奥数拓展第八讲：数与形-数学2024五年级上册含答案

奥数拓展：数与形-数学2024五年级上册

一、选择题

'••••••••••••••••••

1+2+32+3+43+4+54+5+6

第5个点阵有（）个点。

A.16B.18C.21

2.在2022年元旦联欢会上，五（1）班举行了用火柴棒摆"金鱼"比赛。按照下面的规律摆下去，摆8条"金

鱼”需要（）根火柴棒。

3.用黑白两颜色的正六边形地面砖按如右图所示的规律拼成若干个图案:

第1个第2个第3个

像这样继续摆下去，摆第n幅图案共用（）个白色地面砖。

A.6nB.4n-lC.l+4nD.2+4n

4.按照下面的规律摆图形，第n幅图需要小棒（）根。

□।।।1111•…”

D宜施

A.4nB.4+3nC.3〃+1D.2n+2

5.摆一个三角形用3根小棒，增加1个三角形，多用2根小棒。摆a个三角形共用（）根小棒。

AA7AAA7V-

A.3+2aB.2a+lC.l+3a

6.如下图，淘气用小棒摆图形，他摆一个五边形用了5根小棒，摆2个五边形用了9根小棒.…，照这样摆

下去，摆n个五边形需要（）根小棒。

A.5nB.4nC.5n-lD.4n+l

二、填空题

7.…笑笑像这样摆10个Ti,需要（）根小棒。

8.如下表所示，用若干个相同的小正方体摆在一起，按照这样的摆法，请完成下表。

正方体个数1234n(n>3)

尸□

图形g且.

露在外面小正方形的个数5913()()

9.观察下面每个图中圆的排列规律，再填空。

1=1*11+3=4=2、214-3+5=9=3x31+3+5+7=16=4*4

1+3+54-7+9+11+13=()=(冈

10.先观察下列图形的规律，再填空。

11+31+3+D1+3+□+□

第8个图形由（）个小三角形组成的。

11.如下图是用棋子摆成的"上"字，如果照这样的规律摆下去，摆第5个"上"字需要（）枚棋子，摆

第20个"上"需要（）枚棋子，126枚棋子摆的是第（）个"上"字。

12.填一填。

⑴观察下面每个图形中小正方形的排列规律，并填空。

南I

l+2+l=4=2x2

1+24-3+2+1=9=3x3

1+2+3+4+3+2+1=（）=（）x（）

⑵根据发现的规律，计算1+2+3+4+...+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1=（）。

13.一列分数：［、:、；、:、:…，按规律，:是这列分数中的第（）个。

23344458

14.下面是按照一定规律画出的一列"树型"图。

经观察可以发现：图（2）比图（1）多出2个"树枝"，图（3）比图（2）多出5个"树枝"，图（4）比图（3）

多出10个“树枝"，照此规律，图（7）比图（6）多出（）个“树枝"。

三、解答题

15.如果每个正方形的边长均为3厘米，那么如下图搭6层后图形的周长是多少？如果搭20层，那么周长

又是多少呢？

（1）根据摆放规律完成。

桌子张数12347

可坐人数()()()()()

（2）按照上面的摆放规律，28人聚餐，应摆放多少张桌子?

17.用小棒按照下图中的方式摆图形。

（1）摆1个八边形需要多少根小棒？摆2个呢？摆3个呢？

（2）照这样摆下去，摆20个八边形需要多少根小棒？

（3）295根小棒可以摆多少个八边形？

18.按下图中的方式摆放三角形积木，如果最下层放21块，那么共需放几层?

19.淘气和笑笑用小棒按下图的顺序摆八边形。

OOOOCOCCCO

(1)根据上图填表。

八边形的数量12345n

小棒的数量81522()()()

(2)如果摆成7个八边形，需要()根小棒。

(3)当n=20时，需要多少根小棒？用85根小棒能摆多少个八边形?

20•点阵中的规律。

第1个第2个第3个第4个第5个

2x12x22x3()()

(1)请画出后面的图形并填空。

(2)想一想，第12个图形一共有()个点。

(3)是否存在某个图形有62个点，若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说明理由。

参考答案:

1.B

【分析】观察可知，点阵有3行，下边1行比上边1行多1个点，第几个点阵就从几开始依次3个数相加，

据此分析。

【详解】5+6+7=18（个）

第5个点阵有18个点。

故答案为：B

【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。

2.A

【分析】通过观察，一个"金鱼"用2+6=8（根）火柴棒，两个"金鱼"用2+6+6=14（根）火柴棒，三个“金

鱼”用2+6+6+6=20（根）火柴棒,……以此类推，即可得解。

【详解】按照以上规律，摆n个"金鱼”需用火柴棒的根数为（2+6n）；

所以摆8条"金鱼"需要火柴棒：

2+6x8

=2+48

=50（根）

摆8条"金鱼”需要50根火柴棒。

故答案为：A

【点睛】认真观察，发现规律是解决此题的关键。

3.D

【分析】由图可知，第一个图案有6个白色地砖，第二个图案有6+4个白色地砖，第三个图案有6+4+4

个地胸，据此可以推断每次只需要增加4个白色地传，第n个图案需要6+4（n-1）个白色地砖。

【详解】6+4（n-1）

=6+4n—4

=4n+2（个）

摆第n幅图案共用（4n+2）个白色地砖

故答案为：D

【点睛】此题考查学生的归纳总结能力以及含有字母的式子的化简。

4.C

【分析】观察图形，第1幅图搭一个小正方形需要4根小棒，第2幅图搭两个小正方形需要（4+3）根小

棒，第3幅图搭三个小正方形需要（4+3x2）根小棒，每搭一个正方形，小棒数量比前一个多3根，依次

类推，求出第n幅图搭n个这样的小正方形需要［4+3x（n-1）］根小棒。

【详解】4+3x（n-1）

=4+3n-3xl

=4-3+3n

=（3n+l）根

即第n幅图需要小棒（3n+l）根。

故答案为：C

【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字，多多练

习，培养数感。

5.B

【分析】观察图形可知，摆1个三角形用3根小棒，3=l+lx2；摆2个三角形用5根小棒，5=l+2x2；

摆3个三角形用7根小棒，7=l+3x2；摆4个三角形用9根小棒，9=l+4x2......,由此可得：小棒的根数

=1+三角形的个数x2,据此解答。

【详解】小棒的根数=1+三角形的个数x2,则摆a个三角形共用：（l+2a）或（2a+l）根小棒。

故答案为：B

【点睛】本题考查数形结合问题。通过观察分析，发现小棒的根数和三角形的个数之间的关系是解题的关

键。

6.D

【分析】看图，每多摆一个五边形，需要再加4根小棒。摆一个五边形需要l+4xl=5（根）小棒，摆2个

五边形需要1+4X2=9（根）小棒，摆3个五边形需要1+4x3=13（根）小棒，那么可以推测，摆n个五

边形需要（l+4n）根小棒。

【详解】l+4xn=4n+l

所以，照这样摆下去，摆n个五边形需要（4n+l）根小棒。

故答案为：D

【点睛】本题考查了图形的变化规律，有一定观察总结能力是解题的关键。

7.31

【分析】摆1—J需要1+3=4（根）小棒；摆，；需要l+3x2=7（根）小棒；摆;需

"<q4TV-

要1+3x3=10（根）小棒；......由此发现规律：摆n个（予需要（l+3n）根小棒。所以求摆10个7需

要的小棒根数，列式为1+3x10。

【详解】1+3x10

=1+30

=31（根）

所以摆10个;『需要31根小棒。

【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。

8.174n+l

【分析】观察可知，1个小正方体露出5个小正方形，2个小正方体露出（5+4）个小正方形，3个小正方

体露出（5+4x2）个小正方形......每增加1个小正方体就增加4个小正方形，那么n个小正方体露出［5+4x

（n-1）］个小正方形，最后求出n=4时式子的值，据此解答。

【详解】n个小正方体露出小正方形的数量：5+4x（n-1）

=5+4n-4

=4n+5-4

=（4n+l）个

当n=4时。

4n+l

=4x4+1

=16+1

=17（个）

正方体个数1234n(n>3)

g

图形g且，I..b

露在外面小正方形的个数5913174n+l

【点睛】本题主要考查数形结合思想的应用，找出小正方体的数量和露出小正方形的数量之间的关系是解

答题目的关键。

9.4977

【分析】第一幅图有1个圆，用1=1x1表示；第二幅图有4个圆，由第一幅图加3个圆，用l+3=4=2x2

表示；第三幅图9个圆，由第二幅图加5个圆，用l+3+5=9=3x3表示......。由此可知，第n幅图有(nxn)

个圆。根据加数的个数，1+3+5+7+9+11+13是第7幅，有(7x7)个圆。

【详解】通过分析可得：第n幅图有(nxn)个圆，1+3+5+7+9+11+13是第7幅，有(7x7)个圆。

贝I]1+3+5+7+9+11+13=49=7x7。

【点睛】本题考查数形结合问题。结合图形和算式，发现图形的序数与圆的个数之间的关系是解题的关键。

10.5；5；7；64

【分析】观察图形可知，第一个图中有1个三角形，可以写成停；第二个图形有1+3=4个三角形，可以

写成22；第三个图形有1+3+5=9个三角形，可以写成32；第四个图形中有1+3+5+7=16个三角形，

可以写成42…第n个图形有M个三角形，据此解答即可。

【详解】由分析可知：

第3个图形：1+3+5；

第4个图形：1+3+5+7；

第8个图形：1+3+5+7+9+11+13+15=82=64(个)

【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出哪

些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。

11.228231

【分析】第1个图形中有6枚棋子；第2个图形中有6+4=10枚棋子；第3个图形中有6+2x4=14枚棋

子；据此归纳出一般规律，解答即可。

【详解】第1个图形中有6枚棋子；

第2个图形中有6+4=10枚棋子；

第3个图形中有6+2x4=14枚棋子；

第4个图形中有6+3x4=18枚棋子；

第5个图形中有6+4x4=22枚棋子；

第n个图形中有6+(n-1)x4=4n+2；

第20个图形中有4x20+2

=80+2

=82(枚)

4n+2=126

4n=124

n=31

【点睛】考查图形的规律性问题；判断出变化的量及不变的量是解决本题的突破点。

12.(1)1644

(2)2500

【分析】1+2+1=4=2X2；

14-2+3+2+1=9=3x3

由此可知，从1开始，连续自然数升序排列后再降序排列，它们的和是算式中最大自然数的平方，由此进

行解答。

【详解】(1)1+2+3+4+3+2+1,最大的是4；

1+2+3+4+3+2+1=16=4x4

(2)1+2+3+4+...+48+49+50+49+48+...+4+3+2+1中，最大的数是50；

1+2+3+4+...+48+49+50+49+48+...+4+3+2+1=2500

【点睛】根据图形和算式，找出它们的规律是解答本题的关键。

13.28

【分析】观察数列可知，分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个，发现

分母是n的分数有(n-1)个，分子从1到n—1依次排列，据此解答即可。

【详解】由分析可知：

分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个，分母是5的分数有4个，分母

是6的分数有5个，分母是7的分数有6个，分母是8的分数有7个；

1+2+3+4+5+6+7

=(1+2+7)+(4+6)+(3+5)

=10+10+8

=20+8

=28

则按规律，b7是这列分数中的第28个。

O

【点睛】本题考查数列的排列规律，发现规律，利用规律是解题的关键。

14.80

【分析】由于图（2）比图（1）多出2个"树枝"，图（3）比图（2）多出5个"树枝"，5=2x2+l；图（4）

比图（3）多出10个"树枝"，10=2x2x2+2,即2—1+23-3则图⑸比图（4）会多出：2x2x2x2+2x1=20

个即25—1+25-3；由此即可知道图（7）比图（6）多出：27—1+27-3,据此即可求解。

【详解】由分析可知：

图（7）比图（6）多出

27-1+27-3

=26+24

=80（个）

所以图（7）比图（6）多出80个树枝。

【点睛】本题主要考查图形的变化规律，关键是找准它的变化规律是解题的关键。

15.72厘米；240厘米

【分析】通过平移的方法求周长，根据可知，1层的周长是由边长为3厘米的正方形周长组成，2层的周长

是由边长为（3x2）厘米的正方形周长组成，3层的周长是由边长为（3x3）厘米的正方形周长组成，……以

此类推，n层的周长是由边长为（3xn）厘米的正方形周长组成。根据正方形的周长公式，用3xnx4即可求

出n层的周长，据此解答。

【详解】3xnx4=12n（厘米）

根据题意可知，n层的周长是12n厘米。

当n=6时，

12x6=72（厘米）

当n=20时，

12x20=240（厘米）

答：搭6层后图形的周长是72厘米；如果搭20层，那么周长是240厘米。

【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。

16.（1）见详解

（2）12张

【分析】（1）根据图示，第一张桌子，有6个座位，第二张桌子，有8个座位，第三张桌子有10个座位，

之后每增加一张桌子就增加2个座位，由此可得规律进行计算即可;

（2）将28人代入上一问求出的规律，进行计算即可。

【详解】由分析可得：

（1）第一张桌子座位数：6个

第二张桌子座位数：

6+（2-1）x2

=6+1x2

=6+2

=8（个）

第三张桌子座位数：

6+（3—1）x2

=6+2x2

=6+4

=10（个）

第四张桌子座位数：

6+（4-1）x2

=6+3x2

=6+6

=12（个）

由此得出规律，桌子数量为：

6+（n-1）x2

=6+2n-2

=2n+4

据此填表：

桌子张数12347

可坐人数6810122n+4

（2）28人聚餐，所以需要28个座位，即:

2n+4=28

2n+4-4=28-4

2n=24

2n4-2=244-2

n=12

答：应摆放12张桌子。

【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现座位个数的变化规律，再根据规律去解决问题。

17.(1)8根；15根；22根；(2)141根；(3)42个

【分析】根据图示发现：摆1个八边形需要小棒：8根；摆2个八边形需要小棒(8+7)根；摆3个八边形

需要小棒(8+7+7)根；……摆n个八边形需要小棒的根数是8+7(n—l)。据此解答。

【详解】⑴8+7=15(根)

15+7=22(根)

答：摆1个八边形需要小棒8根；摆2个八边形需要小棒15根；摆3个八边形需要小棒22根。

(2)根据分析可知，摆n个八边形需要小棒：

8+7(n-1)

=8+7n-7

=(7n+l)根

当n=20时，

20x7+1

=140+1

=141(根)

答：摆20个八边形需要141根小棒。

(3)7n+l=295

解：7n+l—1=295—1

7n=294

7n+7=294+7

n=42

答：295根小棒可以摆42个八边形。

【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。

18.11层

【分析】观察题意可知，2层的最下层有(2+1)个小三角形，3层的最下层有(3+2)个三角形；4层的

最下层有(4+3)个小三角形......以此类推，n层的最下层小三角形个数是n+(n—1)。据此解答。

【详解】n+(n-1)

=n+n—1

=(2n-l)个

根据分析可知，n层的最下层是(2n—1)个小三角形。

2n-l=21

解：2n-l+l=21+l

2n=22

2n+2=22+2

n=ll

答:共需放11层。

【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。

19.(1)见详解

(2)50

(3)141根;12个

【分析】(1)根据图分析，摆一个八边形用了8根小棒，摆两个八边形就多用了7根小棒，摆三个八边形

就多了(7x2)根小棒，由此找到规律，据此填表；

(2)7个八边形，就是n=7,将其代入规律计算即可；

(3)当n=20时，将其代入规律计算即可；把85代入计算即可。

【详解】由分析可得：

(1)1个八边形小棒数量：8根

2个八边形小棒数量：

8+7=