2024届山东省九校数学高三年级上册期末达标测试试题含解析

2024届山东省九校数学高三上期末达标测试试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数，一、，6+「，其中。＜人＜4?＜c＜，记函数…；满足条件：｛1,为事件A，则事件A

/（一2）W4

发生的概率为

2.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何

体的表面积是（）

正视图侧视图

俯视图

A.16拒+16乃

B.16后+8》

C.80+16万

D.80+8乃

3.已知正方体AB。-AgCR的棱长为2,点〃为棱的中点，则平面ACM截该正方体的内切球所得截面面

积为（）

4.阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆

2?

柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的一，且球的表面积也是圆柱表面积的二”这

33

一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24乃，则该圆柱的内切球体积为（）

4,1632

A.—71B.16万C.---71D.----71

333

1：

5.曲线_y=§x3+21nx上任意一点处的切线斜率的最小值为（）

3

A.3B.2C.-D.1

2

6.已知函数/(%)=/—3%+5,g(x)=ta—Inx,若对Vxe(O,e),羽e(0,e)且西w々，使得

/（x）=g（xj（i=l,2）,则实数"的取值范围是（）

7.已知复数z满足z=4l—z）,（i为虚数单位），贝！］忖=（）

A.V2B.73C.2D.3

8.在正方体A3CD—A31Gq中，点P、Q分别为A3、AD的中点，过点。作平面戊使用尸〃平面a,4Q〃平

面a若直线平面a=M，则算的值为（）

Mb,

9.某几何体的三视图如图所示（单位：c机），则该几何体的表面积是（）

俯视图

A.8cm2B.12cm°C.(475+2)cm2D.(46+4

033

10.已知函数/(x)=£二，«=/(2-)，b=f(o.2°),c=/(log032),则a,b,c的大小关系为()

e+1

A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

11.已知复数z满足z・i=z+i,则』在复平面上对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

无2v2

12.已知《，居是椭圆C：彳+夫=1(〃>6>0)的左、右焦点，过工的直线交椭圆于RQ两点•若

ab

IQ月I,|尸耳巴",||依次构成等差数列，且|PQI=|P团，则椭圆C的离心率为

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知多项式(x+l)3(x+2)2=x5+aix4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则34=,35=.

14.已知集合A={1,2,4},B={X\X2-2X<0],则AB=.

1,

15.抛物线丁=正/的焦点坐标为.

16.已知函数y=/(x)为R上的奇函数，满足/'(%)>—2.则不等式/(x—1)<*(3—21nx)+3(l—2x)的解集为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=|x-2|+|2x+"z|,(meR).

(1)若加=4时，解不等式/(x)V6；

(2)若关于x的不等式/(x)W|2x—5|在xe[0,2]上有解，求实数僧的取值范围.

18.(12分)设函数,/•(x)=(l+e-2)e，+h；—1(其中xe(0,+s)),且函数f(x)在x=2处的切线与直线

(ez+2)x—y=O平行.

(1)求上的值；

(2)若函数g(x)=-xlnx,求证:/(x)>g(x)恒成立.

19.(12分)已知点尸是抛物线C:y=-必一3的顶点，A.5是。上的两个动点，且PA..

-4

(1)判断点。(0,1)是否在直线A5上？说明理由

(2)设点M是△7^钻的外接圆的圆心，点M到x轴的距离为d,点N(1,O),求d的最大值.

20.(12分)已知在4/3。中，角45C的对边分别为ab,c,且等+等=烈.

(1)求匕的值；

(2)若cosB+小sinB=2,求Q+c的取值范围.

21.(12分)已知函数/(x)=Mn(l+x)-x,g(x)=mx-sinx.

(1)若函数/(%)在(0，+8)上单调递减，且函数g(x)在界]上单调递增，求实数机的值；

(2)求证：(l+sinl)[1+sin——111+sin―——.1+sin--------<e~(neN*，且”22).

'I1x2八2x3/I[n-l)xn

22.(10分)在三棱锥S-48。中，NBAC=WBA=4CA=90RNSAB=45。HSAC=60。,口为梭AB的中点,SA=2

(7)证明：SD1BC\

(〃)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解题分析】

/(2)<12z\4+2b+c<12由图可知，P(A)=1.

由｛/(—2)<4得：4—2匕+c<4,分别以"c为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系,

2、D

【解题分析】

由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为

、4・4立+工乃22+4乃26=8拒+8],故选口.

222

3、A

【解题分析】

根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面ACM的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截

面面积可求.

【题目详解】

如图所示：

设内切球球心为。，。到平面A&0的距离为d,截面圆的半径为厂,

因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为1,

又因为％-AMC=%-AOC，所以—xdxSAMC=S40C，

又因为S=V6,SMOC=1x2^X1=V2,

所以工xdx«=2,所以』=逅

333

所以截面圆的半径r=J12—/=无,所以截面圆的面积为S=

3

故选：A.

【题目点拨】

本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面,

截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.

4、D

【解题分析】

设圆柱的底面半径为厂,则其母线长为/=2r,由圆柱的表面积求出厂,代入圆柱的体积公式求出其体积，结合题中的结论

即可求出该圆柱的内切球体积.

【题目详解】

设圆柱的底面半径为r，则其母线长为1=2r,

因为圆柱的表面积公式为S圆柱表=2»/+2m7,

所以2万厂2+2万厂><2厂=24万,解得r=2,

因为圆柱的体积公式为/柱=Sh=nr-2r,

所以%柱=1义2义23=16%,

2

由题知，圆柱内切球的体积是圆柱体积的,，

所以所求圆柱内切球的体积为

2232乃

V=-VL=-xl6^=—.

3圆w柱33

故选:D

【题目点拨】

本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;

属于中档题.

5、A

【解题分析】

根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率左23,即可得出答案.

【题目详解】

解：由于y=—V+zin%,根据导数的几何意义得：

3

k—/'(%)=x2+—=x2+—+—>=3(%>0),

XXX\XX

即切线斜率％23,

当且仅当％=1等号成立，

13

所以y=§x+21nx上任意一点处的切线斜率的最小值为3.

故选：A.

【题目点拨】

本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.

6,D

【解题分析】

先求出/(力的值域，再利用导数讨论函数g(x)在区间(O,e)上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范

围即可.

【题目详解】

因为8(%)=融一而，故g'(x)=-1，

当aWO时，g'(x)<0,故g(%)在区间(O,e)上单调递减;

当时，g'(x)>0,故g(x)在区间(O,e)上单调递增；

当力时，令/(力=0,解得x=:,

故g(x)在区间1o,J单调递减，在区间[：，,上单调递增.

又g[l=l+/〃a,g(e)=f—l,且当x趋近于零时，g(x)趋近于正无穷；

对函数/(X),当xe(O,e)时，f(x)e2，5；

根据题意，对Vxe(0,e),训e(0,e)且石中々,使得/(x)=g(xj(i=1,2)成立，

只需小。<20心5，

即可得1+山a<U,W—125,

4e

「6八

解得。e-,e4.

萍)

故选：D.

【题目点拨】

本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综

合困难题.

7、A

【解题分析】

z=z(l-z)=l+z,故忖=&,故选A.

8、B

【解题分析】

作出图形，设平面a分别交42、CQi于点E、F,连接OE、DF、EF,取8的中点G,连接PG、QG,

连接AC交用。于点N,推导出gP〃GG,由线面平行的性质定理可得出GG〃DF,可得出点尸为C4的中点,

MD.

同理可得出点E为4。的中点，结合中位线的性质可求得总的值.

JVLD1

【题目详解】

如下图所示：

设平面a分别交AA、GA于点E、F,连接£>E、DF、EF,取CD的中点G,连接PG、QG,连接4G交

4。于点N,

四边形ABC。为正方形，P、G分别为A3、CD的中点，则BP//CG且BP=CG,

■■四边形3CGP为平行四边形，；.PGHBC宣PG=BC,

B.CJIBC且Bg=BC,PGHBG且PG=Bg,则四边形BxCfiP为平行四边形，

B^PUCfi,4P〃平面a,则存在直线au平面a,使得4/7/a,

若GGu平面a,则Ge平面a,又平面£，则COu平面a,

此时，平面a为平面CZJQG，直线AQ不可能与平面a平行，

所以，。［6</平面£,，66〃。，，。16〃平面(/,

GGu平面C。AC1,平面COD[C]平面1=£>F，二。尸〃£G,

C.F//DG,所以，四边形GGDF为平行四边形，可得£石=。6=3。。=3。]。1，

11MD.1

二斤为G2的中点，同理可证E为42的中点，BREF=M,：.MDI=_DIN=_BQ],因此，品='.

故选：B.

【题目点拨】

本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面a与正方体各棱的交点位置，考

查推理能力与计算能力，属于中等题.

9、D

【解题分析】

根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.

【题目详解】

根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为2x2=4.侧面的高为万方=&，所以侧面积为

4x；x2x6=46.所以该几何体的表面积是(4A/5+4)cm2.

故选：D

【题目点拨】

本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.

10、B

【解题分析】

可判断函数/(%)在R上单调递增，且2°3〉l>0.203〉0〉iog032,所以C<b<a.

【题目详解】

03

/(%)=更匚=1—--在R上单调递增，且2°3>1>O.2->0>log032,

ev+1ex+1

所以c<Z?<a.

故选:B

【题目点拨】

本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解

能力.

11、A

【解题分析】

设2=。+方（。力©7?）,由z.i=z+i得：（a+4N=a+S+1"，由复数相等可得。力的值，进而求出即可得解.

【题目详解】

z=a+bi（a,beR）,由z-i=z+i得：（a+4），=a+S+l）i,即出一匕=a+（Z?+l）i,

1

Cl———

-b-a2，则z=：-所以三在复平面对应的点的坐标为（：,：），

由复数相等可得：《…，解之得:

b=-

2

在第一象限.

故选：A.

【题目点拨】

本题考查共甄复数的求法，考查对复数相等的理解，考查复数在复平面对应的点，考查运算能力，属于常考题.

12、D

【解题分析】

如图所示，设1。61」尸区1,口£1,1。£1依次构成等差数列{4},其公差为d.

囚+(%+d)+(q+2d)+(4+3d)=4a2

根据椭圆定义得4+%+/+&=4a,又q+%=/，贝叫/7、c79解得°=二。，

%+(4+4)=4+2d5

%=|兄％.所以。

=|«,a,=ga,%=|aI4|=|fl\PFx\=^a,\PF2\=^a,\PQ\=^a.

+(ga)2-(2c)2

在△尸石乙和.即。中,由余弦定理得cos/片尸乙=,整理解得

2--a--a

55

Cyl05rr.八

-=-——•故选D.

a15

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、164

【解题分析】

只需令x=0,易得as,再由(x+l)3(x+2)2=(x+l尸+2(x+l)4+(x+l)3,可得“4=C；+2C：+C；.

【题目详解】

令x=0,得”5=(0+1)3(0+2)2=4,

而(X+1)3(X+2)2=(X+1)3[(X+1)2+2(X+1)+1]=(X+1)5+2(X+1)4+(X+1)3；

则.4=C；+2C：+C；=5+8+3=16.

故答案为：16,4.

【题目点拨】

本题主要考查了多项式展开中的特定项的求解，可以用赋值法也可以用二项展开的通项公式求解，属于中档题.

14、{1}

【解题分析】

解一元二次不等式化简集合3,再进行集合的交运算，即可得到答案.

【题目详解】

B={x\Q<x<2],A={1,2,4},

AnB={l}.

故答案为：{“.

【题目点拨】

本题考查一元二次不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.

15、(0,3)

【解题分析】

变换得到必=12y,计算焦点得到答案.

【题目详解】

抛物线y的标准方程为必=12>,p=6,所以焦点坐标为(0,3).

故答案为：(0,3)

【题目点拨】

本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.

16、(0,1)

【解题分析】

构造函数g(x)=/(x-l)-x2(3-21nx)-3(l-2x),利用导数判断出函数y=g(尤)的单调性，再将所求不等式变

形为g(力<g⑴，利用函数V=g(尤)的单调性即可得解.

【题目详解】

-^g(x)=-x2(3-21nx)-3(1-2x),则g'(x)=/,(x-l)+4xlnx-4x+6,

设/z(x)=4xlnx—4x+6,贝U//(%)=41nx.

当0<x<l时，〃(x)<0,此时函数y=〃(x)单调递减；当x>l时，〃(x)>0,此时函数y=〃(x)单调递增.

所以，函数y=〃(x)在x=l处取得极小值，也是最小值，即入⑴1mli=/i⑴=2,

/f(x-l)>-2,/i(x)>2,/,(x-l)+/z(x)>0,即g'(x)>0,

所以，函数y=g(x)在(0,+。)上为增函数，

函数y=/(x)为R上的奇函数,则/(0)=0,

g(l)=/(O)-3+3=O,则不等式1)<炉(3-21nx)+3(l—2x)等价于g(x)<g(l),

又.1x>0,解得Ovxvl.

因此，不等式“X-1)<犬(3—21nx)+3(l—2”的解集为(0,1).

故答案为：(0,1).

【题目点拨】

本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键.综合

性较强.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)|——<x<oj>(^2)[—5,3]

【解题分析】

(1)零点分段法，分xW—2,—2<x<2,讨论即可；

(2)当xe[0,2]时，原问题可转化为：存在xe[0,2],使不等式—x—3—3x成立，即

(一》—3)血小根((3-3工1.

【题目详解】

解：（1）若切=4时，|%—2|+12%+4区6,

QO

当xW—2时，原不等式可化为—x+2—2x—4W6,解得,所以——<x<—2,

33

当—2<%<2时，原不等式可化为2—x+2x+4W6,解得了<0,所以—2<x40,

4

当了之2时，原不等式可化为x—2+2X+4W6,解得x<一,所以xe。，

3

综上述：不等式的解集为「

(2)当xe[0,2]时，由/(%)W|2%—5|得2-x+|2%+m快5—2无，

即|2x+〃?区3—无，

^Lx-3<2x+m<3-x^-x-3<m<3-3x,

又由题意知：(-X-3)而°<7〃W(3-3x)1mx,

即一5三加W3,

故加的范围为[-5,3].

【题目点拨】

本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立求参数，考查学生的运算能力，是一道容易题.

18、(1)k=l(2)证明见解析

【解题分析】

(1)求导得到/'(2)=(l+"2)e2+^=e2+2,解得答案.

(2)变形得到(l+e")短>1—x—xlnx,令函数/i(x)=l—x—xlnx,求导得到函数单调区间得到

丸。)<以/2)=1+”2,F(x)>F(0)=(l+e-2),得到证明.

【题目详解】

(1)/'(》)=(1+小2)"+左，f'(2)^(l+e-2)e2+k^e2+2,解得左=1.

(2)/(x)>g(x)得(l+e")e*+x—l>—xlnx,变形得(l+e-2)e*>l—x—xlnx,

令函数/?(x)=l_%_xlnx,h\x)^-2-\nx,令_2—lnx=0解得％=,

当xe(0,e~2)时h\x)>0,xe(e-2,+oo)时h'(x)<0.

二函数/z(x)在(0,"2)上单调递增，在(e-2,+oo)上单调递减，=/z(x)<Me-2)=l+e-2,

而函数砥x)=(l+e-2)/在区间(0,+s)上单调递增，，F(x)>F(0)=(l+e-2),

F(x)>F(0)=(1+e2)>7z(x)=1-x-xlnx,即(l+e2)ex>1-x-x\nx,

即(1+"2)"-1+X〉一—11工，=/(x)>g(x)恒成立.

【题目点拨】

本题考查了根据切线求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.

19、(1)不在，证明见详解；(2)炉型

8

【解题分析】

(1)假设直线方程>=履+6,并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算PA.P5=T，可得3=-1,然后验证可

得结果.

(2)分别计算线段己4,尸3中垂线的方程，然后联立，根据(1)的条件可得点M的轨迹方程丁=2必，然后可得焦

点尸，结合抛物线定义可得MM-d«|N川+：,计算可得结果.

8

【题目详解】

(1)设直线方程丫=履+6,A(^,y1),B(x2,y2)

根据题意可知直线斜率一定存在，P(0,-3)

y=kx+b

贝！]<1=>Y-4依一4(3+b)=0

y=—%-3

I4

XyX2=^(3+/?),芯+x2=4k

A=(-4左y+16〃+48

用=(七,％+3),产豆=(孙力+3)

贝！|以.9=%%2+(弘+3)(%+3)

PA-PB=玉%+%%+3(%+%)+9

22

%为=(村+为(包+b)-kxlx2+kb(x[+x2)+Z?

%+%=kxy+b+kx2+b=k(^xl+x2)+2Z?

1

PAPB=[k+1)王9+(3k+kb^xl+x2^+b~+6b+9

由=T

所以（左~+1）%入2+（3左+%）（玉+%,）+Z?~+6b+9=—4

将可/=T（3+5）,X]+x,=44代入上式

化简可得〃+2人+1=0,所以3=—1

则直线方程为'=日-1,

所以直线过定点（0,—1）,△=（—左）2+16h+48>0

所以可知点D（0,l）不在直线上.

（2）设以国,％）

线段的中点为啜]

线段PB的中点为■，及U]

■y,+3

则直线PA的斜率为kpA=~-，

占

直线PB的斜率为kpB="上

X]

可知线段Q4的中垂线的方程为2二=-一三%—g

2%+312

14x2

由另=:才—3,所以上式化简为丁=---x+^-1

4x~8

4Y2

即线段的中垂线的方程为y=——了％+力—1

玉8

同理可得：

4V2

线段依的中垂线的方程为y=--r九+』-1

x,8

21玉工2（再+九2）

4x2

y=X+--1XM=

x；832

则<n<

石2Xy+x；+再%2—8

y二x+--1

XJ832

由（1）可知：%+w=4匕菁％=Y（3+人）=-8

不冗2（玉+九2）

而1、1X"—32左

所以<=><,,

%,2+x2+XX,-8[y=2K

h=—2—M

即M（忆2/），所以点"轨迹方程为丁=2必

焦点为尸I，；）

1

所以|"N|—d=|脑V|—+-

8

当M,N,b三点共线时，|MN|-d有最大

所以|MN|—d=|MN|―阿巴+,1765+1

H—二----------------

888

【题目点拨】

本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处力，第（2）问中关键在于得到点M的轨迹方程，直

线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.

20、（1）b=~y（2）a+cWg0]

【解题分析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求匕的值，所以可以考虑到根据余弦定理将

cosBcosC分别用边表示，再根据正弦定理可以将黑转化为%于是可以求出b的值；（2）首先根据sm5+由cosB=2求

出角B的值，根据第（D问得到的匕值，可以运用正弦定理求出』/8C外接圆半径R,于是可以将a+c转化为

2RsinA+2RsmC,又因为角B的值已经得到，所以将2Hsin4+2HsmC转化为关于4的正弦型函数表达式，这样就可求出

取值范围；另外本问也可以在求出角5的值后，应用余弦定理及重要不等式a2+c222ac，求出a+c的最大值，当然，

此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件.

试题解析：（1）由等+”?等，

bc3sme

应用余弦定理，可得

2cibc2abc3c

化简得2b=君则b=g

（2）:'cosB+小sinB=2

A/3口r7T

,:5cos3+ysinB=1即sin（/+B）=1

兀

九

兀

所

以

.1(+一

3-^«-6--2-3

法一一2R$=1,

贝！I。+c=sin4+sinC

2冗

=sin4+sm(--A)

3.，木,

=^siix4+ycos^4

=&in(A+》

又：，0</<与■-y<a+c<43

法二

因为b=1由余弦定理匕2=a?+J-2accosB

得：=(a+c)2-Sac,

又因为gT，当且仅当a=c时"=”成立.

所以，0+c)2-3ac“0+或_3®T=住用

"a+c</又由三边关系定理可知a+c>b=5

综上a+ceg布J

考点：1.正、余弦定理；2.正弦型函数求值域；3.重要不等式的应用.

21、(1)1；(2)见解析

【解题分析】

(1)分别求得了(%)与g(x)的导函数，由导函数与单调性关系即可求得加的值;

(2)由⑴可知当尤>0时，ln(l+x)<x,当0<x<］时，sinx<%,因而

—>0,(neN*,n>2｝构造

xn')

(1)

.1+sin-―--,由对数运算及不等式放缩可证明

I(H-1)XHJ_

(]、

1+sin=2--<2f从而不等式可证明.

n-l)xn?n

【题目详解】

(1)I•函数/(九)在(。，+8)上单调递减,