2024届新高考金卷重庆市适应卷（三）数学试卷及答案

新高考金卷2024届全国n卷适应卷(三)

数学试题

注意事项：

I.本试题满分150分，考试时间120分钟；

2.考生答题前请在规定位置填写姓名、班级、考号等相关信息，在答题卡上正确填涂准考证号(或粘贴

条形码)并仔细核对自己的信息；

3.选择题请用2B铅笔在答题卡对应的位置准确填涂，非选择题请用0.5mm黑色字迹签字笔在答题卡的

非选择题区域作答；在本试卷及草稿纸上作答，答案无效；

4.考试结束后，本试题、答题卡、草稿纸一并收回，请勿带出考场。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设i为虚数单位，则(上勺4=()

1+Z

A.-1B.1C.iD.-i

2.已知集合4={》|一一3工一4<0},5={X|X2-OX=0},若ZClB中有且仅有两个元素，则实数a的范围

为()

A.(-1,4)B.(-1,0)C.(0,4)D.(-l,0)U(0,4)

3.某生产线正常生产状态下生产的产品4的一项质量指标X近似服从正态分布N(10,4),若

P(X<a)=P(X>l-2a),则实数a的值为()

A.-10B.-19C.10D.19

4.设。为双曲线的中心，以双曲线的实轴为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于4,B两点,若A4O8为等

边三角形，则双曲线的离心率为()

・2百c26c4c

A.B.或2C.D-§或2

333

5.已知平面向量Z,3满足15=|句=历|=2,设)=£+石(teR),则|中的最小值为()

A.y/3B.3C.1D.2

6.已知三棱锥尸一NBC中，PA=PB=PC=24B=2BC=4,ZJ5C=120°,则三棱锥P-4BC外接球

的表面积为()

16c64〃64c64百

A.—KB.—兀C.—7TD.------n

332727

万3

7.设。,46(0,5),tana=«itan£,sin(a-^)=-,若满足条件的a与£存在且唯一，则

tanatan尸=()

A.-B.1C.2D.4

2

8.已知函数/(x)=ae、-(a-l)x+l-a(a>0),g(x)=x+b,点尸与。分别在函数y=/(x)与y=g(x)

的图象上，若|?。|的最小值为J5,则6=()

A.-1B.3C.一1或3D.1或3

数学试题【第1页】(共4页)

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.如图1所示，圆台的母线与下底面的夹角为60°,上底面与下底面的直径之比为1:2,力尸为一条母线，且

幺尸=2,。为下底面圆周上的一点，ZABD=3Q°,贝(1()

A.三棱锥尸一48。的体积为2B.圆台的表面积为Ibr

C.AP8O的面积为36D.直线力P与8。夹角的余弦值为巨

4

10.设正实数x>0,y>0,且满足x+y+3=孙，贝ij()

ii2

A.4x+y>13B.xy<9C.x2+y2<18D.—+—

xy3

11.已知圆片：(x+l)2+y2=i,圆B：a—l)2+y2=9,动圆尸与圆片外切于点M,与圆月内切于点N.

圆心尸的轨迹记为曲线C,贝M)

A.C的方程为《+己=1

B.NMPN的最小值为120°

43

C.MP-PE+NP-PK<-D.曲线C在点尸处的切线与线段垂直

122

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.为弘扬志愿者精神，某校举行“乐于助人”服务活动，现安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，每

个地方至少1人，若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有.

9

109

13.已知(1一24+%2)5=a10x+a9xH-\-aQ,则Z女，=.

i=l

7FTT

14.已知/(x)=sin(0x+])的图象关于直线x=w对称，且/(x)在(0,万)上恰有两条对称轴.在A48c中,

角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且。=百，/(|幺)=0,则A4BC面积的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

设数列｛勺｝的前〃项和为S〃，｛2｝为等比数列，且q=l,a,,a2,03-3成等差数列.

(I)求数列｛%｝的通项公式;

1o

(H)设4=工，数列｛-------2------｝的前"项和为7；,证明：T<~.

«+1'(—+1)'n3

数学试题【第2页】(共4页)

16.（本小题满分15分）

如图2所示，在长方体488-44Gq中，AAI=4D=6AB,〃在棱44上，且4CJ.8M.

（1）若/8=2,求平面截长方体所得截面的面积；

（H）若点N满足函=西，求平面BBM与NMD所成夹角的余弦值.

图2

17.（本小题满分15分）

垃圾分类是普惠民生的一项重要国策.垃圾分类不仅能够减少有害垃圾对环境的破坏，减少污染，同时

也能够提高资源循环利用的效率.垃圾分类共分四类，即有害垃圾，厨余垃圾，可回收垃圾与其他垃圾.某

校为了解学生对垃圾分类的了解程度，按照了解程度分为Z等级和6等级，随机抽取了100名学生作为样

2

本进行调查.已知样本中4等级的男生人数占总人数的：，两个等级的女生人数一样多，在样本中随机抽

取1名学生，该生是8等级男生的概率为

5

（I）根据题意，完成下面的二维列联表.并根据小概率值a=0.05独立性检验，判断学生对垃圾垃圾分类

的了解程度是否与性别有关？

男生女生

4等级

3等级

附：

a0.050.0250.010.005

X”3.8415.0246.6357.879

2n(ad-bc)2廿方,,

X--------------------------,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

数学试题【第3页】（共4页）

(II)为了进一步加强垃圾分类工作的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛活动.每局比赛由二人

参加，主持人力和8轮流提问，先赢3局者获得第一名并结束比赛。甲，乙两人参加比赛，已知主

持人力提问甲赢的概率为上，主持人8提问甲赢的概率为上，每局比赛互相独立，且每局都分输赢.

32

抽签决定第一局由主持人N提问.

(1)求比赛只进行3局就结束的概率；

(2)设X为结束比赛时甲赢的局数，求X的分布列和数学期望E(X).

18.(本小题满分17分)

已知实数aeR,函数/(x)=21nx—ox2有两个不同的零点玉，“

(1)求实数a的取值范围；

(H)设与是方程lnx+ax-2=0的实根，证明：x<xx<—.

0t2a

19.(本小题满分17分)

已知直线y=H+l(%wO)与抛物线交于M,N两点.7是线段的中点，点4在直

线歹=一1上，且N7垂直于x轴.

(I)求证：47的中点在G上；

(II)设点3在抛物线。2号=一，一1上，BP,80是G的两条切线，P,0是切点.若48//MN,

且4,5位于歹轴两侧，求证：17Mli刀^1=17^11701.

数学试题【第4页】(共4页)

新高考金卷2024届全国n卷适应卷(三)

数学答案

单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目的要求.

1.选B

【解析】(±)4=[^^]4=(—)4=z4=l.

1+z22

2.选。

【解析】A=(-1,4),因为2口3中有且仅有两个元素，则8={0,研，则

ae(-l,0)U(0,4).

3.选B

【解析】由正态分布的概率分布曲线的对称性知，~1~2a-=10,则a=T9.

2

4.选8

【解析】由题可以知道2=3或2=6,则由e=+解得e=2或2.

a3aVa3

5.选/

--1

【解析】由条件得cos<凡6〉=—,则

2

|c|=yja2+t2b2+2ta-b=，4+4/+4/=2小+!)2+|>^

6.选B

【解析】在A48C中，由余弦定理得Ze?=ZB2+ZC2—2Z8・ZCCOSNZBC=12,则

ZC=2百.由正弦定理可得AABC的外接圆半径为r=—2内—=2.设AABC的外接

2sin120°

圆的圆心为a,过已作平面48。的垂线/,由外接球的性质知外接球的球心。在直线/上,

由于PA=PB=PC,则点尸在/上.计算得PO17PA2—产=2粗,则有

户+(26—Rf=普，解得R=手，则三棱锥尸-4BC的外接球表面积

1

5=4介=等

7.选8

jr34

【解析】方法1：由条件得a—尸6(0,万)，由sin(a—0=]得cos(a—0=],则

c、tana-tan£3心，,八、

tazn("0=i+tanatanV“整理得3加tad0〃—4(〃,—l)ta“+3=°.因为,唯一

存在，则有A=16(加一I)之一36加=0,解得加=4或加=；,又因为(/〉，，则加=4,

则tan尸=g,tancr=2,则tanatan夕=1.

77

方法2：因为满足题意的。与力唯一存在，所以a与力的终边关于角/勺终边对称，且

JI

a+,二万，则tanatan/?=1.

8.选/

【解析】注意到，/(0)=1,因为/'(x)=a优一且/(0)=1,所以函数y=/(x)

在点(0,1)处的切线方程为y=x+l.当«>0时，由ex>x+l可知，

/(x)=aex-(a-l)x+l-a>a(x+1)--l)x+1-tz=x+1,所以|尸。|的最小值为直

线y=x+l与直线y=g(x)=x+b的距离，由点到直线的距离公式知=J5,解得

b=—1或6=3(舍去)，所以b=—1.

多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多

个选项要求，部分选对的得部分分，有选错的不得分.

9.选ABD

【解析】由条件知圆台的高为G，AB=4,AD=2,BD=273>则

vP_ABD=|x(1x2x2V3)x^=2,所以选项/正确.设圆台的上下底面圆的半径分别为

rx,弓，由条件可得?1=1,々=2,则圆台的表面积

S="刀+万々2+万亿+r2)-AP=\\n，所以选项3正确.如图，过点尸作AB的

垂线交48于T,过点T作BD的垂线交RD于。，连接尸。，则易证尸。，8£»

TQ=3，PT=C，则尸。=巨,则

22

2

S»BD=；BD-PQ=；X2CX^=*，所以选项C错误.过Z作RD的平行线交底

面圆周于点M，连接产河，W'JAPAM即为直线4P与RD所成角(或补角)，在APZM中,

AM=BD=26，AP=2,PM=回，由余弦定理得

AP+AMPM

cosNPAM=^~~L=立，则直线AP与BD夹角的余弦值为直，选项D

2AP-AM44

正确.选项。妙解，由三余弦定理得COSNPAM=cos-cos.

634

10.选40

x+3

【解析】由条件》+^+3=个得^=----(x>1),贝I]

X-1

4x+y=4X+'+3=4X+1T———=4(X-1)H——---1-5>2\f6"+5=13

x-1x-1x-1

，当且仅当x=2,y=5是取等号，选项Z正确.由x+.v+3=q^2而+3,即

(历+1)(历—3)20,解得孙29,当且仅当x=y=3时取等号，选项8错误.

由J+y2=(x+y)2-2xy=(xy-3)2-2xy得x?+y2=(xy)2-Sxy+9,从而

X2+/>18,当且仅当x=y=3时取等号，选项。错误.由x+y+3=中得

113112

—+—=1—，因为肛29,所以一+一之；，当且仅当x=y=3时取等号，选项。正

xyxyxy3

确.

11.选BCD

【解析】设动圆尸的半径为人由条件得|「6|=厂+1,\PF.\=3-r,则

l^l+lPF|=4>|I,且「，M,N不重合，故点尸的轨迹为以片，耳为焦点的

2FXF2

椭圆(去掉与尸，M,N重合的三点)，则曲线。的方程为工+匕=l(xw-2),选项Z

43

错误.易知NMW与/原隼互补，而/心的最大值为60。，则NMW的最小值为

120°，选项5正确.

3

--»---»»r*1—yI

2

MP.PF[+NP-PF2=-r(r+\)+r(3-r)=2r(l-r)<2x(—-)=选项C正确.

由椭圆的光学性质知D选项正确.

三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上.

12.答案为30

【解析】先将4人任意分成3组，共有“；।=6种分法,而甲，乙在一组的分法有1种,

因此满足题意的分组方法共有5种，再将分好的3组分配到三个不同的地方，有用=6种方

法，根据分步计数原理，满足题意的安排方法共有5x6=30种.

13.答案为-10

249

【解析】对条件两边求导得5(l-2x+x)(2%-2)=10«10x+9ae/+…+%，再令x=1

9

得4+2a2+—卜9a9+10a10=0,Jfffa10=1,则工kak=%+2&+—卜9%=-10.

k=\

14.答案为

TTTTTETC

【解析】因为/(X)的图象关于直线X=—对称，则一。+—=—+丘，左eZ,即

3332

G)=-+3k,kEZ.因为/(X)在(0,万)上恰有两条对称轴，当。〉0时，

2

3兀715兀E/口713、5兀7i一3九

——<CD71——<——，解得一一，此It时无解.当69<0时，----<(071+—<----，

23266232

解得----4①<----，此时co——,故实数①的值为—.则f(x)—sin(—xH—)，因

662223

为/(-|71)=sin(-71+y)=0,且Ne(0,O,则一2+三€(-器,(),则/=：.在AASC

中，由余弦定理得3=/+C2一bcxbc,贝i]bc<3,当且仅当b=c=百时取等号，则

A48C的面积S.BC=；AsinZ=^bcW苧，故A48C面积的最大值为手.

四.解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.

15.(I)a“=(〃+1)X2"-2(II)证明略.

【解析】(I)因为%,%%一3成等差数列，所以2a2=%+的—3，即2a2=a3-2,

又｛I｝为等比数列，则1,邑，邑也成等比数列，贝IJ(二马)2=(1+4+生),联立解

n2323

4

得出=3，%=8,则数列｛&｝的公比为2,则邑=2"i,即S'=〃X2”T.当“22时，

nn

R2

an=Sn-S=(〃+l)x2"-,q=1也适合an=(〃+1)x2"",则数列｛%｝的通项公式为

2

an=(z?+1)x2"~.

(II)由(I)矢口，%=(〃+1)X2"-2,则％=人=2"-2,贝ij

n+1

n2

b2-2八2

_____________乜______-_________________记C=_____________

(4+1)0用+1)(2"-2+1)(21+1)'"(2"-2+l)(2n-l+l)

"2"-?+12"-'+1'

厂11111121

±—---------------------------p-------------------------p.••+------------------------------------------------

”2^+12°+12°+12*+124+12,H+132^+1

——〉0,所以北=2——J—<-.

2"-'+1"32,!-1+13

37263底

111J

2----------11

【解析】（I）解法1：如图，因为ABCD-4与。12为长方体,所以A8］，平面ABCD，

又因为ZCu平面48CD,则/CLBAf,又4CLBM,且34n氏攸=8,

,8河u平面BB[M,则AC±平面BBXM.设平面BBXM与棱AD交于点Q

连接MQ,80,则NC，8。.因为AD=yflAB,不妨设AB=a,AQ=AAD,

设=易知A50C〜AQOZ,则生=效=2,又AC=同,

OC0B

万+上,贝有

80=，2U0B=——BQ,OC=-^-AC则

2+12+1

（,22-+1+2+（巫）2=（宿）2,解得x=所以。为ZD中点.由面面平行性质知

2+12+12

MQHBBX,则M为42的中点.设平面8。/交棱4月于点尸，连接MP,BP,则四

边形APMD即为所作截面.由面面平行性质知"P//8D,则尸为44的中点，则四边形

APMD为梯形.因为48=2,则40=2后，则BD=2百，MP=6又BP=3,

5

___________既

M）=JHL设梯形APMD的高为〃，则有,9-/+Jio—川=6,解得力=空，则

V3

四边形的面积S=工x（G+2x毕=力区.

2V32

解法2：以/为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则/（0,0,0）,5（2,0,0）,

。（2,2行,0）,屈（0/,2行），则就=（2,2拒,0）,两=（—2/,2后）.因为/。，8河,

则/，丽7,即—4+2岳=0,解得y=J5,又因为2。=2亚，所以M为42的

中点.以下同解法1.

（2）由（I）知M为4A的中点，因为函=近，则N为CO1的中点.不妨设48=2,

则2（0,0,0）,C（2,2A/2,0）,M（0,后,2行）,。（0,2亚,0）,N（2,2后，行），则

AC=（2,242,0）,^D=（0,V2,-2V2）,布=（―2,0,—亚）.由（I）知平面台4/的

一个法向量为2。=（2,2亚,0）,设平面MWD的一个法向量为加=（x,y,z）,则

^0,^=0,gpF2一，取》=1,贝ijz=—后，y=2也，则蔡=（1,—20,一收）.

ND-m=QV2x+z=0

__h%八？

所以cos<%,菊〉=---,则平面BB,M与NMD所成夹角的余弦值--.

11111

17.（I）根据小概率值a=0.05独立性检验，学生对垃圾垃圾分类的了解程度与性别无关

【解析】（I）根据题意，样本中Z等级的男生有40人，8等级的男生有20人，两个

等级的女生都为20人，列联表如下:

男生女生合计

Z等级402060

8等级202040

合计6040100

零假设笈。：学生对垃圾垃圾分类的了解程度与性别无关.

则/=喘焉意2-78<3-84e所以没有充分的理由说明为不

成立，即学生对垃圾垃圾分类的了解程度与性别无关.

6

(11)(1)根据题意，比赛只进行3局就结束，则有甲连胜3局或者乙连胜3局两种情况.

设比赛只进行3局就结束为事件A.

2122

第一种情况，甲连胜3局.此时，R=--x-=-.

13x239

第二种情况，乙连胜3局.此时，P,=-x-x-=—.

232318

则尸⑷=々+舄=得，即比赛进行3局结束的概率为《.

(2)由题意X取值为0,1,2,3.则

…，、/211111112、15

P(X=0)=-x-x-=—,P(X=1)=(―x—x--1——x—x--1——x—x—)x—=—

32318323323323236

211121212111112111111121113

P(X=2)=(―x—x—x—H--X—X—X—H--X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—)x-=----

3232323232323232323232323108

【解析I)/'(x)=2—2依=2(1一")，若aVO,则当xe(0,+oo)时,/(x)>0,

/(x)单调递增，则/(x)至多只有一个零点，不符题意.若。〉0,令/(x)=0得，x=—

a

则当xe(O,Y£)时，/(x)>0,/(x)单调递增，当xe(也,+oo)时，/(x)单调递减.

aa

因为/(X)有两个不同的零点，则必有/(也)=2山江-a(逅)2=—1n。―1〉。，解得

aaa

0<a<一,又x—0时，f(x)-oo,当x—+8时，f(x)-oo,故当0<a<一时,

ee

/(X)有两个不同的零点，所以实数。的取值范围为(0,-).

e

(II)由(I)知X],%是函数/(X)的两个不同零点，不妨设0<X1<YZ<X2

a

7

,则有/(xj=/(x2)=0,即21nxi-axj-o,21nx2-cix^-0,作差得

]2_2

2

2(lnx2-InXj)=a(x2-x^)，先证xrx2<—,即证xrx2<——————-----，即证

一一a2(lnx2-InXj)

1<*%,设/=三〉1,则只需证1<—L,即证z—1〉21IU,TSg(r)=r---21nr,

2M上xi21nrtt

~X]

则g'(/)=l+，—|■=与Di〉0,则g«)单调递增，则g(7)〉g(l)=0,则/—：〉21n/成

立，也即占％2〈工成立.再证<玉％2，因为玉)是方程lnx+ax—2=0的根，则

a

Inx0+ax^-2=0,又有21nxi-axJ=0,2Inx2-ax^-0,则

222

21n(x1x2)=a(xj+x2)=。(再+x2)-2axrx2,则a(xx+x2)=2ln(x1x2)+2axxx2,因为

函数y=Inx+ax单调递增，贝121n（占％2）+2axi%＞Zin/+2ax0,故要证/〈不々，只

2?

需证a(X]+x2)>4,即证再+、2>~~7=•只需证%因为马£(—^，+0°)，

-