2024年高三数学1月质检模拟试题（附答案解析）

2024高三数学1月质检模拟试题

一'单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.设集合力={xEN*\-Jx<2},集合3={y\y=x2+2},则力nB=

A.[1,4]B.[2,4]

C.{1,2,3,4}D.{2,3,4）

2.已知复数z满足zi=l+3i（其中i是虚数单位），贝眩的虚部是（）

A.-1B.1C.-iD.i

3.已知直线1的一个方向向量为（2,-3）,且经过点（3,1）,贝股的方程为（）

A.3%+2y—3=0B.3%+2y-11=0C.2%—3y—1=0D.3%+2y+3=0

4.若不等式/—。％+440对任意[1,3]恒成立，则实数。的取值范围为（）

12

A.a>5B.a>4C.a>4D.a>-^-

5.已知椭圆空+y2=i和双曲线/—吟=l（b>0）的公共焦点为F1，F2,在第一象限内的交点为

9/b

P,则时•丽=（）

A.-4B.-6C.-8D.-9

6.将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到4B,C,。四个社区进行暑期社会实践活动，要求每

个社区至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在2社区的不同安排方法数为（）

A.24B.36C.60D.96

7.已知公比不为1的等比数列{&J的前ri项和为Sn,m,r,teN*,记p：Sm,Sr,a为等差数

列；q：对任意自然数k,am+k,ar+k,4+上为等差数列，则p是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

8.在平面直角坐标系xOy中，设a,/?都是锐角，若a,/?,a+/?的始边都与％轴的非负半轴重合，

终边分别与圆光2+y2=1交于点（久「％）,（%2,y2）,（久3,y3）»且满足y2=yi%3，则当£最大时，

加九24的值为（）

A.V2B./C.?D.，

728

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下：

学生甲乙丙T戊

成绩8472806876

则下列结论正确的为

A.这5位同学成绩的中位数是80

B.这5位同学成绩的平均数是76

C.这5位同学成绩的第75百分位数是80

D.若去掉戊的成绩，则剩余四人成绩的方差保持不变

10.已知直线八kx+1+2k—y=0和圆。：%2+y2=8»贝！1（）

A.直线1过定点（一2,1）

B.直线1与圆。有两个交点

C.存在直线/与直线/（）：K—2y+2=0垂直

D.直线/被圆。截得的最短弦长为2金

11.若函数f（无）=abix+?+£,（a片0）既有极大值也有极小值，贝U（）

A.be<0B.ab<0C.b2+Sac>0D.ac<0

12.下列物体，能够被半径为2zn的球体完全容纳的有（）

A.所有棱长均为3m的四面体

B.底面棱长为1m,高为3.6m的正六棱锥

C.底面直径为1.6m,高为3.8巾的圆柱

D.上、下底面的边长分别为Im,2m,高为3?n的正四棱台

三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2/一3x）（2-专尸的展开式中含x的项的系数为.

14.已知向量五，石的夹角为冷，且⑷=4,|瓦=2,则向量五+2石在向量五上的投影向量

为.（用方表示）

15.定义在R上的可导函数〃尢）满足：①"2）=0；②值域为［—1,1］；③对任意久CR,有〃久）+

/（%+2）=0及/（%）=请写出同时满足上述所有条件的一个函数解析式：

f(%)=-

16.如图，在平面凸四边形4BC0中，AADB=90°,CD=1,BC=2,AD=BD,/BCD为钝角,

则对角线AC的最大值为.

四'解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a+b—c)=3ab,且△ABC的

面积为罕

4

(1)求C；

(2)求△ABC周长的最小值.

18.已知数列小｝满足的=g,。3=务且数列｛3%｝是等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前71项和S几.

19.如图，在四棱台力BC7)—4中，已知力DA=DC=2,AB==

1,/-BAD=60°,%D1AD,AB1BD「

(1)证明：Di。_L平面力BCD；

(2)若四棱台ABC。-4隹©。1的体积为务求二面角B-CQ-。的余弦值.

O

设双曲线C：g=l(a>0,b>0)的离心率为百，且顶点到渐近线的距离为毕.已知直

20.

a乙bD

线/过点(0,-1),直线I与双曲线C的左，右两支的交点分别为M,N,直线/与双曲线C的渐近线的

交点为尸，Q,其中点Q在y轴的右侧.设△。“尸，△OPQ,△OQN的面积分别是Si，S2,S3.

(1)求双曲线C的方程；

C

(2)求豆%的取值范围.

21.某公司为激励员工，在年会活动中，该公司的n(nN3)位员工通过摸球游戏抽奖，其游戏规则

为：每位员工前面都有1个暗盒，第1个暗盒里有3个红球与1个白球.其余暗盒里都恰有2个红球

与1个白球，这些球的形状大小都完全相同.第1位员工从第1个暗盒里取出1个球，并将这个球放

入第2个暗盒里，第2位员工再从第2个暗盒里面取出1个球并放入第3个暗盒里，依次类推，第

n-1位员工再从第n-1个暗盒里面取出1个球并放入第n个暗盒里.第n位员工从第n个暗盒中取出1个

球，游戏结束.若某员工取出的球为红球，则该员工获得奖金1000元，否则该员工获得奖金500元.

设第i(l<i<九)位员工获得奖金为Xt元.

(1)求X2=1000的概率；

(2)求X,的数学期望E(X)并指出第几位员工获得奖金额的数学期望最大.

22.已知函数/'(久)=ex+asinx—l(a<0).

(1)若a=-1,求证：当式20时，f(x)>0；

(2)讨论函数g(X)=/(久)+axcosx在区间［0,兀］上的零点个数.

答案解析

L【答案】D

【解析】【解答】解：V%<2,解得0<%<4,所以力=口，2,3,4},B={y\y>2},则ACB=

{2,3,4）.

故答案为：D.

【分析】先求集合4B,再根据集合的交集运算求解即可.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：由zi=l+3i,贝股=坦=3—i,故复数z的虚部为一1.

I

故答案为：A.

【分析】根据复数的除法运算法则化简求得复数z,再根据复数的概念判断即可.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：由直线的方向向量为（2,-3）,可得直线的斜率为k=三，

又因为直线经过点（3,1）,所以直线/的方程为y-l=—|（久—3）,即3x+2y—ll=0.

故答案为：B.

【分析】由直线的方向向量得直线的斜率，再写出直线的点斜式方程化为一般式即可.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：不等式/—ax+4W0对任意xe［1,3］恒成立，

分离参数aNx+金对任意xC［1,3］恒成立，即a2（久+*）max，

又函数y=x+3在久e［1,2］上单调递减，在xe（2,3］上单调递增，

当％=1时，y=l+4=5,当x=3时，丫=3+号=呈5>苧，所以Ymax=5，故a25.

故答案为：A.

【分析】原不等式恒成立，分离参数转化为（久+令加蟆〈。对任意xe［1,3］恒成立，求出

（久+3=5,即可求得实数a的取值范围.

Xmax

5.【答案】B

【解析】【解答】解：由椭圆务y2=1可得焦点%（—2鱼，0）,尸2（2伉0）,

I&F2I=2c=2V9-1=4V2,

由椭圆和双曲线的定义,有嚅丁器M，解得噫I：；,

U产白11一I尸六21-乙(I尸白21=乙

则两-M=|PF1|-|PF2|-cos乙F1PF2=|PF1|-|PF2|•=-6.

故答案为：B.

【分析】由椭圆的方程可得焦点坐标，求得|6尸2|,再由椭圆和双曲线的定义，求出IPF1I，\PF2\，

最后利用向量数量积的定义结合余弦定理求西■丽.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：①4社区只有甲，另4人安排在3个社区，则有功用=36中不同安排方法；

②4社区除了甲还有另一个志愿者，有以第=24种不同的安排方法；

故甲恰好被安排在A社区有36+24=60种不同安排方法.

故答案为：C.

【分析】分A社区只有甲自己和4社区除了甲还有另一名志愿者两种类型，再利用分类加法计数原理

结合排列组合知识求解即可.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：由命题p：Sm,ST，St成等差数列，贝吃5「=SM+S1又数列｛时｝为等比数

列，且公比不为1,所以2X叼M，)=。式；二;吗+旬普，整理可得2qr=qM+/；

m+k

又命题q：am+k,Qr+k，4+九成等差数列，贝！)2。丁+上=am+k+at+k,即2al必+"=arq+

t+k

arq,整理得到2q，=q加+qt所以p是q的充要条件.

故答案为：C.

【分析】根据条件得出命题p,q均等价于2必=9优+/，再根据充分条件和必要条件的判断方法判

断即可.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：根据单位圆中三角函数的定义，y2=sin^,y】=sina,%3=cos(a+S),由

y2=当叼，则由九夕=sinacos^a+0),即sin[(a+/?)-a]=sinacos^a+B)，

则有sin(a+8)cosa=2sinacos(a+0),得tcm(a+0)=2tana,

=.Ka+6)一可=<晶=景当且仅当tana=乎时等号成立，

42L

因为6是锐角，所以当6最大时，汝力？=?，则位n26-2ta珅—工—以1

Ntan邛-i_mn20--7'

8

故答案为：B.

【分析】根据单位圆三角函数的定义，结合丫2=当久3，有sin/?=sinacos(a+。)，再利用两角差的

正弦公式化简得taMa+/?)=2t<ma,由两角差的正切公式结合基本不等式求tanf的最大值，再由

倍角公式求的值即可.

9.【答案】B,C

【解析】【解答】解：甲、乙、丙、丁、戊5位同学的成绩从小到大排列68,72,76,80,84,

A、根据5位同学的成绩排序，可知这5位同学成绩的中位数为76,故A错误；

B、这5位同学成绩的平均数为68+72+^+80+84=为故B正确；

C、5X75%=3.75,第75百分位数应为第4个数80,故C正确；

22222

D、5位同学的成绩方差为(68-76)/+(72—76)Z+(76「76)Z+(80—76)Z+(84—76)"=32)

2222

若去掉戊的成绩，剩下4个人的成绩方差为(68-76)+(72—76)+(80-76)+(84-76)=4,故D

4

错误.

故答案为：BC.

【分析】先将5位同学的成绩排序，再根据中位数，平均数和百分位数的定义进行判断ABC；计算

出去掉戊的成绩的方差和不去掉戊的成绩的方差，比较后得到结论判断D选项.

10.【答案】A,B,C

【解析】【解答】已知直线Akx+1+2k—y=0和圆。：x2+y2—8-

对于A,由直线1：/cc+l+2k—y=0可得直线/：久久+2)+1-y=0,所以

所以所以直线/过定点(_2,1),所以A对；

对于B,由圆。：/+y2=8得出圆心0(0,0),半径r为2VL设选项A中定点为D(-2,1),

因为(一2/+好=5<8,所以定点D在圆。内，而直线1恒过定点D,所以直线1与圆。相交，

所以直线/与圆。有两个交点，所以B对；

对于C,因为直线/()：£—2y+2=0,所以直线卜的斜率为。所以与直线L：x—2y+2=0

-11

垂直的直线/的斜率为比=亚=一1=一2,而直线/：kx+l+2k-y^0,所以其斜率为k,

’02

所以k=-2,所以存在直线/与直线石：％-2y+2=0垂直，所以c对；

对于D,因为直线1恒过定点D(-2,1),所以圆心到直线1的最大距离为|0川=逐,

此时直线1被圆O截得的弦长最短为2加二不=2小,所以D错.

故答案为：ABC.

【分析】利用直线的方程求定点可判断出选项A；利用直线恒过定点在圆内可判断出选项B；利用

两直线的垂直关系与斜率的关系判断出选项C；利用弦长公式判断出选项D,从而找出正确的选项.

11.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：函数/（久）=a仇x+，+/，（a。0）的定义域为（0，+8）,f（X）=与_—

2

2c=ax-bx-2ct因为函数/（久）既有极大值也有极小值，所以广（%）在（0,+8）内有两个不相等的实

数根，即方程a/一b%-2c=0（aW0）在（0,+oo）内有两个不相等的实数根，

4=/+8ac>0

b

设两根分别为％1，x2,贝>b%1+%2=万>°,即ac<0、ab>0同号，从而be<0.

[久1%2=一年>0

故答案为：ACD.

【分析】先求函数的定义域，求导，问题转化为二次函数的零点分布问题，进一步由判别式、韦达

定理求解判断即可.

12.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：A、设四面体4BCD的外接球的球心为。，顶点在底面的射影为E,外接球的半

径为rm,贝1JCE=净x*x3=V3m>AE-y/AC2—CE2=V9—3=y[6m>

因为。。2=。唠+。产，所以「2=3+（遥—r）2,解得「=等<2，故A正确；

B

B、底面棱长为的正六棱锥的底面外接圆的半径为1m,外接球的半径为2m，设球心到底面的距

离为hm,则由球的性质可知22=仔+总解得h=百或％=-V3（舍去），此时正六棱锥的高的最

大值为2+/i=2+V3«3.732>3.6,故B正确；

C、圆柱的底面半径为0.8m,高的一半为1.9m,设其外接球的半径为Rm,

所以R=V0.82+1.92=V425>2,故C错误;

D、正四棱台中，上底面的对角线长为遮加，上底面外接圆的半径长为苧血，下底面的对角线长为

2V2m,下底面外接圆的半径长为四加，易知外接球的球心在正四棱台的上、下底面中心的连线上,

且在上底面的下方，设球心到上底面的距离为dm(d<3),球的半径为tm,当球心在两底面之间

时，球心到下底面的距离为(3—d)m,贝“胪+得,解得d=1.75<3,

符合题意;

1(3-4+(遮>=产

当球心在下底面上或下方时，球心到下底面的距离为(d-3)m(d>3),

则・心+四,解得d=1.75<3,不符合题意，故D正确.

、(d-3)2+(V2)2=t2

故答案为：ABD.

【分析】求出正四面体外接球的半径，将此半径与所给球的半径比较大小即可判断A；可假设正六

棱锥的外接球半径为2m,底面棱长为1m,求出此时正六棱锥的高，将求出的高与所给高进行比较

可判断B；求出底面直径为1.6m,高为3.8cm的圆柱外接球的半径可判断C；求出上、下底面的边长

分别为lm,2m,外接球的半径为2cm正四棱台的高可判断D.

13.【答案】960

7

【解析】【解答】解：(2—之)的展开式的通项为苒+1=G27—r(-l)r%一三故当丁=0,2,

可得(2/一3x)(2-2)7的展开式中含％的项的系数为：(一3)xC)x27+2x禺X25=-384+

1344=960.

故答案为：960.

【分析】利用二项展开式的通项公式分析运算求解即可.

14.【答案】|a

【解析】【解答】B夹角为半同=4,\b\=2

(a+2b)-a=\a\2+2|a||b|cos^=42+2x4x2x^=24,

aa3

24X_-T

••.所以向量五+2石在向量M方向上的投影向量为回萨同--a

42

故答案为：l-a.

【分析】先计算向量2+2后与向量a的数量积，再代入投影向量公式中，即可得出答案.

15.【答案】sin^x(答案不唯一)

【解析】【解答】解：因为/'(%)的值域为[一1,1],所以可设/'CO=sin(3%+R),

又/(久)+f(x+2)=0,则JQ+2)=-/(%),

所以/(%+4)=-f(x+2)=/(X),则f(x)的周期为4,

所以3=与则/(%)=sin(^x+cp),

又/(2)=sin(n+0)=0,则兀+(p=kn,kEZ,取@=0,

所以fQ)=sin^x,则/(%)=3cos,％,

又/(4—%)=geos匿(4—x)]=*COS(2TT—^-x)=£cos打=/(%),

即满足/(久)=/(4-x)，所以/(%)=sin^x.

故答案为：sin^x(答案不唯一).

【分析】根据/(%)的值域为[-1,1],设/(%)=sin(cox+(p),再由/(%)+/(%+2)=0得到/(%)的

周期为4,从而/(%)=s讥6%+R),再由/(2)=SE(TT+R)=0求解.

16.【答案】2+V2/V2+2

【解析】【解答】解：设NBCD=a,乙BDC=B，由正弦定理可得：黑=岛，

则3。•sin/?=2sina,BD2=1+4—2x2cosa=5—4cosa,

在中，利用余弦定理可得4c2=AD2+CD2-2AD-CD-cosg+')

=5—4cosa+1+2BD•CD•sin(^=5—4cosa+1+4sina

=6+4V^sin(a—$<6+4V2=(2+V2)2,当且仅当a=当时等号成立，

所以AC<2+V2.

故答案为：2+&//+2.

【分析】设立BCO=a,乙BDC=0,利用余弦定理表示出可得40,结合正弦定理找到与

s讥NBDC的关系，进而表示出AC,结合三角函数运算求解即可.

17.【答案】(1)解：由(a+b+c)(a+b—c)=3ab,得次+fo2+2ab—c2=3ab，

即a2+廿一°2=ab，贝Lose=02=工

2ab2

jr

由CG(0,7T),得C=1

(2)解：S2ABC~aabsin。=^-ab=百"得ab=3,

由余弦定理，有c?=cz2+b2-2abeosC-a2+b2—ab，得c=Va2+b2—ab>

△ZBC周长I=a+b+yja2+b2-ab>2y[ab+72ab-ab=2A/3+A/3=3百，

当且仅当a=b=旧时取等号，所以△ABC周长的最小值为3遮.

【解析】【分析】（1）根据题意，结合余弦定理求出cosC,即可求得角C的值；

（2）根据△ABC的面积求得ab=3,再由余弦定理得c=7a2+b2—ab，最后利用基本不等式求小

4BC周长的最小值即可.

18.【答案】（1）解：因为数列｛3%工是等差数列，记其公差为d,

则有d=3、3叼=27X1—1=2,

所以3n即=l+2（n-l）=2n-l,

所以即=竽；

/八、左力。1.3.5,.2n—3.2n—1

（2）斛：S九=3+/+.+…+^y+^-，

同工S=—+-+271-5+2n-32n-1

71n

则3九§2十3?十十3T十3十3九十「

21九一1

则212222n-l_lg[l-（3）12n-l

人与5„一§+/+豆+…+旷萍+—弓-----^+T

_22n+2

=可一^¥7，

所以％=1-

【解析】【分析】（1）由数列｛3九n｝是等差数列，记其公差为d,根据等差数列性质计算即可求解；

（2）由（1）先表示Sn,再利用错位相减法求和即可.

19.【答案】（1）解：在四边形ZBCD中，vAD=2,AB=1,ABAD=60%

：.BD=J4+1-2X2X1=V3,AB2+BD2=AD2,4B1BD，

XvAB1BD1,BDCBDLB,BD,u/顺叫AB1平面幽0,DD、u面BD、D,

AB1叫

又；DrD1AD,ABCtADA,AB,ADru平面ABCDDD1，平面ABC。；

_(l+2)xV3_3V31

(2)解:s

四边形ABCD~2—2

_13/33/3

S四边形A\B\C\D[=4X2=8

TZ_1,3乃，3，3乐3同nn21_nn_r-

:・V四棱台=3-(―+丁+1丁X-g-)DDi=-g-DDi=V3>

如图建系，

B(V3,0,0),C(0,2,0),6(0,1,V3),D(0,0,0),

BC=(-V3,2,0),CQ=(0,-1,V3);设平面BCCi的一个法向量汨=(K，y,z)

%•BC=0f-V3x+2y=0一后.、

•••{i-n%=(2,73,1)

城.CG=0I-y+V3z=0

平面CC1。的一个法向量五=(1,0,0),设二面角B—CC1—D的平面角为e,

显然6为锐角，:COS。=[1^[=-^-j==孝.

\ni\-\n2\2/22

【解析】【分析】(1)根据已知条件推出ABIB。，ABIDDr,根据线面垂直的判定定理即可证明；

(2)建立空间直角坐标系，根据四棱台ABCD-&B1C1A的体积写出各点坐标，利用空间向量计算

二面角B-CQ—D的余弦值即可.

20.【答案】(1)解：由题意可得双曲线C：胃一号=1(Q>0,6>0)的一条渐近线方程为云一

*b乙

ay=0,

离心率为百，贝哈=百，

Clb

顶点到渐近线的距离为Q竽，不_妨取顶点(Q,0)，则丁瓦二2丁AZ6，

qaru

即得弛=孚，故b=2a,结合a2+d=c2,

c3

解得=4

故双曲线C的方程为耳一萼=1；

48

（2）解：由题意得5]工3=

直线1的斜率存在，设直线/的方程为y=/cc—1,设MQi，yQ,Ng,%），

由｛2::=1，得(2_卜2)%2+2-一9=0,

'/。2

则JA=4k2+36(2-/)>0,即得<卜<伤

3<0

<2—k

,2k9

贝ni！lJ%i+%2=F—，亚工2=F-,

r-2r-2

22xx2—2

旦|MN|=V1+/c-I%!—X2|=V1+/c.7(l+2)4xt%2=V1+/c.

2网9-4/,

=V1+/c2•

2-k2

(y=kx-1__,o

由_y2=0，得zn(2-fc2)x2+2/cx-l=0,4=41+4(2-1Q)=8>0,

e.2k1

贝！J%p+xQ=-2—,xPxQ=f-,

k—2k-2

22

得|PQI=V1+fc•^/(xp+xQy—4XPXQ=V1+/c-2q,

'2-k

S2_\PQ\_\PQ\1

故S1+S3-\PM\+\QN\—\MN\-\PQ\\MN\_

WT

而—/<k<鱼,状机=内—4k2e(1,3],；•sjsseg，+8).

【解析】【分析】（1）先求出双曲线的方程求得渐进线，根据双曲线的离心率以及顶点根据已知条件

列式计算，求出b,a?的值，即可求得双曲线的方程；

（2）由题意得S]Sjs3=|pj片JQN「设直线Z的方程为丫=kx-1,设月），N（久2，丫2），联立

直线和双曲线的方程，结合韦达定理表示弦长|MN|,再联立直线和渐近线方程求得|PQ|,即可得

|pj任=疏罔PQ|的表达式，结合参数范围，即可求解・

2L【答案】(1)解：X2=1000的情形为第2位员工从第2个盒子中摸出红球，包括两种情况:

①第1位员工从从第1个盒子中摸出红球放入第2个盒子后第2位员工摸出红球；

②第1位员工从从第1个盒子中摸出白球放入第2个盒子后第2位员工摸出红球.

故X2=1000的概率为：P(X2=1000)=+=

(2)解：设第i位员工取出红球的概率为Pj.则有Pi+1=*Pj+/(l—Pj)=〃Pj+；,

即：Pi+1_I_I)'且

故｛Pi-1｝组成首项为办公比为上的等比数列.

=n(»T=IG'即Pi=I+2G)'

第i位员工取出白球的概率为1—B

易知X的所有可能取值为1000,500,则X的分布列如下：

Xi1000500