《高等数学上册 第3版》 刘金林 习题及答案 第6章（定积分应用）习题解答

PAGEPAGE21习题解答习题6－21．求由下列各组曲线或直线所围成的平面图形的面积：（1）与；解由得交点为，，.（2）与及；解所求面积为.（3）与、及；解所求面积为.（4）与；解由得交点为，，（5）摆线,与；解所求面积为（6）星形线；解由对称性可知，所求面积为（7）阿基米德螺线与极轴．解所求面积为．（8）；解所求面积为.2．求由抛物线及其在点和处的切线所围成的平面图形的面积．解因为，在点处，，切线方程：，在点处，，切线方程：，由，得交点为，所求面积为．3．求由抛物线及其的法线所围成的平面图形的面积．解因为，在点处，，法线方程：，由，解得，所求面积为4．求由下列各组曲线所围成的图形公共部分的面积（1）及；解；（2）及．解，解得，．5．求曲线在区间内的一条切线，使该切线与直线，及曲线所围成的图形面积为最小．解设切点为，，则切线方程为，即，，令，解得，且，所以时面积最小，所求切线方程：．6．问为何值时，由曲线、直线及所围成的图形面积为最小．解，解得，，令，解得，由，得时，图中阴影部分面积最小．7．求由下列各组曲线或直线所围成的平面图形，绕指定的轴旋转所构成的旋转体的体积：（1）、及，分别绕轴、轴；解，；（2），及，分别绕轴、轴；解，；（3）及，绕轴；解；（4）及，绕轴；解由得交点为，，根据对称性知，所求旋转体的体积.（5），绕轴；解；（6）、、及，绕轴．解．8．求位于曲线下方，轴右方以及轴上方之间的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积．解．9．求由抛物线与直线所围成的图形绕直线旋转所得旋转体的体积．解由微元法可知，与所围图形绕旋转所得旋转体的体积为.10．求由摆线的一拱与轴所围成的图形绕直线旋转所得旋转体的体积．解由微元法可知，的一拱与轴所围图形绕旋转所得体积.11．求由心形线与直线、所围成的图形绕极轴旋转所得旋转体的体积．解由微元法可知，心形线与、所围图形绕极轴旋转所得体积.12．求以抛物线与直线所围成的图形为底，而垂直于抛物线轴的截面都是等边三角形的立体的体积．解，．13．求以半长轴、半短轴的椭圆为底，而垂直于长轴的截面都是等边三角形的立体的体积．解椭圆的方程为：，，．14．求下列曲线在指定范围内的一段弧的长度：（1），；解；（2），；解，令，则，，由，得，由，得，所以；（3），；解函数的导数为由弧长公式得所求曲线的长度为.（4）摆线，；解；（5），，；解由弧长公式得所求曲线的长度为.（6），．解函数的导数为由弧长公式得所求曲线的长度为.15．求心形线的全长．解．16.求下列曲线弧段绕x轴旋转所成旋转面的表面积：（1）；解表面积；（2）解表面积习题6－31．设有一弹簧原长为m，每压缩cm需要N的力，若将弹簧自cm压缩至cm，求克服弹性力所作的功．解如图，，，，取弹簧所在直线为轴，原长的端点为原点，则（J）．2．直径为cm、高为cm的圆筒内充满压强为N／cm2的蒸汽．设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问要作多少功？解取圆筒母线为轴，如图．设压强为，体积为，由，，（Ncm）（Nm），蒸汽体积缩小一半时要作的功为（J）．3．一物体按规律作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，求物体由移至时，克服介质阻力所作的功．解速度，阻力，（J）．4．设有截面面积m2、深m的水池，用水泵把水池中的水全部抽到m高的水塔顶上去，问要作多少功？解如图．薄层水的重量为，把这薄层水吸到水塔顶上去需要作的功为，所作功为（J）．5．设某水渠的闸门与水面垂直，水渠的横截面是等腰梯形，下底为m，上底为m，高为m，当水渠灌满时，求闸门所受的水压力．解，建立如图所示的坐标系．=9.8千牛/米3方程：，即,窄条面积为,窄条受的大力为：,所以，水压力为（牛）．6．洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，已知椭圆的长轴为m、短轴为m，柱体的长为m，当水箱装满水时，求水箱的一个端面所受的压力．解以椭圆中心为坐标系原点，铅直向下为轴正向，如图．则椭圆方程为窄条面积约为，所受的压力为，故水箱的一个端面所受的压力为（N）；7．水坝中有一直立的矩形闸门，宽m，高m，闸门的上边平行于水面，试求：（1）当水面在闸门顶上m时，闸门所受的压力；（2）当闸门所受的压力为前者的倍时，闸门顶离水面的距离．解(1)建立如图所示的坐标系，（N）；设闸门顶离水面的距离为h,则由于，得，m.8．设有一长为、质量为的均匀细棒，在其中垂线上距棒单位处有一个质量为的质点，求细棒对质点的引力．解建立如图所示的坐标系．由对称性，细棒在水平方向的引力为0.下面计算细棒在铅直方向的引力．取为积分变量，它的变化区间为．在内任取一个小区间，细棒上相应于的一小段可近似地看作为一个质点，其质量为，它与质点的距离为，故引力元素为，沿轴方向的引力元素为，引力在铅直方向的分力为．因此，所求引力为．总习题61．选择题：（1）由连续曲线，直线、及轴所围成的图形面积（）；（A）（B）（C）（D）解选项C正确；（2）曲线，轴及轴所围成的图形被曲线分为面积相等的两部分，其中，则常数（）；（A）（B）（C）（D）解由，解得，，由，解得，即选项C正确；（3）设，在上连续，且（为常数），则由曲线，及直线、所围成的平面图形绕直线旋转而成的旋转体体积（）；（A）（B）（C）（D）解，即选项B正确；（4）曲线从到的一段弧长（）．（A）（B）（C）（D）解因为，即选项A正确．2．填空题：（1）由曲线、及直线所围成的图形面积为；解曲线、及所围图形面积为；（2）由对数螺线及射线所围成的平面图形面积为；解对数螺线及所围图形面积为；（3）由曲线及直线所围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体体积为；解曲线及所围图形绕轴旋转所得体积为；（4）曲线被抛物线所截一段弧的长度为；解由，得，即交点横坐标，曲线关于轴对称，且与轴交点为，，即，．（5）底为cm、高为cm的等腰三角形薄片，铅直地沉没在水中，顶在上距水面cm，底在下且与水面平行，则三角形薄片的一侧所受的压力为．解建立如图所示的坐标，所求压力为（N）．3．求由下列各组曲线所围成的图形公共部分的面积：（1）、及；解．（2）及；解．（3）及．解．4．求由曲线，直线及所围成的第一象限内的图形绕轴旋转所得旋转体的体积．解所求旋转体的体积为．5．求由曲线与轴所围成的图形分别绕轴和直线旋转所得旋转体的体积．解绕轴旋转所得旋转体的体积为．绕旋转所得旋转体的体积为．6．求由星形线所围成的图形绕轴旋转所得旋转体的体积．解．7．设有一截锥体，其高为，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为、和、，求该截锥体的体积．解．8．求曲线上相应于的一段弧的长度．解由弧长公式得所求曲线的长度为.9．用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在铁钉被击第一次时能将铁钉击入木板cm，如果铁锤每次击打铁钉所作的功相等，问铁锤击打第二次时，能把铁钉又击入多少cm？解铁锤击打第二次时，能把铁钉又击入hcm,x为铁钉击入木板的深度，则木板对铁钉的阻力为（k为比例常数）．功元素为，铁锤击第一次所作的功；铁锤击第二次所作的功由得，即解之得cm.10．人造地球卫星质量为kg，按下列两种情况，计算发射卫星时克服地球引力所作的功：（1）把卫星送到离地面km处使卫星进入轨道；（2）把卫星发射到无穷远处使之脱离地球引力；（提示：地球和卫星间的引力按万有引力定律计算，其中为卫星到地球中心距离，，地球半径为km，地球质量为kg）．解取地球中心为坐标原点，把质量为mkg的卫星升高到离地球中心x米时的功元素为，其中M为地球的质量．故卫星升到h时所作的功为（1）当时，功．（2）功w＝.11．设有一平面薄板，上半部分是底为m、高为m的等腰三角形，下半部分是直径为m的半圆．将该薄板垂直地沉没在水中，且等腰三角形的顶点与水面相齐，底与水平面平行，求薄板一侧所受到的水压力．解取轴铅直向下，轴为水面位置，则计算三角形上压力的积分区间是，，取轴铅直向下，轴为半圆直径位置，则计算半圆上压力的积分区间是，（N）．12．设底为，高为的对称抛物线弓形闸门，底边在水下且与水面平行，顶点与水面相齐，若底与高之和为常数，问底和高各为何值时，闸门所受的压力最大？解建立如图所示坐标系．设抛物线方程为，则