人教版高中数学选修二5.2.3简单复合函数的导数 -B提高（解析版） 同步练习

5.2.3简单复合函数的导数-B提高练一、选择题1．（2021·广东揭阳市高二期末）函数的导函数为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则有.故选：B.2．（2020·四川省眉山车城中学高二期中）已知函数，则（）A．1 B．－1 C．2 D．3【答案】B【详解】因为，所以，令，可得，解得.故选：B.3．（2021·江苏徐州市·高三期末）随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系，其中为时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为贝克时衰变所需时间为（）A．20天 B．30天 C．45天 D．60天【答案】D【详解】由得，因为时，该放射性同位素的瞬时变化率为，即，解得，则，当该放射性同位素含量为贝克时，即，所以，即，所以，解得.故选：D.4．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()A．1B．2C．－1D．－2【答案】B【详解】设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0＋a)＝1，,x0＋1＝lnx0＋a，))由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.5．（多选题）（2021·江苏高二）以下函数求导正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AC【详解】对A，，故A正确对B，，故B错；对C，所以C正确对D，，故D错；故选：AC6．（多选题）（2021·全国高二课时练）已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（）A． B． C． D．【答案】ACD【详解】在A中，若，则，则，这个方程显然有解，故A符合要求；在B中，若，则，即，此方程无解，故B不符合要求；在C中，若，则，由，令，（），作出两函数的图像如图所示，由两函数图像有一个交点可知该方程存在实数解，故C符合要求；在D中，若，则，由，可得，故D符合要求．故选：ACD．二、填空题7．（2020·陕西彬州市高二月考）已知y＝，则y′＝________．【答案】【详解】y＝＝＝-ln(1＋x2)，所以y′＝－·(2x)＝.8．（2020·洛阳市第一高级中学高二月考）函数的图像在点处的切线的斜率为_________.【答案】【详解】因为函数，所以，则在点处的切线的斜率.9．（2020·广东湛江市·湛江二十一中高二开学考试）若函数，，则__________.【答案】3【详解】由，得，，，。10．（2020·广东中山市）在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数在处偏导数的全过程：，，所以，，由上述过程，二元函数，则______.【答案】【详解】根据题意，得到，，则，，因此.三、解答题11．设函数f(x)＝aexlnx＋eq\f(bex－1,x).(1)求导函数f′(x)；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．【详解】(1)由f(x)＝aexlnx＋eq\f(bex－1,x)，得f′(x)＝(aexlnx)′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bex－1,x)))eq\s\up10(′)＝aexlnx＋eq\f(aex,x)＋eq\f(bex－1x－bex－1,x2).(2)由于切点既在曲线y＝f(x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f(x)得f(1)＝b，∴b＝2.将x＝1代入导函数f′(x)中，得f′(1)＝ae＝e，∴a＝1.12．（2020·江苏高二专题练习）已知函数，记为的导数，.（1）求；（2）猜想的表达式，并证明