全等模型-倍长中线与截长补短模型（解析版）-2024年中考数学常见几何模型

全等模型一倍长中线与截长补短模型

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容,本专题就全等三角

形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1年中线模型

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助

线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知

识来解决问题的方法.（注:一般都是原题已经有中线时用,不太会有自己画中线的时候）o

【常见模型及证法】

1、基本型:如图1,在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.

证明思路:延长至点E,使得AD=DE.若连结BE,则bBDE=ACOA；若连结EC,则^ABD=

AECD；

⑴(2)

图1图2

图3

2、中点型:如图2,。为AB的中点.

证明思路:若延长EC至点尸，使得。尸=EC,连结人尸,则ABCE工AACF；

若延长。。至点G,使得。G=,连结BG,则△ACO=^BCG.

3、中点+平行线型:如图3,AB〃C。，点E为线段AD的中点.

证明思路:延长CE交AB于点F（或交BA延长线于点F）,则△即AEAF.

血］1（2023・江苏徐州・模拟预测）（1）阅读理解：

如图①，在△4BC中，若4B=8,入。=5,求边上的中线4D的取值范围.

可以用如下方法:将4ACD绕着点。逆时针旋转180°得到^EBD,在AABE中，利用三角形三边的关系

即可判断中线的取值范围是:

（2）问题解决:如图②，在△4BC中，D是BC边上的中点、，DE_LDF于点D,DE交AB于点E,DF交

于点F,连接EF,求证：BE+CF>EF；

（3）问题拓展:如图③，在四边形ABCD中，/B+/D=180°,CB=CD,/BCD=100°,以。为顶点作一

个50°的角，角的两边分别交AB、4。于E、F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并

说明理由.

（图①）（图②）（图③）

【答案】⑴曰＜AD＜号；⑵见详解；⑶EF=BE+DF,理由见详解

【分析】（1）根据旋转的性质可证明AADCw/\EDB,AC=BE=6,AD=ED,在/XABE中根据三角形三

边关系即可得出答案;（2）延长FD至M,使DF=DM,i^^BM,EM,可得出CF=根据垂直平分

线的性质可得出EF=,利用三角形三边关系即可得出结论；

⑶延长至N,使BN=DF,连接CN,可得4NBC=/。,证明ZWBC=4FDC,得出CN=CF,

ANCB=AFCD，利用角的和差关系可推出4ECN=50°=ECF,再证明△NCE/\FCE,得出EN=

EF,即可得出结论.

【详解】解：（1）•••AD=ED,CD=BD,/ADC=2BDE

：.^ADC=^EDB：.AC=BE=5,AD=ED

在△ABE中根据三角形三边关系可得出：AB-BEVAE/VAB+BE,即3V2ADC13

.•.'＜40〈号故答案为：管＜AD＜善；

⑵延长FD至使DF=DM,连接

同（1）可得出CF=BM,•：FD=MD,FD±DE：.EF=EM

在4BEM中，BE+BM＞EM：.BE+CF＞EF;

（3）EF=BE+OF,理由如下：延长AB至N,使BN=DF,连接CN,

•：ZABC+ND=180°,/ABC+ZNBC=180°/.ANBC=ND

：.ANBCx4FDC：.CF=CN,NNCB=AFCD

■：ABCD=100°,NFCE=50°2ECN=50°=ECF

：.ANCE=/\FCE（SAS）：.EN=EF

：.EF=EN=BE+BN=BE+DF：.EF=BE+DF.

【点睛】本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边

关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形.此题结构精巧，考

查范围广，综合性强.

网］2（2023•贵州毕节・二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:•••

（1）如图1,△ABC中，若5,47=3,求BC边上的中线AO的取值范围.小明在组内经过合作交

流，得到了如下的解决方法:延长4。到点E,使DE=人。,请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程.

（2）如图2,40是△ABC的中线，BE交AC干E,交AD于F,且=请判昕AC与BF的数量关

系,并说明理由.

【答案】（1）见解析（2）4。=BF,理由见解析

[解析】⑴解:如图，延长AD到点E,使DE=4D,连接BE,

（AD^DE

在AADC和AEDB中（AADC=NEDB,：.^ADC空^EDB（SAS）.：.BE=AC=3.

[CD=DB

•：AB-BE<AE<AB+BE'：2<AE<8.•：AE=2AD：.1<AD<4.

（2）47=BF,理由如下：延长AD至点G,使GO=AD,连接BG,

（AD^DG

在l\ADC和△GDB中，｛ZADC=ZGDB，:.△ADC空/\GDB〈SAS）.:.BG=AC,/G=ADAC..

[BD^CD

•：AE=EF：./LAFE=AFAE.：.ADAC=NAFE=ZBFG/.ZG=ZBFG：.BG=BF：.AC=BF.

【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD到点E,使DE=AD,构

造全等三角形是解题的关键.

血]3（2022.山东.安丘市一模）阅读材料:如图1,在△ABC中，。，石分别是边AB,的中点，小亮在证明

“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F,使=连接CF,

证明AADEWACFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证.

AA

A

图1图2图3

类比迁移：⑴如图2,AO是△AB。的中线，后是AC上的一点，BE交AD于点F,且AE=EF,求证：

AC=BF.

小亮发现可以类比材料中的思路进行证明.

证明:如图2,延长AD至点使=F。，连接……

请根据小亮的思路完成证明过程.

方法运用：（2）如图3,在等边AABC中，D是射线BC上一动点（点。在点。的右侧），连接40.把线段

CD绕点。逆时针旋转120°得到线段。E,F是线段BE的中点，连接DF、CF.请你判断线段。?与AD

的数量关系,并给出证明.

【答案】（1）证明见解析；（2）AD=2DF，证明见解析

【分析】（1）延长力。至,使皿D=FD,连接MC,证明△BLEWACDM,结合等角对等边证明即可.

（2）延长DF至点、M,使DF=FM,连接BM、AM,证明△4BA1组AACD（SAS）,是等边三角形，

代换后得证.

【详解】⑴证明：延长AD至,使MD=FD,连接.

[BD=CD

在ABDF和△CDA1中，｛2BDF=2CDM,：./\BDF名/\CDM,：.MC=BF,/M=ZBFM,

[DF^DM

•；AE=EF,：.NEAF=NEFA,；4EFA=4BFM,：.4M=AMAC,：.AC^MC,:.AC=BF.

(2)线段OF与AD的数量关系为：AD=2DF.

证明如下：延长DF至点河，使。F=FA"连接BM、4W,如图2所示：

1•点F为BE的中点，/.BF=EF

[BF=EF

在4BFM和中，；｛ABFM=NEFD,：.4BFM名/\EFD(SAS)

：.BM=DE,NMBF=4DEF,：.BM//DE•：线段CD绕点。逆时针旋转120°得至U线段DE

CD=DE=BM,ABDE=120°,AZMBD=180°-120°=60°

•.•△ABC是等边三角形•.•ABuAC,ZABC=/4CB=60°,；.AABM^AABC+AMBD=60°+60°=

120°

AACD=180°-AACB=180°-60°=120°,/.NABM=NACD•••

（AB^AC

在△ABM和/\ACD中，•乂AABM=AACD,/.△ABM空/\ACD（SAS）

〔BAGCD

：.AM^AD,NBAM=ACAD,：.4MAD=AMAC+ACAD=AMAC+NBAM=ABAC^60°

/XAMD是等边三角形，AD=DM=2DF.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和

性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键.

血］4（2022.河南商丘.一模）阅读材料

如图1,在4ABC中，。,E分别是边AB,AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边,且等

于第三边的一半”时，通过延长DE到点F,使EF=OE,连接CF,证明△ADE笃△CFE,再证四边形

DBCF是平行四边形即得证.

⑴类比迁移:如图2,人。是△ABC的中线，BE交于点E,交人。于点F,且=求证：力。=

BF.

小明发现可以类比材料中的思路进行证明.

证明:如图2,延长AD至点使=连接MC,……请根据小明的思路完成证明过程.

（2）方法运用：如图3,在等边△ABC中，。是射线BC上一动点（点。在点。的右侧），连接AD.把线段

CD绕点。逆时针旋转120°得到线段DE.F是线段BE的中点，连接DF,CF.请你判断线段DF与

的数量关系,并给出证明；

【答案】（1）见解析（2）线段。F与AD的数量关系为：人。=2。尸,证明见解析；

【分析】（1）类比材料，运用倍长中线辅助线作法,证得结论.

（2）运用倍长中线辅助线作法，结合三角形全等证明及等边三角形性质，得出结论.

⑴证明：如图，延长至河，使皿D=FD,连接MC,

B

四-1C\：\

MME

[BD=CD

在4BDF和△CDA1中，：｛ABDF=ACDM,

：.4BDF法4CDM〈SAS）,：.MC=BF,4M=2BFM,；AE=EF,；.NEAF=NEFA,

■：NEFA=ABFM,：.4M=AMAC,：.AC^MC,：.AC^BF;

（2）解：线段DF与AD的数量关系为：AD=2DF,

证明如下：延长DF至点“，使DF=FM,连接BM、AM■，如图所示：

•.•点P为BE的中点，/.BF=EF,•••

[BF=EF

在和AEFD中，：｛ZBFM=NEFD,：.ABFMW^EFD(SAS),

[FM=DF

：.BM=DE,NMBF=ADEF,：.BM//DE,

■：线段CD绕点。逆时针旋转120°得到线段DE,.•.CD=JDE=BA7,NBDE=120°,

AZMBD=180°-120°=60°，:△AB。是等边三角形，

：.AB^AC,乙48。=乙4cB=60°,二AABM^ZABC+AMBD=60°+60°=120°,

4ACD=180°-ZACB=180°-60°=120°,/.NABM=ZACD,

(AB^AC

在/\ACD中，；＜]AABM=ZACD,△ABA1WAACD(SAS),

CD

：.AM^AD,NBAM=ACAD,：./MAD=AMAC+ACAD=ZM4C+NBAM=/B_AC=60°,

A/\AMD是等边三角形，/.AD=DM=2DF;

【点睛】本题考查了倍长中线的辅助线作法，全等三角形的证明，在倍长中线构造全等三角形的基础上，综

合运用相关知识是解题的关键.

模型2.蠢长补短模型

【模型解读】

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可

以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法(往往需证2次全等)。

松长;指在长线段中截取一段等于已知线段;补短:指将短线段延长，延长部分等于已知线段。

【常见模型及证法】

(1)蠢长:在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。

1.如图,求证BE+DC=AD

方法:①在人。上取一点F,使得=证。F=。。；②在人。上取一点F,使_DF=DC,证=

(2)补短：将短线段延长,证与长线段相等

网］5如图，求证BE+DC=AD

方法：①延长。。至点河处，使CM=BE,证DM=AD；②延长。。至点“处，使DM=AD,证CM=

BE

例L(2023・重庆・九年级专题练习)如图，已知/P4B的平分线与/CR4的平分线相交于E,

CE的连线交AP于。.求证：AD+BC=AB.

•••

E

D

【答案】证明见解析

【分析】如图，在AB上截取AH=AD,证明/\ADEW4AHE,再证明△"BE空△CBE,可得BC=BH,

从而可得结论.

【详解】证明：如图，在上截取AD,

；AE平分ZDAB,:"DAE=4HAE,-：AE^AE,：.^ADE^^AHE,

:"ADE=2AHE,•：ADIIBC,：.AADE+ABCE^180°,

:NAHE+NBHE=180°,:"BCE=4BHE,,:BE平分4ABC,:"ABE=4CBE,

,:BE=BE,：.^HBE^/\CBE,:.BC=BH,■：AB^AH+HB,：.AB^AD+BC.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一

条线段”是解题的关键.

网］6（2023•广东肇庆・校考一模）课堂上，老师提出了这样一个问题:

•••

AA

D

BCBDC

图3图4

如图1,在△48。中，A。平分/A4C交BC于点。，且+=求证：2/ACB,小明的

方法是:如图2,在4。上截取AE,使AE=4B,连接DE,构造全等三角形来证明.

⑴小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角

形进行证明.辅助线的画法是:延长至F,使BF=，连接OF请补全小天提出的辅助线的画

法,并在图1中画出相应的辅助线；

（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：

如图3,点。在△ABC的内部，AD,BD,CD分别平分/B4C,AABC,乙4CB,且+=AC.求

证：ZABC=2ZACB.请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；

（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：

如果在4ABC中,NABC=2AACB，点。在边8。上，AB+8。=AC,那么40平分ABAC小东判断

这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明.

【答案】（1）BD,证明见解析（2）见解析（3）见解析

【分析】⑴延长AB至F,使BF=BD,连接DF,根据三角形的外角性质得到AABC=2/F,则可利用

SAS证明△4DF=△ADC,根据全等三角形的性质可证明结论；⑵在AC上截取AE,使AE=AB,连

接。E,则可利用SAS证明AADB=△ADE,根据全等三角形的性质即可证明结论；（3）延长AB至G,

使BG=B。，连接。G,则可利用SSS证明△ADGwZVtDC,根据全等三角形的性质、角平分线的定义即

可证明结论.

【详解】（1）证明：（1）如图1,延长4B至F,使跳连接OF,则ZBL>F=ZF,NABC=NBDF+

ZF=2ZF,VAD平分ABAC：.ABAD=ACAD,

•：AB+BD=AC,BF=BD,：.AF=AC,

（AF^AC

在△ADF和△ADC中，//BAD=ACAD,：.AADF叁△ADC（SAS）,

AD=AD

：.AACB=ZFf：.ZABC=2ZACB.故答案为：GO.

二AA

!T7DC

I/

BC"一一

尸一

图i图3°图4

•••

（2）证明：如图3,在上截取AS,使=连接。石

vAD,m,CD分别平分/B4C,AABC,AACB,

：./DAB=/DAE,/.DBA=/.BBC,ADCA=ZDCB,

•/AB+BD=AC,AE=AB,：.DB=CE,

（AB=AE

在^ADB和AADE中，｛/.DAB=/DAE，.1/XADB含AADE（SAS）,

[AD=AD

:・BD=DE,/ABD=/AED,：.DE=CE,：.4EDC=4ECD,

・•・/AED=2/ECD,，4ABD=2/ECD,：.AABC=2ZACB,

（3）证明：如图4:延长AB至G,使=连接OG,则/BDG=/AGD,

：.AABC=ZBDG+AAGD=2AAGD,vAABC=2AACBf：.AAGD=AACB,

vAB+BD=AC,BG=BD,：.AG=AC,：.AAGC=AACG,/.ADGC=ADCG,DG=DC,

（AG=AC

在ZVIOG和丛ADC中，（OG=ZX7,・•.△ADG岂△AOC（SSS），,/DAG=ADAC，即AD平分

[AD=AD

ABAC.

【点睛】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形的

判定定理和性质定理是解答本题的关键.

血17（2023・广西•九年级专题练习）在四边形ZBZ汨中，C是边的中点.

（1）如图（1）,若47平分ABAE,乙4CE=90°,则线段4石、AB、。石的长度满足的数量关系为；

（直接写出答案）；（2）如图⑵，4。平分/BAE,EC平分/4ED,若NACE=120°,则线段AB、BD、

。石、4E的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明.

图⑴图⑵

【答案】⑴AB=AB+OE;⑵猜想：AE=AB+DE+,证明见解析.

【分析】（1）在AE上取一点使AF=,由三角形全等的判定可证得△ACB空△ACF,根据全等三角

形的性质可得BC=FC,NACB=AACF,根据三角形全等的判定证得△CEF空△CED,得到EF=ED,

再由线段的和差可以得出结论；⑵在4E上取点F,使AF=AB,连接CF,在AE上取点G,使EG=

ED,连接CG,根据全等三角形的判定证得△4CB竺ZVICF和ABCD笃AECG，由全等三角形的性质证

得CF=CG,进而证得△CFG是等边三角形，就有FG=CG=^-BD，从而可证得结论.

【详解】（1）4E=AB+OE;理由：在AE上取一点F,使AF=AB.

•••

•••AC平分ABAE,/.ABAC^AFAC.

(AB^AF

在/\ACB和AACF中，(ABAC=AFAC,：./\ACB笃^ACF(SAS)，:.BC=FC，/ACB=NACF.

[AC^AC

,:C是BD近的中点、，：.BC=CD,：.CF=CD.

•：/ACE=90°,/./AGB+/OCE=90°,AACF+NECF=90°,/.NECF=AECD.

(CF=CD

在△CEF和AGED中,《4ECF=AECD,：.ACEFWACED(SAS),：.EF=ED.

\CE=CE

■.■AE^AF+EF,：.AE^AB+DE.故答案为：AB=AB+DE;

(2)猜想：AB=AB+DE+^BD.

证明：在AE上取点F,使AF=AB,连结CF,在AE上取点G,使EG=ED,连结CG.

•：C是BD边的中点，CB=CD=^BD.•：AC平分/BAE,：.乙BAC=AFAC.

(AB=AF

在/\ACB和/\ACF中,《ABAC=AFAC,：./\ACB笃AACF(SAS),

[AC^AC

：.CF^CB,：./BC4=/FCA,同理可证：CD=CG,4DCE=4GCE.

■：CB=CD,：.CG=CF.•：NACE=120°,ANBCA+4DCE=180°-120°=60°,

A/FCA+/GCE=60°,ZFCG=60°,：.4FGC是等边三角形，：.FG=FC=：BD.

•：AE^AF+EG+FG,：.AE^AB+DE+^BD.

【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，

能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键.

血]8(2023•广东•九年级期末)(1)阅读理解：问题:如图1,在四边形ABCD中,对角线BD平分/ABC,ZA+

ZC=180°.求证：D4=DC.

思考:“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.

方法1：在BC上截取,连接DM,得到全等三角形,进而解决问题；

方法2：延长A4到点N,使得BN=BC,连接DN,得到全等三角形,进而解决问题.

结合图1,在方法1和方法2中任选一种,添加辅助线并完成证明.

(2)问题解决:如图2,在(1)的条件下，连接AC,当/。4。=60°时，探究线段48,BC,BD之间的数量

关系，并说明理由；(3)问题拓展:如图3,在四边形ABCD中，/A+/C=180°,D4=OC,过点。作OE

，3。,垂足为点瓦请直接写出线段48、。夙3。之间的数量关系.•••

图2图3

【答案】（1）证明见解析；（2）4B+BC=BD;理由见解析；（3）BC—AB=2CE.

【分析】（1）方法1:在BC上截取BM=BA,连接DM,得至U全等三角形，进而解决问题；方法2:延长BA到

点N,使得BN=BC,连接DN,得到全等三■角形，进而解决问题；

⑵延长CB到点P,使BP=BA,连接AP,证明J\PAC空^BAD，可得PC=BD,即PC=BP+BC=

AB+BC

（3）连接BD,过点。作DF_L4C于F,证明^DFA2XDEC,R1ABDF笃RtABDE越而根据BC=BE

+CE^BA+AF+CE=BA+2CE即可得出结论.

【详解】解：（1）方法1:在BC上截连接ZW,如图.

（BD=BD

BD平分NABC,；.ZABD=ZCBD.在AABD和XMBD中,{NABD=AMBD,

IBA^BM

^ABDnXMBD,ZA=Z.BMD,AD=MD.

•：ABMD+ACMD=180,ZC+ZA=180°./.ZC=ZCMD.：.DM=DC,：.DA=DC.

图1图1

图2

方法2:延长BA到点N,使得BN=BC,连接DN,如图.•••

BD平分AABC,/.ANBD=ACBD.

（BD^BD

在ANBD和XCBD中,{ANBD=2CBD,：.^NBDnACB£>./.NBND=2C,ND=CD.

[BN=BC

■：ANAD+ABAD^18Q,AC+ABAD=180.：.ABND=ANAD,：.DN=DA,：.DA=DC.

（2）AB、BC、BD之间的数量关系为：AB+BC=BD.（或者：BD-CB=AB,BD-AB=CB）.

延长CB到点P,使BP=区4,连接AP,如图2所示.

由（1）可知4D=CD,•••/。力。=601.•.△40。为等边三角形.：.AC=AD,AADC=60°.

/BCD+ABAD=180°,/.NABC=360-180-60°=120°.；.NPBA=180-ZABC=60°.

BP=BA,；.AABP为等边三角形.AAPAB=60°,AB^AP.

■：ADAC=60°,APAB+ABAC=ADAC+ABAC,即/LPAC=ABAD.

（PA^BA

在APAC和kBAD中，（APAC=ABAD,：.APACnABAD.：.PC=BD,

[AC=AD

■：PC=BP+BC=AB+BC,：.AB+BC=BD.

（3）48,CE,BC之间的数量关系为：BC-AB=2CE.（或者：BC-2CE=48,AB+2CE=BC）

解：连接BD,过点。作DF_LAC于F,如图3所示.

ABAD+180°,ABAD+AFAD=180°././FAD=ZC.

（ZDFA=ZDEC

在ADFA和ADEC中，,：.&DFA&XDEC,：.DF=DE,AF=CE.

[DA=DC

T^J~）—D7~）

cz：.RtABDF名Rt'BDE.：.BF=BE,

{DF—DE

：.BC=BE+CE=BA+AF+CE=BA+2CE,：.BC—BA=2CE.

【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键.

课后专项训练：

题目T］（2023秋・福建福州•九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，=4,4C=2,点。为BC的中点,

则的长可能是（）

BDC

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】延长AD到E,使DE=AD,连接BE.证△40。空AEDB（SAS）,可得BE=AC=2,再利用三角

形的三边关系求出AE的范围即可解决问题.

【详解】解:延长AD到E,使DE=A。,连接BE,

在△ABE中，48—迎＜40＜人3+班,即2＜2人。＜6,解得1＜人。＜3,故选：3.

【点睛】本题考查三角形的全等判定和性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关键.

题目叵〕（2022.浙江湖州.二模）如图，在四边形ABCD中，AB〃CD,4B_LBD,AB=5,BD=4,CD=3,

点E是力。的中点，则BE的长为（）.

【答案】。

【分析】延长BE交CD延长线于P,可证△AEBn△CEP,求出DP,根据勾股定理求出BP的长，从而求出

的长.

【详解】解:延长BE交CD延长线于P,•••4B〃CD,/.NEAB=NECP,在AAEB和&CEP中,

[NEAB=ZECP

\AE=CE；.AAEB笃ACEP^ASA)：.BE=PE,CP=AB=5

[ZAEB=ZCEP

叉•：CD=3,：.PD=2,•/BD=4.：.BP=^DP2+BD2=275/.BE=^BP=V5.故选：C.

理求出BP.

题目⑤(2022•广东湛江•校考二模)已知:如图，4ABC中，H在B。上，。在BA上，过E作EF，AB于F,

/B=/l+/2,AE=CD,BF=U，则人。的长为

O

【答案】枭2著

OO

【分析】在况4上取一点T,使得FT=BF,连接ET,在CB上取一点K,使得CK=ET,连接DK.想办法

证明AT=OK,DK=BD,推出RD=4T,推出BT=AD即可解决问题.

【详解】解:在FA上取一点T,使得FT=BF,连接ET,在CB上取一点K,使得CK=ET,连接DK.

•：BF=FT,NEFB=/EFT=90°,EF=EF,

：.^EFB2^EFT(SAS),/.EB=ET,4B=NETB,

•：AETB=/I+AAET,ZB=Z1+Z2,/.NAET=/2,

AE=CD,ET=CK,：.l\AET笃/\DCK(SAS),

:.DK=AT,NATE=ADKC,：.ZETB=ADKB,

:"B=2DKB,:.DB=DK,；.BD=AT,：.AD=BT,

•：BT=2BF=^-,.♦.40=暮,故答案为：普.

ooo

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

题目⑷(2023秋・江西九江•八年级校考期末)如图，在△ABC中，点。是BC的中点，若AB=5,AC=13,

AD=6,则BC的长为.

【答案】2烦

【分析】延长AD到E,使DE=AD,连接BE.先运用SAS证明△ADC空得出BE=13.再由勾

股定理的逆定理证明出/BAE=90°,然后在△ABD中运用勾股定理求出BD的长，从而得出BC=2BD.

【详解】解:延长AD到E,使。E=A。,连接BE.

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A

（AD=ED

在AADC与AEDB中，（AADC=ZEDB,：.△ADC笃AEDB（SAS）,AC=BE=13.

[CD=BD

在AABE中，AB=5,AE=12,BE=13,r.AB2+AE2=BE2,/BAE=90°.

在△ABD中，/BAD=90°,AB=5,AD=6,BD=VAB2+An2=V52+62=V61,:.BC=2底.故答

案为：2疯.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，综合性较强，难度中等.题中延长中

线的一倍是常用的辅助线的作法.

题目可（2023秋・湖北武汉•八年级校考阶段练习）（1）阅读理解:如图1,在AABC中，若AB=3,人。=5.

求边上的中线AD的取值范围，小聪同学是这样思考的:延长AO至E,使。E=AO,连接BE.利用全

等将边力。转化到BE,在△B4E中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小

聪同学证三角形全等用到的判定方法是,中线4。的取值范围是；

（2）问题解决:如图2,在A4BC中，点。是BC的中点，。DN.交4B于点M,DN交力。于点

N.求证：BAl+CTVATWN；

（3）问题拓展:如图3,在4ABC中，点。是BC的中点，分别以4B,AC为直角边向△48。外作Rt/\ABM

和R/△力CN,其中ABAM=ANAC=9Q°,AB=AM,AC=AN,连接上W,请你探索人。与上W的数量

与位置关系.

【答案】（1）S4S,1VADV4;（2）见解析；（3）2AD=MN,AD_LMN

【分析】（1）通过证明△ADCZAEDB,得到EB=5,在AABE中,根据三角形三边关系可得：BE—

AB<AE<AB+BE,即2VAEV8,从而可得到中线AD的取值范围；

（2）延长ND至点、F,使FD=ND,连接BF.MF,通过证明4BFD邕ACND〈SAS），得到=C7V,由DM

±DN,FD=ND,得到皿F=_MN,在AB™■中，由三角形的三边关系得：BM+BF>MF;

⑶延长AD于E,使得ED=AD,连接BE,延长D4交MN于尸，证明△CDA第△BDE（SAS）得到BE=

AC,NACD=NEBD,tiLRH4ABEmAMAN（SAS）得到AW=AE=2AD,/AMV,在通过三

角形内角和进行角度的转化即可得到AD，AW.

【详解】（1）解:如图1,延长A。至E,使。E=4D,连接BE,

AD为B。边上的中线,：.BD=CD,

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(AD=ED

在△ADC和AEDB中，(/ADC=ZEDB,/.l\ADC^岫DB(SAS),：.EB^AC=5,

[CD=BD

在/\ABE中，根据三南形三边关系可得：BE—ABCAB+BE,即2<8,

■：AE=2AD,：.2<2AD<8,；.1<AD<4,故答案为：SAS,1<AD<4;

⑵证明：如图2中，延长ND至点、F,使FD=ND,连搂BF、MF,

图2图3

[ND=NF

•.•点。是BC的中点，:.BD=CD,在"DF和4CDN中，〈/BDF=NCDN,

[CD=BD

：.ABFDn/XCND(SAS),：.BF=CN,'：DM±DN,FD=ND,：.MF=MN,

在△BPM中，由三角形的三边关系得：BM+BF>MF,：.BM+CN>MN;

(3)解:结论：2AD=MN,AD±MN,

如图3,延长AD于E,使得=连接BE,延长D4交7W于F,

[BD=CD

•.•点。是BC的中点，:.BD=CD,在ABDE和△CEL4中，(2BDE=ACDA,

[AD=ED

：.ACDA空^BDE(SAS),/.BE=AC,NACD=ZEBD,

AMAN+AMAB+ABAC+NCAN=360°,ABAM=ANAC=90°,NMAN+ZCAB=180°,

ABAC+/AB。+ZACB=180°,/.乙MAN=AABC+AACB^AABC+ZEBD=ZABE,

(AM=AB

在/\MAN和AABE中，(AMAN=NABE,：./\ABE叁/XMAN(SAS),

\AN=BE

：.MN=AE=2AD,ABAE=4AMN,•：4MAF+AMAB+WBAE=180°,AMAB=90°,

AZM4F+ZBA£；=90o,.•.乙M4F+/AMN=90°,AF_LMN,即AD_LAW.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三

家形的判定与性质，三角形的三边关系以及三角形内角和定理，作出恰当的辅助线是解题的关键.

题目回(2023•黑龙江大庆・统考三模)如图，四边形ABDE中，乙4BD=/BDE=90°,。为边BD上一点，连

接AC,EC,M为AE的中点，延长交DE的延长线于点F,AC交于尽G,连接DM交CE于点、

H.

⑴求证7WB=A/D；⑵若入台二反兀^7:力瓦求证：四边形以^^为矩形.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【分析】（1）证明4ABM%^EFM（AAS）,则BM=_MF,然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到

MB=MD-,⑵由①△ABC和电△CDE都是等腰直角三角形得到/CED=乙4cB=/45°,则可得到

NCED=NF,AACB=/BDM,进而可得CE//BF,ACIIDM,于是可判断四边形MGCH为平行四边

形，加上AGMH=90°,则可判断四边形7WGCH为矩形.

【详解】（1）证明：；AABC=ZCDE=90°：.ABHDF：.NABF=ZF,

•.•河为AE的中点，：.AM=ME,

UABF^AF

在AABM和AEFM中，（NAMB=AEMF,：.△ABMW^EFM（AAS）

[AM=ME

：.BM=MF,DM为RtABDF斜边上的中线：.MB=MD

（2）由Q）知AB=EF,叉AB=BC,DC=DE,

：.BD=BC+CD=AB+DE=EF+DF=DF,ABDF为等腰直角三角形.

又由⑴知BM=MF,；.DM工BF,ZDBF=ZF=ZBDM=45°,

又RtdABC和Rt^CDE都是等腰直角三角形.ACED=ZACB=45°,

2CED=NF,AACB=ABDM,：.CE//BF,ACIIDM,：.四边形MGCH为平行四边形，

ZGMH=90°平行四边形MGS为矩形，

【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质、直角三角形斜边中线定理、矩形的判断，掌握矩形的证明步

骤-先证明是平行四边形，再证明有直角是解题关键.

题目口（2023・广东云浮・八年级统考期中）（1）阅读理解:如图①，在△ABC中，若AB=8,47=5,求BC边

上的中线AD的取值范围.可以用如下方法:将4ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD,在/XABE

中，利用三角形三边的关系即可判断中线入。的取值范围是；

（2）问题解决:如图②，在A4BC中，。是边上的中点，OE，DF于点。，DE交AB于点E,DF交AC

于点F,连接EF,求证：BE+CF>EF；

（3）问题拓展:如图③，在四边形ABC。中，180°,CB=C。，乙BCD=100°,以。为顶点作一

个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点,连接EF，探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并

说明理由.

【答案】（1）1.5<AB<6.5;（2）见解析；（3）BE+DF=EF,理由见解析

【分析】（1）如图①:将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得至U△EBD可得4BDE=△CZZ4,得出BE=AC

=5，然后根据三角形的三边关系求出AE的取值范围，进而求得AD的取值范围；

⑵如图②：AFDC绕着点。旋转180°得到△NDB可得△BNDwZXCFD,得出BN=CF，由线段垂直平

分线的性质得出EN=EF,在中，由三角形