高中数学立体几何大题

立体几何大题练习:

1.如图，三棱锥尸一ABC中，AB=AC=BC=43PA＞尸3_1面以。，E,尸分别为AC,尸3的中

点.

(1)求证：ACYEF-,

(2)求PB与平面ABC所成角的正弦值.

JT

2.已知四棱锥尸—ABCD,底面ABCD是菱形，ZDAB=-,PC±PD,PC=PD,PA=^2AB.

(1)证明：平面PCD_L平面ABCD；

(2)求直线PC与平面所成角的正弦值.

AB

3.在三棱锥A—BCD中，AB=AD=BD=2,BC=DC=y/2,AC=2.

(1)求证：BDA.AC-,

3

⑵若尸为AC上一点'且"RAC'求直线成与平面48所成角的正弦值.

JTTT

4.四棱锥尸—ABCD中，平面上平面尸3C.若ZBCD=-,ZPBC=-,AD=CD=2,BC=1.

(1)证明：PBLPA；

(2)若PA=2PC,求二面角P-BC-A的余弦值

AB

5.如图，已知△ABC与△BCD所在的平面互相垂直，ZBAC=60°，ZBCD=90°.AB=AC,

CD=2BC,点、P,。分别在边3C,CD上，沿直线尸。将△PQ。翻折，使。与A重合.

(I)证明：ADLPQ

(II)求直线AP与平面A3C所成角的正弦值.

6.如图，在多面体ABCDP中，AABC是边长为4的等边三角形，PA=AC,BD=CD=272,

尸3=PC=4拒，点E为8c的中点，平面3DCJL平面A5C.

(1)求证：£>£7/平面上4C；

(2)线段3c上是否存在一点T,使得二面角T-DA-3为直二面角？

若存着，试指出点T的位置；若不存在，请说明理由.

E

C

立体几何大题练习:

2.如图，三棱锥尸一ABC中，AB=AC=BC=6PA，尸3_1面24。,E,尸分别为4C,尸3的中

点.

(1)求证：ACYEF-,

(2)求PB与平面ABC所成角的正弦值.

(1)解析：连接PE,BE,易得8E_LAC,因为尸8_1面24(7,

所以PB_LAC,由BE]PB=B,所以AC_L平面尸EB,

而所匚平面尸£6,所以AC_LEF.

(2)解析：

由(1)得，ACJ_平面尸£B,所以NPBE就是PB与平面ABC所成角,

在等腰三角形P4c中，PA=PC=1,AC=6所以PE=g,在等边三角形ABC中,

QPH11

BE=-,所以sin/P3£=/u=w，即期与平面ABC所成角的正弦值为刀.

2BE33

_.…7T

2.已知四棱锥尸—ABCD,底面ABCD是菱形，ZDAB=-,PC±PD,PC=PD,PA=42AB-

(1)证明：平面PCD_L平面ABCD；

(2)求直线PC与平面所成角的正弦值.

(1)解析：(几何法)

证明：取CD中点连接因为PC=PD,所以尸

^AB=AD=2,^iPA=2y/2DM=PM=1,在△ADM中，

AM=y/AD2+DM2-2AD-DM-cosZADM=币,所以

AM2+PA/2=8=PR2,即24A又因为CDAM=M,

所以PM_L平面4BCD,而尸Mu平面尸CD,

所以平面PCD±平面4BCD.

（2）解析：（等体积法）

易得5M_LAB,PM^AB,所以AB_L平面PMB,则旗_LPB,SAPABAB-PB=2,设点C到

平面的距离为/?,由匕＞TBC=%一⑻，|S^PAB.h=VP_ABC=1S^c-PM=^~,解得//=g,

设直线尸C与平面上钻所成角为6,又pc=&，所以.a_h_T_A/6,即直线PC与平面

sin（7==-T="=—

PC64

F4B所成角的正弦值为四.

4

6.在三棱锥4一BCD中，AB=AD=BD=2,BC=DCf,AC=2.

(1)求证：BD±AC；

3

(2)若P为AC上一点，且AP==AC,求直线8尸与平面ACD所成角的正弦值.

4

(1)解析：取即中点O,连接AO,OC,因为M=">,BC=DC,所以BDLAO,BD±OC,

又因为AOOC=O,

所以平面AOC,即3Z)J_AC.

(2)解析：(坐标法)

由(1)得，gr)_L平面AOC,又因为平面BCD,所以平面AOC_L平面BDC,易得

AO=VLOC=L所以AC>2+OC2=AC2,即AOLOC,又因为平面AOC平面5DC=OC,所以

AOL^BDC,如图所示，以射线OB,OC,OD为x,%z正半轴建系.A=(0,0,逐)，5-(1,0,0),

C=(0,1,0),D=(-1,0,0),P=。1，¥,BP=DA=0,73),DC=(1,1,0),设

.n,DA=0[x+=0

〃=zx,y,z为平面ADC的一个法向量，贝ij有,u取〃=卜3,3,6),

n-DC=0[x+y=0

93

,八n-BP4#

设8为直线BP与平面ACO所成角，则sin®=।।=---------j==—

H•阳后走7

2

即直线的与平面ACD所成角的正弦值为逑.

7

■7TTT

7.四棱锥尸一ABCD中，平面平面P3c.若ZBCD=-,ZPBC=-,AD=CD=2,BC=1.

32

(3)证明：PB±PA；

(2)若B4=2尸C,求二面角P—BC—A的余弦值

解析：(1)证明：设平面RW一平面尸3。=/,

TT

平面E4D又13Cu平面依。,二3。/〃,■ZPBCPBLI,又因为平面R4D，平

2P

面平面24£>,可得PB_LB4,得证.

(2)解：连结BD,在ABCD中，易得BD=^，:.BD上BC,/:\\

AB

又・9，8。,，/「班)为二面角/一3。一4的平面角，以。为原点，

分别以D4,DB的方向为x轴，丫轴正方向，建立空间直角坐标系，

.•.4(2,0,0),网0,石,0),。卜1,真,0)BC±BD,BC±PD,BDPD=D

:.3C_L平面P6D,所以平面PBD_L平面ABCD,可设尸(。，丫㈤,由R4=2PC可得:

（0-2）2+/+z2=4（0+1）2+4（y->/3）2+4z2/tlW^3y2-8A/3V+3Z2+12=0—®,由（1）知

PB±PA.•.（一2,*）.仅》-"2）=0=9一gy+z?=0-②解方程①②可得y=亭,z=寺，

sinZPBD=—=—,IJI!）cosZPBD=—；

PB55

8.如图，已知△ABC与△BCD所在的平面互相垂直，ZBAC=60°，ZBCD=90°.AB=AC,

CD=2BC,息P,。分别在边3C,CD上，沿直线PQ将△PQ。翻折，使。与A重合.

(I)证明：ADLPQ

(II)求直线AP与平面A3C所成角的正弦值.

解析1：(传统方法)

(I)证明：如图1所示，取AO的中点E,连结PE,QE.

因为翻折后。与A重合，故©4=2D,M=PD,

从而有△PAD,△QAD都是以AO为底边的等腰三角形，

因此。E_LAZ),PE_LAO.

又PECQE=E,所以AO,平面PQE,

又PQu平面PQE,所以AD_LPQ.

(II)解：设AB=4a.由题意，易得CD=8a,△ABC为等比三角形，BC=AC=4a.

如图1所示，在平面BCD内过点P作PF〃CD,交点为则4s.

由已知△ABC与△BCD所在的平面互相垂直，ZBCD=90°，平面ABCC平面§CD=3C，

得CD,平面A3C,故平面A5C,从而NPA尸就是直线AP与平面A3C所成角.

PFPF

易知sinNPAE=——=——.

PAPD

PFCD2PF_2PB

故PF$PBsin/PAF=

又砺=法=忑~PD~lj5~PD

由CD'平面ABC知，CD±AC,故A£>=，4c2+5=4岛.

Ar)2,力R2_Ar)2Q

在△A3。中，由余弦定理得cos/ADB=--------------=——=—,AE=2四,进而得

2ADDB10

…AE20^5aPB=BD-PD=*

PD=--------------

cosNADB9

16^5a

故sinZPAF=~^=PB2^9^处

4sPD~J520瓜—25

9

即直线AP与平面ABC所成角的正弦值为之.

25

解析2：（坐标法）

（I）证：由题意可如图建立空间直角坐标系.设3c=4a.NR4c=60°，AB=AC,

则^ABC是正三角形.又匕BCD所在的平面互相垂直，

CD=2BC,可得以下各点的坐标：C（0,0,0）,3（4a,0,0）,D（0,8a,0）,A（2a,0,2品）.

并设Q®,仇0),尸(c,8a—2c,0).

因为沿直线P。将△PQ。翻折，使。与A重合，故PQ=PAQ0=Q1.

--------L^LIIII

从而PQ.而=豆。一~—«=0,因此AD_LPQ.

容易知道平面ABC的一个法向量为1=（0,1,0）.

32

APn3°_8后

记直线AP与平面ABC所成角为夕，贝Usin6=

AP-n20加a-25

9

ok

即直线AP与平面ABC所成角的正弦值为—.

25

6.如图，在多面体ABCDP中，AABC是边长为4的等边三角形,PA=AC,BD=CD=2叵，

P3=PC=4应，点E为3C的中点，平面平面ABC.

(1)求证：DE//平面PAC；

(2)线段BC上是否存在一点T,使得二面角T-ZM-3为直二面角？

若存着，试指出点T的位置；若不存在，请说明理由.

解析：(1)尸A=AC=4,PB=PC=4夜，.〔ZR4c=90，即以J