《高等数学上册 第2版》习题及答案 蒋国强 第5章习题解答

PAGEPAGE23习题解答习题5－11．利用定积分定义计算下列各题：（1）；解对区间作等分，，，；（2）．解对区间作等分，，，，，因为，所以，即．2．利用定积分的几何意义求下列定积分：（1）；解因为表示为一个三角形面积，所以；（2）；解因为表示为一个梯形面积，所以；（3）；解因为表示为一个半圆面积，所以；（4）．解因为表示上曲线与轴围成的平面图形，用轴上方的面积减轴下方的面积，所以．3．设，，，求（1）；解；（2）；解因为，所以；（3）；解；（4）．解；4．证明定积分的性质：（1）（是常数）；证；（2）．证．5．不计算定积分的值，比较下列各对定积分值的大小：（1）与；解因为在闭区间上，，所以；（2）与；解因为在闭区间上，，所以；（3）与；解因为在闭区间上，，所以；（4）与．解因为在闭区间上，，所以．6．估计下列各积分的值：（1）；解因为在闭区间上，是单调增加函数，即，所以；（2）；解设，在闭区间上，，令，解得，由，，，即，所以；（3）；解设，在闭区间上，，即，所以；（4）．解设，在闭区间上，，是单调减少函数，即，所以．习题5－21．计算下列各定积分：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7），其中．解．2．计算下列各导数：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）．解．3．求由所确定的隐函数的导数．解，，．4．设，求．解，，．5．求下列各极限：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）．解．6．设求在上的表达式，并讨论在上的连续性与可导性．解当时，，当时，，所以；，，，即，在上连续；，，因为，在处不可导．习题5－31．求下列定积分：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7）；解；（8）；解令，则，，由，得，由，得，；（9）；解令，则，由，得，由，得，；（10）；解令，则，由，得，由，得，；（11）；解令，则，由，得，由，得，；（12）．解令，则，由，得，由，得，．2．用分部积分法求下列定积分：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7）；解，；（8）；解，；（9）；解；（10）；解令，则，由，得，由，得，；（11）．解令，则，由，得，由，得，．3．计算下列定积分：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）．解．4．证明下列各等式：（1），其中；证令，则，由，得，由，得，；（2），其中在上连续；证令，则，由，得，由，得，；（3）．证令，则，由，得，由，得，；5．设在上连续，且，，，求．解．6．若是连续的奇函数，证明是偶函数；若是连续的偶函数，证明是奇函数．证设，则（令），即是偶函数；设，则（令），即是奇函数．习题5－41．讨论下列反常积分的敛散性，如果收敛，求反常积分的值：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7）；解；（8）；解；（9）；解，发散；（10）．解．2．已知，求常数的值．解，由，解得．3．当为何值时，反常积分收敛？当为何值时，该反常积分发散？又当为何值时，该反常积分取得最小值？解当时，；当时，；设，则，，令，得，且，即在处取极大值，所以取最小值．*4．用函数表示下列反常积分：（1）；解；（2）；解令，则，由，得，由，得，；（3）．解令，则，由，得，由，得，．总习题51．选择题（1）设在上，，，记，，，则（）；（A）（B）（C）（D）解因为，，所以在上单调减少，即，由定积分性质得，即选项B正确；（2）设，，，则（）；（A）（B）（C）（D）解由奇偶函数在对称区间上积分的结论，得，，，即选项D正确；（3）设，，则（）；（A）（B）（C）（D）解，即选项C正确；（4）设是连续函数，，且，则的值（）；（A）依赖于与（B）依赖于、和（C）依赖于、，不依赖于（D）依赖于，不依赖于解，即选项D正确；（5）设，则在区间内（）．（A）有第一类间断点（B）有第二类间断点（C）两类间断点都有（D）是连续的解，，，，即选项D正确．2．填空题（1）设是连续函数，且，则；解，令，得；（2）；解；（3）；解；（4）设是连续函数，为常数，则．解令，则，由，得，由，得，．3．求下列极限：（1）；解；（2）；解；（3），其中连续．解．4.计算下列各题：（1）已知满足，求；解因为所以，即；（2）已知满足，求；解因为，令，得即；（3）设函数求．解令，则，由，得，由，得，；（4）已知，且，求；解,所以；（5）设，求．解令，则，由，得，由，得，所以．5．设在上二阶连续可导，又，证明：．证．6．设在上连续，且，记，证明：（1）；（2）在内有一个且仅有一个实根．证（1