《高等数学上册 第2版》 课件 D2-1导数的概念

第二章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度导数与微分英国数学家Newton机动

目录上页下页返回结束6/3/2024一、引例二、导数的定义四、导数的几何意义五、函数的可导性与连续性的关系六、单侧导数第一节导数的概念第二章机动

目录上页下页返回结束三、基本初等函数的导数公式七、导数定义的变形6/3/2024一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为自由落体运动，求时刻的瞬时速度机动

目录上页下页返回结束6/3/20242.曲线的切线斜率曲线在M

点处的切线割线MN

的极限位置MT(当时)割线MN

的斜率切线MT的斜率机动

目录上页下页返回结束6/3/2024两个问题的共性:瞬时速度切线斜率函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度线密度是速度增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限机动

目录上页下页返回结束6/3/2024二、导数的定义定义1.

设函数在点存在,并称此极限值为记作:即则称函数如果的某邻域内有定义,在点处可导,在点（对变量x）的导数.机动

目录上页下页返回结束6/3/2024运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M

点处的切线斜率若上述极限不存在,在点不可导.若也称在就说函数的导数为无穷大.机动

目录上页下页返回结束6/3/2024例1.

设函数解:，求（1）（2）（3）机动

目录上页下页返回结束6/3/2024若函数在开区间

I

内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就称函数在

I内可导.例2.求函数(C

为常数)的导数.解:即机动

目录上页下页返回结束6/3/2024例3.

求函数解:说明：对一般幂函数(为常数)导数。在x=a处的机动

目录上页下页返回结束6/3/2024例如，机动

目录上页下页返回结束6/3/2024例4.求函数的导数.解:则即类似可证得机动

目录上页下页返回结束6/3/2024例5.求函数的导数.解:

即或机动

目录上页下页返回结束6/3/2024三、基本初等函数的导数公式机动

目录上页下页返回结束6/3/2024四、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若切线与x轴平行,称驻点;若切线与

x轴垂直.切线方程:法线方程:机动

目录上页下页返回结束6/3/2024例6.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线机动

目录上页下页返回结束6/3/2024五、函数的可导性与连续性的关系定理1.注意:

函数在点x连续未必可导.在

x=0处连续,

但不可导.在点x

处连续例7.证明函数证:不存在,机动

目录上页下页返回结束6/3/2024在点的某个右六、单侧导数若极限则称此极限值为在处的右导数,记作即(左)(左)例如,在

x=0处有定义2.

设函数领域内有定义,存在,机动

目录上页下页返回结束6/3/2024定理2.函数在点且存在简写为若函数与都存在,则称显然:在闭区间[a,b]上可导在开区间

内可导,在闭区间

上可导.可导的是且充分必要条件机动

目录上页下页返回结束6/3/2024例8.设函数求机动

目录上页下页返回结束解：6/3/2024七、导数定义的变形与极限无关的点两部分相同机动

目录上页下页返回结束6/3/2024例9.

设存在,则例10.

已知则机动

目录上页下页返回结束6/3/2024原式是否可按下述方法作:例11.

设存在,求极限解:

原式机动

目录上页下页返回结束6/3/2024例12.

设机动

目录上页下页返回结束解:

因为存在,且求所以6/3/2024内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.基本求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;机动

目录上页下页返回结束6/3/2024P524,5,7(1,2),9,11作业

第二节

目录上页下页返回结束6/3/2024牛顿Newton(1642–1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术，并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.机动

目录上页下页返回结束6/3/2024莱布尼兹Leibniz(1646–1716)德国数学家,哲学家.他和牛顿同为微