2024届河北省高三年级下册省级联测考试数学试题及答案

2023—2024高三省级联测考试

数学试卷

班级姓名.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合/={xeN|(x+2)(x—1),,0},8={2,3},则Nu5=()

A.{0,l,2,3}B.{0,2,3}C,{1,2,3}D.0

2.已知复数z满足—=+则彳=()

A,受一在iV242.

------------1

222----2

D.-

22

3.将向量刀=(1,1)绕坐标原点。逆时针旋转60°得到无，则方.刀=()

A.lB.-lC.2D.-2

4.已矢口cos[g+a)=《，则sin[£+2a)=(

332323

A.——B.—D.一

25252525

5.已知抛物线/=4x的焦点为歹，准线为/,尸是抛物线上位于第一象限内的一点，过点尸作/的垂线，垂足

为。，若直线。尸的倾斜角为150。，贝抨1=()

41

A.2B.-C.-D.3

33

6.甲、乙、丙、丁4位同学报名参加学校举办的数学建模、物理探究、英语演讲、劳动实践四项活动，每人只能报

其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下，4位同学所报活动各不相同的概率为()

1328

A.—B.—C.-D.一

183299

22

7.已知双曲线C：j-与=1（。>0力>0）的左、右焦点分别为片,过用的直线交双曲线。的右支于P,。

ab

两点，若丽=；丽,且|再［|=］可冏，则双曲线C的离心率为（）

A.2B.4C.6D.3

2

8.设。=ln（l+O.l）/=sinO.l,c=三，则下列大小关系正确的是（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知正数。力满足（。—1）仅-1）=1,则下列选项正确的是（）

A.—I—=1B.—+2b...5

abb

22

C.a+b...4D.a+Z>...8

10.下列说法正确的是（）

17

A.若数据1,3,4,4,m的极差和平均数相等，则根=一

4

B.数据1,3,7,7,9,12,16的第80百分位数为10.5

C.若X〜N（60,52）,则尸（不,60）=0.5

口.若工~514,1）,随机变量y=3X—1,则£（丫）=7

11.如图，在棱长为1的正方体ABC。-ZHCQi中，M,N分别是的中点，P为线段GR上的动

A.存在点P,使得直线尸河与直线NA为异面直线

B.存在点P,使得"NLPN

C,若P为线段CR的中点，则三棱锥P-MNC［与三棱锥CA-MNB体积相等

D.过N,尸三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为空

4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知数列｛%,｝是首项为1,公差为2的等差数列，若%,="+7,则机=.

13.已知圆0:炉+『=2,过点尸（1,3）的直线/交圆O于48两点，且=2,则满足上述条件的一条

直线/的方程为.

14.已知函数f（x）=sin（yx+V3cos（yx（（y>0）,若在区间［0,兀］上有且仅有两个不相等的实数不应，满足

/（七）+/（/）=4,则0的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

记AABC的内角48,C的对边分别为"c，已知V3asin5—bcosA=b-

（1）求/；

（2）若a=2,求b-2c的范围.

16.（本小题满分15分）

2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021—2035年）》,要求深入实施发展新能

源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国.新能源汽车是指采用非常

规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动

方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车.为了了解消费者对不同种类汽车的购买情

况，某车企调查了近期购车的100位车主的性别与购车种类的情况，得到如下数据：

单位：人

购车种类

性别合计

新能源汽车传统燃油汽车

男20

女50

合计30100

(1)补全上面的列联表，并根据小概率值a=0.001的独立性检验，判断购车种类与性别是否有关;

(2)已知该车企的/型号新能源汽车有红、白、黑、蓝四种颜色.现有三个家庭各计划购买一辆/型号新能源汽

车，记购买的汽车颜色相同的家庭个数为求4的分布列与数学期望.

n(ad-be)2

[Z/J-V2—

(

rlJ•/-a+6)(c+d)(Q+c)(Z)+d)，

a0.100.050.0100.001

%2.7063.8416.63510.828

17.(本小题满分15分)

如图，已知平行六面体Z8CD—44GR的棱长均为==

(1)证明：BD1AAX；

(2)延长CCX到E,使C[E=QC,求直线4c与平面BDE所成角的正弦值.

18.(本小题满分17分)

己知函数/(x)=—ae*—sinx—1在区间[0,]]内有唯一极值点玉，其中aeR,e为自然对数的底数.

(1)求实数。的取值范围；

(2)证明：/(x)在区间内有唯一零点.

19.(本小题满分17分)

信息嫡是信息论之父香农(Shannon)定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》

中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息燧”，并给出了计算信息端的

数学表达式：设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,〃仅eN*),且

n

lo

P(X=z)=Pi>0(i=1,2,£口=1,定义x的信息嫡H(X)=一2Pig2Pi-

Z=1Z=1

（1）当〃=1时，计算“（X）；

（2）若p,=1«=1,2,…,〃），判断并证明当〃增大时，》（X）的变化趋势;

n

（3）若"=2加（加eN*）,随机变量y所有可能的取值为1,2,…，加，且

Y

P（=J）=Pj+Pim+\-j（7=1,2,••■,m）,证明：H（X）＞H（Y）.

2023-2024高三省级联测考试数学参考答案

题号1234567891011

答案AABCBCDCACDCDBCD

1.A解析：因为幺={%€可（》+2）（》-1）,,0}={0,1},又8={2,3},所以幺。5={0,1,2,3}.故选A.

［命题意图］本题考查知识点为集合的运算、解不等式，考查了学生的数学运算素养.

.,V2V2（l+i）V2（l+i）V2V2.J2J2

2.A解析：1+1=Vr2,所以z=-=------=---------=-----1----1,所以亍=---------

1-1（l-i）（l+i）22222

故选A.

［命题意图］本题考查知识点为复数的运算、共朝复数的概念，考查了学生的数学运算素养.

3.B解析：因为|况|=71r方=行，且|砺卜VL所以

OAAB=OA（J）B-OA^=OAOB-OA==—1.故选B.

［命题意图］本题考查知识点为平面向量的线性运算，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.

4.C解析：因为sinf——F2a）=sin2f—+=cos2fj=2cos^f—+6Zj—1,所以

.（571）c1，23.小

sin一+a=2x----1=----.故选C.

V6J2525

［命题意图］本题考查知识点为三角函数公式，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.

5.B解析：过点/作尸。的垂线，垂足为〃，则/。£以=60°,设但叫=x,因为|。8|=2,所以

tan600=—,所以》=冬8,所以尸［；,［^］,|尸刈=；+1=；.故选B.

［命题意图］本题考查知识点为抛物线的定义，直线的倾斜角，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.

6.C解析：设幺="甲同学报的活动其他同学不报"，8="4位同学所报活动各不相同”，由题得

〃（Z）=4x3x3x3,〃（48）=4x3x2xl,所以P（川A）=—二T=:、、、=q.故选C.

、/、/〃⑷4x3x3x39

［命题意图］本题考查知识点为条件概率，考查了学生的数学抽象、逻辑推理与数学运算素养.

2c,所以|理|=2a+2c,又走=；网，所以|西|=4c,所以

7.D解析：因为F、F,

(2c)2+(2c)2-(2a+2c了_4c2-Sac-4a2

QFA=2a+4c,在△耳尸与中，cos/F^P=，在△耳绥

2-2c-2c

(4c)2+(2c)2一(2a+4c)2_4c2-16ac-4a2

中，cos/片80=,因为cos/片与尸+cos/Gg。=0,

2-4c-2c16c2

4c2-8a：4tr+4。2-16a：4。一二0,整理得(3c+a)(c—3a)=0,故c=3a,故离心率

所以

8c16c

6=工=3.故选口.

a

［命题意图］本题考查知识点为双曲线的离心率，考查了学生的数学抽象、逻辑推理与数学运算素养.

71

8.C解析：令/(x)=ln(l+x)-sinx|0<x(=,则/'(》)=」——COSX,令

2X+1

g(X)=/'(工)，8'(%)=_^^+situ.当0<x<2时,g'(x)单调递增,

2

1

g'y+sin>0,g，(0)=-1<0

兀,所以存在，使得g'(/)=0,且当xe(Oj)时,

—+1

2

g<x)<0,g(x)=/〈x)单调递减；当时，g'(x)〉0,g(x)=/'(x)单调递增.又

-^>0

r(o)=o,r

,所以存在机，使得/'(机)=0,且当xe(m,^1时,

-+1

2

/'(x)〉0J(x)单调递增；当xe(0,间时，/,(x)<0,/(x)单调递减.又

/(0)=0,/lnfl+—j—1<0,所以当0<x<]时，/(x)<0,即ln(l+x)<511«.当》=0.1时,

则In(1+0.1)<sinO.l,即a<6.令〃(x)=lnx-^^—―(x>V),h'(x]=----^―^=――>0,所

x+1x(x+1)-x(x+1)"

2

以〃(x)〉〃⑴=0,当X=L1时，则lnl.1〉玉，即a>c,故c<a<b.故选C

［命题意图］本题考查知识点为利用导数比较大小，考查了学生的数学抽象、逻辑推理与数学运算素养.

9.ACD解析：对于A,由题可得仍=。+入，即'+'=1,故/正确；对于

ab

B,-+2b=—+2（b-l）+2...2V2+2,当且仅当力=1+交时，等号成立，故3不正确；对于C,

bb-12

ct+b=（a+bj\—|■—|=2+—+—...2+2=4,当且仅当a=Z?=2时，等号成立，故C正确；对于D,

\ab）ab

cr+b2...+—=8,当且仅当a=b=2时，等号成立，故。正确.故选ACD.

22

［命题意图］本题考查知识点为基本不等式，考查了学生的数学抽象、逻辑推理与数学运算素养.

12+加1712+777

10.CD解析：对于A,当加■.S时，m-l=-----解得机=」，当1,,机＜4时，4-1=------------解得

545

12+加

m=3,当加＜1时，4-m=---,无解，故4不正确；对于B,由于7x80%=5.6,所以数据

1,3,7,7,9,12,16的第80百分位数为12,故8不正确；对于C,A^~A＜（60,52）,则P（X”60）=0.5,

故C正确；对于D,若万~814,§＞则E（x）=4x§=『所以随机变量y的期望

E（y）=E（3X—l）=3£（X）—1=8—1=7,故。正确.故选CD.

［命题意图］本题考查知识点为数据的平均数、极差、百分位数以及正态分布、二项分布的计算，考查了学生的数

学抽象、逻辑推理与数学运算素养.

11.BCD解析：对于A,如图，连接幺。1，8&，由正方体的性质知，AB〃CR,所以48，G，R四点

共面，u平面故A不正确；

对于5,如图，设CD的中点为。，连接MQ,PQ,NQ,若P为G。的中点，则尸0，平面48CQ,又

川Vu平面4SCD,所以尸Q'TW,在ANM。中，MN=NQ==^,MQ=1，所以

MN2+NQ2=MQ2,故MNLNQ,又PQcNQ=Q,PQ,NQu平面NPQ,所以上W，平面NP。，

又PNu平面NPQ,所以MNLPN,故8正确；

对于C,如图，取81cl的中点歹，连接P&E以，设4CcBD=0,连接N0,M9,0G，则几何体

PCF-NOM为斜三棱柱,从而Vp_MNc、=(腺GF.NOL：X；X；X；X1=],又

“1,11114TM

V^D=—x1x—x—x—=—,故C正确；

cC1MNB322224

AMB

对于。，如图，因为正方体中心对称（类比为球体，"N看作弦）,故过"N的截面经过正方体的对称中心

时所得截面面积最大，此时截面交棱DR,SB1,81G于中点，P也为中点，取DD1的中点E,的中点

的中点G,连接NE,EP,PF,FG,GM,所以过MN,尸三点的平面截正方体所得截面面积最大

时，截面形状为正六边形，面积为6义更乂彼2=6x吏x^=辿，故。正确.故选BCD.

［命题意图］本题考查知识点为立体几何中线面位置关系，截面面积、锥体体积计算，考查了学生的直观想象、

数学抽象、逻辑推理与数学运算素养.

12.8解析：由题意得a”,=1+2（机—1）=机+7,解得加=8.

［命题意图］本题考查知识点为等差数列的定义，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.

13.x=l（或y=+解析：由题意得圆心0（0,0）,半径r=尸。|=丽〉行，故点P在圆

PB得|尸』=|48|,即2^r2-d2=17lPO|2-d2

O外，设点。到直线/的距离为d,由=2,,即

PA

3亚-/=J10_/，解得d=l，当直线/的斜率不存在时，即x=l,此时d=l,符合题意；当直线/

/、3—左4

的斜率存在时，设直线/的方程为y=kx-l+3,则=1,解得左=—,故直线/的方程为

VF+13

4545

y=—x+—.综上，直线/的方程为》=1或＞=—x+—.

'33'33

［命题意图］本题考查知识点为直线与圆的位置关系，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.

1325n

：令/=GX+],因为的兀，所以

14.，-解析:/(x)=sinox+<%os^x=2sinl6t>x+-11,0”

~663

jrjr57i9132511332255

一„tG7lH---，所以一兀”COTlH----<一兀，解得—,，CO<---,故G的取值范围为

3n3232666666

［命题意图］本题考查知识点为三角函数图象的性质，考查了学生的直观想象、漫辑推理与数学运算素养.

15.解：(1)由正弦定理得，V3sirk4sin5-sinScos^=sin5>

因为8e(0,7r),所以sinfiwO,所以J^sinZ-cosZ=1，则5出12-％

2

兀5兀

因为/£（0,兀），所以4一~6,~6

LLIA兀兀LL.i兀

所以所以/=；.

663

⑵因为；则ic=¥（s®2sm。）,

因为sinB=sin[]+CcosC+—sinC.

2

V3n3..仁711)

所以A—2c=——cosC——sinC=-4sinC——.

22)6

因为用•所以v+篙］•所以Tyr-别，

所以b—2c=—4sine(—4,2),

［命题意图］本题考查知识点为解三角形中的求角和取值范围问题，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.

16.解：⑴

单位：人

购车种类

性别合计

新能源汽车传统燃油汽车

男202040

女501060

合计7030100

零假设"o：购车种类与性别无关,

2100x(20x10-50x20/800

z2=--------------------------乙=—-12.698>10.828=4

40x60x70x3063°-001

根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断不成立，即购车种类与性别有关，此推断犯错误的

概率不大于0.001.

(2)由题得J的可能取值为0,2,3,

A33_1

产信=0)=才=3,0(J=2)==--,

4o4316

所以J的分布列为

023

391

P

81616

39121

因此匕，£(^)=0x-+2x—+3x—=—

V78161616

［命题意图］本题考查知识点为独立性检验、离散型随机变量的分布列及期望，考查了学生的数学抽象、逻辑推

理与数学运算素养.

17.解：(1)证明：如图，连接NC,与交于点O,连接4民4。，4。，

由题意可得，在平行六面体NBC。—中，48=4。，所以80,4。，

因为△48D是等边三角形，所以AD_L/。，又因为幺。八4。=。，所以8Z）_L平面幺国。.

因为4&U平面Z/0,所以80,44「

（2）过点4作44，幺。，垂足为4，由（1）可知，平面幺国。.

因为44<=平面幺国。，所以80,44.

因为NCcRD=。，所以44，平面48CD,

因为三棱锥4-48。为正四面体，所以4为△48。的重心,

则AA?=3；>:=拒,&。=,A&=,3?=V6-

以。为原点，。4。8所在直线分别为x轴，y轴，过点O垂直于底面48CD的直线为2轴，建立如图所示

、(

33

>c-,0,0,By0,—,0,D0,--,0,则44]=卜6,0,灰)

222

77

因为G£=C]C,所以赤=2西=2石=126,0,2灰卜

所以E-----,0,2\/6,

I2)

/7733\

所以m=卜2百,0,-新)，丽=(0,3,0),反=246

7

设平面BDE的法向量为n=(a,b,c),

=0,、产=0,

n-DB=°.所以［孚"+|'+2盾=0,

则〈一令Q=2,则方=2,0,

n-DE

设直线4。与平面BDE所成角为，,

则sin。

所以直线4。与平面BDE所成角的正弦值为变.

9

［命题意图］本题考查知识点为立体几何中的线面关系和利用空间向量解决空间角，考查了学生的直观想象、逻

辑推理与数学运算素养.

18.解：⑴f'(x)=-aex-cosx,当时，cosxe(0,l),

①当a..O时，/'(x)<0J(x)在上单调递减，没有极值点，不合题意；

②当a<0时，>=—。1与了=-05》在上分别单调递增，显然/'(x)在0,鼻上单调递增，

所以/'(0)=—。—1<0,得。〉一1，此时/'(x)在0,3内有唯一零点不，

所以当xe(O,xJ时，/，(x)<0；当时，/,(x)>0,

所以/(x)在内有唯一极小值点玉，符合题意.

综上，实数。的取值范围为(-1,0).

兀3TCI

(2)证明：由⑴知-l<a<0,所以当xe5，万|时,/v)=-«ex-cosx>0,

所以当xe(O,xJ时，/'(x)<OJ(x)单调递减；当时，/'(x)〉OJ(x)单调递增,

所以当x