱锥补形为边长为2,2,4长方体，如图所示：

A,

三棱锥尸-AEF外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径

答案第6页，共17页

（2Z?）2=22+22+42=24,R=屈,

所以三棱锥尸-AEF外接球的表面积为S=4兀友=24兀，

过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心。的大圆,

此时截面圆的面积为兀&=7l（V6）2=671,

最小截面为过点M垂直于球心。与加连线的圆，此时截面圆半径

/=9一°“=,一筲］=肉？=1（其中长度为长方体前后面对角线长度）,

故截面圆的面积为nr2=7t,

所以过点M的平面截三棱锥尸-3的外接球所得截面的面积的取值范围为［兀,6兀］.

故答案为：24兀;［兀,6兀］

14.2A/3

【分析】利用消元法得到。+助的函数关系式，再利用导数讨论其单调性后可求最小值.

4

2

【详解】（Q+4Z?）2=A+8QZ?+16/=Q（Q+8Z?）+16Z?2=—+16〃,

b

设g（b）=j+16〃，其中匕>o,贝1］/（匕）=_百+326=4^_H,

bv7b2b2

当be［。,：1时，g'®<0,当寸，g'®>0,

故g（9在1°，J上为增函数，在&，+s）上为减函数，

故gOL,=gg］=12,此时a=-2+2有>0,

故a+46的最小值为26.

故答案为：26.

15.（1）证明见解析

22

Ap1

⑶而北，作图见解析

【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而证明出线线垂直;

答案第7页，共17页

(2)由面面垂直得到线面垂直，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向

量，进而利用平面法向量求出面面角的余弦值；

(3)作出辅助线，得到线线平行，进而得到结论.

【详解】(1)在正方形ABCD中，ADJ.AB,

；平面平面ABCD,平面E43［平面ABC£)=AB,ADu平面ABCD,

:.AD_L平面又RFu平面E4B,

:.BF±AD;

(2)为等边三角形，设A2中点为。，；.O尸，AB,

又平面平面ABCD,面FA8面ABCD=AS,OFu面£钻，则0尸_1面45。£),

以。为坐标原点，分别以O3,OG,OP为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：

3

因为EB=—BC=3,贝UBC=4,则

4

B（2,0,0）,C（2,4,0）,F（0,0,2V3）,£（0,3,2^）,H^,^,G（0,4,0）,

所以3尸=卜2,0,2百）,20=（0,4,0）,用=1[,一石],尸6=（0,4,-2如），

设平面8CEF的一个法向量为/〃=(%,y,z)

\m-BF=01一2尤+2君z=0

Anr'|m-BC=0^|4y=0取2=1得工=百,y=0,所以根=(也,0,1),

设平面bGH的一个法向量为"="c)

7

nFH=0ClH----b-^c=0取0=若得4=一；,吟，所以〃=［管,金

则n2

nFG=04b-2&=Q

n-m

所以cosn,m=

网,同

答案第8页，共17页

所以平面与BCEF与平面FGH成角的余弦值为区；

22

（3）如图所示：在AD上取一点尸，使得DP=EF,连接FRPG,

因为EF//BC,AD//BC,所以EF//AD,即砂〃DP,

所以跳PD为平行四边形，故EP//ED,

因为H,G分别为CE,CD的中点，所以GH//DE,

取GH11PF,即G,H,P,P共面,

MAP1

故—=-

AD4

16.(1)«>-1

（2）证明见解析

【分析】（1）参变分离，构造函数，求导得到函数的单调性，从而求出最值，得到答案；

（2）法一：在（1）的基础上得到＞1,再构造函数得到e，＞ex,得到

XX

从而得到结论；

法二：即证lru＞呆，构造函数G（无）=依-7,求导后再对分子求导，从而得到函数的

单调性，得到G（x）＞G⑴=0,证明出结论.

【详解】（1）由已知得，-。411«+/在（0,+8）上恒成立，

设g（x）=lnx+±g1x）」--\=^~,

XXXX

g'（x）＞0,解得x＞l,g'（x）＜0,解得0＜彳＜1,

答案第9页，共17页

.,.g(x)在(0,1)上为减函数，在(I,+8)上为增函数，

.•.g(x)Ng⑴=1,即一aWl,

a2-1；

(2)法一：由(1)知42—1时，/(“N0恒成立，

取〃=一1,得lux之二’成立，x=l时取等号.

X

所以当x>l时，e'lru>e'(xT),

X

设/z(x)=e"-ex,/z'(x)=eX-e,故x>1时，

「./?(%)=e"-ex在(1,+。)上为增函数，

.\/2(X)>/z(l)=0,

ex>ex.

所以x>l时，->e,即e'"T>e(xT.

%Xv7

由此可证，当尤>1时，e，lnx>e'°T>e(x-l),结论得证.

X

法二：当X>1时，若证e'lnx>e(x-l)成立.即证:1取>与二，

e"+x~-2x

设G（x）=lnx->，尤>1,GW=-心彳一

xe、i

设〃?（无）=e*T+炉-2无，加（x）=e*T+2x-2=e"T+2（尤-1）,

当x>1时，»/(%)>0,m(x)在(1,+8)上为增函数.

m(x)>m(l)=0,；.G'(x)>0,

・•.G⑺在(,+e)上为增函数,G(x)>G⑴=0,

由此可证，当尤>1时，e'lnx>e(x—l)成立.

【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数

法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的

研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结

合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.

答案第10页，共17页

3

17.（1）—

35

77

⑵分布列见解析，矶乂）=彳

40

（3）E"）=豆，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰

作用己经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低.

【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求A得概率；

（2）先确定X的取值，再就每一个取值的意义结合古典概型的概率公式可求分布列，再利

用公式可求期望.

（3）先确定y的取值，再设甲盒、乙盒抽取次数分别为X、Y2,根据题设得到三者之间的

关系，再结合古典概型的概率公式可求分布.

【详解】（1）设“停止取球时盒中恰好剩3个白球”为事件A,

C；A；A；3

则/(4)=

A；35

（2）X的可能取值为3,4,5,6,

CAA

p(X=3)=与」，P(X=4)=A：+CgA；A：=巧,=5)=344+C4A4A3=2

A735A735A77

CCA；4

p(X=6)=

7

所以X的分布列为

X3456

1424

P

353577

i474?7

X的数学期望矶X）=3x至+4X35+5X]+6X]=*；

（3）¥的可能取值为3,4,5,6,设甲盒、乙盒抽取次数分别为X、y2,

因为乙盒中两种小球个数相同，所以无论甲盒剩余小球什么颜色，乙盒只需取完一种颜色即

可，

p(y=3)=p(1i)p亿=2)=；定=:,

答案第11页，共17页

尸(y=4)=*=1)尸化=3)+尸(耳=2)尸4=2)=；x当生q,

D八4D64?

P(y=5)=P(K=l)P化=4)+尸(X=2)尸(％=3)

1(C；A；A；用)2c_7

A：+氏厂aA；-ii，

p(y=6)=p(K=2)p亿=4)=gp1^+^j

177140

y的数学期望E(y)=3x—+4x—+5x—+6x—=——，

v71891839

在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失,

所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低.

18.(l)/=-4x

⑵(i)尸］—(ii)a<—

.uuluUUUTIUULTzUiruim、

【分析】(1)对|MA+峭=OM.(OA+O8)+2向量坐标化，整理得曲线轨迹方程；

(2)法一：由条件得尸。LCD,结合斜率和重心坐标公式得尸坐标，由角分线意义得

%:二%L1,平方化简得私〃是方程。-北田+2(%-a)卯-伍-4=0的两根，直线

与曲线联立，结合韦达定理求出P坐标，即可求解；法二：由圆切线方程抽方程可知直线收

2%@-

的方程为(X。一。)(%-。)+%丫=1，与圆联立得勺+k=，结合韦达定理得尸坐标,

21-¥

即可求解.

【详解】(1)设点M(x,y),QA(-l,2),3(-l,-2),

ULUUUUULUULlLILIULU

MA=(-l-x,2-y),MB=(-l-x,-2-y),OM=(x,y),OA=(-l,2),OB=(-1,-2)

LlUUULUUUULHULL

即+MB=(-2-2x,—2y),04+08=(-2,0),

lUUIUUUQ[|I------------------------------------------j---------------------------------------

/.\MA+MB\=^(-2-2x)2+(-2y)2=^/4X2+4^2+8X+4,

uuir/uuraim、

.(04+02)+2=(x,(-2,0)+2=-2x+2,

答案第12页，共17页

Iuuwuuutiuuir/uuruun、---------------

Q\MA+MB\=OM-（OA+OB\+2,:.ytl4x2+4y2+Sx+4=-2x+2,

2

化简得曲线G的方程：y=-4x;

⑵(i)解法L：设4看,必),。(%,方)，尸(如％)，尸。为，PCD的角平分线.

Q为，PCD重心...尸。为-PCD的中线，S三线合一可得PQLCD

-4%%

x一再*a

2-----a

4

Q为,PCD重心，%+%+%=。

kpQ,kcD=-1P(a-4,±2J4-a)(1)

设直线PC方程为：x-x0^m(y-y0),直线尸。方程为：x-x0=n(y-y0),

••.PQ是/CPD的平分线，点。到直线PC的距离为1,.,.点Q到直线尸。的距离为1,

.加%[]

■,Vl+m2'

可得（1一y；）"r+2（尤0-a）%”2_（元0_o）2=0

同理（1-尤）“2+2（毛-<2）%”-5-4）2=0,

x-x=m{y-%)联立可得:

0y2+4my+4x-4my=0,

y2--4x00

：•%+%=-4wJi=~4m~y0,同理％=%乂+%=T（〃z+%）—2%,

点。为.PCD重心，，%+%+%=。，即~4（m+w）_%=-42（%_%=0,

、%—1）

8。+1

y0=±y/-8a-1

故点尸的坐标为②

联立①②可得°=F即尸

答案第13页，共17页

（ii）由（i）知机+〃=2（%o

271

.卜二%-X=-4=_4=________2________（3Q-）

・8%—石％+为-4（m+zz）-2y02（x0-a）y0（-4a-l）y0，

QkpQ-，kpQ•kCD=-1,

4

216Q2+4Q—816Q2+4G—8八

...%:----------,/.----------->0

°-4a-9-4a-9

Qa<-1,:.I，"+4。_§.>o等价于-4a-9>0:.a<-—时满足题意.

-4a-94

（i）解法2：

.「PQ是/CPD的平分线，点。到直线PC的距离为L.•.点。到直线尸。的距离为1,

.,・直线PC、PD与圆。《-幻2+/=1相切，

设直线PC、尸。与圆的切点分别为

设直线PC上任意一点坐标为尸（x,y）,则PE.QE=O,可得（西—x,%—力（占一凡％）=0,整

理得口一力（七一°）+%（%7）=0,

结合（%-4+才=1,进一步可得直线PC方程为：（玉-a）（x—a）+yj=l,

同理直线尸。方程为（9一々）（工一。）+为'=1，

因为点尸（4,九）在两条直线上，

所以可知直线£T尸的方程为（不一。）（％-4）+为、=1,

代入圆方程可得：（x-a）2+y2=[（尤o-a）（x-a）+%y]~

即：（1-诉）>2-2（%0+[1-5-a）卜尤-a）2=0

设直线QE的斜率勺=旦，直线。尸的斜率为心=也二，

石_cix?-a

_2

「.（I-1）（4]2y0（x0-a）+l-（x0-a）=0

\\x-ayx-a

即匕+.2%（”叱

答案第14页，共17页

)2=-4%

联立直线尸C与抛物线方程，