高三复习学案 空间向量与立体几何

专题14空间向量与立体几何

一、知识速览

二、考点速览

知识点1空间向量的概念及有关定理

1、空间向量的有关概念

（1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量；

（2）相等向量：方向相同且模相等的向量；

（3）相反向量：方向相反且模相等的向量；

（4）共线向量（或平行向量）：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量；

（5）共面向量：平行于同一个平面的向量

2、空间向量的有关定理

（1）共线向量定理：对空间任意两个向量£,h（b6）,的充要条件是存在实数2，使得£=九尻

（2）共面向量定理：如果两个向量B不共线，那么向量方与向量3共面的充要条件是存在唯一的

有序实数对（x,y）,使万=x£+yB.

（3）空间向量基本定理：如果三个向量b,1不共面，那么对空间任一向量,，存在有序实数组｛x,八

z｝,使得p=xa+M，其中，｛a[,c｝叫做空间的一个基底.

知识点2两个向量的数量积及其运算

1、空间向量的数量积及运算律

（1）数量积及相关概念

①两向量的夹角：已知两个非零向量Z,b,在空间任取一点O,作力=Z,OB=b,则Z/08叫

做向量[与B的夹角，记作G,B>,其范围是[0,2，

若<。力>=一，则称Q与b互相垂直，记作Q_L6.

2

②非零向量a，b的数量积°4=卜帆cos<a]>.

（2）空间向量数量积的运算律

①结合律：=丸（。工）；

②交换律：a=E•a；

③分配律：Q,（B+c）=a・B+a・c.

2、空间向量的坐标表示及其应用

设。=(卬,。2，%)，6=(e,8,&),

向量表示坐标表示

数量积a-h她+a2b2+a3b3

共线a=Xb(jbw£R)q—46],ci]—

垂直a-h=0(t7w6,Bw0)afy+a2b2+a3b3=0

模PI

-7ah++小仇

夹角<a,b>(aw0,6w6)cos<a,b>=-/,,

yja；+a；+cty,yjb；+b：+b；

知识点3空间中的平行与垂直的向量表示

1、直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量々的有向线段所在直线与直线/平行或重合，则称此向量々为直

线/的方向向量.

(2)平面的法向量：直线/La,取直线/的方向向量Z,则向量Z叫做平面a的法向量.

2、空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

的2/〃〃2=〃]=4%

直线/l，/2的方向向量分别为)，Z

/一々_L?=々・%=0

1//anA.mon-m=0

直线/的方向向量为3,平面a的法向量为百

1Lan//m=〃=Am

a///3n//mn=Xm

平面a,£的法向量分别为«

a工BnA-m<=>n-m=0

知识点4利用空间向量求空间角

1、异面直线所成角

设异面直线a,6所成的角为仇贝IJcos°=f士，其中2，B分别是直线a，6的方向向量.

而

2、直线与平面所成角

如图所示，设/为平面a的斜线，IHa^A,a为/的方向向量，〃为平面a的法向量，a/

__

n.M/aC

8为/与a所成的角，则sin(p=Icos<a,n>|=可?•

3、二面角

（1）若4B,8分别是二面角a-//的两个平面内与棱/垂直的异面直线，则二面角（或其补角）的大小就是

向量方与函的夹角，如图

（2）平面a与日相交于直线/,平面a的法向量为平面用的法向量为后,<勺,〃2>=。，则二面角a-//为

。或兀一J.设二面角大小为夕,则|coss|=|cos。］=若"，如图6,c.

同同

知识点5利用空间向量求空间距离

1、点到直线的距离

已知直线/的单位方向向量为“，4是直线/上的定点，P是直线/外一点,

设向量存在直线/上的投影向量为念=〃，

则点P到直线/的距离为|“2一（".”）2（如图）.

2、点到平面的距离

已知平面a的法向量为］,/是平面a内的任一点，P是平面a外一点,

过点尸作则平面a的垂线/,交平面。于点。，

则点P到平面a的距离为尸。=（如图）

Fl

3、线面距和面面距

线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。

（1）直线a与平面a之间的距离：d=!------，其中Zea,Bea,后是平面。的法向量。

1«1

（2）两平行平面a,,之间的距离：d=1-----L其中方是平面a的法向量。

1«1

一、用基向量表示指定向量的方法

（1）结合已知向量和所求向量观察图形.

（2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.

（3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.

【典例1】（2023•全国•高三对口高考）如图所示，在平行六面体中，区为4G与的交

点，若荏=2,而=B,AAx-c,则=（）

11-11-

A.-a——h+cB.-a+-h+cC.--a--h+cD.——a+—h+?

22222222

【答案】D

uuuruuiruuuiruuiriuuuuruuirizuuuiruuur

【解析】由题意可得：BM=BBX+BXM=：8。+—4A-4a

=—ABH—AD+AA=—H—+c.故选：D.

22[22

【典例2]（2021・全国•高三专题练习）在四面体。45c中，OA=a^OB=b^OC=c，点M在棱04上，且两=2必,

N为8c中点，则砺=（）

2_11.22-1

A.-5--6+-CB.—ciH—brT—cC.-a+-S--cD.--a+-b--c

232322222332

【答案】B

【解析】・・•点M在线段04上，且。用=2朋X,N为BC中悬,

---2———1——.1—1一

OM=-OA,ON=-(OB+OC)=-OB-OC,

3222

——-——------1一1—2—>21-1

?.MN=ON-OM=-OB+-OC一一OA=一一a+-h+-c.故选：B.

223322

【典例3】（2023秋・福建厦门•高三校考阶段练习）在三棱锥218c中，点O为△48C

的重心，点Q,E,尸分别为侧棱以，PB,PC的中点，若2=万，b=CE^c=~BD^则丽=()

2-2r2一

A.-a+-b+-cB.--a--b--cC.--a--b--cD.—a+—b+—c

333333333333

【答案】D

【解析】取SC中点为"，

三个式子相力口可得Z+B+"=-g（秒+方+定）=万+而+正=-2（2+3+，，

又而="_前=_泊_§而=一莎75（益+就）=_防5（而_莎+正_珂

=-防；（而-莎+斤-网=一（万而定=-；（方+而+码=翡+网，故选：D

二、证明三点共线和空间四点共面的方法比较

三点（P,A,8）共线空间四点（〃，P,A,8）共面

用=7防且同过点PM^=xM^i+yM^

对空间任一点O,办=况+弟对空间任一点。，OP=oU+xM^i+yMb

对空间任一点。，办=x^+（l—x）仍对空间任一点。，办=、曲+夕次+（l—x—切彷

【典例1】（2022•全国,局二专题练习）己知向量°,B，c不共面，AB=4a+5b+3c>AC-2a+3b+c>

AD-6a+7b+5c-求证：B,C,。三点共线.

【答案】证明见解析

【解析】因为Z8=4a+5加+3c,AC=2a+3fe+c>AD=6a+7^+5c,

所以瑟=*-万=2-+3-+--（4-+5Z+3一）=-2--2--2c,

BD=AD-AB=6a+76+5c-（4a+5坂+3c^=2a+2b+2c,

所以^-丽，

所以前/丽,又8为公共点，

所以8,C,。三点共线.

【典例2】（2022•全国•高三专题练习）如图，在平行六面体/8C。-中，QC=2EC,布=3斤.

（1）求证：A、尸、E三点共线;

（2）若点G是平行四边形8£CG的中心，求证：D、F、G三点共线.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）由题意，qC=2EC,葩=3记，

______2____O____

故4尸=AA}+=AAX-\--AxC=AAl+-（AB+AD-AA{）

二万+2而+1鬲=2（万+而+_L羽），

33332

AE=AC+CE=AB+AD+-CC.=AB+AD+-AA.,

2'21

__2__

故万=§）瓦由于万,N云有公共点z,

故/、F、E三点共线；

（2）由题意，点G是平行四边形与8CG的中心，

^.DF=DC+CF=AB-^A^C=AB-^（AB+AD-AAt）

2—1—1——2—1—1——

=-AB——AD+-AA.==-^AB——AD+-AA.）,

3331322

—.2——►_____

故DF=3DG，因为。ROG有公共点。，

故。、F、G三点共线.

【典例3】（2024•全国•高三专题练习）在四棱柱中，屏=左即，麻=%方力,

丽=kD^C.Dji=kD^D.

3—►—.-._____

（1）当左=a时，试用表不力尸；

（2）证明：旦旦G,“四点共面；

___1___1_____-5_____

【答案】（1）万=石+】港；（2）证明见解析

444

【解析】（1）四棱柱/8。。一44。|。]中，AD[=AA1+AD,

3

因为左=:，

4

———1--------------1----3----3-----1---3—

所以AF=4E+EF=—-RE=-4口+—一一D,A=-AD.+-AB

4'''4'414'414

=-AA,+—AD+—AB；

4144

（2）设就=/1万+〃彳方（九〃不为0）,

=左彳（而一不）+〃“（丽-丽）=几（即一瓦）+〃（而一率）=4丽+〃丽，

则而，的，丽共面且有公共点E,则£,F,G,H四点共面：

【典例4】（2022•全国•高三专题练习）如图，在几何体Z885'中，4ABC,^BCD,ACAE均为边长为2

的等边三角形，平面48cL平面88,平面。CEJ_平面8C0.求证：A,B,D,E四点共面；

【答案】证明见解析

【解析】取C。的中点〃，连接EH，取8C的中点。，连接/O,。。，

因为平面DCEL平面88,且平面DCEfl平面3CZ）=CD,

而ADCE为等边三角形,所以因此EH1平面8c0,

因为平面/8C/平面88,且平面48Cc平面8cz）=8C,

又因为△8C。为等边三角形，所以OOJ_BC,因此。01平面/8C,

又因为/Ou平面/8C,因此。O_L/。，

又因为“8C为等边三角形，所以8C_LZ0，

因此。/,。8,0。两两垂直，

从而以0为坐标原点，Q4所在直线为x轴，0B所在直线为V轴，0D所在自线为z轴

建立如图所示的空间直角坐标系，

又因为“8C,A8C£Ua）E均为边长为2的等边三角形，

所以。（0,0,0）,C（0,-1,0）,B（0,1,0）,0（0,0,JJ）/（6,0,0）,〃0,4,

,1

设则£77=n,--t,万万=仅,一1,b），而=（0,-2,0）,

~m~2~2

j（一"?）2+（_；_“）?+（当—）2=M

］丽卜6m=y/3

|/T1

由于，EHBD=O,所以，-（---«）+5^（---0=0,解得n=——

2

EHBC=Q

_2（_；_〃）=03

2

因此E"-g,乎），所以而="-［岑），5^=（73,-1,0）,丽=（0,-1询，

所以屁=布+；而，由空间向量基本定理可知：砺，前，而共面，所以48,四点共面;

三、空间向量数量积的应用

1、求夹角：设向量Z，3所成的角为6,,进而可求两异面直线所成的角;

2、求长度（距离）：运用公式可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题;

3、解决垂直问题：利用〃_1否=〃.5=03。6石工。），可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题。

【典例1】（2023•全国•高三对口高考）若£为非零向量，alb,alc,T=ab+/3c（a,左R）而％,则言与7

一定（）

A.共线B.相交C.垂直D.不共面

【答案】C

【解析】因为万所以鼠3=0，5-c=0,

又因为Z=c^+/?Wa、MR）,

a-1=a{ab+/Jc^=aa-b+Pa-c=0,所以3J.7，

又因为所〃3,所以比，『.故选：C

【典例2】（2023・河南•校联考模拟预测）如图，在平行六面体44CQ中，底面/8CD，侧面44。。

都是正方形，且二面角4的大小为120。，AB=2,若尸是与CA的交点，则/p=()

A.V3B.V5C.V?D.3

【答案】B

【解析】在平行六面体N5CD-44GA中，四边形。。。。是平行四边形，

又P是GD,CA的交点，所以「是CQ的中点，

所以后=赤+而=而+g(虎+函)=;次+而+;怒,

.口=“uuifluum-'"・’'-

由题恩力8.4。=0，4344=-2,AD-AAX—0,

所以"2=(g方+Z5+；羽]=:/+而2+:京+万•而+而福+g万刀=5,

即/P=6.故选：B.

【典例3】(2024•全国•高三专题练习)如图，正三棱柱/8C-/4G中，441=2/C=2,彳瓦=2,福=B,

AXA—c,B、M=2MC].

(1)试用B，2表示瓦3；

(2)求异面直线期与4C所成角的余弦值.

【答案】⑴两=-初+与V;⑵逆

3320

【解析】（I）因为丽=2函，

uuuruutruuurturuuir2/uuur?UULDr21m1r{nr2r2rr

所以村=84+4〃=_44+346；=_4/+1（4G_44）=_§44+34G+§b-c.

（2）因为就+襦=",

一一r1

且他|=W=1,同=2,/?-c=5-c=0>a，b=3,

可得|狗二柯+2大运+同2=V5，

1-577114]_[24㈤2~~28一f4一_4.-25/10

|5M|=J—|tz|+—1/?|+|c|-—a-b+—a-c-—h-c=---

LOTuuur2rr2rr2二2rrrrr11

AyC-BM=——a-b——a-c-^—b2+—b-c-b-c-c2=-

3333T

uuruuur

/toruuur、ACBM11V2

则cos（4。,BM）=户曲|jttutr

'/40卜冲20'

3

所以异面直线3M与4c角的余弦值为卫正.

20

四、利用空间向量证明空间线面位置关系

1、利用空间向量证明平行的方法

线线平行证明两直线的方向向量共线

①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方

线面平行

向向量与平面内某直线的方向向量平行

①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问

面面平行

题

2.利用空间向量证明垂直的方法

线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零

证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理

线面垂直

用向量表示

面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示

【典例1】（2023•全国•高三专题练习）如图，在四面体4-8CZ）中，/。，平面88,BCLCD,AD=2,

BD=2五.”是4。的中点，P是BM的中点，点。在线段ZC上，S.AQ=3QC.证明：PQ”平面BCD；

【答案】证明见解析

【解析】因为8CLCD,49,平面80,故以C为原点，。8为X轴，为夕轴,

过点C作。4的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设CD=a,0<a<26,则5c=，8-、2,

可得。(a,0,0),C(0,0,0),8(0,j8-/,()卜4生0,2),

因为A/是/。的中点，则A/Q0,l),

则因为N0=3QC,°］，。，；)，

乙4乙I\I4J

,uuur(ay

可得。。=一5，-"丹,0,

42I

因为平面8C。的法向量可取为石=（0,0,1）,

则画•方=0,且P0U平面8c。，所以P0〃平面8CD.

【典例2】（2023•全国•高三专题练习）如图所示，平面P/Z）_L平面/8CQ,四边形/8CD为正方形，APAD

是直角三角形，且尸/=4）=2,E,F,G分别是线段PZ,PD,C。的中点，求证：平面EFG//平面「8c.

【答案】证明见解析

【解析】因为平面总1。_£平面N8CZ）,四边形/8CO为正方形，△刃。是直角三角形，

所以AP,/£）两两垂直，

以力为坐标原点，AB,AD,/尸所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则/（0,0,0）,8（2,0,0）,C（2,2,0）,0（0,2,0）,P（0,0,2）,E（0,0,1）/（0,1,1）,G（I,2,0）.

所以而=（2,0,-2）,而=（0,-1,0）,FG=（1,1,-1）,SC=（0,2,0）,

设点=（再，凹,z）是平面EFG的法向量，

n「FE=Q-必=0

则或J.而，J.FG,HP-，一，得

,%+乂一马=0'

ntFG=0

令Z1=l,则占=1,乂=0,所以％=（1,0,1）,

设n=（々,%/2）是平面PBC的法向量，

——.——,由•PB=0—2Z2=0

由％n2lBCf即〈一一,得

=0

n2-BC=0

令？2=1,则*2=1，-2=。，所以%=(1，°，1)，

所以成〃0，所以平面E尸G〃平面P8c.

【典例3】(2024・全国•高三专题练习)如图，在四棱锥尸-48C。中，底面48C。是正方形，P41底面488,

E是PC的中点，已知/8=2,尸/=2.

(1)求证：AEVPD-.

(2)求证：平面尸8。_1_平面&C.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【解析】(1)以4为原点，AB,AD,/P所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，

则8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),尸(0,0,2),£(1,1,1),

___num

所以ZE=(1,1,1),PD=(0,2,-2)，

所以荏•丽=2-2=0，所以4E_LP£).

(2)连接8£>，AC,如图所示，

因为P4_L面/BCD,BDu而4BCD,所以P4LBD,

又因为四边形/8CZ)为正方形，所以8£>J_/C,

又因为NCn/P=/,AC.AP<=\l\\PAC,所以8。上面K4C,

又因为3Z)u面P8O,所以平面尸8OL平面P/C.

五、用向量法求异面直线所成角的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系；

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(0可

(4)注意两异面直线所成角的范围是I'2」，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝

对值.

【典例1】(2023秋•江西抚州•高三校考开学考试)在正方体/BCD-44GA中，£是棱上一点,

CE=2NE,尸是棱QC上一点，FC=3D、F,则异面直线耳£与5尸所成角的余弦值为()

A屈口病「病n病

34683468

【答案】A

【解析】不妨设工8=1,

以。为坐标原点，D/,DC,Z)A所在直线分别为x轴，V轴,z轴建立空间直角坐标系,

则(1,0,1),£(^|,0,0^,D,(0,0,1),5(1,l,0),C(0,1,0),

所以乖=(T，0,-l),西=(T,-1,1),咏=(0,1,-1),

所以而=西+*=西+；束=(T,一|,*

~Tr\BF，y/^5

所以c°s〈近4所阿函=F'

所以异面直线4£与8尸所成角的余弦值为画.故选：A

【典例2】(2023•四川眉山・仁寿一中校考模拟预测)如图，在直三棱柱/8C-44G中，8c人面/CG4，

CA=CC,=2CB,则直线8G与直线”用夹角的余弦值为()

A.速B.苴C.—D.-

5355

【答案】C

【解析】在直三棱柱/8C-44G中，cqj.平面48C,NC、/5u平面/8C,

所以CCJZC,CC,1AB,

8CJ,平面NCG4，/Cu平面ZCG4，所以8clzC,

所以C4CG、C8互相垂直，

以C为原点，分别以C4CCpC8所在的直线为X、八z轴建立空间直角坐标系，

设C4=CG=2C8=2,

则C(0,0,0),4(2,0,0),4(0,2,1),5(0,0,1),C,(0,2,0),

可得福=(-2,2,1),SC；=(O,2,-l),

所以COS〈国，福州舒赢=舄岑

所以直线与直线/片夹角的余弦值为坐.故选：C.

【典例3】(2023•海南•统考模拟预测)如图，四棱锥/-8CDE内接于圆柱，。为Z8的中点，C。和5E为

圆柱的两条母线，AC+BC=2,四边形8CZ)E为正方形，平面与平面N8C的交线/工平面ZC。，当

四棱锥力-BCDE的体积最大时,异面直线AE与CO所成角的余弦值为

【答案】〈

【解析】如图所示：设8C=x,因为/C+8C=2,所以NC=2-x,

11।7

则VA-BCDE=-ACBC2=-X(2-X)-X2=--X3+-X2,

AA

V=-x2+—x,令片=0,得》=一或x=0(舍去)，

33

44

当o<x<一时，r>0,当x>一时，r<0,

33

所以当x=；4时，H取得最大值，此时ZC=；2,8C=?4,

333

建立如图所示空间直角坐标系，

则c(o,o,o),/(|,oq„o[W(),*m,

所以在=/善沙瓦=(M°b

则而函二=2,门卜

__2

所以c。m回=露=表与

3

所以异面直线/£与CO所成角的余弦值为日，

故答案为：害

六、用向量法求解直线与平面所成角的方法

如图所示，设直线/的方向向量为工，平面a的法向量为直线/与平面a所成的角为夕，向量[与]的夹角

n-e

为仇则有sin(p=|cos0\=

【典例1】(2023•河北保定・统考二模)如图，在长方体中，AB=BC=\,/同=2,对角

线8Q与平面48G交于E点.则4后与面。所成角的余弦值为()

A.1B.3C.|D.2

3333

【答案】D

【解析】如图，建立空间直角坐标系：

4^=(0.1,-2),葩=(-1,1,0),

设平面48G的法向量为而=(xJ,z),

[ABrh=y—2z=0[y=2z

则一WJ_，

[/(.C,m=-x+y=01x=y

令z=l,则y=2,x=2,所以而=(2,2,1),

又函=(1,1,2),因为点E在上，

设诙=，函==,2,22),所以EQ4,24),

所以率=(2-1",22-2),

因为a£u面48C1,所以彳及而=0,

所以(2-1",22-2>(2,2,1)=0,

2___1T2

所以2(4-1)+22+(2；1-2)=0,解得;1=(,所以.

平面一-平的法向量为沆=(0,1,0),

设4E与平面4IQQ所成角为a,

【典例2】(2023・全国•高三专题练习)如图，已知菱形力88和矩形4CE厂所在的平面互相垂直，AB=AF=2,

ZADC=60。.求直线BF与平面的夹角.

【答案】-

4

【解析】设ZCri8O=O,

因为菱形/BCD和矩形ZCE尸所在的平面互相垂直，

平面“BCDc平面ACEF=AC,矩形/CEF中AF±AC,

又“Fu面NCEF,所以“尸_1_平面/58,

以。点为坐标原点，以。。所在直线为x轴，。所在直线为V轴,

过。点且平行于AF的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，

因为在菱形/BCD中，AB=2,ZADC^60°,

所以“8c是正三角形，贝108=6，

又/F=2,则8(-百,0,0),尸(0,1,2),

因为z轴垂直于平面48CD,

因此可得平面抽⑵的一个法向量为而=(0,0,1)，

乂而==(百,1,2),设直线8尸与平面力88的夹角为

2

则有sin0=|cos〈而,BE)|=.'竺==—,即6=工，

\m\\BF\lx2Vr224

7T

所以直线直线8厂与平面48co的夹角为二.

4

【典例3】(2023秋・陕西商洛•高三陕西省山阳中学校联考阶段练习)如图，在直三棱柱N8C-4AG中,

AC=2BC=CC、=2,D,E,尸分别是棱4G,BC,/C的中点，ZACB=60°.

(1)证明：平面平面所G：

(2)求直线/C与平面48。所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)名叵

17

【解析】(1)在A/8C中，因为E,尸分别是8C,/C的中点，

所以4B〃EF.力平面FEG，EFu平面FEC「

则/8〃平面用弓，

因为ZC〃4G，则N尸〃。G，又4F=；4c=g4G=DCi，

所以四边形为平行四边形，

所以/。〃尸G，NOU平面尸EG，尸Gu平面FEG，

则〃平面FEG，

又因为4)c48=4,且平面,

所以平面N8O〃平面EEC一

(2)因为ZC=2,CB=\,ZACB=60°,

由余弦定理可得AB-=AC2+BC2-2AC-BCcosNACB=22+\2-2x2xcos60=3.

所以482+802=/c?，从而ABJ.BC.

以8为坐标原点胫，BA-瓯的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.

故8(0,0,0),4(0,石,0),D5,券,2,C(l,0,0).

界』,

从而拓=（0,6,0）,BD=^C=(l,-V3,0).

设平面ABD的法向量为］=（x,弘z）,

yfiy=0

万•胡=0

由，一，得#冬+2z=0

元BD=G

取x=4,则［=（4,0,-1）为平面ABD的一个法向量,

-'n-AC42-17

所以“，"-衲=标=k,

所以直线AC与平面ABD所成角的正弦值为名叵.

17

七、利用向量法解二面角问题的策略

1、找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到

二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小;

2、找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则

这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小

【典例1】（2023•全国,高三专题练习）如图，在正方体/8EF-OCE尸中，M,N分别为NC,8尸的中点，则

平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（）

A.-1B.1C.-述D.逑

3333

【答案】B

【解析】设正方体棱长为1,以8为坐标原点，BA,BE,8c所在直线分别为x轴、y轴、z轴

建立空间直角坐标系&盯z,则"d，唱’；，0}41，0,0），8（0立,0）.

解法一取的中点G,连接8G,AG,则G佶,

124^）

因为"MN,力A/N为等腰三角形，所以/G_LA/MBG1MN,

故/4G8为两平面夹角或其补角.

又因为第=（m，历=H，-；，T，

----1--1----1---1----1-

所以，cos何，而”丽而41616_1

3

设平面MNA与平面MNB的夹角为仇

则cos0

故所求两平面夹角的余弦值为;.

解法二设平面/AW的法向量*=（x,y,z）

由于俞=（-g,o,£|,而=（一;,g,0）,

11八

——x+—z=0

-AM=022

则叫

不=011八

——x+—y=0

22

令x=l,解得y=LZ=L于是场=（LL1）,

同理可求得平面8""的一个法向量0=（1,-1,-1）.

所以cos际、=葡=.=V,

设平面MNA与平面MNB的夹角为仇

则cos0=|cos//?],w2\l=-.

故所求两平面夹角的余弦值为（故选：B.

【典例2】（2023秋・重庆•高三统考阶段练习）在四棱锥尸-Z8C。中，平面PCD,平面/8CD,侧面PCD是

等边三角形，ZABC=NBCD=90°,AB=2CD=2BC,M在棱48上，且满足=

（1）求证：PMLCD；

（2）求二面角P-CN-/的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）2叵

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【解析】(1)取C。中点N,连接MN,PN,

•；N4BC=NBCD=90°,：.AB//CD,

XVAB=2CD,AB=4BM,：.CN=BM,

：.四边形BMNC是平行四边形，而48C=ZBCD=90°,

故平行四边形BM